Системы линейных уравнений

1. Критерий совместности

Система линейных уравнений имеет вид:

a11
x1
+ a12
x2
+ ... + a1n
xn
= b1

a21
x1
+ a22
x2
+ ... + a2n
xn
= b2
(5.1)

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

am1
x2
+ am2
x2
+... + amn
xn
= bm

Здесь аij
и bi
(i = ; j = ) - заданные, а xj
- неизвестные действительные числа. Используя понятие произведения матриц, можно переписать систему (5.1) в виде:

AX = B, (5.2)

где A = (аij
) - матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных системы (5.1), которая называется матрицей системы, X = (x1
, x2
,..., xn
)T
,

B = (b1
, b2
,..., bm
)T
- векторы-столбцы, составленные соответственно из неизвестных xj
и из свободных членов bi
.

Упорядоченная совокупность n вещественных чисел (c1
, c2
,..., cn
) называется решением системы (5.1), если в результате подстановки этих чисел вместо соответствующих переменных x1
, x2
,..., xn
каждое уравнение системы обратится в арифметическое тождество; другими словами, если существует вектор C= (c1
, c2
,..., cn
)T
такой, что AC ≡ B.

Система (5.1) называется совместной, или разрешимой, если она имеет по крайней мере одно решение. Система называется несовместной, или неразрешимой, если она не имеет решений.

Матрица

à = ,

образованная путем приписывания справа к матрице A столбца свободных членов, называется расширенной матрицей системы.

Вопрос о совместности системы (5.1) решается следующей теоремой.

Теорема Кронекера- Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранги матриц A и Ã совпадают, т.е.

r(A) = r(Ã) = r.

Для множества М решений системы (5.1) имеются три возможности:

1) M = Ø (в этом случае система несовместна);

2) M состоит из одного элемента, т.е. система имеет единственное решение (в этом случае система называется определенной);

3) M состоит более чем из одного элемента (тогда система называется неопределенной). В третьем случае система (5.1) имеет бесчисленное множество решений.

Система имеет единственное решение только в том случае, когда

r(A) = n. При этом число уравнений - не меньше числа неизвестных (m ≥ n); если m > n, то m-n уравнений являются следствиями остальных. Если 0 < r < n, то система является неопределенной.

Для решения произвольной системы линейных уравнений нужно уметь решать системы, в

которых число уравнений равно числу неизвестных, - так называемые системы крамеровского типа:

a11
x1
+ a12
x2
+ ... + a1n
xn
= b1

a21
x1
+ a22
x2
+ ... + a2n
xn
= b2
(5.3)

... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

an1
x2
+ an2
x2
+ ... + ann
xn
= bn

Системы (5.3) решаются одним из следующих способов: 1) методом Гаусса, или методом исключения неизвестных; 2) по формулам Крамера;3) матричным методом.

2. Метод Гаусса

Исторически первым, наиболее распространенным методом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных. Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной. При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя элементарные преобразования над ее строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразования матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности.

3. Формулы Крамера

Метод Крамера состоит в том, что мы последовательно находим главный определитель системы (5.3), т.е. определитель матрицы А

Δ = det (aij
)

и n вспомогательных определителей Δi
(i = ), которые получаются из определителя Δ заменой i-го столбца столбцом свободных членов.

Формулы Крамера имеют вид:

Δ · xi
= Δi
(i = ). (5.4)

Из (5.4) следует правило Крамера, которое дает исчерпывающий ответ на вопрос о совместности системы (5.3): если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:

xi
= Δi
/ Δ.

Если главный определитель системы Δ и все вспомогательные определители Δi
= 0 (i = ), то система имеет бесчисленное множество решений. Если главный определитель системы Δ = 0, а хотя бы один вспомогательный определитель отличен от нуля, то система несовместна.

4. Матричный метод

Если матрица А системы линейных уравнений невырожденная, т.е.

det A ≠ 0, то матрица А имеет обратную, и решение системы (5.3) совпадает с вектором C = A-1
B. Иначе говоря, данная система имеет единственное решение. Отыскание решения системы по формуле X = C, C = A-1
B называют матричным способом решения системы, или решением по методу обратной матрицы.