Обработка многократных измерений

Введение

Измерения — один из важнейших путей познания природы человеком. Они играют огромную роль в современном обществе. Наука и промышленность не могут существовать без измерений. Практически нет ни одной сферы деятельности человека, где бы интенсивно не использовались результаты измерений, испытаний и контроля.

Диапазон измерительных величин и их количество постоянно растут и поэтому возрастает и сложность измерений. Они перестают быть одноактным действием и превращаются в сложную процедуру подготовки и проведения измерительного эксперимента и обработки полученной информации.

Другой причиной важности измерений является их значимость. Основа любой формы управления, анализа, прогнозирования, контроля или регулирования — достоверная исходная информация, которая может быть получена лишь путем измерения требуемых физических величин, параметров и показателей. Только высокая и гарантированная точность результатов измерений обеспечивает правильность принимаемых решений.

Методической основой стандартизации являются математические методы, включая предпочтительные числа и ряды предпочтительных чисел, параметрические ряды, а также унификация деталей и узлов, агрегатирование, комплексная и опережающая стандартизация.

Предпочтительные числа и ряды предпочтительных чисел необходимы для выбора оптимального ряда параметров и типоразмеров готовых изделий. Набор установленных значений параметров составляет параметрический ряд, который строится по системе предпочтительных чисел.

1. Обработка результатов многократных измерений:

Систематическая погрешность (0,25)%

Доверительная вероятность 0,1%

Результаты измерений: 99,72; 100,71; 91,55; 96,02; 97,68; 93,04; 92,84; 93,14; 97,31; 94,7; 90,24; 92,15; 96,02; 100,13; 94,51; 94,6; 93,01; 97,47; 96,54; 94,96; 96,29; 99,63; 94,16.

Обработка многократных измерений

Предполагаем, что измерения равноточные, т.е. выполняются одним экспериментатором, в одинаковых условиях, одним прибором. Методика сводится к следующему: проводят n наблюдений (единичных измерений) и фиксируют n результатов измерений одного и того же значения физической величины.

1) Исключаем известные систематические погрешности результатов измерений и получаем исправленный результат ;

= ×(1- Σ/100),

где Σ=0,25 % - систематическая погрешность.

= ×(1-0.25/100)

= × 0.9975

= 99,74 × 0.9975; = 99,4707

=100,71 × 0.9975; =100,4582

=91,55 × 0.9975; =91,32113

=96,02 × 0.9975; =95,77995

=97,68 × 0.9975; =97,4358

=93,04 × 0.9975; =92,8074

=92,84 × 0.9975; =92,6079

=93,14 × 0.9975; =92,90715

=97,31 × 0.9975; =97,06673

=94,7 × 0.9975; =94,46325

=90,24 × 0.9975; =90,0144

=92,15 × 0.9975; =91,91963

=96,02 × 0.9975; =95,77995

=100,13 × 0.9975; =99,87968

=94,51 × 0.9975; =94,27373

=94,6 × 0.9975; =94,3635

=93,01 × 0.9975; =92,77748

=97,47 × 0.9975; =97,22633

=96,54 × 0.9975; =96,29865

=94,96 × 0.9975; =94,7226

=96, 29 × 0.9975; =96,04928

=99, 63 × 0.9975; =99,38093

=94, 16 × 0.9975; =93,9246

=2190,928

2) Находим среднее арифметическое значение исправленных результатов и принимают его за результат измерений

;

n=23

=×2190,928

=95,2577

3) Вычисляем оценку среднеквадратического отклонения результата измереий.

а) находим отклонения от среднего арифметического ;

= 95,2577-99,4707 =-4,213

=95,2577-100,4582 =-5,201

=95,2577-91,32113 =3,938

=95,2577-95,77995 =-0,522

=95,2577-97,4358 =-2,178

=95,2577-92,8074 =2,450

=95,2577-92,6079 =2,650

=95,2577-92,90715 =2,351

=95,2577-97,06673 =-1,809

=95,2577-94,46325 =0,795

=95,2577-90,0144 =5,243

95,2577-91,91963 =3,338

95,2577-95,77995 =-0,522

=95,2577-99,87968 =-4,622

95,2577-94,27373 =0,984

95,2577-94,3635 =0,894

=95,2577-92,77748 =2,481

=95,2577-97,22633 =-1,968

=95,2577-96,29865 =-1,040

95,2577-94,7226 =0,535

95,2577-96,04928 =-0,794

95,2577-99,38093 =-4,123

=95,2577-93,9246 =1,333

=0

б) проверили правильность вычислений, и они верны,

т.к. ;

в) вычисляем квадраты отклонений от среднего ;

=17,749

=27,05

=15,507

=0,272

=4,744

=6,003

=7,025

=5,527

=3,72

=0,632

=27,458

=11,142

=0,272

=21,363

=0,968

=0,799

=6,155

=3,873

=1,082

=0,286

=0,630

=16,999

=1,777

=181,033

г) определяем оценку среднеквадратического отклонения

;

=×181,033

0.21×181,033

=38,0169

д) находим значение относительной среднеквадратической случайной погрешности

;

==0,399

4) Вычисляем оценку среднеквадратического отклонения результата измерения

; n=23

= = = 7.9268

5) Вычисляем доверительные границы случайной погрешности результатов измерений:

а) задаются коэффициентом доверия (доверительной вероятности);

α=0.1%

б) по специальным таблицам определяют значение коэффициента Стьюдента (), соответствующее заданной доверительной вероятности и числу наблюдений;

где, n – число наблюдений;

α – доверительная вероятность

n=23

α=0.1%

t=1.319460

в) находим значение ;

t=1.319460

=7.9268

1.319460×7.9268

=10,4591

г) вычисляем доверительные границы и .

=95,2577

=10,4591

95,2577-10,4591=84.7986

95,2577+10,4591=105.7168

6) записываем результат измерений.

84.7986x ≤ 105.7168

2. Система предпочтительных чисел в стандартизации

Определить ряд по заданной последовательности чисел 1,6; 1,8; 2,0; 2,2; 2,4; 2,7

1. По определению знаменателя ряда находим его значение как отношение соседних чисел ряда (как среднее арифметическое):

=1.6; =1.8; =2.0;=2.2; =2.4; =2.7

- член прогрессии, принятый за начальный.

==1,13

==1,11

==1,1

==1,1

==1,13

=5.57

= ; n=5

==1.11

, что соответствует ряду E24

2. Вычисленное число близко расположено к = 1,10. Это соответствует ряду по ГОСТу: Е24.

=

Записать в развернутом виде ряд R10/2 (0,125...2000)

а). Записали ряд в развернутом виде: R10/2 (0,125; 0,2; 0,315; 0,5; 0,8; 1,25; 2,0; 3,15; 5,0; 8,0; 12,5; 20,0; 31,5; 50; 80; 125; 200; 315; 500; 800; 1250; 2000.)

б). Подсчитали число значений ряда.

- член прогрессии, принятый за начальный.

=0,125; =0,2; =0,315;= 0,5; =0,8; =1,25; =2,0; =3,15; =5,0; =8,0; =12,5; =20,0;= 31,5; =50;= 80; =125;

= 200; =315; =500; =800;= 1250; =2000.

число значений ряда n=22

в) Определили знаменатель ряда.

= =1,6

= =1,58

= =1,59

==1,6

==1,56

==1,6

==1,58

==1,59

==1,6

= =1,56

= =1,6

==1,58

==1,59

==1,6

==1,56

==1,6

==1,58

==1,59

==1,6

= =1,56

==1,6

,n=21

=

= =1.59

г) Вычислили номера предпочтительных чисел.

Порядковые номера чисел представляют собой основание ряда, умноженное на десятичный логарифм числа ряда.

R - число значений ПЧ в десятичном интервале (номер ряда).

=10; = -9

=10; = -7

=10 =-5

=10 =-3

=10 =-1

=10 =1

=10; =3

=10 =5

=10; =7

=10=9

=10 =11

=10;=13

=10;=15

=10 =17

=10 =19

=10; =21

=10; =23

=10=25

=10=27

=10 =29

=10; =31

=10; =33

Найти номер ПЧ можно еще одним способом:

где i0
- номер числа в нулевом интервале

k - целое положительное или отрицательное число, определяющее удаление рассматриваемого интервала в ту или другую сторону от нулевого;

R - число значений ПЧ в десятичном интервале (номер ряда).

По таблице ПЧ находим числа в нулевом интервале i0
и, тогда из формулы имеем:

РядR10

k=-1 ; =1-110; =-9

k=-1; =3-110;=-7

k=-1;=5-110;=-5

k=-1; =7-110;=-3

k=-1; =9-110;=-1

k=0; =1-010;=1

k=0; =3-010;=3

k=0; =5-010; ; 5

k=0; =7-010;=7

k=0; =9-010; =9

k=1; =1+110; 11

k=1; =3+110; =13

k=1; =5+110; 15

k=1; =7+110; =17

k=1; =9+110; =19

k=2; =1+210; 21

k=2; =3+210; =23

k=2; =5+210; =25

k=2; =7+210; =27

k=2; =9+210; =29

k=3; =1+310; 31

k=3; =3+310; =33

Записать в развернутом виде ряд Е12/3 (0,00027...0,015) Е6/2 (0,001...2,2)

а).Записали ряд в развернутом виде

Е12/3 (0,00027...0,001);

Е12/3(0,00027;0,00047;0,00082.)

Е6/2 (0,001...2,2)

Е6/2(0,001;0,0022;0,0047;0,010;0,022;0,047;0,1;0,22;0,47;1;2,2;)

б).Определили знаменатели рядов. Е12/3

=0.00027;=0,00047;=0,00082.

- член прогрессии, принятый за начальный.

= =1,7;

= = 1,7;

= = 1,8;

= 5,2; n=3

=

=5,2

1,73

Знаменатель ряда Е12/3 (0,00027...0,015)1,73

Е 6/2

=0,001;=0,0022;=0,0047;=0,01;=0,022;=0,047;=0,1

=0,22; =0,47;=1;=2,2.

- член прогрессии, принятый за начальный.

= = 2,2

= = 2,1

= = 2,1

= = 2,2

= = 2,1

= = 2,1

= = 2,2

= = 2,1

= = 2,1

= = 2,2

=21,40

=

= 21,40

Знаменатель ряда Е6/2 (0,001...2,2)

Заключение

Многократные измерения - измерения, при которых число измерений превышает число измеряемых величин в n/m раз, где n - число измерений каждой величины, m - число измеряемых величин. Обычно для многократных измерений принято n > или = 3. Многократные измерения проводят с целью уменьшения влияния случайных составляющих погрешностей измерения.

Применение рядов предпочтительных чисел представляет собой параметрическую стандартизацию, которая позволяет получить значительный эффект на всех стадиях жизненного цикла изделий ( проектирование, изготовление, эксплуатация и др.) Стандартами параметров охватывается большой диапазон характеристик изделий: материалы, заготовки, размерный режущий инструмент, оснастка, контрольные калибры, узлы по присоединительным размерам, выходные параметры электродвигателей и многое другое, что используется в той или иной отрасли промышленности.

Список

использованных источников

1. Шишкин И.Ф. Метрология, стандартизация и управление качеством – М.: Изд-во стандартов, 1990.

2. Ю. Димов. Метрология, стандартизация и сертификация: Учебник для вузов. 2-е изд. 2004 г432 стр.

3. Алексеев В.В., Авдеев Б.Я., Антонюк Е.М. Метрология, стандартизация и сертификация .1- е изд.: ООО Аргумент, Изд. "Академия/Academia", 2007 г. 384 стр.

4. В.В. Алексеева. Метрология, стандартизация и сертификация: Учебник для студентов высших учебных заведений.2-е изд., стер. Изд.: Академия ИЦ 2008г.379стр.

ПРИЛОЖЕНИЕ
Распределение Стьюдента (t-критерий

n/α	0.40	0.25	0.10	0.05	0.025	0.01	0.005	0.0005
1	0.324920	1.000000	3.077684	6.313752	12.70620	31.82052	63.65674	636.6192
2	0.288675	0.816497	1.885618	2.919986	4.30265	6.96456	9.92484	31.5991
3	0.276671	0.764892	1.637744	2.353363	3.18245	4.54070	5.84091	12.9240
4	0.270722	0.740697	1.533206	2.131847	2.77645	3.74695	4.60409	8.6103
5	0.267181	0.726687	1.475884	2.015048	2.57058	3.36493	4.03214	6.8688
6	0.264835	0.717558	1.439756	1.943180	2.44691	3.14267	3.70743	5.9588
7	0.263167	0.711142	1.414924	1.894579	2.36462	2.99795	3.49948	5.4079
8	0.261921	0.706387	1.396815	1.859548	2.30600	2.89646	3.35539	5.0413
9	0.260955	0.702722	1.383029	1.833113	2.26216	2.82144	3.24984	4.7809
10	0.260185	0.699812	1.372184	1.812461	2.22814	2.76377	3.16927	4.5869
11	0.259556	0.697445	1.363430	1.795885	2.20099	2.71808	3.10581	4.4370
12	0.259033	0.695483	1.356217	1.782288	2.17881	2.68100	3.05454	4.3178
13	0.258591	0.693829	1.350171	1.770933	2.16037	2.65031	3.01228	4.2208
14	0.258213	0.692417	1.345030	1.761310	2.14479	2.62449	2.97684	4.1405
15	0.257885	0.691197	1.340606	1.753050	2.13145	2.60248	2.94671	4.0728
16	0.257599	0.690132	1.336757	1.745884	2.11991	2.58349	2.92078	4.0150
17	0.257347	0.689195	1.333379	1.739607	2.10982	2.56693	2.89823	3.9651
18	0.257123	0.688364	1.330391	1.734064	2.10092	2.55238	2.87844	3.9216
19	0.256923	0.687621	1.327728	1.729133	2.09302	2.53948	2.86093	3.8834
20	0.256743	0.686954	1.325341	1.724718	2.08596	2.52798	2.84534	3.8495
21	0.256580	0.686352	1.323188	1.720743	2.07961	2.51765	2.83136	3.8193
22	0.256432	0.685805	1.321237	1.717144	2.07387	2.50832	2.81876	3.7921
23	0.256297	0.685306	1.319460	1.713872	2.06866	2.49987	2.80734	3.7676
24	0.256173	0.684850	1.317836	1.710882	2.06390	2.49216	2.79694	3.7454
25	0.256060	0.684430	1.316345	1.708141	2.05954	2.48511	2.78744	3.7251
26	0.255955	0.684043	1.314972	1.705618	2.05553	2.47863	2.77871	3.7066
27	0.255858	0.683685	1.313703	1.703288	2.05183	2.47266	2.77068	3.6896
28	0.255768	0.683353	1.312527	1.701131	2.04841	2.46714	2.76326	3.6739
29	0.255684	0.683044	1.311434	1.699127	2.04523	2.46202	2.75639	3.6594
30	0.255605	0.682756	1.310415	1.697261	2.04227	2.45726	2.75000	3.6460
inf	0.253347	0.674490	1.281552	1.644854	1.95996	2.32635	2.57583	3.2905

Согласно приведенной таблице:

1) n – число наблюдений;

2) α – доверительная вероятность.

Предпочтительные числа рядов R5, R10, R20, R40

№ числа	Предп. числа	№ числа	Предп. числа	№ числа	Предп. числа	№ числа	Предп. числа	№ числа	Предп. числа
0	1,00	-	-	-	-	-	-	-	-
1	1,06	9	1,70	17	2,65	25	4,25	33	6,70
2	1,12	10	1,80	18	2,80	26	4,50	34	7,10
3	1,18	11	1,90	19	3,00	27	4,75	35	7,50
4	1,25	12	2,00	20	3,15	28	5,00	36	8,00
5	1,32	13	2,12	21	3,35	29	5,30	37	8,50
6	1,40	14	2,24	22	3,55	30	5,60	38	9,00
7	1,50	15	2,36	23	3,75	31	6,00	39	9,50
8	1,60	16	2,50	24	4,00	32	6,30	40	10,00

Ряду R5 соответствует нижняя строка таблицы, ряду R10 – пятая и нижняя, ряду R20 – строки 3, 5, 7, 9 и ряду R40 – вся таблица.

Предпочтительные числа рядов Е3, Е6, Е12, Е24

1,0	-	-	-	-	-
1,1	1,6	2,4	3,6	5,1	7,5
1,2	1,8	2,7	3,9	5,6	8,2
1,3	2,0	3,0	4,3	6,2	9,1
1,5	2,2	3,3	4,7	6,8	10,0

Ряду Е3 соответствуют числа 2,2; 4,7; 10. Ряду E6 соответствует нижняя строка, ряду E12 – третья и пятая, а ряду E24 – вся таблица.

Знаменатели рядов предпочтительных чисел

Условные обозначения	Знаменатель ряда, q		Количество членов в десятичном интервале
	Точное значение	Округленное значение
R5		1,60	5
R10		1,25	10
R20		1,12	20
R40		1,06	40
R80		1,03	80
R160		1,015	160
E3		2,20	3
E6		1,50	6
E12		1,20	12
E24		1,10	24
E48		1,05	48
E96		1,025	96
E192		1,012	192