Виды тригонометрических уравнений

Реферат

на тему:

“Виды тригонометрических уравнений”

Успенского Сергея

Харцызск

2001 год

Виды тригонометрических уравнений.

1. Простейшие тригонометрические уравнения:

Пример 1. 2sin(3x -p/4) -1 = 0.

Решение. Решим уравнение относительно sin(3x - p/4).

sin(3x -p/4) = 1/2, отсюда по формуле решения уравнения sinx = а нахо­дим

3х -p/4 = (-1)n
arcsin 1/2 + np, nÎZ.

Зх -p/4 = (-1)n
p/6 + np, nÎZ; 3x = (-1)n
p/6 +p/4 + np, nÎZ;

x = (-1)n
p/18 + p/12 + np/3, nÎZ

Если k = 2n (четное), то х = p/18 + p/12 + 2pn/3, nÎZ.

Если k = 2n + 1 (нечетное число), то х = - p/18 + p/12 + ((2pn + 1)p)/3 =

= p/36 + p/3 + 2pn/3 = 13p/36 + 2pn/3, nÎz.

Ответ: х1
= 5p/6 + 2pn/3,nÎZ, x2 =
13p/36 + 2pn/3, nÎZ,

или в градусах: х, = 25° + 120 ·n, nÎZ; x, = 65° + 120°·n, nÎZ.

Пример 2. sinx +Öз cosx = 1.

Решение. Подставим вместо Öз значение ctgp/6, тогда уравнение при­мет вид

sinx + ctg p/6 cosx = 1; sinx + (cosp/6)/sinp/6 · cosx = 1;

sinx sin p/6 + cos p/6 cosx = sin p/6; cos(x - p/6) = 1/2.

По формуле для уравнения cosx = а находим

х - p/6 = ± arccos 1/2 + 2pn, nÎZ; x = ± p/3 + p/6 + 2pn, nÎZ;

x1 = p/3 + p/6 + 2pn, nÎZ; x1 = p/2 + 2pn, nÎZ;

x2 = - p/3 + p/6 + 2pn, nÎZ; x2 = -p/6 + 2pn, nÎZ;

Ответ: x1 = p/2 + 2pn, nÎZ; x2 = -p/6 + 2pn, nÎZ.

2. Двучленные уравнения:

Пример 1. sin3x = sinx.

Решение. Перенесем sinx в левую часть уравнения и полученную разность преобразуем в произведение. sin3x - sinx == 0; 2sinx·cos2x = 0.

Из условия равенства нулю произведения получим два простейших уравнения.

sinx = 0 или cos2x = 0.

x1 = pn, nÎZ, x2 = p/4 + pn/2, nÎZ.

Ответ: x1 = pn, nÎZ, x2 = p/4 + pn/2, nÎZ.

3. Разложение на множители:

Пример 1. sinx + tgx = sin2
x / cosx

Решение. cosx ¹ 0; x ¹p/2 + pn, nÎZ.

sinx + sinx/cosx = sin2
x / cosx . Умножим обе части уравнения на cosx.

sinx · cosx + sinx - sin2
x = 0; sinx(cosx + 1 - sinx) = 0;

sinx = 0 или cosx - sinx +1=0;

x1 = pn, nÎZ; cosx - cos(p/2 - x) = -1; 2sin p/4 · sin(p/4 - x) = -1;

Ö2 · sin(p/4 - x) = -1; sin(p/4 -x) = -1/Ö2; p/4 - x = (-1) n+1
arcsin 1/Ö2 + pn, nÎZ;

x2 = p/4 - (-1) n+1
·p/4 - pn, nÎZ; x2 = p/4 + (-1) n
·p/4 + pn, nÎZ.

Если n = 2n (четное), то x = p/2 + pn, если n = 2n + l (нечетное), то x = pn.

Ответ: x1 = pn, nÎZ; x2 = p/4 + (-I)n
·p/4 + pn, nÎZ.

4. Способ подстановки

Пример 1. 2 sin2
x = 3cosx.

Решение. 2sin2
x - 3cosx = 0; 2 (l - cos2
x) - 3cosx = 0; 2cos2
x + 3cosx - 2 = 0.

Пусть z = cosx, |z| £ 1. 2z2
+ 32z - 2=0.

Д = 9+16 = 25; ÖД = 5; z1 = (-3 + 5)/4 = 1/2; z2 = (-3-5)/ 4 = -2 -

-не удовлетво­ряют условию для z. Тогда решим одно простейшее уравнение:

cosx = 1/2; х = ± p/3 + 2pn, nÎZ. Ответ: х = ± p/3 + 2pn, nÎZ.

5. Однородные уравнения

Однородные тригонометрические уравнения имеют такой вид:

asin2
x + bsinxcosx + ccos2
x = 0 (однородное уравнение 2-й степени) или

a sin3
x + b sin2
x cosx + c sinx cos2
x + d sin3
x = 0 ит.д.

В этих уравнениях sinx¹ 0, cosx¹ 0. Решаются они делением обеих частей уравнения на sin2
x или на cos2
x и приводятся к уравнениям отно­сительно tgx или ctgx.

Пример 1

. Ö3sin2
2x - 2sin4x + Ö3cos2
2x = 0.

Решение. Разложим sin4x по формуле синуса двойного угла.

Получим уравнение Ö3sin2
2x - 4sin2xcos2x + Ö3cos2
2x = 0.

Разделим на cos2
2x. Уравнение примет вид Ö3 tg2
2x – 4tg2x + Ö3 = 0.

Пусть z = tg2x, тогда Ö3z2
- 4z + Ö3 = 0; Д = 4; ÖД = 2.

z1 = (4 +2)/2Ö3 = 6/2Ö3 = Ö3; z2 = (4 – 2)/2Ö3 = 1/Ö3

tg2x = Ö3 или tg2x = 1/Ö3

2x = p/3 + pn, nÎZ; 2x = p/6 + pn, nÎZ;

x1 = p/6 + pn/2, nÎZ ; x2 = p/12 + pn/2, nÎz.

Ответ: x1 = p/6 + pn/2, nÎZ ; x2 = p/12 + pn/2, nÎz.

6. Уравнение вида

a

sinx

+

b

cosx

= с

Пример 1. 3sinx + 4cosx = 5.

Решение. Разделим обе части уравнения на 5, тогда 3/5sinx + 4/5cosx = 1.

sinj = 4/5; cosj = 3/5; sin(x+j) = 1, x + j = p/2 + 2pn, nÎZ.

Ответ: x = p/2 - arcsin 4/5 + 2pn, nÎZ.

7. Дробно-рациональные тригонометрические уравнения

Уравнения, содержащие тригонометрические дроби, называются дробно-рациональными уравнениями. В этих уравнениях требуется сле­дить за областью допустимых значений.

Пример 1. 1/(Ö3-tgx) – 1/(Ö3 +tgx) = sin2x

Решение. Область допустимых значений решений этого уравнения

tgx¹ ± Ö3, х ¹ ± p/8 + pn, nÎZ и х ¹ ± p/2 + pn, nÎZ.

Левую часть уравнения приведем к общему знаменателю, а правую преобразуем с помощью формулы выражения синуса угла через тан­генс половинного угла.

(Ö3 + tgx - Ö3 + tgx)/3 - tg2
x = 2tgx/ (1 + tg2
x); 2tgx / (3 - tg2
x) = 2tgx/(1 + tg2
x)

x1 = pn, nÎZ

Второе уравнение имеет вид

2tg2
x - 2 = 0; tg2
x = 1; tgx = ±1; x2 = ± p/4 + pn, nÎZ.

Ответ: x1 = pn, nÎZ; х2 = ± p/4 + pn, nÎZ.

8. Иррациональные тригонометрические уравнения

Если в уравнении тригонометрическая функция находится под зна­ком радикала, то такое тригонометрическое уравнение будет иррацио­нальным. В таких уравнениях следует соблюдать все правила, которы­ми пользуются при решении обычных иррациональных уравнений (учи­тывается область допустимых значений как самого уравнения, так и при освобождении от корня четной степени).

Пример 1.Ö( cos2
x + ½) +Ö( sin2
x + ½) = 2.

Решение. Уравнение имеет смысл при любом х. Возведем обе части уравнения в квадрат.

cos2
x + ½ + 2 Ö(( cos2
x + ½) ( sin2
x + ½)) + sin2
x + ½ = 4

Ö(( cos2
x + ½) ( sin2
x + ½)) = 1; ( cos2
x + ½) ( sin2
x + ½) = 1

( ½ + ½ cos2x + ½)( ½ - ½ cos2x + ½) = 1; (1 + ½ cos2x) (1 - ½ cos2x) = 1;

1 – ¼ cos2
2x = 1; cos2x=0; x = p/4 + pn/2, nÎz

Ответ: x = p/4 + pn/2, nÎz.

9. Тригонометрические уравнения, в которых под знаком тригонометрической функции находится функция

Особого внимания заслуживают тригонометрические уравнения со сложной зависимостью, когда под знаком тригонометрической функ­ции находится какая-либо другая функция. Эти уравнения требуют до­полнительного исследования множества решений.

Пример 1. tg(x2
+ 5x)ctg 6=1.

Решение. Запишем уравнение в виде tg(x2
+5x)=tg 6. Учитывая, что аргументы равных тангенсов отличаются на свои периоды теп, имеем х2
+ 5х = 6 + pn, nÎZ; х2
+ 5х - (6+pn) = 0, nÎz;

Д = 25 + 4(6 + pn) = 49 + 4pn, nÎZ; х1,2 = (-5 ±Ö(49 + 4pn))/2, nÎz

Решение имеет смысл, если 49 + 4pn > 0, т.е. n³ -49/4p; n³ -3.

Литераура:

“Математика” Р. Л . Вейцман, Л . Р. Вейцман, 2000 г.

(стр. 116 - 125)

“Алгебра начала анализа 10-11” А . Н . Колмогоров,

А . М . Абрамов, Ю . П . Дудницын, Б . М . Ивлев,

С . И . Шварцбурд, 1993 г.

(стр. 62 - 78)