Принято считать, что вся современная наука оформилась в 17 веке. Действительно, в конце этого столетия образовались первые академии наук и была создана первая научная картина мира, объединившая механику с астрономией. Основу такого синтеза первым угадал Галилей, заявивший около 1630 года: Природа говорит с нами на языке математики! Вернее сказать, что природа обращается к нам сразу на многих диалектах единого математического языка. Мы называем эти диалекты арифметикой, геометрией, алгеброй или математическим анализом, но не всегда чувствуем их единство, а многих диалектов мы еще не знаем. Оттого в любой момент времени наше представление о законах природы не полно, и нередко оно противоречиво.
Устранение каждого противоречия требует серьезной перестройки в системе математических понятий. Что-то привычное мы вынуждены отвергнуть, как заблуждение; другие знакомые слова приобретают новый смысл. Начиная с 17 века, это "понятийное землетрясение" сделалось в науке обычным явлением: все к нему привыкли и терпят его, а многие радуются такой беспокойной жизни. Но войти в этот режим работы нелегко даже в наши дни; насколько же труднее было первопроходцам! Не удивительно, что у истока новой науки собрались люди с причудливыми характерами. Всех их объединяло безграничное любопытство, беспредельное трудолюбие и буйная фантазия.
Первым в этом ряду богатырей оказался немец Иоганн Кеплер (1571-1630) - неутомимый наблюдатель и неугомонный вычислитель. Он вошел в большую науку в 1600 году - когда императорский астроном Тихо Браге принял его на работу в Пражскую обсерваторию. Тщательно наблюдая за движением планет среди звезд в течение 30 лет, Браге накопил огромный запас точных данных - но не мог привести их в единую систему. Он быстро отверг давнюю геоцентрическую модель Птолемея и недавнюю гелиоцентрическую модель Коперника (в которой сохранилась система эпициклов, введенных Гиппархом). Но каковы истинные траектории полета планет в пространстве " В каком режиме они движутся по этим кривым" Браге поручил Кеплеру разобраться в движении Марса: оно более всего противоречит здравому смыслу, ибо временами Марс вдруг останавливается среди планет и пятится назад.
Кеплер сразу догадался: если орбита Марса не может быть окружностью, то, скорее всего, она - эллипс. Кажущееся движение Марса вспять можно объяснить просто: Солнце находится не в центре эллипса, а сдвинуто куда-то вбок. Куда" Скорее всего, в фокус эллипса - самую замечательную точку, связанную с этой кривой. Но в каком режиме движется Марс по своему эллипсу - это можно выяснить только путем громоздких расчетов. Эта работа заняла у Кеплера 8 лет; он испытал и отверг около 20 разных гипотез, пока не нашел (в 1609 году) истинную: за равные отрезки времени вектор, соединяющий Солнце с Марсом, заметает в плоскости их общего движения секторы равной площади.
Чтобы справиться с огромным объемом вычислений, Кеплеру пришлось сделать два замечательных изобретения. Во-первых, он научился заменять умножение многозначных чисел сложением их логарифмов. Во-вторых, Кеплер научился вычислять путь, пройденный планетой за данное время, по известной (переменной) скорости планеты.
Переход от чисел к их логарифмам и обратно требует громоздких и точных таблиц. Сначала Кеплер составлял их сам; но в 1614 году появились подробные таблицы логарифмов Чарльза Непира. За 20 лет упорного труда этот шотландец рассчитал не только логарифмы чисел, но и логарифмы значений всех тригонометрических функций: они постоянно встречаются в астрономических расчетах. Таблицы Непира открыли путь к автоматизации всех арифметических вычислений; первым шагом в этом направлении стала привычная нам логарифмическая линейка.
Ее изобрел в 1622 году англичанин Вильям Оутред. При этом он использовал десятичные логарифмы: они более удобны в расчетах, чем натуральные логарифмы, с которыми работал Непир. Следующие шаги в автоматизации вычислений сделали француз Блез Паскаль (в 1642 году) и немец Вильгельм Лейбниц (в 1671 году). Паскаль построил первый механический арифмометр, выполняющий сложение и вычитание многозначных чисел. Арифмометр Лейбница позволил также умножать и делить многозначные числа. Следующий важный шаг в развитии вычислительной техники был сделан только в 20 веке - когда развитие физики позволило создать электронные вычислительные машины (компьютеры).
Успехи Кеплера в расчете пройденного планетой пути по известной скорости ее движения стали первым шагом в новой науке - интегральном исчислении. Сам Кеплер воспринимал его просто: как способ вычисления площади фигуры, ограниченной плоской кривой, либо объема тела, ограниченного данной поверхностью. В 1615 году Кеплер опубликовал книгу со странным названием: "Новая стереометрия винных бочек, по преимуществу - австрийских". Это был первый сборник задач на вычисление интегралов; он содержал около ста разных примеров с подробными решениями. В частности, площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком (у = х..), осью (Х) и отрезками (х=а) и (х=в), равна (в...-а...)/(к+1) - если к = -1. Если же к = -1, то эта площадь равна разности логарифмов ln(в) - ln(а).
Таким образом, одна строчка в таблице интегралов от функций соответствует огромной таблице логарифмов чисел. Из этого видно, что для будущей математики исчисление функций гораздо важнее привычной арифметики и алгебры чисел. В новом мире функций, кроме арифметики и алгебры, действуют особые операции. Первые две из них - проведение касательной прямой к данной кривой и вычисление площади, которую ограничивает кривая - угадал еще Архимед. Теперь Кеплер разработал удобную технику решения второй задачи. Но исчислять кривые так же просто и непринужденно, как числа, Кеплер не умел. Революцию в этом ремесле произвел в 1637 году другой великий математик - француз Рене Декарт (1596-1650).
В отличие от Кеплера, Декарт не любил долгих расчетов. Он предпочитал наглядно-геометрические рассуждения и хотел работать этим методом с любыми сложными кривыми - а не только с прямыми и окружностями, как делал Евклид. Для этой работы полезно уметь складывать, вычитать и умножать кривые между собой - так же, как мы это делаем с числами. Возможно ли это"
Декарт изобрел такой способ, заметив, что многие кривые на плоскости задаются простыми уравнениями - после того, как мы введем на плоскости координаты, изобразив каждую точку ПАРОЙ чисел (х,у). Например, параболу можно задать уравнением (у = х..), или (х = у..).
Окружность задается уравнением (х.. + у.. = а..), а эллипс - похожим уравнением (х../а.. + у../в.. = 1).
Уравнение гиперболы может иметь вид (ху = 1), или (х../а.. - у../в.. = 1). И вообще: каждое уравнение с двумя неизвестными F(x,y) = 0 зад
Таким образом, плоские кривые можно описывать на одном из двух эквивалентных языков: наглядно-геометрическом, или аналитическом (через формулы). Двусторонний "словарь", переводящий фразы одного из этих языков в равнозначные фразы другого языка, Декарт назвал аналитической геометрией.
Он заметил, что методы этой науки нетрудно перенести и в пространство. Для этого достаточно изобразить любую точку пространства ТРОЙКОЙ чисел (х,у,z). После этого любое уравнение с тремя неизвестными F(x,y,z) = 0 задает в пространстве некую поверхность, а пересечение двух поверхностей задает кривую в пространстве. Правда, не ясно: всякую ли кривую в пространстве можно задать системой из двух уравнений с тремя неизвестными"
Положительный ответ на этот вопрос математики получили только в 20 веке. Для этого потребовались сложные расчеты и введение многих новых понятий, которые не приходили в умную голову Декарта. Сам он ограничился классификацией тех кривых на плоскости, которые задаются многочленами степени 2. Оказалось, что новых кривых в этом классе нет: только эллипс, парабола и гипербола. Классифицировать все плоские кривые степени 3 Декарт поленился: это требовало сложных вычислений, которые позднее проделал Ньютон.
Декарт не стал всерьез развивать аналитическую геометрию трехмерного пространства: он не мог предугадать, какие задачи окажутся там наиболее интересны и полезны. И конечно, Декарт ни словом не обмолвился о четырехмерном или многомерном пространстве, точки которого изображаются наборами из четырех или более чисел: (x,y,z,t,...). Аналитический подход наиболее удобен для исследования многомерных пространств; но в середине 17 века любое упоминание о такой возможности было бы расценено как чепуха или как ересь. Декарт любил жизненные удобства и не хотел разделить судьбу Галилея, осужденного церковью за слишком смелые мысли о научном познании природы.
Еще спокойнее прожил свою жизнь великий современник и соотечественник Декарта - Пьер Ферма из Тулузы (1601-1665). По основной профессии он был юрист, а математикой занимался на досуге - читая книги классиков или современников и размышляя о тех задачах, которые те не заметили или не сумели решить. Понятно, что при таком способе работы Ферма ни в одной области науки не был первым. В математический анализ он вошел вслед за Архимедом и Кеплером, в аналитическую геометрию - вслед за Декартом, в теорию вероятностей - вслед за Паскалем, в теорию чисел - вслед за Диофантом. Но в каждом случае Ферма добавлял в уже готовую или только рождающуюся науку столь важные открытия, что превзойти его результаты могли только гении - порою много десятилетий спустя.
Например, Ферма заинтересовался простой задачей: при каких условиях функция достигает минимума или максимума в данной точке " Оказалось, что необходимо простое условие: производная от функции в этой точке должна быть равна нулю. В наши дни этот факт известен каждому старшекласснику: он помогает строить графики довольно сложных функций. Но Ферма попробовал распространить свое открытие на функции, зависящие от многих переменных - и пришел к замечательному физическому открытию. Оказалось, что свет движется по такой траектории, на которой производная по времени равна нулю. Значит, время движения света вдоль этой траектории - минимальное! Лишь сто лет спустя Пьер Мопертюи и Леонард Эйлер открыли аналог принципа Ферма в механике; это стало первым шагом к объединению механики с оптикой в рамках квантовой теории.
Теорию чисел Ферма строил почти в одиночестве: из всех его современников только англичанин Джон Валлис интересовался ею. Но Ферма имел важное преимущество перед Валлисом и перед своим античным предшественником - Диофантом. Он хорошо знал аналитическую геометрию и оперировал уравнениями так же свободно, как числами. Поэтому он легко доказал "малую теориму Ферма" и узнал, что существуют конечные поля вычетов - системы чисел, устроенные (в смысле арифметики) еще удобнее, чем множество целых чисел.
Развивая этот успех, Ферма заинтересовался пифагоровыми тройками чисел - целыми решениями уравнения (х.. + у.. = z..). Существуют ли целые решения уравнений (х.. + у.. = z..) при n>2" Диофант не нашел ни одного решения для n=3; Ферма доказал, что таких решений не может быть. Оставалось обобщить метод Ферма для других простых показателей: 5, 7, 11... К сожалению, Ферма не стал проводить в этих случаях подробные расчеты - и поэтому не заметил удивительных алгебраических препятствий на своем пути. Например, при n=5 необходимо использовать комплексные числа: это первым заметил в конце 18 века Адриен Лежандр, а Ферма всю жизнь сомневался в полезности таких чисел! Далее, при n=23 доказательство "большой теоремы Ферма" натолкнулось на неоднозначное разложение комплексных чисел определенного вида на простые множители. Эту новую революцию в алгебре вызвал Эрнст Куммер в середине 19 века...
В целом, деятельность Ферма (как и деятельность Архимеда) можно сравнить с работой полноценной академии наук. Но увы - при жизни Ферма таких академий еще не было! Не было и научных журналов для публикации новых открытий. Поэтому все крупные ученые Европы узнавали о новых достижениях своих коллег из взаимной переписки. Некоторые любители математики (как аббат Мерсенн в Париже) сделали такую переписку своим главным вкладом в науку. Они регулярно сообщали всем своим корреспондентам о том, какие факты открыли их далекие коллеги. Если новый факт привлекал чье-то внимание, то от автора требовали письменного доказательства. В противном случае сообщение повисало в воздухе. Так случилось со многими объявлениями Ферма в теории чисел; оттого две его ошибки в этой области (с уравнением х.. + у.. = z.. и с простыми числами вида 2....+1) остались не замечены.
Такой "любительский" стиль коллективной работы в науке был неизбежен и даже удобен, пока во всей Европе одновременно работали два-три десятка крупных ученых. Как только их стало больше - общую работу пришлось организовать с помощью научных учреждений. Этот перелом произошел в 1660-е годы. В 1662 году объявило о своем рождении Королевское Общество в Лондоне, а в 1666 году по его образцу возникла Парижская Академия Наук. Оба эти содружества ученых сразу начали публиковать отчеты о своих собраниях и о тех открытиях, которые там обсуждались. С этого момента научный интернационал европейцев начал развиваться быстро и неудержимо. В год смерти Ферма в науку вошел самый прославленный ученый 17 века - Исаак Ньютон...