Движение в центральном симметричном поле

Реферат

На тему «Движение в центральном симметричном поле»

Студента I –го курса гр. 107

Шлыковича Сергея

Минск 2001

Немного теории.

Центральным
называют такое силовое поле, в котором потенциальная энергия частицы является функцией только от расстояния r
до определенной точки - центра поля: U=
U(
r).
Сила, действующая на частицу в таком поле, тоже зависит лишь от расстояния r
и направлена в каждой точке пространства вдоль радиуса, проведенного в эту точку из центра поля.

Хотя частица, движущаяся в таком поле, и не представ­ляет собой замкнутую систему, тем не менее для нее выпол­няется закон сохранения момента импульса, если опреде­лять момент по отношению к центру поля. Действительно, поскольку направление действующей на частицу силы про­ходит через центр поля, то равно нулю плечо силы относи­тельно этой точки, а потому равен нулю и момент силы. Согласно уравнению отсюда следует, что L

=
const
.

(где L
–
вектор момента импульса,
а K

момент силы
K

=
[rF

]. Уравнение получается из уравнения L

=
[rp

]. Определим производную по времени от момента импуль­са частицы. Согласно правилу дифференцирования произ­ведения имеем

Так как -
есть скорость v

частицы, а p

=
mv
,
то первый член есть m
[vv

] и равен нулю, поскольку равно нулю век­торное произведение любого вектора самого на себя. Во втором члене производная -
есть, как мы знаем, действую­щая на частицу сила F

.
Таким образом, .)

Поскольку момент L

=
m
[rv

] перпендикулярен направ­лению радиуса-вектора r
,
то из постоянства направления L

следует, что при движении частицы ее радиус-вектор дол­жен оставаться все время в одной плоскости - плоскости, перпендикулярной направлению L

.
Таким образом, в цент­ральном поле частицы движутся по плоским орбитам - орбитам, лежащим в плоскостях, проходящих через центр поля.

Данное уравнение можно записать в виде:

где ds
-
вектор перемещения материальной точки за время dt.
Величина векторного прои
зв
едешь
двух векторов гео­метрически представляет собой лощадь построенного на них параллелограмма. Площадь же парал­лелограмма, построенного на векторах ds
и r

,
есть удвоен­ная площадь бесконечно узкого сектора OAA’
,
описанного радиусом-вектором дви
жущейся точки за вре­мя dt
. Обозначив эту площадь через dS,
мож­но записать величи
ну момента в виде

Величина называет
ся
секториальной
ско­
ростью.

Задача о движен

ии в центральном поле в особенности важна потому, что к ней своди
тся задача об относительном движении двух взаимодействующих друг с другом матери­альных точек - так называемая задача двух тел.

Если рассмотреть это движение в системе центра инерции обе­их частиц. В этой системе отсчета суммарный импульс час­тиц равен нулю:

m1
v

1
+
m2
v

2
=0,

где v

1
,v
2
- скорости части
ц. Введем также относи
тельную скорость частиц

v = v

1
-v
2
.

Из этих двух равенств получаются следующие формулы формулы

вы
ражающие скорости каждой из частиц через их относи­те
льную скоро
сть.

Подставив эти формулы в выражение полной энергии частиц получим

где U(
r) -
взаимная потенциальная энергия частиц как функция их относительного расстояния r
. После простого приведения членов получим

,

где m
обозначает вели­
чину

называемую приведенной массой
частиц.

Мы видим, что энергия относительного движения двух частиц такая же, как если бы одна частица с массой m
дви
галась
со скоростью в
центральном внешнем поле с потенциальной энергией U(
r)
. Другими словами, задача о движении двух частиц сводится к задаче о движении од­ной «приведенной» частицы во внешнем поле.

Постановка задачи.
Рассмотрим энергию материальной точки в центральном поле сил.

, представим (скорость) в полярных координатах

Рассмотрим треугольник ABD:

ds~AB, следовательно

,

откуда получаем

Выразим

(*)

Осталось выразить характер траектории

(**)

Подставим выражение (*) в (**)

Проинтегрируем

Эта формула представляет собой траекторию движения частицы в центральном симметричном поле.

Рассмотрим уравнение движения для случая кулоновского поля.

, где

Попробуем найти этот интеграл предварительно сделав замену

Сделаем замену ,

тогда

Далее применим формулу

В итоге получаем

,

где ;

Это уравнение конического сечения с фокусом в центре поля.

При e >1 – гипербола;

e =1 – парабола;

0< e <1 – эллипс;

e =0 – окружность;

Литература

:

1. Л. Д. Ландау, А. И. Ахиезер, Е. М. Лифшиц «Курс общей физики. Механика и молекулярная физика» Москва 1965 г.

2. Конспект по механике за первый триместр. Лектор Гурачевский В. Л.