Решение транспортной задачи

.
1. Введение.

Распределительные задачи связаны с распределением ресурсов по работам, которые необходимо выполнить. Задачи этого класса возникают тогда, когда имеющихся в наличии ресурсов не хватает для выполнения каждой работы наиболее эффективным образом. Поэтому целью решения задачи, является отыскания такого распределения ресурсов по работам, при котором либо минимизируются общие затраты, связанные с выполнением работ, либо максимизируется получаемый в результате общий доход.

Типичная распределительная задача.

Таблица №1

Ресурсы	Работы, которые нужно выполнить						Объем имеющихся ресурсов
	j1	J2	…	Ji	…	Jn
R1	C1.1	C1.2	…	C1.j	…	C1.n	B1
R2	C2.1	C2.2	…	C2.j	…	C2.n	B2
…	…	…	…	…	…	…	…
Ri	Ci.1	Ci.2	…	Ci.j	…	Ci.n	Bi
…	…	…	…	…	…	…	…
Rm	Cm.1	Cm.2	…	Cm.j	…	Cm.n	Bm
Объём требуемых ресурсов	A1	A2	…	Ai	...	An

Большинство распределительных задач можно представить в виде матриц, приведенных в таблице №1. Элементы Сi
,
j
стоящие в клетках матрицы, соответствуют затратим или доходу, отвечающим выделению, одной единицы ресурса Ri
на работу Jj
. Величины _Сi
,
j
могут быть независимыми или зависимыми
. Так например, затраты, обусловленные назначением одной автомашины на некоторый маршрут доставки грузов, не зависят от того какие машины назначены на обслуживание других маршрутов. В то же время при распределении средств между подразделениями фирмы доход от затрат определенного количества денег одним ее подразделением (скажем производством) обычно зависит от того, какие средства будут затрачены другими подразделениями (скажем отделом сбыта). В теории распределения рассматриваются преимущественно задачи с независимыми затратами и доходами. Это объясняется не тем, что такие задачи более важны, а лишь тем, что для них значительно легче строить модели и получать решения.

Если затраты (или доход), определяемые объемом Хi
,
j
ресурса I, выделенного на выполнение работы Jj
, ровны Xi
,
j
,. Сi
,
j
, то имеем линейную распределительную задачу
. Распределительные задачи с независимыми линейными функциями затрат (или дохода) стали объектом, наиболее интенсивных исследований, в виду того что для их решения были развитые эффективные, итеративные методы линейного программирования. Однако имеются также методы решения некоторых нелинейных распределительных задач, в том числе методы основанные на линейной аппроксимации.

Распределение ресурсов для одного периода времени может влиять на распределения ресурсов для последующих периодов, а может не оказывать на них никакого влияния. Если каждое из последовательности распределений не зависит от всех остальных, то такая задача называется статистической
, в противном случае имеем динамическую
распределительную задачу. Статистические задачи исследованы в большей степени, чем динамические, но для решения некоторых типов динамических задач успешно применяются методы линейного динамического и динамического программирования. Для решения некоторых динамических задач применяют методы стохастического программирования. В таких задачах принятие решений основано на вероятностных оценках будущих значений параметров, имеющих фиксированное распределение вероятностей.

Основные метода решения распределительных задач, в частности линейного программирования, построены на допущении, что объёмы, имеющихся в наличии ресурсов (Bi
), требуемые объёмы (аi
) и затраты (Сi
,
j
) точно известны.

Если общий объём наличных ресурсов Sbi
(i=l...m) равен общей потребности в них Sai
(j=l...n), то имеет место сбалансированная (закрытая)
распределительная задача: Если же Sаj
¹
Sbi
, то задача называется несбалансированной (открытой).
Если ресурсы можно разделить между работами, то некоторые работы можно выполнять с помощью различных комбинаций ресурсов. Если работы и ресурсы измеряются в единицах одной и той же шкалы, то такие задачи обычно называют транспортными
или задачами разложения. Если же работы и ресурсы выражаются в различных единицах измерениях, то задача называется общей распределительной задачей
. Таким образом транспортная задача является частным случаем общей распределительной задачи
.

2.Транспортная задача как частный случай общей распределительной задачи.

Транспортная задача ставится следующим образом: имеется m пунктов отправления А1
, А2
, ..., Am
. B которых сосредоточены запасы каких-то однородных грузов в количестве соответственно a1
, а2
, ..., аm
единиц. Имеется n пунктов назначения B1
, В2
, …, Вn
подавшие заявки соответственно на b1
, b2
, ..., bn
единиц груза. Известны стоимости Сi
,
j
перевозки единицы груза от каждого пункта отправления Ai
до каждого пункта назначения Bj
. Все числа Сi
,
j
, образующие прямоугольную таблицу заданы. Требуется составить такой план перевозок (откуда, куда и сколько единиц поставить), чтобы все заявки были выполнены, а общая стоимость всех перевозок была минимальна.

Рассмотрим сначала решение закрытой транспортной задачи, т.е. когда сумма всех заявок ровна сумме всех запасов.

3. Решение транспортной задачи методом потенциалов.

Для того, чтобы некоторый допустимый план X={xi
,
j
}m.n транспортной задачи был оптимальным необходимо и достаточно, чтобы ему соответствовала система из m+n чисел U1, U2, ..., Um; V1, V2, ..., Vn, удовлетворяющих условиям Vj-Ui<=Cij (i=1,m; j=1,n) (1), а для всех Xij>0 имело бы место строгое равенство Vj-Ui=Cij (2).

Числа Ui, Vi называются потенциалами соответственно пунктов отправления, а условия (1) (2) называются условиями потенциальности системы.

Теорема.

Для оптимальности плана транспортной задачи необходимо и достаточно, чтобы он был потенциальным. Алгоритм метода потенциалов состоит из предварительного и повторяющегося общего шага.

Предварительный план состоит из следующих операций:

1. составление первоначального ациклического плана перев

озок;

2. построение для полученного плана системы m+n чисел U1 ,U2, ..., Um; V1, V2, …, Vn таких, чтобы выполнялись условия Vj-Ui=Cij для всех базисных клеток;

3. проверка построенной системы на потенциальность.

Если система нe потенциальна, т.е. план Х не оптимален, переходим к общему шагу.

Общий шаг повторяется до тех пор, пока система не станет потенциальной. Он состоит из следующих операций:

1) улучшение плана, т.е. замена плана Х новым планом X' со стоимостью перевозок, не превышающей стоимость плана X;

2) построение для X' новой системы потенциалов U'i, V'j путем перестроения старой;

3) проверка системы U'i, V'j на потенциальность.

Предложенный алгоритм сходится за конечное число шагов.

4. Транспортная задача с неправильным балансом.

В предыдущих случаях рассматривалась только такая задачу о перевозках, в которой сумма запасов равна сумме заявок:

Sai
=Sbj
(где i=1, .., m; j=1, ...,n) (3)

Это классическая транспортная задача, иначе называемая, транспортной задачей с правильным балансом. Встречаются такие варианты транспортной задачи, где условие (3) нарушено. В этих случаях говорят о транспортной задаче с неправильным балансом.

Баланс транспортной задачи может нарушаться в 2-ух направлениях:

1. Сумма запасов в пунктах, отправлении превышает сумму поданных заявок

Sai
>Sbj
(гдеi=1, ...,m; j=1, ...,n);

2. Сумма поданных заявок превышает наличные запасы

Sai
<Sbj
(где i=1, ...., m; j=1, ...,n);

Условимся первый случай называть "Транспортной задачей с избытком запасов", а второй — "Транспортной задачей с избытком заявок".

Рассмотрим последовательно эти два случая:

Транспортная задача с избытком запасов.

В пунктах А1
A2
, ..., Am
имеются запасы груза a1
, а2
, ..., аm
,
пункты B1
, В2
, ..., Вn
подали заявки b1
, b2
, ..., bn
, причём

S ai
> S bj
, (где i=1, m ; j=1, n).

Требуется найти такой план перевозок (X), при котором все заявки будут выполнены, а общая стоимость перевозок минимальна. Очевидно при этой постановке задачи некоторые условия-равенства транспортной задачи превращаются в условия-неравенства, а некоторые — остаются равенствами.

Xi,j
£ ai
(i=1 …, m ).

Xi,j
= bi
(j=1 …, n ).

Mы умеем решать задачу линейного программирования, в какой бы форме — равенств или неравенств ни были бы заданы её условия. Поставленная задача может бытъ решена, например, обычным симплекс-методом. Однако, задачу можно решить проще, если искусственным приемом свести её к ранее рассмотренной транспортной задаче с правильным балансом. Для этого, сверх имеющихся n пунктов назначения B1
, В2
, ..., Вn
, введём ещё один, фиктивный, пункт назначения Вn
+1
которому припишем фиктивную заявку, равную избытку запасов над заявками

Bn+1
= Sаi,
- S bj
, (где i=1, …, m ; j=l, ..., n),

а стоимость перевозок из всех пунктов отправления в фиктивный пункт назначения bn
+1
будем считать равным нулю. Введением фиктивного пункта назначения Вn
+1
с его заявкой bn
+1
мы сравняли баланс транспортной задачи и теперь его можно решать как обычную транспортную задачу с правильным балансом.

Транспортная задача с избытком заявок.

Эту задачу можно свести к обычной транспортной задаче с правильным балансом, если ввести фиктивный пункт отправления Am
+1
с запасов am
+1
равным недостающему запасу и стоимость перевозок из фиктивного пункта отправления во все пункты назначения принять равным нулю.

5. Составление опорного плана.

Решение транспортной задача начинается с нахождения опорного плана. Для этого существуют различные способы. Например, способ "северо-западного угла
", способ минимальной стоимости по строке
, способ минимальной стоимости по столбцу
и способ минимальной стоимости таблицы.

Способ "северо-западного угла
". Будем заполнять таблицу перевозками постепенно начиная с левой верхней ячейки ( “ceвеpo-западного” угла таблицы ). Будем рассуждать при этом следующим образом. пункт B1
подал заявку на 18 единиц груза. Удовлетворим эту заявку за счёт запаса 48, имеющегося в пункте A1
, и запишем перевозку 18 в клетке (1,1). После этого заявка пункта B1
удовлетворена, а в пункте A1
осталось ещё 30 единиц груза. Удовлетворим засчёт них заявку пункта В2
, (27 единиц), запишем 27 в клетке (1,2);

оставшиеся 3 единицы пункта а1
назначим пункту В3
. В составе заявки пункта В3
остались неудовлетворенными 39 единиц. Из них 30 покроем за счет пункта А2
, чем его запас будет исчерпан, и еще 9 возьмём из пункта Аз. Из оставшихся 18 единиц пункта Аз 12 выделим пункту В4
; оставшиеся 6 единиц назначим пункту В5
, что вместе со всеми 20 единицами пункта А4
покроет его заявку. За этом распределение запасов закончено; каждый пункт назначения получил груз согласно своей заявки. Это выражается в том, что сумма перевозок в каждой строке равна соответствующему запасу, а в столбце — заявке. Таким образом, нами сразу же составлен клан перевозок, удовлетворяющий балансовым условиям. Полученное решение является опорным решением транспортной задачи:

Составленный нами план перевозок, не является оптимальным по стоимости, так как при его построении мы совсем не учитывали стоимость перевозок Сi
,
j
.

Другой способ — способ минимальной стоимости по строке — основан на том, что мы распределяем продукцию от пункта Аi
, не в любой из пунктов Вj
, а в тот, к которому стоимость перевозки минимальна. Если в этом пункте заявка полностью удовлетворена, то мы убираем его из расчетов м находим минимальную стоимость перевозки из оставшихся пунктов Вj
. Во всем остальном этот метод схож с методом "северо-западного угла". Способ минимальной стоимости по столбцу аналогичен предыдущему способу. Их отличие состоит в том, что во втором способе мы распределяем продукцию от пунктов Bi
к пунктам Аj
, по минимальной стоимости Cj
.i
. Опорный план, составленный способами минимальных стоимостей, обычно боже близок к оптимальному решению. Клетки таблицы, в которых стоят ненулевые перевозки, являются базисными. Их число должно равняться m + n - 1. Необходимо отметить также, что встречаются такие ситуации, когда количество базисных клеток меньше чем m + n - 1. В этом случае распределительная задача называется вырожденной
. И следует в одной из свободных клеток поставить количество перевозок равное нулю.

Составляя план по способам минимальных стоимостей в отличии от плана по способу "северо-западного угла" мы учитываем стоимости перевозок Сi
.
j
, но все же не можем утверждать, что составленный нами план является оптимальным.

Литература:

1. Боборыкин В.А. Математические методы решения транспортных задач. Л.: СЗПИ, 1986

2. Геронимус Б.А. Экономико-математические методы в планировании на автомобильном транспорте. М.: Транспорт, 1982

3. Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Волощснко А. Б. Математическое программирование. М.: Высшая школа, 1980