Изучение функций в курсе математики
VII
-
VIII
классов
Курсовая работа по теории и методике обучения математике на тему
Выполнила студентка группы Мз-401 Барейчева Л.В.
Федеральное агентство по образованию
Тольяттинский государственный университет
Кафедра алгебры и геометрии
Tольятти 2005 г.
Введение
Данная курсовая работа посвящена изучению функций в курсе математики VII-VIII классов. В ней даётся исторический экскурс определения понятия функции, рассматриваются различные подходы к введению понятия функции в школе. Отдельно рассматриваются общие вопросы методики введения понятий: независимой и зависимой переменной, функциональной зависимости, аргумента, функции, области определения функции. Приводятся примеры.
Основная часть курсовой работы направлена на рассмотрение вопросов методики изучения в VII-VIII классах школьного курса математики функций, образующих классы, которые обладают общностью аналитического способа задания функций, сходными особенностями графиков, областей применения. Освоение индивидуально заданной функции происходит в сопоставлении черт, специфических для неё, с общим представлением о функции. Особое внимание уделено методике изучения линейной, квадратичной и кубической функций и их графиков, а также рассматриваются понятия обратной функции и функции вида y=√¯x.
Определение функции
Начиная с XVII в. одним из важнейших понятий является понятие функции. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.
Идея функциональной зависимости восходит к древности, она содержится уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами, в первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур.
Те вавилонские ученые, которые 4-5 тысяч лет назад нашли для площади S круга радиусом r формулу S=3r2
(грубо приближенную), тем самым установили, пусть и не сознательно, что площадь круга является функцией от его радиуса. Таблицы квадратов и кубов чисел, также применявшиеся вавилонянами, представляют собой задания функции.
Однако явное и вполне сознательное применение понятия функции и систематическое изучение функциональной зависимости берут свое начало в XVII в. в связи с проникновением в математику идеи переменных. В “Геометрии” Декарта и в работах Ферма, Ньютона и Лейбница понятие функции носило по существу интуитивный характер и было связано либо с геометрическими, либо с механическими представлениями: ординаты точек кривых - функции от абсцисс (х); путь и скорость - функции от времени (t) и тому подобное.
Четкого представления понятия функции в XVII в. еще не было, путь к первому такому определению проложил Декарт, который систематически рассматривал в своей “Геометрии” лишь те кривые, которые можно точно представить с помощью уравнений, притом преимущественно алгебраических. Постепенно понятие функции стало отождествляться таким образом с понятием аналитического выражения - формулы.
Слово “функция” (от латинского functio - совершение, выполнение) Лейбниц употреблял с 1673 г. в смысле роли (величина, выполняющая ту или иную функцию). Как термин в нашем смысле выражение “функция от х” стало употребляться Лейбницем и И. Бернулли; начиная с 1698 г. Лейбниц ввел также термины “переменная” и “константа” (постоянная). Для обозначения произвольной функции от х Иоганн Бернулли применял знак j х, называя j характеристикой функции, а также буквы х или e; Лейбниц употреблял х1
, х2
вместо современных f1(x), f2(x). Эйлер обозначал через f : х, f : (x + y) то, что мы ныне обозначаем через f (x), f (x + y). Наряду с j Эйлер предлагает пользоваться и буквами F, Y и прочими. Даламбер делает шаг вперед на пути к современным обозначениям, отбрасывая эйлерово двоеточие; он пишет, например, j t, j (t + s).
Явное определение функции было впервые дано в 1718 г. одним из учеников и сотрудников Лейбница, выдающимся швейцарским математиком Иоганном Бернулли: “Функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных”.
Леонард Эйлер во “Введении в анализ бесконечных” (1748) примыкает к определению своего учителя И. Бернулли, несколько уточняя его. Определение Л. Эйлера гласит: “Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств”. Так понимали функцию на протяжении почти всего XVIII в. Даламбер, Лагранж и другие видные математики. Что касается Эйлера, то он не всегда придерживался этого определения; в его работах понятие функции подвергалось дальнейшему развитию в соответствии с запросами математической науки. В некоторых своих произведениях Л. Эйлер придает более широкий смысл функции, понимая ее как кривую, начертанную “свободным влечением руки”. В связи с таким взглядом Л. Эйлера на функцию между ним и его современниками, в первую очередь его постоянным соперником, крупным французским математиком Даламбером, возникла большая полемика вокруг вопроса о возможности аналитического выражения произвольной кривой и о том, какое из двух понятий (кривая или формула) следует считать более широким. Так возник знаменитый спор, связанный с исследованием колебаний струны.
В “Дифференциальном исчислении”, вышедшем в свет в 1755 г, Л. Эйлер дает общее определение функции: “Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых”. “Это наименование, - продолжает далее Эйлер, - имеет чрезвычайно широкий характер; оно охватывает все способы, какими одно количество определяется с помощью других”. На основе этого определения Эйлера французский математик С. Ф. Лакруа в своем “Трактате по дифференциальному и интегральному исчислению”, опубликованном в 1797 г., смог записать следующее: “Всякое количество, значение которого зависит от одного или многих других количеств, называется функцией этих последних независимо от того, известно или нет, какие операции нужно применить, чтобы перейти от них к первому”.
Как видно из этих определений, само понятие функции фактически отождествлялось с аналитическим выражением. Новые шаги в развитии естествознания и математики в XIX в. вызвали и дальнейшее обобщение понятия функции.
Большой вклад в решение спора Эйлера, Даламбера, Д. Бернулли и других ученых XVIII в. по поводу того, что следует понимать под функцией, внес французский математик Жан Батист Жозеф Фурье (1768-1830), занимавшийся в основном математической физикой. В представленных им в Парижскую Академию наук в 1807 и 1811 гг., работах по теории распространения тепла в твердом теле Фурье привел и первые примеры функций, которые заданы на различных участках различными аналитическими выражениями.
Из трудов Фурье явствовало, что любая кривая независимо от того, из скольких и каких разнородных частей она составлена, может быть представлена в виде единого аналитического выражения и что имеются также прерывные кривые, изображаемые аналитическим выражением. В своем “Курсе алгебраического анализа”, опубликованном в 1821 г., французский математик О. Коши обосновал выводы Фурье. Таким образом, на известном этапе развития физики и математики стало ясно, что приходится пользоваться и такими функциями, для определения которых очень сложно или даже невозможно ограничиться одним лишь аналитическим аппаратом. Последний стал тормозить требуемое математикой и естествознанием расширение понятия функции.
В 1834 г. в работе “Об исчезании тригонометрических строк” Н. И. Лобачевский, развивая вышеупомянутое эйлеровское определение функции в 1755 г., писал: “Общее понятие требует, чтобы функцией от х называть число, которое дается для каждого х и вместе с х постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, которое подает средство испытывать все числа и выбирать одно из них; или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной... Обширный взгляд теории допускает существование зависимости только в том смысле, чтобы числа, одни с другими в связи, принимать как бы данными вместе”.
Еще до Лобачевского аналогичная точка зрения на понятие функции была высказана чешским математиком Б. Больцано. В 1837 г. немецкий математик П. Лежен-Дирихле так сформулировал общее определение понятия функции: “у есть функция переменной х (на отрезке a £ х £ b), если каждому значению х (на этом отрезке) соответствует совершенно определенное значение у, причем безразлично, каким образом установлено это соответствие - аналитической формулой, графиком, таблицей либо даже просто словами”.
Таким образом, примерно в середине XIX в. после длительной борьбы мнений понятие функции освободилось от уз аналитического выражения, от единовластия математической формулы. Главный упор в новом общем определении понятия функции делается на идею соответствия.
Во второй половине XIX в. после создания теории множеств в понятие функции, помимо идеи соответствия, была включена и идея множества. Таким образом, в полном своем объеме общее определение понятия функции формулируется следующим образом: если каждому элементу х множества А поставлен в соответствие некоторый определенный элемент у множества В, то говорят, что на множестве А задана функция у = f (х), или что множество А отображено на множество В. В первом случае элементы х множества А называют значениями аргумента, а элементы у множества В - значениями функции; во втором случае х - прообразы, у - образы. В современном смысле рассматривают функции, определенные для множества значений х, которые, возможно, и не заполняют отрезка a £ x £ b, о котором говорится в определении Дирихле. Достаточно указать, например, на функцию-факториал y = n !, заданную на множестве натуральных чисел. Общее понятие функции применимо, конечно, не только к величинам и числам, но и к другим математическим объектам, например к геометрическим фигурам. При любом геометрическом преобразовании (отображении) мы имеем дело с функцией.
Общее определение функций по Дирихле сформировалось после длившихся целый век дискуссий в результате значительных открытий в физике и математике в XVIII и первой половине XIX в. Дальнейшее развитие математической науки в XIX в. основывалось на этом определении, ставшим классическим. Но уже с самого начала XX в. это определение стало вызывать некоторые сомнения среди части математиков. Еще важнее была критика физиков, натолкнувшихся на явления, потребовавшие более широкого взгляда на функцию. Необходимость дальнейшего расширения понятия функции стала особенно острой после выхода в свет в 1930 г. книги “Основы квантовой механики” Поля Дирака, крупнейшего английского физика, одного из основателя квантовой механики. Дирак ввел так называемую дельта-функцию, которая выходит далеко за рамки классического определения функции. В связи с этим советский математик Н. М. Гюнтер и другие ученые опубликовали в 30-40-х годах нашего столетия работы, в которых неизвестными являются не функции точки, а “функции области”, что лучше соответствует физической сущности явлений.
В общем виде понятие обобщенной функции было введено французом Лораном Шварцем. В 1936 г. 28-летний советский математик и механик Сергей Львович Соболев первым рассмотрел частный случай обобщенной функции, включающей и дельта-функцию, и применил созданную теорию к решению ряда задач математической физики. Важный вклад в развитие теории обобщенных функций внесли ученики и последователи Л. Шварца - И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов и другие.
Прослеживая исторический путь развития понятия функции невольно приходишь к мысли о том, что эволюция еще далеко не закончена и, вероятно, никогда не закончится, как никогда не закончится и эволюция математики в целом. Новые открытия и запросы естествознания и других наук приведут к новым расширениям понятия функции и других математических понятий. Математика - незавершенная наука, она развивалась на протяжении тысячелетий, развивается в нашу эпоху и будет развиваться в дальнейшем.
Различные подходы к определению понятия функции.
Обоснование функциональной линии как ведущей для школьного курса математики — одно из крупнейших достижений современной методики. Однако реализация этого положения может быть проведена многими различными путями; многообразие путей вызвано фундаментальностью самого понятия функции.
Для того чтобы составить представление об этом многообразии, сравним две наиболее резко различающиеся методические трактовки этого понятия; первую мы назовем генетической, а вторую — логической.
Генетическая трактовка понятия функции основана на разработке и методическом освоении основных черт, вошедших в понятие функции до середины XIX в. Наиболее существенными понятиями, которые при этой трактовке входят в систему функциональных представлений, служат переменная величина, функциональная зависимость переменных величин, формула (выражающая одну переменную через некоторую комбинацию других переменных), декартова система координат на плоскости.
Генетическое развертывание понятия функции обладает рядом достоинств. В нем подчеркивается «динамический» характер понятия функциональной зависимости, легко выявляется модельный аспект понятия функции относительно изучения явлений природы. Такая трактовка естественно увязывается с остальным содержанием курса алгебры, поскольку большинство функций, используемых в нем, выражаются аналитически или таблично.
Генетическая трактовка понятия функции содержит также черты, которые следует рассматривать как ограничительные. Одним из очень существенных ограничений является то, что переменная при таком подходе всегда неявно (или даже явно) предполагается пробегающей непрерывный ряд числовых значений. Поэтому в значительной степени понятие связывается только с числовыми функциями одного числового аргумента (определенными на числовых промежутках). В обучении приходится, используя и развивая функциональные представления, постоянно выходить за пределы его первоначального описания.
Логическая трактовка понятия функции исходит из положения о том, что строить обучение функциональным представлениям следует на основе методического анализа понятия функции в рамках понятия алгебраической системы. Функция при таком подходе выступает в виде отношения специального вида между двумя множествами, удовлетворяющего условию функциональности. Начальным этапом изучения понятия функции становится вывод его из понятия отношения.
Реализация логического подхода вызывает необходимость иллюстрировать понятие функции при помощи разнообразных средств; язык школьной математики при этом обогащается. Помимо формул и таблиц, здесь находят свое место задание функции стрелками, перечислением пар, использование не только числового, но и геометрического материала; геометрическое преобразование при таком подходе оказывается возможным рассматривать как функцию. Обобщенность возникающего понятия и вытекающие отсюда возможности установления разнообразных связей в обучении математике — основные достоинства такой трактовки.
Однако выработанное на этом пути общее понятие оказывается в дальнейшем связанным главным образом с числовыми функциями одного числового аргумента, т. е. с той областью, в которой оно гораздо проще формируется на генетической основе.
Таким образом, если генетический подход оказывается недостаточным для формирования функции как обобщенного понятия, то логический обнаруживает определенную избыточность. Отметим, что различия в трактовках функции проявляются с наибольшей резкостью при введении этого понятия. В дальнейшем изучении функциональной линии различия постепенно стираются, поскольку изучается в курсах алгебры и начал анализа не само понятие функции, а в основном конкретно заданные функции и классы функций, их разнообразные приложения в задачах естествознания и общественного производства.
В современном школьном курсе математики в итоге длительных методических поисков в качестве ведущего был принят генетический подход к понятию функции. Одновременно учитывается все ценное, что можно извлечь из логического подхода. Исходя из этого при формировании понятий и представлений, методов и приемов в составе функциональной линии система обучения строится так, чтобы внимание учащихся сосредоточивалось, во-первых, на выделенных и достаточно четко разграниченных представлениях, связанных с функцией, и, во-вторых, на установлении их взаимодействия при развертывании учебного материала. Иными словами, в обучении должна быть выделена система компонентов понятия функции и установлена связь между ними. В эту систему входят такие компоненты:
- представление о функциональной зависимости переменных
величин в реальных процессах и в математике;
- представление о функции как о соответствии;
- построение и использование графиков функций, исследование функций;
- вычисление значений функций, определенных различными
способами.
В процессе обучения алгебре все указанные компоненты присутствуют при любом подходе к понятию функции, но акцент может быть сделан на одном из них. Как только что мы отметили, функциональный компонент является основой введения и изучения понятия функции. На этой основе при организации работы над определением вводятся и другие компоненты, проявляющиеся в различных способах задания функциональной зависимости и ее графического представления.
Рассмотрим теперь взаимодействие компонентов на примере, относящемся к формированию прикладных умений и навыков.
Пример 1. С мороза в комнату внесли банку со льдом и стали наблюдать за изменением температуры вещества в банке: лед постепенно таял, когда он растаял весь, температура воды стала повышаться, пока не сравнялась с температурой в комнате. На рисунке изображен график зависимости температуры от времени.
Ответьте на вопросы: а) Какова исходная температура льда? б) За какое время температура льда повысилась до 0 °С? в) Какая температура в комнате? г) Укажите область, на которой определена функция, промежутки ее возрастания, промежуток, на котором она постоянна.
В этом примере необходимо использовать все компоненты, кроме последнего, вычислительного компонента. Процесс с самого начала представлен как функциональная зависимость. В вопросах требуется уточнить характер этой зависимости (вопрос г)), выяснить соответствующие значения функции и аргумента в определенные моменты процесса (вопросы а) и в)).
Понятие функции, в системе формирования которого должны присутствовать такие задания, сразу выступает в курсе математики как определённая математическая модель, что и является мотивировкой для его углублённого изучения.
Методика введения понятий: функции, аргумента, области определения.
Не смотря на чрезвычайно большой объем, широту и сложность понятия функции, его простейший вариант дается уже в средних классах школы. Это понятие в дальнейшем играет важную роль, являясь базовым понятием в изучении алгебры и начал анализа. Начиная с 7 класса средней школы идет постепенное изучение свойств функций и функциональных зависимостей. Рассматриваются различные классы функций: начиная с простейших линейных функций и их графиков, затем следуют квадратичные функции, функции обратной пропорциональности и дробно-линейные функции. В более старших классах вводятся тригонометрические функции, и, наконец, показательные и логарифмические функции. Все эти функции рассматриваются только как функции одной переменной, причем сами переменные не выходят за рамки множества вещественных чисел.
В настоящее время, на волне педагогического поиска, стало появляться множество экспериментальных учебников для использования в школе. Наряду с добротными, толково написанными учебниками, в школы стала попадать, под предлогом апробации, масса учебников с довольно вольной трактовкой учебного материала, в том числе и глав, касающихся изучения функций. Часто нарушается логический порядок следования изучаемых разделов, допускаются ошибки при построении графиков, материал необоснованно упрощается, примитивизируется или наоборот, чрезмерно перегружается терминами и символикой.
Введение понятия функции — длительный процесс, завершающийся формированием представлений о всех компонентах этого понятия в их взаимной связи и о роли, играемой им в математике и в ее приложениях. Этот процесс ведется по трем основным направлениям:
- упорядочение имеющихся представлений о функции, развертывание системы понятий, характерных для функциональной линии (способы задания и общие свойства функций, графическое
истолкование области определения, области значений, возрастания и т. д. на основе метода координат);
- глубокое изучение отдельных функций и их классов;
- расширение области приложений алгебры за счет включения в нее идеи функции и разветвленной системы действий с функцией.
Первое из этих направлений проявляется в курсе школьной алгебры ранее остальных.
В реализации этого направления значительное место отводится усвоению важного представления, входящего в понятие функции,— однозначности соответствия аргумента и определенного по нему значения функции. Для рассмотрения этого вопроса привлекаются различные способы задания функции.
Чаще других в математике и ее приложениях применяется задание функции формулой. Все другие способы играют подчиненную роль. Именно поэтому после первого знакомства с несколькими такими способами основное внимание в обучении уделяется тем функциям и классам, которые имеют стандартную алгебраическую форму их выражения. Однако при введении понятия сопоставление разных способов задания функции выполняет важную роль. Во-первых, оно связано с практической потребностью: и таблицы, и графики, как правило, служат для удобного в определенных обстоятельствах представления функции, имеющей аналитическую форму записи. Во-вторых, оно важно для усвоения всего многообразия аспектов понятия функции. Формула выражает функцию лишь будучи включенной в соответствующую систему представлений и операций, а эта система такова, что различные компоненты понятия функции могут быть отображены наиболее естественно различными средствами.
Использование перевода задания функции из одной формы представления в другую — необходимый методический прием при введении понятия функции.
Реализация этого приема состоит в использовании системы заданий, в которых представлены все случаи такого перевода. Если ограничиться основными способами представления функции — формулой, графиком, таблицей, то получится 6 типов упражнений, при которых форма представления меняется, и 3 — при которых она остается такой же. Приведем примеры заданий первого типа — изменения формы представления:
а) Изобразить график функции у = 4х+1 на промежутке [0; 2].
б) Проверить, насколько точна таблица квадратов чисел, взяв несколько значений для аргумента и проведя расчет: x=1,35; 2,44; 9,4; 7; 6,25.
в) На рисунке изображены точки на координатной плоскости, выражающие результаты наблюдений за атмосферным давлением.
Построить график зависимости давления от времени в промежутке 12≤t≤18, соединив эти точки плавной линией.
Мы рассмотрим методику работы с этими заданиями только на этапе первоначального ознакомления с понятием функции, на других этапах она может быть совершенно иной. На рассмотренном этапе учащиеся еще не знают общего вида графика линейной функции (задание а)). Поэтому график функции у=4х+1 они могут построить только по точкам. Учитель может обратить внимание на то, что по точкам нельзя построить целиком график функции, если она определена на бесконечном множестве, но заметно, что эти точки лежат на прямой; оказывается, что это замечание верно. Таким образом, можно установить связи с дальнейшим изучением материала. Способ построения графика функции по точкам иллюстрируется заданием в); пользуясь конкретным содержанием задания, учитель может отметить, что предлагаемые учащимися графики могут отличаться от действительного положения, но что на практике этим приемом часто приходится пользоваться (интерполяция). В задании б) можно отметить связь функциональных представлений с числовой системой — с понятиями точного и приближенного числового значения. С их сопоставлением постоянно приходится сталкиваться при построении графиков, потому что наносить точки на график можно лишь с ограниченной точностью.
В настоящее время в изучении понятия функции в школе преобладающими являются два основных подхода: индуктивный и дедуктивный. Сложившись исторически, они наиболее полно отвечают целям и задачам образования, и поэтому именно им отдано предпочтение при изучении математики, в том числе функций, в средних классах школ.
Вот как, примерно, реализуется индуктивный подход к изучению понятия функции в 7 классе:
“На практике мы часто встречаемся с зависимостями между различными величинами. Например, площадь круга зависит от его радиуса, масса металлического бруска зависит от его объема и плотности металла, объем прямоугольного параллелепипеда зависит от его длины, ширины и высоты.
В дальнейшем мы будем изучать зависимость между двумя величинами.
Рассмотрим примеры.”
Далее следуют примеры призванные наглядно продемонстрировать только что изложенный материал.
Пример 2. Площадь квадрата зависит от длины его стороны. Пусть сторона квадрата равна a см, а его площадь равна S см2
.
Для каждого значения переменной a можно найти соответствующее значение переменной S.
Так,
если a = 3, то S = 32
= 9;
если a = 15, то S = 152
= 225;
если a = 0,4, то S = 0,42
= 0,16.
Зависимость переменной S от переменной a выражается формулой
S = a2
(по смыслу задачи a > 0).
Затем дается первое определение зависимой и независимой переменных:
“Переменную a, значения которой выбираются произвольно, называют независимой переменной, а переменную S, значения которой определяются выбранными значениями a, - зависимой переменной”.
П р и м е р 3. На рисунке изображен график температуры воздуха в течении суток.
С помощью этого графика для каждого момента времени t (в часах), где 0 £ t £ 24, можно найти соответствующую температуру p (в градусах Цельсия). Например,
если t = 6, то p = -2;
если t = 12, то p = 2;
если t = 17, то p = 3;
Здесь t является независимой переменной, а p - зависимой переменной.
Пример 4. Стоимость проезда в пригородном поезде зависит от номера зоны, к которой относится станция. Эта зависимость показана в таблице (буквой n обозначен номер зоны, а буквой m - соответствующая стоимость проезда в рублях):
По этой таблице для каждого значения n, где n = 1, 2, ..., 9, можно найти соответствующее значение m. Так,
если n = 2, то m = 1.5;
если n = 6, то m = 4
если n = 9, то m = 8.5;
В этом случае n является независимой переменной, а m - зависимой переменной.”
Обилие примеров, призванных проиллюстрировать понятие функции, объясняется тем фактом, что проводя аналогии между различными примерами, учащиеся интуитивно нащупывают суть этого понятия, строят догадку относительно функциональных зависимостей в быту и в природе, и получают ее подтверждение в последующих примерах. Второй не менее важной причиной является то, что каждый из этих примеров содержит функцию заданную одним из возможных способов. В первом примере она задана аналитически, во втором - графически, в третьем это таблица. Это не случайность, разбирая примеры вместе с учителем, дети сразу привыкают к различным способам задания функций. И когда преподаватель начнет рассказывать параграф о способах задания функций, ученикам будет гораздо легче осознать новый материал, потому что для них он не будет абсолютно новым - они уже сталкивались с этим ранее.
Далее дается само определение функции, вводятся термины аргумент и значение функции.
“В рассмотренных примерах каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной. Такую зависимость одной переменной от другой называют функциональной зависимостью или функцией.
Независимую переменную иначе называют аргументом, а о зависимой переменной говорят, что она является функцией от этого аргумента. Так, площадь квадрата является функцией от длины его стороны; путь, пройденный автомобилем с постоянной скоростью, является функцией от времени движения. Значения зависимой переменной называют значениями функции.
Все значения которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции.”
Так на практике реализуется индуктивный подход к изучению функций в школе. Альтернативой ему служит дедуктивный подход, который, хотя и применяется реже, имеет целый ряд положительных аспектов, которые и стали причиной его применения в школе. Для этого подхода характерно первоначальное, полное и сжатое изложение учебного материала, пусть даже малопонятного при первом прочтении, и дальнейшая углубленная проработка всех примеров, терминов и определений. Такой подход к изучению функций и не только их позволяет учащимся самостоятельно попытаться проследить логические связи в излагаемом материале, резко увеличивает интенсивность мыслительной деятельности, способствует более активному и глубокому запоминанию. Вот как выглядит изложение той же темы “Понятие функции” в соответствии с дедуктивным подходом:
1. Зависимости одной переменной от другой называют функциональными зависимостями.
2. Зависимость переменной у от переменной х называют функцией, если каждому значению х соответствует единственное значение у. При этом используют запись у = f (х).
3. Переменную х называют независимой переменной или аргументом, а переменную у - зависимой переменной. Говорят, что у является функцией от х.
4. Значение у, соответствующее заданному значению х, называют значением функции.
5. Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции; все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют множество значений функции.
6. Для функции f приняты обозначения: D ( f ) -область определения функции, E ( f ) - множество значений функции, f (х0) - значение функции в точке х0.
7. Если D ( f ) Ì R и E ( f ) Ì R, то функцию называют числовой.
8. Элементы множества D ( f ) также называют значениями аргумента, а соответствующие им элементы E ( f ) - значениями функции.
9. Если функция задана формулой и область определения функции не указана, то считают, что область определения состоит из всех значений независимой переменной, при которых эта формула имеет смысл.
10. Графиком функции называют множество всех точек, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты - соответствующим значениям функции.
Затем, на следующих уроках, происходит детальный разбор этого материала при активной работе учащихся. Тщательно рассматриваются все определения, прорешиваются примеры - идет усвоение нового материала.
Методика изучения прямой и обратной пропорциональной зависимости
Введение понятий прямой и обратной пропорциональной зависимости является важным шагом на пути к введению понятия функциональной зависимости и в дальнейшем к изучению линейной и обратной функций. Используя на практике индуктивный подход и знания о пропорции, полученные учениками, преподаватель на нескольких примерах может подвести учеников к пониманию понятий прямой и обратной пропорциональной зависимости.
Например:
«Члены пропорции обладают свойством, которое называют основным свойством пропорции. Во всякой пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов, то есть если a
/b
=c
/d
, то a · d = b · c . Это свойство применяется при нахождении неизвестного члена пропорции.
Пусть a
/x
= c
/d
, то x = a · d
/c
.
Посмотрите, как можно использовать знания математики в русском языке!
Именительный падеж - кто? что?
Родительный падеж - кого? чего?
Дательный падеж - кому? X ?
Недостающий вопрос дательного падежа - чему?
В окружающем нас мире большое множество пропорций или отношений. Они делятся на две большие группы:
прямо пропорциональные и обратно пропорциональные.
Прямо пропорциональные :
1. Длина пути, пройденная равномерно движущимся телом, и время, затраченное на этот путь.
2. Длина окружности и ее радиус.
3. Длина сторон прямоугольника и его периметр (площадь).
Обратно пропорциональные :
1. Радиус колеса и число совершаемых им оборотов на определенном отрезке пути.
2. Скорость движения и время в пути.
Пропорциональность - такая зависимость между величинами, при которой увеличение одной из них влечет за собой изменение во столько же раз другой величины.
Прямая и обратная пропорциональные зависимости выражаются формулами: y = a · x и y = a
/x
, (x отличен от нуля), где x и y - переменные величины, а - коэффициент пропорциональности, который и показывает, во сколько раз происходят изменения. а - действительное число отличное от нуля. Эти зависимости можно изобразить графически. »
В качестве закрепления понятий прямой и обратной пропорциональной зависимости преподаватель может дать несколько заданий:
1) Определить, является ли прямой пропорциональной, обратной пропорциональной или не является пропорциональной зависимость между величинами:
а) путем, пройденным автомашиной с постоянной скоростью, и временем ее движения;
б) скоростью движения и временем, если длина пути 120 км;
в) количеством машин и их грузоподъемностью;
г) стоимостью товара, купленной по одной цене, и его количеством;
д) объемом прямоугольного параллелепипеда и высотой, если площадь его основания 15 дм2
;
е) числом рабочих, выполняющих с одинаковой производительностью труда некоторую работу и временем выполнения работы;
ж) площадью квадрата и длиной его стороны;
з) ростом ребенка и его возрастом.
2) Задача на прямо пропорциональную зависимость:
Расстояние между городами А и В на карте равно 5,6 см, а на местности 420 км.
Какое расстояние между городами С и Д на местности, если на этой же карте расстояние между ними 3,6 см?
3) Задача на обратную пропорциональную зависимость:
28 рабочих могут выполнить строительные работы за 17 дней.
Сколько нужно рабочих, чтобы выполнит те же работы за 14 дней, если производительность труда останется неизменной?
Методика изучения линейной, квадратной и кубической функции в
VII
классе.
Большинство изучаемых в школьной математике функций образует классы, обладающие общностью аналитического способа задания функции из него, сходными особенностями графиков, областей применения. Освоение индивидуально заданной функции происходит в сопоставлении черт, специфических для неё, с общим представлением о функции непосредственно, без выделения промежуточных звеньев. Однако длительность периода независимого рассмотрения каждой функции незначительна; в курсе алгебры вслед за введением понятия о функции сразу рассматривается первый класс – линейные функции. Для функций, входящих в класс, изучение происходит по более сложной схеме, поскольку в нём выделяются новые аспекты: изучение данной функции как члена класса и изучение свойств всего класса на примере «типичной» функции этого класса.
Типичный и одновременно важнейший для математики класс функций — линейные функции, которые мы рассмотрим с точки зрения изучения характерных для этого класса свойств и представлений, формируемых в курсе алгебры.
Первоначальное представление о линейной функции выделяется из рассмотрения задачи, обычно связанной с равномерным прямолинейным движением, а также при построении графика некоторой линейной функции. Рассмотрим второй из этих источников. Основная мысль, которую мы попытаемся обосновать, состоит в том, что рассмотрение графика отдельно взятой линейной функции не может привести к формированию представлений об основных свойствах графиков всех линейных функций.
Для этого рассмотрим два наиболее широко распространенных в начале изучения темы приема построения графиков линейной функции.
Первый способ. Использование «загущения» точек на графике. Предполагается следующая последовательность действий по этому приему:
а) нанесение нескольких точек;
б) наблюдение — все построенные точки расположены на одной прямой; проведение этой прямой;
в) проверка: берем произвольное значение аргумента и вычисляем по нему значение функции; наносим точку на координатную плоскость — она принадлежит построенной прямой. Отсюда делается вывод о графике данной линейной функции.
Этот способ безусловно может привести к пониманию того, что график и любой линейной функции — прямая, т. е. к выделению некоторого общего свойства класса линейных функций. Однако последовательное проведение приема требует большого времени и не может быть проделано более нескольких раз. Поэтому общее свойство будет при этом формироваться на основе изолированных примеров.
Второй способ. По двум точкам. Этот способ уже предполагает знание соответствующего свойства графиков линейных функций. Выявления новых свойств здесь не происходит, поскольку внимание, как и при первом способе, сосредоточивается на конкретной функции из класса. Заметим, что в обучении происходит последовательная смена этих способов: когда общее свойство графиков усвоено (при рассмотрении первого способа), начинают применять второй — он экономнее и обоснован геометрически, поскольку через две точки проходит одна и только одна прямая.
Для того чтобы изучить класс линейных функций в совокупности его общих свойств, необходимо поставить новую для учащихся познавательную задачу: исследовать класс функций у=kх+b в зависимости от параметров, установить геометрический смысл параметров. Эта задача возникает сразу же вслед за введением понятия функции. Наиболее естественный прием, который может быть применен, состоит в рассмотрении одновременно нескольких функций, у которых один из параметров изменяется, а другой остается постоянным. Простейшая система, реализующая этот прием, состоит из четырех заданий с их последующим анализом и установлением связей между ними.
Пример 5. Постройте графики функций:
у=0,5x; y=0,5x+0,5; y=1,5x; у=1,5x+0,5.
Основная часть работы начинается после построения графиков. Их нужно сравнить, обращая внимание на особенности графиков в зависимости от числовых значений коэффициентов. Опишем, например, методику выяснения геометрического смысла коэффициентов при переменной.
Следует обратить внимание на то, что графики (а) и (б) образуют с осью абсцисс одинаковые углы, это же имеет место и для графиков (в) и (г). Кроме того, графики (а) и (б) образуют с осью абсцисс меньшие углы, чем (в) и (г). С другой стороны, коэффициенты при переменной в формуле для первой и второй функций одинаковы и меньше, чем соответствующие коэффициенты у третьей и четвертой функций. Можно после этого сформулировать вывод о зависимости рассмотренного угла от коэффициента, ввести термин «угловой коэффициент» и привести несколько закрепляющих упражнений.
Значительные трудности представляет случай отрицательных значений углового коэффициента; для него требуется отдельная работа, построенная аналогичным образом.
Приведём пример закрепляющего упражнения: на одном и том же чертеже изображены графики функций у =3x+2; у=3/4x+2.
Построить на этом же чертеже графики функций у = 3х—1;
у = 3/4х — 1; объяснить построение.
Если параметры, определяющие класс функций, имеют ясный геометрический смысл, то описанный прием изучения дает достаточно полное представление об этом классе. Однако в школьном курсе алгебры рассматриваются и такие классы, при изучении которых оказывается необходимым использовать и другие приемы.
Например, к изучению класса квадратичных функций привлекается прием, основанный на преобразовании выражения, задающего функцию, к виду а (х — b)2
+ с, использовании геометрических преобразований для построения графика произвольной квадратичной функции из параболы стандартного положения — графика функции у=ах2
, а≠0.
Остановимся на этом классе функций подробнее. Квадратичная функция вводится и изучается в тесной связи с квадратными уравнениями и неравенствами.
Первой из этого класса функций, в значительной степени еще вне изучения собственного класса, рассматривается функция у=х2
. Свойства этой функции во многом отличаются от рассмотренного ранее случая линейных функций. Прежде всего, эта функция немонотонна; только на этом этапе у учащихся появляется пример функции, отличной от линейных, которые монотонны на всей области определения. Чтобы подчеркнуть указанное отличие, полезно предложить учащимся следующее задание: функция задана формулой у=х2
на промежутке -2≤х≤3. Найти множество значений этой функции. Перенося свойство монотонности с класса линейных функций на функцию у=х2
, учащиеся часто делают ошибку, приводя ответ: промежуток 4≤x≤9. Эта ошибка для своего устранения требует рассмотрения графика функции у=х2
.
Другое отличие состоит в том, что характер изменения значений функции у=х2
неравномерный: на одних участках она растет быстрее, на других — медленнее. Эта особенность выявляется при построении графика, причем целесообразно рассмотреть два графика: один — в крупном масштабе на промежутке,. -1≤x≤1, другой—в мелком масштабе на промежутке, например, -3≤х≤3. Построение можно вести описанным выше методом загущения. Важно отметить свойство параболы - симметричность относительно оси абсцисс; в дальнейшем это свойство приведет к рассмотрению класса четных функций, причем именно функция у = х2
будет ведущим примером функции этого класса.
Наиболее существенное применение, эта функция имеет при рассмотрении понятия иррационального числа. Первый пример иррационального числа (-√2) может быть введен различными способами, но независимо от этого необходимо объяснить его связь с графическим методом решения уравнения х2
=2.
Изучение класса квадратичных функций начинается с изучения функций вида у=ах2
; при этом выясняется геометрический смысл коэффициента а. Далее вводится более широкий класс функций, имеющий вид у=ах2
+с. И здесь также коэффициент с получает ясную геометрическую интерпретацию, подойти к которой можно либо явно используя понятие параллельного переноса вдоль оси ординат, либо независимым рассуждением.
Пример 6. Задан график функции у=х2
. Построить на этом чертеже график функции у=х2
+1.
Заметим, что при заданном значении аргумента хо (рассматриваются, конечно, конкретные значения) значения функции у=х2
+1 на одно и то же число, равное 1, больше значений функции у=х2
. Поэтому для построения соответствующей точки на графике второй функции достаточно поднять на 1 точку графика первой функции с абсциссой Хо. Следовательно, чтобы построить весь график второй функции, нужно поднять на 1 график первой.
Это рассуждение хорошо усваивается учащимися, целесообразно применить его и при изучении класса линейных функций. В дальнейшем при обобщении свойств графиков его можно сформулировать так: «Чтобы построить график функции у=f(x)+с по известному графику функции у=f(х), можно произвести параллельный перенос второго графика на с единиц вдоль оси ординат».
После этой подготовки, казалось бы, можно приступить к изучению графиков произвольных квадратичных функций. Но здесь возникает трудность: коэффициент при первой степени неизвестного не имеет для квадратичной функции у=ах2
+bх+с достаточно простого геометрического смысла. Именно поэтому приходится идти обходным путем, следуя тем же преобразованиям, которые производились при выводе формулы решения квадратного уравнения, и вводить в рассмотрение новый подкласс квадратичных функций вида у=а(х-b)2
. Объяснения при построении графиков здесь в целом могут быть такими же, как при рассмотрении функций вида у=x2
+с, однако усваивается предлагаемый способ здесь с большим трудом, поэтому требуется достаточное количество упражнений для закрепления. После таких приготовлений построение графика, а также изучение его свойств происходят без принципиальных затруднений.
Отметим здесь один частный, но полезный прием, который состоит в использовании системы заданий, имеющих цель — дать представление о тех или иных чертах данной функции или целого класса без указания точного значения величин, связанных с рассматриваемым вопросом. Этот прием можно назвать качественным или оценочным исследованием функции. Приведем два примера, связанные с изучением квадратичных функций.
Пример 7. На рисунке изображены графики функций у=х2
и у= —0,5х2
. Как относительна них пройдет график функции y=0,5х2
; -2х2
; Зх2
? Это задание не предполагает «точного» построения искомого графика; достаточно лишь указание на область, где он расположен, или его эскизное построение.
Пример 8. На рисунке изображен график функции у=х2
+1, —2<х<2. Пользуясь этим чертежом, изобразить от руки график функции у=х2
+ 0,3. Проверить правильность сделанного эскиза: вычислить значения функции у = х2
при х=±0,5; ±1,5 и отметить точки графика. Каким преобразованием можно перевести график функции
у=х2
-1 в график функции у=х2
?
Цель задания — согласовать зрительный образ графика, его геометрические свойства и формулу. График функции у = x2
+ 0,3 симметричен относительно оси ординат, значит, рисунок не должен быть скошенным. Его симметричность подчеркивается симметричным расположением «пробных» значений аргумента. Положение точек на чертеже должно выправить распространенную неточность в изображении графиков квадратичных функций: нарисованные от руки ветви параболы, как правило, расположены гораздо шире, чем должны быть. Поэтому пробные точки (их ординаты вычисляются по условию, а не ищутся по чертежу) попадают в полосу между изображенными линиями. То, что графики сближаются по мере удаления от начала координат, требует пояснений, которые можно сделать при обсуждении.
К изучению класса кубических функций привлекается прием, аналогичный изучению квадратичных функций, основанный на использовании геометрических преобразований для построения графика произвольной кубической функции из кубической параболы стандартного положения — графика функции у=ах³, а≠0.
Как и в случае с квадратичной функцией у=х² видим , что характер изменения значений функции у=х³ неравномерный: на одних участках она растет быстрее, на других — медленнее. Эта особенность выявляется при построении графика, причем целесообразно рассмотреть два графика: один — в крупном масштабе на промежутке,. -1≤x≤1, другой—в мелком масштабе на промежутке, например, -2≤х≤2. Построение можно вести описанным выше методом загущения. Важно отметить свойство кубической параболы - симметричность её графика относительно начала координат.
Далее вводится более широкий класс функций, имеющий вид у=ах3
+с. И здесь также коэффициент с получает ясную геометрическую интерпретацию, подойти к которой можно либо явно используя понятие параллельного переноса вдоль оси ординат, либо независимым рассуждением.
Пример 9. Задан график функции у=х³. Построить на этом чертеже график функции у=х³-2.
Здесь также можно поступить по аналогии с рассмотренными примерами при рассмотрении квадратичной функции.
Далее необходимо подвести учащихся к основным свойствам функции y=x3
:
Область определения - вся числовая прямая;
y=x3
-нечетная функция;
Функция возрастает на всей числовой прямой.
Методика введения понятия обратной функции и функции вида
y
=√¯х в
VIII
классе
Понятие обратной функции не имеет аналогов, поэтому приходится вводить их посредством явного определения. Роль обратной функции велика. Использование обратной функции необходимо для введения большого количества классов основных элементарных функций: корня k-й степени, логарифмической , обратных тригонометрических функций. При изучении обратной функции выясняется зависимость ее монотонности от монотонности исходной функции – это необходимо для того, чтобы обосновать существование обратной функции и подробно рассматривать взаимное расположение графиков данной и обратной функций.
Преподаватель может подвести учащихся к понятию обратной функции, поставив новую для учащихся познавательную задачу. На основе усвоенного учениками важного представления, входящего в понятие функции,— однозначности соответствия аргумента и определенного по нему значения функции провести следующее рассуждение:
«Каждому допустимому значению переменной x равенство y=f(x) ставит в соответствие вполне определенное значение переменной величины y. Однако в некоторых случаях соотношение y=f(x) можно рассматривать и как такое равенство, которое каждому допустимому значению переменной величины y ставит в соответствие вполне определённое значение переменной величины x.» Далее следует пояснение данного сопоставления на примере.
Пример 10. Равенство y=2x-1 каждому значению y ставит в соответствии следующее значение x: x=(y+1)/2. например при у=1 х=1; при у=2 х=1,5; при у=3 х=2 и так далее. Поэтому можно сказать что равенство y=2x-1 определяет х как некоторую функцию переменной величины у. В явном виде эта функция записывается таким образом: : x=(y+1)/2.
«Если в каждом случае обозначить независимую переменную буквой х, а зависимую переменную буквой у, то получим формулы:
y=f(x), и х=φ(у) во второй формуле у выступает в качестве аргумента, а х – в роли функции. Переписав в привычном виде мы получим у=φ(х).
Определенная таким образом функция у=φ(х) называется обратной по отношению к функции y=f(x).
Если функция y=f(x) определена и возрастает (убывает) на промежутке Х и областью ее значений является промежуток Y, то у нее существует обратная функция, причем обратная функция определена и возрастает(убывает) на Y.
Таким образом, чтобы построить график функции, обратной к функции y=f(x), надо график функции y=f(x) подвергнуть преобразованию симметрии относительно прямой y=x.»
Методика введения понятия функции вида y=√¯х основана на на аналогичном примере:
Пример 11. Пусть длина стороны квадрата равна а см, а его площадь Scм². Каждому, значению стороны квадрата а соответствует единственное значение его площади S. Зависимость площади квадрата от его стороны выражается формулой S=a², где a>0. Наоборот, для каждого значения площади квадрата S можно указать соответствующее ему единственное значение стороны а. Зависимость стороны квадрата от eго площади выражается формулой a=√¯S Формулами S=a², где a>0, a=√¯Sзадаются функциональные зависимости между одними и теми же переменными, однако в первом случае независимой переменной является сторона квадрата a, а во втором — площадь S.
Если в каждом случае обозначить независимую переменную буквой х, а зависимую переменную буквой у, то получим формулы:
у=х² , где х>0, и у=√¯х.
Построим график известной учащимся функции у=х² и предложить им составить таблицу значений функции у=√¯х.
| Х | 0 | 0,5 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| У | 0 | 0,7 | 1 | 1,4 | 1,7 | 2 | 2,2 | 2,4 |
По точкам таблицы построить график функции у=√¯х и затем предложить сформулировать некоторые свойства функции.
Подвести учащихся к понятию симметричности графиков относительно
прямой у=х.
Для закрепления темы найти по графику значения аргумента по функции и наоборот.
Пример 12. Пользуясь графиком найдите:
а) значение √¯х при х=0,5; 5,5; 8,4;
б) значение х, которому соответствует √¯х =1,2; 1,7; 2,5.
Заключение
Рассмотренные выше подходы к изучению функций в школе не охватывают все многообразие способов и методов изучения этого понятия. Они лишь являются основными, наиболее разработанными подходами к вопросу об изучении функций в школе, ориентируясь на которые можно разрабатывать новые, специфические методы обучения, которые были бы лишены недостатков вышеперечисленных подходов и были бы следующим шагом в деле обучения математике в школе.
Список литературы
Лященко Е.И. Изучение функций в курсе математики восьмилетней школы. Минск, 1970 г.
Алгебра: учебник для 7 класса общеобразовательных учреждений. под ред. С.А. Теляковского – 5-е издание – М.Просвещение,1997.
Алгебра: учебник для 8 класса общеобразовательных учреждений. под ред. С.А. Теляковского – 2-е издание – М.Просвещение,1991.
Виленкин Н.Я. и др. Современные основы школьного курса математики. – М.Просвещение,1980.
Блох А.Я., Гусев В.А. и др. Методика преподавания математики в средней школе. – М.Просвещение,1987.
5. Крамор В. С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа, Москва, Просвещение, 1990 г.
6. Рыбников К.А. Возникновение и развитие математической науки, Москва, Просвещение, 1987 г.