Числа, которые преобразили мир

Герман Смирнов

Если сравнить, что ученые разных веков говорили о связи между математикой и физикой, нетрудно обнаружить некую парадоксальную «обратную пропорциональность»: чем больше успехов в познании природы достигали исследователи с помощью математических методов, тем большее недоумение у них самих вызывали эти успехи.

В то время как Кеплер и Декарт, по сути дела, отождествляли природу с математикой, современные ученые ясно осознали, что связь между объективно существующим физическим процессом и абстрактной, «выдуманной людьми» математической закономерностью есть не более чем интуитивное, ничем не обоснованное предположение, которое почему-то дает достоверные предсказания. Известный американский физик, нобелевский лауреат Е. Вигнер прямо называет эффективность математики в естественных науках «непостижимой»...

Какой разительный контраст между непоколебимой уверенностью XVII века и почтительным сомнением XXI. Какое множество драматических событий должно было произойти прежде, чем стал возможен этот переход от уверенности к сомнению!

Необходимое историческое отступление

Если внимательно рассмотреть труды великих естествоиспытателей XVII века – Галилея, Гюйгенса, Паскаля, Ньютона, Якоба и Иоганна Бернулли и др., – нетрудно убедиться, что это не последовательное, систематическое развертывание следствий и выводов, с математической строгостью вытекающих из исходных аксиом и постулатов, а набор более или менее остроумно поставленных и изящно решенных механических задач. Причем авторы этих решений никогда не упускали из виду, что объект их исследований состоит из мельчайших материальных частиц – корпускул, молекул.

Представление о реальном теле как о конгломерате материальных частиц избавляло великих геометров XVII века от опасности впасть в односторонность. Они всегда помнили, что физику нельзя свести к геометрии, что физическая задача должна решаться синтетически – набором разнородных средств. Тут может быть и удачное наблюдение, и логическое рассуждение, и математический анализ, и применение какого-нибудь не очень строгого, но плодотворного и дающего хорошее объяснение принципа, и остроумный эксперимент. Благодаря такому уважению к реальности исследователи тех времен редко отходили далеко от действительности, и сочинения большинства из них сохранили достоверность и ценность вплоть до наших дней.

Если мы возьмем труды Ньютона, то не обнаружим в них той теоретической механики, которую мы все привыкли именовать ньютоновой. В своих великих «Математических началах натуральной философии» он пользовался синтетическо-геометрическим методом, и мы напрасно стали бы искать в этом трактате привычные нам с институтской скамьи «ньютоновы дифференциальные уравнения движения». Создав основы механики и методов математического анализа, великий геометр XVII века не слил их воедино: эта миссия выпала на долю Эйлера.

Эту линию развития довелось завершить П.Далласу и Ж.Лагранжу. Первый из них считал, что реальный мир может быть сведен хотя и к чрезвычайно сложному, но одному уравнению, которое охватит движение и самых больших тел, и мельчайших атомов. Существо, наделенное достаточно большой памятью, анализируя это уравнение, могло бы, по мнению Лапласа, «обозреть одним взглядом как будущее, так и прошлое». Что же касается Лагранжа, то в предисловии к своей знаменитой «Аналитической механике» он в 1788 году писал, что геометрия полностью изгнана со страниц его труда и что в нем нет ни одного чертежа, ни одного механического рассуждения. Единственное, чего требовал его метод, – это алгебраические операции, подчиненные планомерному и однообразному ходу.

Казалось бы, идея тождественности механики и математики торжествовала, но некоторые современники Эйлера и Лагранжа проницательно указывали на тайные дефекты в фундаменте их стройных теорий. Так, петербургский академик Даниил Бернулли ясно понимал, что для составления уравнений движения потребовалось «обезличить» материю и. превратить ее мельчайшую частицу – корпускулу – в математическую точку – носительницу трех координат, лишив ее всех физических свойств. Доказывая, что такая операция некорректна, что законы движения нельзя свести к законам чистой геометрии без какой-либо физической гипотезы, Бернулли скорбел по поводу тех ученых, которые предпочитают жонглировать математическими формулами и символами, не задумываясь о тех допущениях и принципах, с помощью которых математика привязывается, пристыковывается к физическим процессам.

История показала, что Бернулли был прав. «Обезличение» материи не прошло даром: к началу XIX века даже в пределах механики математически полученные результаты порой так сильно расходились с действительностью, что физики и инженеры стали равнодушно и даже враждебно относиться к математическим исследованиям. Положение усугублялось тем, что великие геометры XVII...XVIII веков, ставившие в центр своих исследований механические задачи и рассматривавшие математические методы как средство, а не как цель, не уделяли достаточного внимания строгому обоснованию начал самой математики, поэтому в начале XIX века часть сил была отвлечена на внутренние нужды, самой математической науки. Наконец в первой половине XIX века появились новые, не механические разделы физики – термодинамика и электромагнетизм, которые явно выпадали из рамок, очерченных уравнениями классической механики.

И вот в XIX веке все переменилось. Вместо величественного требования – выводить ход мировых явлений – немецкий физик Г.Кирхгоф выдвинул требование гораздо более скромное: задача математики – описывать физические явления наиболее полным и простым способом. Такой взгляд лишил то или иное математическое описание единственности и превратил эту науку в мастерскую, занятую изготовлением неких сеток, калек, которые при наложении на реальный физический процесс отображали более или менее полно его существенные черты. В результате один и тот же физический объект теперь мог быть представлен десятками одинаково правильных математических описаний, и выбор того или иного из них определялся не его правильностью, а удобством пользования.

При подобной множественности одинаково правильных интерпретаций одного и того же физического объекта или процесса никого уже не тревожило появление таких математических образов и миров, «следа которых нельзя найти между небом и Землей».

XIX век, доказав, что математика может быть шире известной в настоящий момент реальности, что не всем изобретенным ею образам и понятиям сразу должно находиться соответствие в действительности, сделал математиков терпеливее и выдержаннее.

«Все явления мира могут быть сведены к механическим представлениям, – утверждал в XVII веке французский философ и математик Р.Декарт. – А потому все вокруг нас совершается математическим путем!»

Если новая закономерность не нашла себе немедленного практического применения, это вовсе не значит, что она не заслуживает признания. История науки изобилует примерами, подтверждающими таинственный «закон», открытый французским математиком Эрмитом: «Все математически правильное рано или поздно выходит из своих узких пределов и приобретает более широкое значение». Действительно таинственный закон, не правда ли? Ведь, в сущности, он утверждает, что выдумка, составленная по некоторым правилам, рано или поздно обнаружится в окружающем нас мире!

Посмотрим, однако, так ли уж таинственен этот закон?

«Гвозди», которыми математика «приколочена» к физике

Среди многочисленных определений математики есть и такое, которое представляет ее как «цепочку тавтологий». Что это означает?

Согласно современным представлениям все содержательные утверждения можно разделить на две группы: те, которые констатируют факты, поддающиеся экспериментальной проверке, и те, которые не зависят от эксперимента и могут быть верны или неверны, как словесные утверждения. Так вот, утверждения второго рода называются «тавтологиями», и они-то как раз и составляют содержание математики. «Утверждение является тавтологическим, – писал австрийский математик Р.Мизес, – если оно независимо от любых экспериментов, потому что оно ничего не говорит о действительности вообще и представляет собой только переформулировку или пересказ произвольно установленных логических правил».

Таким образом, прав был Ч.Дарвин, когда утверждал: «Математика подобно жернову перемалывает лишь то, что под него засыплют». И чаще всего математическая «засыпка» представляет собой различные совокупности чисел, а содержание собственно математики – их перемалывание, то есть такие операции, которые меняют форму, не меняя существа. Если ясно понять это, эффективность математики в естественных науках перестанет быть загадкой: ведь обработка чисел не привносит в них ничего нового, и если они соответствуют физической реальности, то и все, полученное из них с помощью умозрительных операций, тоже соответствует действительности, Таким образом, все «секреты» и «тайны» сосредоточены там, где непрерывные, континуальные физические величины превращаются в ряды чисел. А это происходит не тогда, когда вычисляют, а тогда, когда измеряют, то есть «экспериментально с помощью меры сравнивают данную величину с другой, однородной с нею величиной, принятой за единицу измерения». Требование однородности играет здесь принципиальную роль, ибо только в пределах одного рода, одного качества возможно суммирование величин.

Нетрудно понять, что именно в единицах измерений и скрыта тайна необычайной эффективности математики в естественных науках, ибо эти единицы представляют собой, образно говоря, «гвозди», которыми математика «приколачивается» к физическим явлениям. И не случайно, что разработкой единиц измерений и их систем занимались самые выдающиеся и проницательные ученые мира.

Первым из них следует назвать великого немецкого математика, физика, астронома и топографа К.Гаусса. В 1832 году он опубликовал работу «Напряжение земной магнитной силы, приведенное к абсолютной мере», в которой показал, что, выбрав независимые друг от друга единицы измерений нескольких основных физических величин, можно с помощью физических законов установить единицы измерений всех физических величин, входящих в тот или иной раздел физики. Совокупность единиц, образованных таким путем, получила название «системы единиц», и первой из них стала предложенная Гауссом система СГС, в которой в качестве основных фигурировали единицы длины, массы и времени – сантиметр, грамм и секунда. Все же прочие легко выводились из них. Скажем, скорость – путь, пройденный за единицу времени, – должна измеряться в см/с; ускорение – изменение скорости в единицу времени – в см/с2
. Сила, определяемая по второму закону Ньютона как произведение массы на ускорение, – в см·г/с2
; работа – произведение силы на путь – в г·см2
/с2
; а мощность – работа в единицу времени – в г·см2
/с2
и т.д.

Ясно, что совокупность основных и всех мыслимых производных единиц системы СГС представляет собой не что иное, как сверхкраткий курс механики, закодированный в размерностях. Возникает естественный вопрос: может ли дать ценных для науки результатов их математический анализ?

В «перекрестиях» длины и времени

Сложность цивилизации, как в зеркале, отражается в сложности, используемых ею единиц измерения.

Потребности античного мира легко удовлетворялись считанными единицами – угла, длины, веса, времени, площади, объема, скорости. А в наши дни Международная система единиц измерений, помимо семи основных единиц (длина, масса, время, количество вещества, температура, сила тока и сила света), содержит две дополнительные (плоский и телесный угол) и около 200 производных, используемых в механике, термодинамике, электромагнетизме, акустике, оптике. Кроме Международной системы, используется на практике и ряд других систем; СГС – сантиметр, грамм массы, секунда; английская FPS – фут, фунт, секунда и т.д. Хотя с 1963 года Международная система является предметом законодательных актов во многих странах, среди ученых продолжаются споры о наиболее обоснованном выборе числа и вида основных единиц.

В самом деле, почему в свое время Гаусс принял в качестве основных именно три единицы, а, скажем, не пять или одну? Почему их число впоследствии пришлось увеличить до семи? Есть гарантии, что в будущем не придется расширять этот список дальше? Имеется ли строгое обоснование у всех существующих систем, или в основе их лежат не поддающиеся строгому определению соображения удобства пользования? Мысль о том, что для построения всей системы единиц измерений достаточно всего двух величин – длины и времени, – не нова; в 1873 году об этом говорил Дж. Максвелл, а с 1941 года ее пропагандировал и отстаивал английский ученый Б.Браун. В 1965 году опубликовал свою первую работу в этой области известный советский авиаконструктор Р. ди Бартини, который позднее получил ряд важных и интересных результатов совместно с кандидатом химических наук П.Кузнецовым.

Разработанная ими кинематическая система физических величин состоит из бесконечных вертикальных столбцов, представляющих собой ряд целочисленных степеней длины (на рисунке их количество ограничено интервалом от L–3
до L+6
) и бесконечных горизонтальных строк – целочисленных степеней времени (в нашем случае от Т–6
до Т+3
). Пересечение каждого столбца и каждой строки автоматически дает размерность той или иной физической величины.

Становым хребтом таблицы можно считать столбец L0
и строку Т0
, на перекрестии которых находится своеобразная опорная точка системы; совокупность всех безразмерных физических констант. (Примером последних может служить угол, выраженный в радианах.) Идя от этой точки по горизонтали вправо, мы получаем все чисто геометрические величины – длину, площадь, объем, перенос объема вдоль прямой, перенос объема на анизотропной площади и перенос объема в анизотропном пространстве. Перемещение же от нее влево дает распределение каких-либо безразмерных величин на единицу длины, площади и объема. (Простейшим примером величины L–1
· T0
может служить изменение угла поворота на единицу длины – кривизна.)

Сложнее понять смысл величин, находящихся в клетках столбца при перемещении по вертикали. Двигаясь вверх, мы получаем сначала частоту – изменение безразмерной величины за единицу времени. В простейшем случае это угловая скорость – изменение во времени угла поворота, выраженного в радианах. Затем следует изменение изменения безразмерной величины за единицу времени. В случае вращательного движения это представляет собой изменение угловой скорости, то есть угловое ускорение, и т.д.

Перемещение вниз от опорной точки дает «временную длину», то есть время, в течение которого происходит то или иное изменение безразмерной величины. В простейшем случае колебательного или вращательного движения это период. Считая время их, не зависящим от направления перемещения, мы можем ограничиться только «временной длиной», которая в совокупности с изотропным трехмерным пространством образует всем нам знакомое по учебникам четырехмерное пространство – время. Но могут существовать и более сложные случаи. Скажем, два скрепленных взаимно перпендикулярных маятника в зависимости от направления ускорения будут давать различные показания. Для учета этого обстоятельства требуется представление о «временной площади». Добавив третий маятник, перпендикулярный к первым двум, необходимо ввести представление о «временном объеме».

Уяснив себе суть изменений, происходящих при перемещении по горизонтали и вертикали, поняв, что смещение вверх на одну клетку эквивалентно изменению величины за единицу времени, а вправо – переносу величины на единицу длины, нетрудно заполнить все клетки кинематической системы. Скажем, в столбце L1
переход на этаж над единицей длины дает линейную скорость, то есть изменение длины во времени. Поднявшись выше, мы получаем изменение этой величины за единицу времени – то есть линейное ускорение. Еще выше расположено логически представимое, но не использующееся в физике понятие – изменение линейного ускорения за единицу времени, и т.д. Ниже клетки L1
T0
расположена встречающаяся в физике, но не имеющая специального названия величина – время, необходимое на изменение длины на единицу. Построив точно таким же образом все остальные столбцы, мы получим таблицу, в которой перемещение по диагонали вправо и вверх эквивалентно умножению исходной величины на линейную скорость.

Не правда ли, стройная и логическая система! Но в ней скрыты два подводных камня. Прежде всего: при выбранных нами пределах в целиком заполненной таблице насчитывается сто физических величин. По самому скромному подсчету, более половины из них пока не используется в науке. В то же время, как мы уже указывали, в научном обиходе сейчас применяется не менее 200 основных и производных единиц измерений, большей части которых мы не видим в нашей логично построенной системе.

В чем же дело? Почему возникает столь значительное количественное расхождение?

Причина в том, что одну и ту же размерность могут иметь различные физические величины. Скажем, в метрах измеряется и длина отрезка, и путь, пройденный точкой, и величина радиус-вектора, соединяющего движущуюся точку с полюсом. Поэтому каждая клетка таблицы определяет не одну, а целый набор разных физических величин, имеющих, однако, одинаковую размерность.

Второй подводный камень – отсутствие привязки таблицы к физической реальности, выражающееся в том, что в ней есть пока только «изменения», «скорости» и «ускорения», но нет таких фундаментальных величин, как масса, сила, энергия и др. Однако метод преодоления этой трудности был подсказан Дж. Максвеллом еще в 1873 году, когда он в своем трактате «Электричество и магнетизм» установил, что размерность массы – L3
· Т–2
. Основой для этого важнейшего выражения послужил третий закон И.Кеплера, чисто эмпирически установившего: отношение куба радиуса орбиты, по которой планета обращается вокруг Солнца, к квадрату периода ее обращения есть величина постоянная. Позднее Ньютон объяснил, что означает этот факт: формула доказывала существование некой величины, которую он назвал массой и которая сохраняется постоянной в планетных движениях...

От массы нетрудно перейти к размерности импульса – количества движения – путем умножения ее на скорость: для этого достаточно переместиться в клетку по диагонали вверх и вправо. Клетка вверх по вертикали дает изменение импульса во времени – силу, а клетка по горизонтали вправо – две величины, получающиеся умножением импульса на длину. Если произведение векторное, мы имеем векторную же величину – момент импульса. А если скалярное – то опять-таки скалярную, часто используемую в теоретической физике, – действие.

Умножив силу на путь, то есть, переместившись по горизонтали вправо, получаем одну и ту же размерность для скалярной величины – работы или энергии – и для векторной – момента силы. Поднявшись по вертикали вверх, что означает изменение энергии за единицу времени, получаем размерность мощности, и т.д.

Таблица законов природы

В таком «офизиченном» виде таблица стала более наглядной и позволила Р.ди Бартини и П.Кузнецову сделать важное предположение: не является ли она таблицей законов природы? Ведь, в сущности, открыть закон природы – значит установить экспериментально круг явлений, в которых сохраняется постоянной одна или несколько из находящихся в таблице величин. А поскольку все физические величины, в том числе и могущие оставаться в тех или иных процессах постоянными, находятся в ней, то можно утверждать, что в каждой ее клетке, образно говоря, гнездятся как известные, так и не открытые еще законы природы.

Скажем, в клетку L2
T–4
ложится закон Гука, который можно рассматривать как закон постоянства модуля упругости, имеющего именно эту размерность. А в клетку L1
T–2
– закон колебательного движения маятника, суть которого состоит в постоянстве ускорения силы тяжести, и т.д. Но наиболее важную роль в истории развития науки сыграли так называемые законы сохранения...

Один из них мы уже знаем – это установленный Кеплером в 1619 году закон постоянства массы в планетных движениях. Однако он не был первым в истории законом сохранения. Таковым стал знаменитый второй закон Кеплере, датированный 1609 годом: секториальная скорость – площадь, ометаемая в единицу времени радиус-вектором планеты, движущейся по орбите, есть величина постоянная.

Третий в истории закон сохранения – закон сохранения импульса – открыл в 1686 году И.Ньютон, и после этого наступил более чем столетний перерыв. Лишь на переломе веков – в 1800 году – П.Лаплас оповестил о четвертом законе – законе сохранения момента импульса. Спустя 42 года Р.Майер открытием великого закона сохранения энергии продолжил ряд, а Дж. Максвелл в 1855 году завершил его, доказав закон сохранения мощности, необходимой для существования постоянного поля.

Нетрудно убедиться, что таблица Р. ди Бартини и П.Кузнецова позволяет упорядочено расположить эти шесть законов. Они идут от безразмерных констант по диагонали вправо и вверх, характеризуя тенденцию к включению в физическую картину мира все более сложных понятий. Причем новые, более сложные величины включают прежние законы сохранения на правах частных случаев, открывая такие классы явлений, в которых они утрачивают свою силу.

XX век распространил сферу применения физических величин на процессы экономической жизни, в которой потребовались надежные критерии оценки работы промышленных предприятий и транспорта. И оказалось, что здесь тоже действуют законы сохранения. Первый из них был сформулирован Р. ди Бартини и П.Кузнецовым к 1973 году, как закон сохранения мобильности – так они назвали скорость переноса мощности L6
· T–6
. Чтобы понять смысл этой величины, рассмотрим работу экскаватора. Приведение в действие его ковша и поворот стрелы характеризуются некоторой – иногда весьма значительной – мощностью. Но, пока он не у дел, о ней нет и речи, здесь требуется другая мощность – на транспортировку автомобильной или железнодорожной платформы, доставляющей экскаватор к месту работы. Это обстоятельство и учитывается мобильностью – критерием с размерностью L6
· Т–6
.

Мобильность наличного парка экскаваторов есть величина постоянная, поэтому при планировании земляных работ сроки должны назначаться так, чтобы она не оказалась превышенной. В противном случае руководитель может оказаться в положении короля из сказки Сент-Экзюпери. «Если я прикажу моему генералу обернуться чайкой, и он не выполнит этого приказания, то кто будет в этом виноват: я или он?» – допытывался король у Маленького Принца. И получал на это совершенно справедливый ответ: «Вы, ваше величество!»

Таблица позволила открыть еще один закон сохранения. Известно, как важно найти объективный критерий для оценки эффективности работы транспорта. Сейчас для этого используют произведение веса перевозимых грузов на длину пути – так называемые тонно-километры L4
· Т–2
. Из этой величины логично выводится размерность часовой производительности транспорта – L4
· Т–3
– произведение веса на скорость. Нетрудно видеть: в этом критерии неявно предполагается, что если вес поезда увеличить в 2 раза, то скорость его при той же мощности должна уменьшиться во столько же раз. В действительности этого не происходит, а скорость уменьшается всего в 21/3
, то есть в 1,26 раза.

Причина такого сильного расхождения – некорректность выбора критерия для оценки транспортных услуг, и таблица позволяет предложить для этой цели иную величину. Работа транспортного средства пропорциональна произведению мощности на время – кубу скорости и массе. Поэтому легко убедиться, что критерием оценки работы транспорта должна быть величина

L3
· T–2
· L3
· Т–3
· Т ≈ L6
· Т–4
.

В 1980 году П.Кузнецов и Р.Образцова предложили использовать в экономических расчетах эту величину, которой они дали название «тран».

Что же нового дает применение трана по сравнению с тонно-километрами?

Из размерности трана можно усмотреть, что он учитывает массу груза, длину пути и квадрат скорости, в то время как в тонно-километры скорость вообще не входит. Поэтому оплата труда, скажем, в железнодорожном транспорте при оценке с помощью тонно-километров совершенно не учитывает скорости доставки грузов и пассажиров, то есть не поощряет строгого соблюдения расписания. Применяя траны, мы приходим к такой системе стимулирования, которая требует точного выполнения графика движения поездов...

До сих пор все наши рассуждения ограничивались кругом понятий, выводимых из поведения движущихся точек, наделенных массами. Введение в рассмотрение представлений о гравитационном поле, о динамике твердых, жидких и газообразных тел требует включения в таблицу новых механических величин, не имеющих применения в динамике точки. Учтя некоторые более сложные и тонкие детали, можно включить в таблицу электромагнитные, тепловые и световые величины.

Вот почему расширение поля физических представлений ведет как к заполнению пустующих клеток таблицы, так и к «разбуханию» уже заполненных. В последнем случае мы сталкиваемся со своеобразными, попадающими в одну и ту же клетку таблицы величинами.

Выработка новых физических понятий на основе теории размерностей, а также осознание глубинных связей между «размерными изотопами» еще далеко не завершены, и не исключено, что до окончания нашего столетия наука будет обогащена открытием новых, пока еще не обнаруженных в природе законов сохранения.