Шпаргалка по математике

Формулы сокр. умножения и разложения на множители :

(a±b)²=a²±2ab+b²

(a±b)³=a³±3a²b+3ab²±b³

a²-b²=(a+b)(a-b)

a³±b³=(a±b)(a²∓ab+b²),

(a+b)³=a³+b³+3ab(a+b)

(a-b)³=a³-b³-3ab(a-b)

xn
-an
=(x-a)(xn-1
+axn-2
+a²xn-3
+...+an-1
)

ax²+bx+c=a(x-x1
)(x-x2
)

где x1
и x2
— корни уравнения

ax²+bx+c=0

Степени и корни :

ap
·ag
= ap+g

ap
:ag
=a p-g

(ap
)g
=a pg

ap
/bp
= (a/b)p

ap
×bp
= abp

a0
=1; a1
=a

a-p
= 1/a

p
Öa =b => bp
=a

p
Öap
Öb = p
Öab

Öa ; a = 0

____

/ __ _

p
Ög
Öa = pg
Öa

___ __

pk
Öagk
= p
Öag

p
____

/ a p
Öa

/ ¾¾ = ¾¾¾¾

Ö b p
Öb

a 1/p
= p
Öa

p
Öag
= ag/p

Квадратное уравнение

ax²+bx+c=0; (a¹0)

x1,2
= (-b±ÖD)/2a; D=b² -4ac

D>0® x1
¹x2
;D=0® x1
=x2

D<0, корней нет.

Теорема Виета:

x1
+x2
= -b/a

x1
× x2
= c/a

Приведенное кв. Уравнение:

x² + px+q =0

x1
+x2
= -p

x1
×x2
= q

Если p=2k (p-четн.)

и x²+2kx+q=0, то x1,2
= -k±Ö(k²-q)

Нахождение длинны отр-ка

по его координатам

Ö((x2
-x1
)²-(y2
-y1
)²)

Логарифмы:

loga
x = b => ab
= x; a>0,a¹0

a loga x
= x, loga
a =1; loga
1 = 0

loga
x = b; x = ab

loga
b = 1/(log b
a)

loga
xy = loga
x + loga
y

loga
x/y = loga
x - loga
y

loga
xk
=k loga
x (x >0)

loga
k
x =1/k loga
x

loga
x = (logc
x)/( logc
a); c>0,c¹1

logb
x = (loga
x)/(loga
b)

Прогрессии

Арифметическая

an
= a1
+d(n-1)

Sn
= ((2a1
+d(n-1))/2)n

Геометрическая

bn
= bn-1
× q

b2
n
= bn-1
× bn+1

bn
= b1
×qn-1

Sn
= b1
(1- qn
)/(1-q)

S= b1
/(1-q)

Тригонометрия.

sin x = a/c

cos x = b/c

tg x = a/b=sinx/cos x

ctg x = b/a = cos x/sin x

sin (p-a) = sin a

sin (p/2 -a) = cos a

cos (p/2 -a) = sin a

cos (a + 2pk) = cos a

sin (a + 2pk) = sin a

tg (a + pk) = tg a

ctg (a + pk) = ctg a

sin²a + cos²a =1

ctg a = cosa / sina , a¹pn, nÎZ

tga× ctga = 1, a¹ (pn)/2, nÎZ

1+tg²a = 1/cos²a , a¹p(2n+1)/2

1+ ctg²a =1/sin²a , a¹pn

Формулы сложения:

sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y

sin (x-y) = sin x cos y - cos x sin y

cos (x+y) = cos x cos y - sin x sin y

cos (x-y) = cos x cos y + sin x sin y

tg(x+y) = (tg x + tg y)/ (1-tg x tg y )

x, y, x + y ¹p/2 + pn

tg(x-y) = (tg x - tg y)/ (1+tg x tg y)

x, y, x - y ¹p/2 + pn

Формулы двойного аргумента.

sin 2a = 2sin a cos a

cos 2a = cos²a - sin²a = 2 cos²a - 1 =

= 1-2 sin²a

tg 2a = (2 tga)/ (1-tg²a)

1+ cos a = 2 cos²a/2

1-cosa = 2 sin²a/2

tga = (2 tg (a/2))/(1-tg²(a/2))

Ф-лы половинного аргумента.

sin²a/2 = (1 - cos a)/2

cos²a/2 = (1 + cosa)/2

tg a/2 = sina/(1 + cosa ) = (1-cos a)/sin a

a¹p + 2pn, n ÎZ

Ф-лы преобразования суммы в произв.

sin x + sin y = 2 sin ((x+y)/2) cos ((x-y)/2)

sin x - sin y = 2 cos ((x+y)/2) sin ((x-y)/2)

cos x + cos y = 2cos (x+y)/2 cos (x-y)/2

cos x - cos y = -2sin (x+y)/2 sin (x-y)/2

sin (x+y)

tg x + tg y = —————

cos x cos y

sin (x - y)

tg x - tgy = —————

cos x cos y

Формулы преобр. произв. в сумму

sin x sin y = Ѕ(cos (x-y) - cos (x+y))

cos x cos y = Ѕ(cos (x-y)+ cos (x+y))

sin x cos y = Ѕ(sin (x-y)+ sin (x+y))

Соотнош. между ф-ями

sin x = (2 tg x/2)/(1+tg2
x/2)

cos x = (1-tg2
2/x)/(1+ tg² x/2)

sin2x = (2tgx)/(1+tg2
x)

sin²a = 1/(1+ctg²a) = tg²a/(1+tg²a)

cos²a = 1/(1+tg²a) = ctg²a / (1+ctg²a)

ctg2a = (ctg²a-1)/ 2ctga

sin3a = 3sina -4sin³a = 3cos²asina-sin³a

cos3a = 4cos³a-3 cosa=

= cos³a-3cosasin²a

tg3a = (3tga-tg³a)/(1-3tg²a)

ctg3a = (ctg³a-3ctga)/(3ctg²a-1)

sin a/2 = ±Ö((1-cosa)/2)

cos a/2 = ±Ö((1+cosa)/2)

tga/2 = ±Ö((1-cosa)/(1+cosa))=

sina/(1+cosa)=(1-cosa)/sina

ctga/2 = ±Ö((1+cosa)/(1-cosa))=

sina/(1-cosa)= (1+cosa)/sina

sin(arcsin a) = a

cos( arccos a) = a

tg ( arctg a) = a

ctg ( arcctg a) = a

arcsin (sina) = a ; aÎ [-p/2 ; p/2]

arccos(cos a) = a ; aÎ [0 ; p]

arctg (tg a) = a ; aÎ[-p/2 ; p/2]

arcctg (ctg a) = a ; aÎ [ 0 ; p]

arcsin(sina)=

1)a - 2pk; aÎ[-p/2 +2pk;p/2+2pk]

2) (2k+1)p - a; aÎ[p/2+2pk;3p/2+2pk]

arccos (cosa) =

1) a-2pk ; aÎ[2pk;(2k+1)p]

2) 2pk-a ; aÎ[(2k-1)p; 2pk]

arctg(tga)= a-pk

aÎ(-p/2 +pk;p/2+pk)

arcctg(ctga) = a -pk

aÎ(pk; (k+1)p)

arcsina = -arcsin (-a)= p/2-arccosa =

= arctg a/Ö(1-a²)

arccosa = p-arccos(-a)=p/2-arcsin a=

= arc ctga/Ö(1-a²)

arctga =-arctg(-a) = p/2 -arcctga =

= arcsin a/Ö(1+a²)

arc ctg a = p-arc cctg(-a) =

= arc cos a/Ö(1-a²)

arctg a = arc ctg1/a =

= arcsin a/Ö(1+a²)= arccos1/Ö(1+a²)

arcsin a + arccos = p/2

arcctg a + arctga = p/2

Тригонометрические уравнения

sin x = m ; |m| = 1

x = (-1)n
arcsin m + pk, kÎ Z

sin x =1 sin x = 0

x = p/2 + 2pk x = pk

sin x = -1

x = -p/2 + 2 pk

cos x = m; |m| = 1

x = ± arccos m + 2pk

cos x = 1 cos x = 0

x = 2pk x = p/2+pk

cos x = -1

x = p+ 2pk

tg x = m

x = arctg m + pk

ctg x = m

x = arcctg m +pk

sin x/2 = 2t/(1+t2
); t - tg

cos x/2 = (1-t²)/(1+t²)

Показательные уравнения.

Неравенства: Если af(x)
>(<) aа(ч)

1) a>1, то знак не меняеться.

2) a<1, то знак меняется.

Логарифмы : неравенства:

loga
f(x) >(<) log a
j(x)

1. a>1, то : f(x) >0

j(x)>0

f(x)>j(x)

2. 0<a<1, то: f(x) >0

j(x)>0

f(x)<j(x)

3. log f(x)
j(x) = a

ОДЗ: j(x) > 0

f(x) >0

f(x ) ¹ 1

Три

гонометрия:

1. Разложение на множители:

sin 2x - Ö3 cos x = 0

2sin x cos x -Ö3 cos x = 0

cos x(2 sin x - Ö3) = 0

....

2. Решения заменой ....

3.

sin² x - sin 2x + 3 cos² x =2

sin² x - 2 sin x cos x + 3 cos ² x = 2 sin² x + cos² x

Дальше пишеться если sin x = 0, то и cos x = 0,

а такое невозможно, => можно поделить на cos x

Тригонометрические нер-ва :

sin a³ m

2pk+a1
=a=a2
+ 2pk

2pk+a2
=a= (a1
+2p)+ 2pk

Пример:

I cos (p/8+x) < Ö3/2

pk+ 5p/6< p/8 +x< 7p/6 + 2pk

2pk+ 17p/24 < x< p/24+2pk;;;;

II sin a= 1/2

2pk +5p/6 =a= 13p/6 + 2pk

cos a³(=) m

2pk + a1
< a< a2
+2 pk

2pk+a2
< a< (a1
+2p) + 2pk

cos a³ - Ö2/2

2pk+5p/4 =a= 11p/4 +2pk

tg a³(=) m

pk+ arctg m =a= arctg m + pk

ctg ³(=) m

pk+arcctg m < a< p+pk

Производная:

(xn
)’
= n× xn-1

(ax
)’ = ax
× ln a

(lg ax
)’= 1/(x×ln a)

(sin x)’ = cos x

(cos x)’ = -sin x

(tg x)’ = 1/cos² x

(ctg x)’ = - 1/sin²x

(arcsin x)’ = 1/ Ö(1-x²)

(arccos x)’ = - 1/ Ö(1-x²)

(arctg x)’ = 1/ Ö(1+x²)

(arcctg x)’ = - 1/ Ö(1+x²)

Св-ва:

(u × v)’ = u’×v + u×v’

(u/v)’ = (u’v - uv’)/ v²

Уравнение касательной к граф.

y = f(x0
)+ f ’(x0
)(x-x0
)

уравнение к касательной к графику в точке x

1. Найти производную

2. Угловой коофициент k =

= производная в данной точке x

3. Подставим X0
, f(x0
), f ‘ (x0
), выразим х

Интегралы :

ò xn
dx = xn+1
/(n+1) + c

ò ax
dx = ax/ln a + c

ò ex
dx = ex
+ c

ò cos x dx = sin x + cos

ò sin x dx = - cos x + c

ò 1/x dx = ln|x| + c

ò 1/cos² x = tg x + c

ò 1/sin² x = - ctg x + c

ò 1/Ö(1-x²) dx = arcsin x +c

ò 1/Ö(1-x²) dx = - arccos x +c

ò 1/1+ x² dx = arctg x + c

ò 1/1+ x² dx = - arcctg x + c

Площадь криволенейной трапеции.

Геометрия

Треугольники

a + b + g =180

Теорема синусов

a² = b²+c² - 2bc cos a

b² = a²+c² - 2ac cos b

c² = a² + b² - 2ab cos g

Медиана дели треуг. на два равновеликих. Медиана делит

противопол. сторону напополам.

Биссектриса - угол.

Высота падает на пр. сторону

под прямым углом.

Формула Герона :

p=Ѕ(a+b+c)

_____________

S = Öp(p-a)(p-b)(p-c)

S = Ѕab sin a

Sравн
.
=(a²Ö3)/4

S = bh/2

S=abc/4R

S=pr

Трапеция.

S = (a+b)/2× h

Круг

S= pR²

Sсектора
=(pR²a)/360

Стереометрия

Параллепипед

V=Sосн
×Р

Прямоугольный

V=abc

Пирамида

V =1/3Sосн.
×H

Sполн.
= Sбок.
+ Sосн.

Усеченная :

H . _____

V = 3 (S1
+S2
+ÖS1
S2
)

S1
и S2
— площади осн.

Sполн
.
=Sбок
.
+S1
+S2

Конус

V=1/3 pR²H

Sбок.
=pRl

Sбок.
= pR(R+1)

Усеченный

Sбок.
= pl(R1
+R2
)

V=1/3pH(R1
2
+R1
R2
+R2
2
)

Призма

V=Sосн.
×H

прямая: Sбок.
=Pосн.
×H

Sполн.
=Sбок
+2Sосн.

наклонная :

Sбок.
=Pпс
×a

V = Sпс
×a, а -бок. ребро.

Pпс
— периметр

Sпс
— пл. перпенд. сечения

Цилиндр.

V=pR²H ; Sбок.
= 2pRH

Sполн
.
=2pR(H+R)

Sбок.
= 2pRH

Сфера и шар .

V = 4/3 pR³ - шар

S = 4pR³ - сфера

Шаровой сектор

V = 2/3 pR³H

H - высота сегм.

Шаровой сегмент

V=pH²(R-H/3)

S=2pRH

град

0°

30°

45°

60°

90°

120°

135°

180°

a

-p/2

-p/3

-p/4

-p/6

0

p/6

p/4

p/3

p/2

2p/3

3p/4

3p/6

p

sina

-1

-Ö3/2

-Ö2/2

- Ѕ

0

Ѕ

Ö2/2

Ö3/2

1

- Ѕ

0

cosa

1

Ö3/2

Ö2/2

Ѕ

0

- Ѕ

-Ö2/2

- Ö3/2

-1

tga

Ï

-Ö3

-1

-1/Ö3

0

1/Ö3

1

Ö3

Î

-Ö3

-1

0

ctga

---

Ö3

1

1/Ö3

0

-1/Ö3

-1

--

n	2	3	4	5	6	7	8	9
2	4	9	16	25	36	49	64	81
3	8	27	64	125	216	343	512	729
4	16	81	256	625	1296	2401	4096	6561
5	32	243	1024	3125	7776	16807	32768	59049
6	64	729	4096	15625	46656
7	128	2181
8	256	6561

-a	p-a	p+a	p/2-a	p/2+a	3p/2 - a	3p/2+a
sin	-sina	sina	-sina	cosa	cosa	-cosa	-cosa
cos	cosa	-cosa	-cosa	sina	-sina	-sina	sina
tg	-tga	-tga	tga	ctga	-ctga	ctga	-ctga
ctg	-ctga	-ctga	ctga	tga	-tga	tga	-tga