Задача 1.
Данные о полной себестоимости товарной продукции и стоимости товарной продукции в оптовых ценах на 2006 г. по 25 предприятиям приведены в таблице 1.Для выявления зависимости между данными показателями произведите группировку, образовав 5 групп с равными интервалами (группировочный признак – стоимость товарной продукции).
В каждой группе подсчитайте:
1) Частоты и частости.
2) Стоимость товарной продукции – в процентах к итогу, а также в среднем на одно предприятие.
3) Себестоимость товарной продукции – в процентах к итогу, а также в среднем на одно предприятие.
4) Затраты, приходящиеся на 1 рубль товарной продукции.
Результаты группировки оформите в таблице.
Ряд распределения по стоимости товарной продукции изобразите на графике в виде гистограммы частостей.
Таблица 1
| Номер предприятия | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| Стоимость товарной продукции, млн. руб. | 157 | 273 | 150 | 301 | 539 | 520 | 584 | 600 | 332 | 262 |
| Себестоимость товарной продукции, млн. руб. | 107 | 182 | 151 | 307 | 321 | 347 | 396 | 390 | 354 | 211 |
Продолжение таблицы 1
| 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
| 331 | 397 | 424 | 168 | 413 | 448 | 430 | 572 | 285 | 246 | 445 | 183 | 301 | 283 | 170 |
| 330 | 328 | 390 | 169 | 261 | 364 | 403 | 406 | 152 | 227 | 298 | 131 | 237 | 188 | 141 |
Решение:
Найдем величину одного интервала. По условию задачи число групп равно 5, минимальная стоимость товарной продукции у 3-го предприятия (150 млн. руб.), максимальная – у 8-го (600 млн. руб.), поэтому:
млн. руб.
Определим границы интервалов группировки
| № группы | Границы |
| 1 | 150 - 240 |
| 2 | 240 - 330 |
| 3 | 330 - 420 |
| 4 | 420 - 510 |
| 5 | 510 - 600 |
Сформируем разработочную таблицу
| № группы | Группы предприятий по стоимости товарной продукции | № предприятия | Стоимость товарной продукции, млн. руб. | Себестоимость товарной продукции, млн. руб. |
| 3 | 150 | 151 | ||
| 1 | 157 | 107 | ||
| 1 | 150 – 240 | 14 | 168 | 169 |
| 25 | 170 | 141 | ||
| 22 | 183 | 131 | ||
| Итого по гр.1
|
5
|
828
|
699
|
|
| 20 | 246 | 227 | ||
| 10 | 262 | 211 | ||
| 2 | 273 | 182 | ||
| 2 | 240 – 330 | 24 | 283 | 188 |
| 19 | 285 | 152 | ||
| 4 | 301 | 307 | ||
| 23 | 301 | 237 | ||
| Итого по гр.2
|
7
|
1951
|
1504
|
|
| 11 | 331 | 330 | ||
| 3 | 330 – 420 | 9 | 332 | 354 |
| 12 | 397 | 328 | ||
| 15 | 413 | 261 | ||
| Итого по гр.3
|
4
|
1473
|
1273
|
|
| 13 | 424 | 390 | ||
| 4 | 420 – 510 | 17 | 430 | 403 |
| 21 | 445 | 298 | ||
| 16 | 448 | 364 | ||
| Итого по гр.4
|
4
|
1747
|
1455
|
|
| 6 | 520 | 347 | ||
| 5 | 539 | 321 | ||
| 5 | 510 – 600 | 18 | 572 | 406 |
| 7 | 584 | 396 | ||
| 8 | 600 | 390 | ||
| Итого по гр.5
|
5
|
2815
|
1860
|
|
| Итого
|
25
|
8814
|
6791
|
|
На основе разработочной группировочной таблицы составим итоговую аналитическую таблицу, рассчитав в каждой группе требуемые показатели:
| № группы | Группы предприятий по стоимости товарной продукции | Число предприятий в группе | Частость | Стоимость товарной продукции | Себестоимость товарной продукции | Затраты на 1 рубль товарной продукции | ||
| % к итогу | в среднем на 1 предприятие | % к итогу | в среднем на 1 предприятие | |||||
| 1 | 150 - 240 | 5 | 0,2 | 9,394 | 165,600 | 10,293 | 139,800 | 0,84420 |
| 2 | 240 - 330 | 7 | 0,28 | 22,135 | 278,714 | 22,147 | 214,857 | 0,77089 |
| 3 | 330 - 420 | 4 | 0,16 | 16,712 | 368,250 | 18,745 | 318,250 | 0,86422 |
| 4 | 420 - 510 | 4 | 0,16 | 19,821 | 436,750 | 21,425 | 363,750 | 0,83286 |
| 5 | 510 - 600 | 5 | 0,2 | 31,938 | 563,000 | 27,389 | 372,000 | 0,66075 |
| Итого | 25 | 1 | 100,000 | 352,560 | 100,000 | 271,640 | 0,77048 | |
Построим гистограмму частостей:
Задача 2.
На основании данных о средней стоимости товарной продукции, полученных в результате группировки при решении задачи №1, рассчитайте:
1) Среднюю стоимость товарной продукции.
2) Моду и медиану (аналитически и графически).
3) Дисперсию и среднеквадратическое отклонение.
4) Коэффициент вариации.
Сравните средние (среднюю стоимость товарной продукции, моду медиану, дисперсию и среднеквадратическое отклонение), рассчитанные по группированным данным и рассчитанные по массиву исходных данных по всем предприятиям.
Решение:
1) Среднюю стоимость товарной продукции по сгруппированным данным определим по формуле средней арифметической взвешенной:
млн. руб.
2) Мода и медиана в интервальном ряду определяются по формуле:
где Mo
- мода
x0
- нижняя граница модального интервала
i - величина модального интервала
f1
, f2
, f3
- частоты интервалов предшествующего модальному, модального, последующего за модальным.
где Me
- медиана
x0
- нижняя граница медианного интервала
i - величина модального интервала
SMe
- сумма частот до медианного интервала
fMe
- частота медианного интервала.
Рассчитаем моду и медиану:
млн. руб.
млн. руб.
Рассчитаем дисперсию:
=4268,029
Рассчитаем среднеквадратическое отклонение:
млн. руб.
Рассчитаем коэффициент вариации:
Рассчитаем показатели по несгруппированным данным с помощью стандартных функций Excel:
а) Среднее значение – функция СРЗНАЧ()
=352,56 млн. руб.
б) Моду – функция МОДА()
=301 млн. руб.
в) Медиану – функция МЕДИАНА()
=331 млн. руб.
г) Дисперсию – функция ДИСП()
=19876,34
д) Среднеквадратическое отклонение – функция СТАНДОТКЛОН()
=140,983 млн. руб.
Сравнивая значения показателей, видим, что значения средних совпадают, а значения остальных показателей, рассчитанных по сгруппированным данным, меньше соответствующих показателей, рассчитанных по несгруппированным данным.
Задача 3.
По результатам задачи №2 найдите доверительный интервал для средней стоимости товарной продукции при доверительной вероятности a=0,90.
При расчете средней ошибки выборки используйте данные о том, что объем генеральной совокупности равен 500 (это число предприятий, выпускающих аналогичную продукцию и которые могут быть обследованы).
Решение:
Определим среднюю ошибку для средней стоимости товарной продукции, которая в случае бесповторного отбора определяется по формуле:
Границы, в которые попадает генеральная средняя, задаются неравенствами:
,
где – квантиль распределения Стьюдента.
При доверительной вероятности a=0,90 и количестве степеней свободы k=n-1=25-1=24 по таблице критических точек распределения Стьюдента находим: t
(0,9;24)=1,711.
Тогда доверительный интервал будет:
352,56 – 1,711×27,483 £ a £ 352,56 + 1,711×27,483
305,54 £ a £ 399,58
Задача 4.
По данным задачи №1 рассчитайте необходимую численность бесповторной выборки, чтобы при доверительной вероятности 0,95 предельная ошибка выборки для средней стоимости товарной продукции не превысила 25 млн. руб. Объем генеральной совокупности указан в задаче 3.
Решение:
При доверительной вероятности a=0,95 и количестве степеней свободы k=n-1=25-1=24 по таблице критических точек распределения Стьюдента находим: t
(0,95;24)=2,064.
В случае бесповторной выборки необходимая численность выборки определяется по формуле:
Таким образом, при объеме выборке, большем 107 предприятий, с вероятностью 0,95 предельная ошибка выборки не превысит 25 млн. руб.
Задача 5.
По данным таблицы 2 рассчитайте среднегодовую величину активов банка за каждый год, а также среднюю величину активов за каждый квартал.
Таблица 2
| 01.01.06 | 01.04.06 | 01.07.06 | 01.10.06 | 01.01.07 | 01.04.07 | 01.07.07 | 01.10.07 | 01.01.08 |
| 440 | 448 | 483 | 507 | 527 | 558 | 574 | 585 | 631 |
Решение:
Приведенный в задании динамический ряд – моментный, поэтому средний уровень вычисляем по формуле средней хронологической:
Рассчитаем среднюю величину активов за каждый квартал по формуле средней арифметической простой. Результаты расчетов поместим в таблицу:
| Квартал | Средняя величина активов |
| I кв. 2006 | 444 |
| II кв. 2006 | 465,5 |
| III кв. 2006 | 495 |
| IV кв. 2006 | 517 |
| I кв. 2007 | 542,5 |
| II кв. 2007 | 566 |
| III кв. 2007 | 579,5 |
| IV кв. 2007 | 608 |
Задача 6.
По данным таблицы 2 рассчитайте показатели изменения ряда динамики по цепной и базисной системам:
1) Абсолютный прирост.
2) Темпы прироста.
3) Средний абсолютный прирост в каждом году (отдельно абсолютный прирост в среднем за квартал и в среднем за месяц).
4) Средние темпы прироста в каждом году (отдельно темпы прироста в среднем за квартал и в среднем за месяц).
Решение:
Для расчета будем использовать следующие формулы:
| Цепная система | Базисная система |
Dy (ц.с.)=yi
Тпр
|
Dy(б.с.)=yi
Тпр
|
Средний абсолютный прирост
Средний темп прироста
Рассчитаем требуемые показатели за 2006 год:
| Средняя величина активов | Абсолютный прирост | Темп прироста | ||
| цепной | базисный | цепной | базисный | |
| 440 | ||||
| 448 | 8 | 8 | 1,8182 | 1,8182 |
| 483 | 35 | 43 | 7,8125 | 9,7727 |
| 507 | 24 | 67 | 4,9689 | 15,2273 |
| 527 | 20 | 87 | 3,944
8 |
19,7727 |
Средний абсолютный прирост
Средний темп прироста за квартал:
Средний темп прироста за месяц:
Рассчитаем показатели за 2007 год:
| Средняя величина активов | Абсолютный прирост | Темп прироста | ||
| цепной | базисный | цепной | базисный | |
| 527 | ||||
| 558 | 31 | 31 | 5,8824 | 5,8824 |
| 574 | 16 | 47 | 2,8674 | 8,9184 |
| 585 | 11 | 58 | 1,9164 | 11,0057 |
| 631 | 46 | 104 | 7,8632 | 19,7343 |
Средний абсолютный прирост
Средний темп прироста за квартал:
Средний темп прироста за месяц:
Задача 7.
В таблице 3 приведены данные о продаже однородной продукции в магазинах города за два периода. Рассчитайте среднюю розничную цену товара в целом по городу за каждый период. Укажите, какие виды средних используются в каждом случае.
Таблица 3
| № магазина | I квартал 2006 года | II квартал 2006 года | ||
| Цена, тыс. руб. | Объем продаж, шт. | Цена, тыс. руб. | Объем продаж, тыс. руб. | |
| 1 | 114 | 33 | 127 | 5334 |
| 2 | 110 | 78 | 103 | 11124 |
| 3 | 126 | 100 | 107 | 7597 |
Решение:
В Iквартале 2006 года задана цена за единицу (качественные признак) и количество проданного товара (количественный признак), поэтому расчет среднего значения нужно выполнять по формуле средней арифметической взвешенной:
тыс. руб.
Во II квартале 2006 года задана цена за 1 кг (качественные признак) и общая стоимость продаж, но нет количественного признака, поэтому расчет ведется по формуле средней гармонической взвешенной
тыс. руб.
Задача 8.
По данным задачи 7 рассчитайте:
1) Индивидуальные индексы цен и физического объема продаж.
2) Общий индекс цен.
3) Общий индекс товарооборота в сопоставимых ценах.
4) Общий индекс товарооборота в действующих ценах.
Разложите на факторы изменение товарооборота за счет изменения и физического объема продаж.
Решение:
1) Индивидуальные индексы рассчитываются как отношение величин в отчетном и базисном периоде: , .
Рассчитаем индивидуальные индексы, предварительно определив физический объем продаж во IIквартале 2006 года:
| № магазина | I квартал 2006 года | II квартал 2006 года | Индивидуальные индексы |
||||
| Цена, тыс. руб. | Объем продаж, шт. | Цена, тыс. руб. | Объем продаж, тыс. руб. | Объем продаж, шт. | цен | физического объема | |
| 1 | 114 | 33 | 127 | 5334 | 42 | 1,11404 | 1,27273 |
| 2 | 110 | 78 | 103 | 11124 | 108 | 0,93636 | 1,38462 |
| 3 | 126 | 100 | 107 | 7597 | 71 | 0,84921 | 0,71000 |
2) Общий индекс цен равен
или 93,913%
3) Общий индекс товарооборота в сопоставимых ценах (индекс физического объема)
или 102,69%
4) Общий индекс товарооборота в действующих ценах
или 96,444%
Изменение товарооборота всего:
=24055-24942=-887 тыс. руб., в том числе
за счет изменения цен
=34055-25614=-1559 тыс. руб.
за счет изменения физического объема
=25614-24942=672 тыс. руб.
Задача 9.
По данным задачи 7 рассчитайте:
1) Индекс цен переменного состава (индекс средней цены).
2) Индекс цен постоянного состава.
3) Индекс структурных сдвигов.
Покажите взаимосвязь исчисленных индексов.
Решение:
1) индекс цен переменного состава рассчитываем по формуле
или 92,08%
2) Индекс цен постоянного состава равен
или 93,913%
3) Индекс структурных сдвигов в объеме продаж
или 98,047%
Покажем взаимосвязь индексов:
Задача 10.
С целью изучения тесноты связи между стоимостью товарной продукции в оптовых ценах и себестоимостью товарной продукции:
1) измерьте тесноту связи между этими показателями с помощью: а) линейного коэффициента корреляции; б) коэффициента ранговой корреляции Спирмена.
2) Рассчитайте доверительный интервал для коэффициента корреляции при доверительной вероятности 0,90.
3) Проверьте гипотезу о значимости коэффициента корреляции.
4) Оцените уравнение линейной парной регрессии .
5) Постройте диаграмму рассеяния и линию уравнения линейной регрессии.
6) Спрогнозируйте себестоимость товарной продукции, объем прибыли и рентабельность продаж, если планируемый объем товарной продукции в следующем году 500.
7) Рассчитайте доверительные интервалы для полученных прогнозов себестоимости товарной продукции, объема прибыли и рентабельности продаж при доверительной вероятности 0,99.
8) Представьте зависимость между себестоимостью и стоимостью товарной продукции с помощью: а) уравнения параболы: ; б) степенной функции ; в) логарифмической функции ; г) экспоненциальной функции ; д) уравнения гиперболы .
9) Рассчитайте значения коэффициента детерминации R
2
для каждого варианта аппроксимации.
10) Обоснуйте с помощью коэффициента детерминации R
2
, какое уравнение более точно описывает зависимость между изучаемыми показателями.
Решение:
1. Для расчета линейного коэффициента корреляции воспользуемся стандартной функцией ExcelКОРРЕЛ().
r
=0,87208
Для расчета коэффициента ранговой корреляции Спирмена составим вспомогательную расчетную таблицу:
| X | Y | Rx
|
Ry
|
d=Rx
-Ry |
d2
|
| 157 | 107 | 2 | 1 | 1 | 1 |
| 273 | 182 | 8 | 7 | 1 | 1 |
| 150 | 151 | 1 | 4 | -3 | 9 |
| 301 | 307 | 11,5 | 14 | -2,5 | 6,25 |
| 539 | 321 | 22 | 15 | 7 | 49 |
| 520 | 347 | 21 | 18 | 3 | 9 |
| 584 | 396 | 24 | 23 | 1 | 1 |
| 600 | 390 | 25 | 22 | 3 | 9 |
| 332 | 354 | 14 | 19 | -5 | 25 |
| 262 | 211 | 7 | 9 | -2 | 4 |
| 331 | 330 | 13 | 17 | -4 | 16 |
| 397 | 328 | 15 | 16 | -1 | 1 |
| 424 | 390 | 17 | 22 | -5 | 25 |
| 168 | 169 | 3 | 6 | -3 | 9 |
| 413 | 261 | 16 | 12 | 4 | 16 |
| 448 | 364 | 20 | 20 | 0 | 0 |
| 430 | 403 | 18 | 24 | -6 | 36 |
| 572 | 406 | 23 | 25 | -2 | 4 |
| 285 | 152 | 10 | 5 | 5 | 25 |
| 246 | 227 | 6 | 10 | -4 | 16 |
| 445 | 298 | 19 | 13 | 6 | 36 |
| 183 | 131 | 5 | 2 | 3 | 9 |
| 301 | 237 | 11,5 | 11 | 0,5 | 0,25 |
| 283 | 188 | 9 | 8 | 1 | 1 |
| 170 | 141 | 4 | 3 | 1 | 1 |
| Итого: | 309,5 |
Тогда коэффициент ранговой корреляции будет равен:
2. Рассчитаем доверительный интервал для коэффициента корреляции при доверительной вероятности 0,90.
Доверительный интервал определяем как:
,
где t
– квантиль распределения Стьюдента.
0,97694=, Þrmin
=0,75174
1,7065=, Þrmax
=0,93621
Таким образом, интервальная оценка для истинного значения коэффициента корреляции будет:
0,75174£r£0,93621
3. Проверим значимость коэффициента корреляции. Находим фактическое значение t
-статистики Стьюдента:
Критическое значение t
кр
(0,9;23)=1,7109
Т.к. , то гипотеза о равенстве нулю коэффициентов корреляции отвергается. Из этого следует, что связь между показателями значима и является тесной.
4. Найдем оценки коэффициентов уравнения регрессии. Для этого воспользуемся функцией Excel ЛИНЕЙН(). Получим следующие значения коэффициентов:
a0
=55,328, a1
=0,61355.
Таким образом, уравнение регрессии будет иметь вид:
5. Построим диаграмму рассеяния и отобразим на ней уравнение регрессии:
6. Выполним точечный прогноз себестоимости, если планируемый объем товарной продукции в следующем году 500.
млн. руб.
Тогда прибыль составит ПР=500-362,1=137,9 млн. руб., а рентабельность или 38,083%.
7. Найдем доверительный интервал для себестоимости, используя формулу:
, где
Значение ошибки регрессии находим с помощью функции СТОШYX():
s=49,583.
Сумму квадратов отклонений считаем с помощью функции КВАДРОТКЛ():
=477032,16
Тогда 14,504.
Находим доверительный интервал:
337,29386,92
8. Представим зависимость между себестоимостью и стоимостью товарной продукции с помощью:
а) уравнения параболы:
б) степенной функции
в) логарифмической функции
г) экспоненциальной функции
д) уравнения гиперболы
Для этого сделаем замену . Тогда уравнение примет вид: . Определим параметры уравнения регрессии с помощью надстройки Excel Сервис/Анализ данных/Регрессия.
Получим следующий отчет работы надстройки:
| ВЫВОД ИТОГОВ | ||||||||
| Регрессионная статистика
|
||||||||
| Множественный R | 0,865643 | |||||||
| R-квадрат | 0,749338 | |||||||
| Нормированный R-квадрат | 0,73844 | |||||||
| Стандартная ошибка | 50,72761 | |||||||
| Наблюдения | 25 | |||||||
| Дисперсионный анализ | ||||||||
| df
|
SS
|
MS
|
F
|
Значимость F
|
||||
| Регрессия | 1 | 176932,1 | 176932,1 | 68,75715 | 2,31E-08 | |||
| Остаток | 23 | 59185,67 | 2573,29 | |||||
| Итого | 24 | 236117,8 | ||||||
| Коэффициенты
|
Стандартная ошибка
|
t-статистика
|
P-Значение
|
Нижние 95%
|
Верхние 95%
|
Нижние 95,0%
|
Верхние 95,0%
|
|
| Y-пересечение | 459,7745 | 24,85374 | 18,49921 | 2,63E-15 | 408,3606 | 511,1883 | 408,3606 | 511,1883 |
| Переменная X 1 | -55589,1 | 6703,949 | -8,29199 | 2,31E-08 | -69457,3 | -41720,9 | -69457,3 | -41720,9 |
Получим следующее уравнение:
R
2
=0,74934
9) Коэффициенты детерминации R
2
для каждого варианта аппроксимации рассчитаны на графиках. Для этого нужно при добавлении тренда в параметрах указать «поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации».
Для гиперболической зависимости его величину можно взять из итоговой таблицы работы надстройки.
10) Обоснуйте с помощью коэффициента детерминации R
2
, какое уравнение более точно описывает зависимость между изучаемыми показателями.
Поскольку максимальное значение коэффициента детерминации, равное 0,8012, имеет степенной тренд, то это уравнение более точно описывает зависимость между изучаемыми показателями.
Список литературы:
1. Практикум по теории статистики: Учеб. пособие для экон. спец. вузов [Р.А. Шмойлова, А.Б. Гусынин, В.Г. Минашкин, Н.А. Садовникова]; Под ред. Р.А. Шмойловой. – М.: Финансы и статистика, 2004.
2. Теория статистики / Под ред. Шмойловой Р.А. - М., 2003.
3. Статистика: Учеб. пособие / [Л.П. Харченко, В.Г. Долженкова, В.Г. Ионин и др.]; НГАЭиУ. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: ИНФРА-М, 2006.