Все формулы по математике в школе

Формулы сокр. умножения и разложения на множители :

(a±b)?=a?±2ab+b?

(a±b)?=a?±3a?b+3ab?±b?

a?-b?=(a+b)(a-b)

a?±b?=(a±b)(a?∓ab+b?),

(a+b)?=a?+b?+3ab(a+b)

(a-b)?=a?-b?-3ab(a-b)

xn
-an
=(x-a)(xn-1
+axn-2
+a?xn-3
+...+an-1
)

ax?+bx+c=a(x-x1
)(x-x2
)

где x1
и x2
— корни уравнения

ax?+bx+c=0

Степени и корни :

ap
·ag
= ap+g

ap
:ag
=a p-g

(ap
)g
=a pg

ap
/bp
= (a/b)p

ap
×bp
= abp

a0
=1; a1
=a

a-p
= 1/a

p
Öa =b => bp
=a

p
Öap
Öb = p
Öab

Öa ; a ? 0

____

/ __ _

p
Ög
Öa = pg
Öa

___ __

pk
Öagk
= p
Öag

p
____

/ a p
Öa

/ ¾¾ = ¾¾¾¾

Ö b p
Öb

a 1/p
= p
Öa

p
Öag
= ag/
p

Квадратное уравнение

ax?+bx+c=0; (a¹0)

x1,2
= (-b±ÖD)/2a; D=b? -4ac

D>0® x1
¹x2
;D=0® x1
=x2

D<0, корней нет.

Теорема Виета:

x1
+x2
= -b/a

x1
× x2
= c/a

Приведенное кв. Уравнение:

x? + px+q =0

x1
+x2
= -p

x1
×x2
= q

Если p=2k (p-четн.)

и x?+2kx+q=0, то x1,2
= -k±Ö(k?-q)

Нахождение длинны отр-ка

по его координатам

Ö((x2
-x1
)?-(y2
-y1
)?)

Логарифмы:

loga
x = b => ab
= x; a>0,a¹0

a loga x
= x, loga
a =1; loga
1 = 0

loga
x = b; x = ab

loga
b = 1/(log b
a)

loga
xy = loga
x + loga
y

loga
x/y = loga
x - loga
y

loga
xk
=k loga
x (x >0)

loga
k
x =1/k loga
x

loga
x = (logc
x)/( logc
a); c>0,c¹1

logb
x = (loga
x)/(loga
b)

Прогрессии

Арифметическая

an
= a1
+d(n-1)

Sn
= ((2a1
+d(n-1))/2)n

Геометрическая

bn
= bn-1
× q

b2
n
= bn-1
× bn+1

bn
= b1
×qn-1

Sn
= b1
(1- qn
)/(1-q)

S= b1
/(1-q)

Тригонометрия
.

sin x = a/c

cos x = b/c

tg x = a/b=sinx/cos x

ctg x = b/a = cos x/sin x

sin (p-a) = sin a

sin (p/2 -a) = cos a

cos (p/2 -a) = sin a

cos (a + 2pk) = cos a

sin (a + 2pk) = sin a

tg (a + pk) = tg a

ctg (a + pk) = ctg a

sin?a + cos?a =1

ctg a = cosa / sina , a¹pn, nÎZ

tga× ctga = 1, a¹ (pn)/2, nÎZ

1+tg?a = 1/cos?a , a¹p(2n+1)/2

1+ ctg?a =1/sin?a , a¹pn

Формулы сложения:

sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y

sin (x-y) = sin x cos y - cos x sin y

cos (x+y) = cos x cos y - sin x sin y

cos (x-y) = cos x cos y + sin x sin y

tg(x+y) = (tg x + tg y)/ (1-tg x tg y )

x, y, x + y ¹p/2 + pn

tg(x-y) = (tg x - tg y)/ (1+tg x tg y)

x, y, x - y ¹p/2 + pn

Формулы двойного аргумента.

sin 2a = 2sin a cos a

cos 2a = cos?a - sin?a = 2 cos?a - 1 =

= 1-2 sin?a

tg 2a = (2 tga)/ (1-tg?a)

1+ cos a = 2 cos?a/2

1-cosa = 2 sin?a/2

tga = (2 tg (a/2))/(1-tg?(a/2))

Ф-лы половинного аргумента.

sin?a/2 = (1 - cos a)/2

cos?a/2 = (1 + cosa)/2

tg a/2 = sina/(1 + cosa ) = (1-cos a)/sin a

a¹p + 2pn, n ÎZ

Ф-лы преобразования суммы в произв.

sin x + sin y = 2 sin ((x+y)/2) cos ((x-y)/2)

sin x - sin y = 2 cos ((x+y)/2) sin ((x-y)/2)

cos x + cos y = 2cos (x+y)/2 cos (x-y)/2

cos x - cos y = -2sin (x+y)/2 sin (x-y)/2

sin (x+y)

tg x + tg y = —————

cos x cos y

sin (x - y)

tg x - tgy = —————

cos x cos y

Формулы преобр. произв. в сумму

sin x sin y = ?(cos (x-y) - cos (x+y))

cos x cos y = ?(cos (x-y)+ cos (x+y))

sin x cos y = ?(sin (x-y)+ sin (x+y))

Соотнош. между ф-ями

sin x = (2 tg x/2)/(1+tg2
x/2)

cos x = (1-tg2
2/x)/ (1+ tg? x/2)

sin2x = (2tgx)/(1+tg2
x)

sin?a = 1/(1+ctg?a) = tg?a/(1+tg?a)

cos?a = 1/(1+tg?a) = ctg?a / (1+ctg?a)

ctg2a = (ctg?a-1)/ 2ctga

sin3a = 3sina -4sin?a = 3cos?asina-sin?a

cos3a = 4cos?a-3 cosa=

= cos?a-3cosasin?a

tg3a = (3tga-tg?a)/(1-3tg?a)

ctg3a = (ctg?a-3ctga)/(3ctg?a-1)

sin a/2 = ±Ö((1-cosa)/2)

cos a/2 = ±Ö((1+cosa)/2)

tga/2 = ±Ö((1-cosa)/(1+cosa))=

sina/(1+cosa)=(1-cosa)/sina

ctga/2 = ±Ö((1+cosa)/(1-cosa))=

sina/(1-cosa)= (1+cosa)/sina

sin(arcsin a) = a

cos( arccos a) = a

tg ( arctg a) = a

ctg ( arcctg a) = a

arcsin (sina) = a ; aÎ [-p/2 ; p/2]

arccos(cos a) = a ; aÎ [0 ; p]

arctg (tg a) = a ; aÎ[-p/2 ; p/2]

arcctg (ctg a) = a ; aÎ [ 0 ; p]

arcsin(sin
a
)=

1)a - 2pk; aÎ[-p/2 +2pk;p/2+2pk]

2) (2k+1)p - a; aÎ[p/2+2pk;3p/2+2pk]

arccos (cos
a
) =

1) a-2pk ; aÎ[2pk;(2k+1)p]

2) 2pk-a ; aÎ[(2k-1)p; 2pk]

arctg(tg
a
)=
a
-
p
k

aÎ(-p/2 +pk;p/2+pk)

arcctg(ctg
a
) =
a
-
p
k

aÎ(pk; (k+1)p)

arcsina = -arcsin (-a)= p/2-arccosa =

= arctg a/Ö(1-a?)

arccosa = p-arccos(-a)=p/2-arcsin a=

= arc ctga/Ö(1-a?)

arctga =-arctg(-a) = p/2 -arcctga =

= arcsin a/Ö(1+a?)

arc ctg a = p-arc cctg(-a) =

= arc cos a/Ö(1-a?)

arctg a = arc ctg1/a =

= arcsin a/Ö(1+a?)= arccos1/Ö(1+a?)

arcsin a + arccos = p/2

arcctg a + arctga = p/2

Тригонометрические уравнения

sin x = m
; |m| ? 1

x = (-1)n
arcsin m +
p
k
, kÎ Z

sin x =1 sin x = 0

x = p/2 + 2pk x = pk

sin x = -1

x = -p/2 + 2 pk

cos x = m
; |m| ? 1

x =
±
arccos m + 2
p
k

cos x = 1 cos x = 0

x = 2pk x = p/2+pk

cos x = -1

x = p+ 2pk

tg x = m

x = arctg m + pk

ctg x = m

x = arcctg m +pk

sin x/2 = 2t/(1+t2
); t - tg

cos x/2 = (1-t?)/(1+t?)

Показательные уравнения.

Неравенства: Если af(x)
>(<) aа(ч)

1) a>1, то знак не меняеться.

2) a<1, то знак меняется.

Логарифмы : неравенства:

loga
f(x) >(<) log a
j(x)

1. a>1, то : f(x) >0

j(x)>0

f(x)>j(x)

2. 0<a<1, то: f(x) >0

j(x)>0

f(x)<j(x)

3. log f(x)
j(x) = a

ОДЗ: j(x) > 0

f(x) >0

f(x ) ¹ 1

Тригонометрия:

1. Разложение на множители:

sin 2x - Ö3 cos x = 0

2sin x cos x -Ö3 cos x = 0

cos x(2 sin x - Ö3) = 0

....

2. Решения заменой ....

3.

sin? x - sin 2x + 3 cos? x =2

sin? x - 2 sin x cos x + 3 cos ? x = 2 sin? x + cos? x