Некоторые главы мат анализа
ГЛАВА 1 РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
Основные сведения
Функция f
(x
),
определенная на всей числовой оси называется периодической
, если существует такое число , что при любом значении х
выполняется равенство . Число Т
называется периодом функции.
Отметим некоторые с в о й с т в а этой функции:
1) Сумма, разность, произведение и частное периодических функций периода Т
есть периодическая функция периода Т
.
2) Если функция f
(x
) период Т
, то функция f
(ax
)имеет период .
3) Если f
(x
)- периодическая функция периода Т
, то равны любые два интеграла от этой функции, взятые по промежуткам длины Т
(при этом интеграл существует), т. е. при любых a
и b
справедливо равенство .
Тригонометрический ряд. Ряд Фурье
Если f
(x
) разлагается на отрезке в равномерно сходящийся тригонометрический ряд:
(1)
,то это разложение единственное и коэффициенты определяются по формулам:
, где n
=1,2, . . .
Тригонометрический ряд (1) рассмотренного вида с коэффициентами называется тригонометрическим рядом Фурье
, а коэффициентами ряда Фурье.
Достаточные признаки разложимости функции в ряд Фурье
Точка разрыва функции называют точкой разрыва первого рода, если существует конечные пределы справа и слева этой функции в данной точке.
ТЕОРЕМА 1 (Дирихле). Если периодическая с периодом функция непрерывна или имеет конечное число точек разрыва 1-ого рода на отрезке [] и этот отрезок можно разбить на конечное число частей, в каждом из которых f
(x
) монотонна, то ряд Фурье относительно функции сходится к f
(x
) в точках непрерывности и к среднеарифметическому односторонних пределов в точках разрыва рода (Функция удовлетворяющая этим условиям называется кусочно-монотонной).
ТЕОРЕМА 2. Если f
(x
) периодическая функция с периодом , которая на отрезке [] вместе со своей производной непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, то ряд Фурье функции f
(x
) в точках разрыва к среднему арифметическому односторонних пределов (Функция удовлетворяющая этой теореме называется кусочно-гладкой).
Ряды Фурье для четных и нечетных функций
Пусть f
(x
) - четная функция с периодом 2L
, удовлетворяющая условию f
(-x
) = f
(x
) .
Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы:
=
=
= 0 , где n
=1,2, . . .
Таким образом, в ряде Фурье для четной функции отсутствуют члены с синусами, и ряд Фурье для четной функции с периодом 2L
выглядит так:
Пусть теперь f
(x
) - нечетная функция с периодом 2L
, удовлетворяющая условию f
(-x
) = - f
(x
).
Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы:
, где n
=1,2, . . .
Таким образом, в ряде Фурье для нечетной функции отсутствует свободный член и члены с косинусами, и ряд Фурье для нечетной функции с периодом 2L
выглядит так:
Если функция f
(x
) разлагается в тригонометрический ряд Фурье на промежутке то
, где,
,
,
Если f
(x
) разлагается в тригонометрический ряд Фурье на [0,L
], то доопределив заданную функцию f
(x
) соответствующим образом на [-L,
0]; далее периодически продолжив на (T
=2L
), получим новую функцию, которую разлагаем в тригонометрический ряд Фурье.
Для разложения в ряд Фурье непериодической функции, заданной на конечном произвольном промежутке [a
,b
], надо : доопределить на [b
,a
+2L
] и периодически продолжить, либо доопределить на [b
-2L
,a
] и периодически продолжить.
Ряд Фурье по любой ортогональной системе функций
Последовательность функций непрерывных на отрезке [a
,b
], называется ортогональной системой функции на отрезке
[a
,b
], если все функции последовательности попарно ортогональны на этом отрезке, т. е. если
Система называется ортогональной и нормированной (ортонормированной) на отрезке [a,b],
если выполняется условие
Пусть теперь f
(x
) - любая функция непрерывная на отрезке [a
,b
]. Рядом Фурье
такой функции f
(x
) на отрезке [a
,b
] по ортогональной системе
называется ряд:
коэффициенты которого определяются равенством:
n=1,2,...
Если ортогональная система функций на отрезке [a
,b
] ортонормированная, то в этом случаи
где n
=1,2,...
Пусть теперь f
(x
) - любая функция, непрерывная или имеющая конечное число точек разрыва первого рода на отрезке [a
,b
]. Рядом Фурье такой функции f
(x
) на томже отрезке
по ортогональной системе называется ряд:
,
Если ряд Фурье функции f
(x
) по системе (1) сходится к функции f
(x
) в каждой ее точке непрерывности, принадлежащей отрезку [a
,b
]. В этом случае говорят что f
(x
) на отрезке [a
,b
] разлагается в ряд по ортогональной системе (1).
Комплексная форма ряда Фурье
Выражение называется комплексной формой ряда Фурье функции f
(x
), если определяется равенством
, где
Переход от ряда Фурье в комплексной форме к ряду в действительной форме и обратно осуществляется с помощью формул:
(n
=1,2, . . .)
Задача о колебании струны
Пусть в состоянии равновесия натянута струна длинной l
с концами x=
0 и x
=l
. Предположим, что струна выведена из состояния равновесия и совершает свободные колебания. Будем рассматривать малые колебания струны, происходящие в вертикальной плоскости.
При сделанных выше допущениях можно показать, что функция u
(x,t
) , характеризующая положение струны в каждый момент времени t,
удовлетворяет уравнению
(1) , где а - положительное число.
Наша з а д а ч а - найти функцию u
(x,t
) , график которой дает форму струны в любой момент времени t
, т. е. найти решение уравнения (1) при граничных:
(2)
и начальных условиях:
(3)
Сначала будем искать решения уравнения (1), удовлетворяющие граничным условиям(2). Нетрудно увидеть, что u
(x
,t
)0 является решением уравнения (1), удовлетворяющие граничным условиям(2). Будем искать решения, не равные тождественно 0, представимые в виде произведения u
(x,t
)=X
(x
)T
(t
), (4) , где , .
Подстановка выражения (4) в уравнение (1) дает:
Из которого наша задача сводится к отысканию решений уравнений:
Используя это условие X
(0)=0, X
(l
)=0, докажем, что отрицательное число, разобрав все случаи.
a) Пусть Тогда X
”=0 и его общее решение запишется так:
откуда и ,что невозможно , так как мы рассматриваем решения, не обращающиеся тождественно в нуль.
б) Пусть . Тогда решив уравнение
получим , и, подчинив, найдем, что
в) Если то
Уравнения имеют корни :
получим:
где -произвольные постоянные. Из начального условия найдем:
откуда , т. е.
(n
=1,2,...)
(n
=1,2,...).
Учитывая это, можно записать:
(n=1,2,...).
и, следовательно
, (n
=1,2,...),
но так как A и B разные для различных значений n то имеем
, (n
=1,2,...),
где и произвольные постоянные, которые попытаемся определить таким образом, чтобы ряд удовлетворял уравнению (1), граничным условиям (2) и начальным условиям (3).
Итак, подчиним функцию u
(x,t
) начальным условиям, т. е. подберем и так , чтобы выполнялись условия
Эти равенства являются соответственно разложениями функций и на отрезки [0, l
] в ряд Фурье по синусам. ( Это значит что коэффициенты будут вычисляться как для нечетной функций). Таким образом, решение о колебании струны с заданным граничными и начальными условиями дается формулой
где
(n
=1,2,...)
Интеграл Фурье
Достаточные условия представимости функции в интеграл Фурье.
Для того, чтобы f
(x
) была представлена интегралом Фурье во всех точках непрерывности и правильных точках разрыва, достаточно:
1) абсолютной интегрируемости на
(т.е. интеграл сходится)
2) на любом конечном отрезке [-L
, L
] функция была бы кусочно-гладкой
3) в точках разрыва функции, ее интеграл Фурье определяется полусуммой левого и правого пределов в этих точках, а в точках непрерывности к самой функции f
(x
)
Интегралом Фурье функции f(x) называется интеграл вида:
, где ,
.
Интеграл Фурье для четной и нечетной функции
Пусть f
(x
)-четная функция, удовлетворяющая условиям представимости интегралом Фурье.
Учитывая, что , а также свойство интегралов по симметричному относительно точки x
=0 интервалу от четных функций, из равенства (2) получаем:
(3)
Таким образом, интеграл Фурье четной функции f
(x
) запишется так:
,
где a
(u
) определяется равенством (3).
Рассуждая аналогично, получим, для нечетной функции f
(x
) :
(4)
и, следовательно, интеграл Фурье нечетной функции имеет вид:
,
где b
(u
) определяется равенством (4).
Комплексная форма интеграла Фурье
, (5)
где
.
Выражение в форме (5) является комплексной формой интеграла Фурье для функции f
(x
).
Если в формуле (5) заменить c
(u
) его выражением, то получим:
, где правая часть формулы называется двойным интегралом
Фуpье в комплексной форме. Переход от интеграла Фурье в комплексной форме к интегралу
в действительной форме и обратно осуществим с помощью формул:
Формулы дискретного преобразования Фурье
Обратное преобразование Фурье.
где n
=1,2,... , k
=1,2,...
Дискретным преобразованием Фурье - называется N
-мерный вектор
при этом, .
Разложение четной функции в ряд
Данную выше функцию сделаем четной(см. теорию), и рассмотрим ее на промежутке от 0 до смотри рис.2
Рис.2
поэтому разложение по косинусу имеет вид:
Из разложения видим что при n
=2 дробь теряет смысл поэтому отдельно рассмотрим разложения первого и второго коэффициента суммы:
На основе данного разложения запишем функцию в виде ряда:
и вообще
.
Найдем первые пять гармоник для найденного ряда:
1-ая гармоника
2-ая гармоника
3-я гармоника
4-ая гармоника
5-ая гармоника
А теперь рассмотрим сумму этих гармоник F(x):
Комплексная форма ряда по косинусам
Для рассматриваемого ряда получаем коэффициенты (см. гл.1)
,
но при не существует, поэтому рассмотрим случай когда n
=+2 :
(т.к. см. разложение выше)
и случай когда n
=-2:
( т.к. )
И вообще комплексная форма:
или
или
Разложение нечетной функции в ряд
Аналогичным образом поступаем с данной функцией F(x), продлевая ее как нечетную, и рассматриваем на промежутке от 0 до смотри рис.3
Рис.3
поэтому разложение по синусам имеет вид:
Из данного разложения видно, что при n
=2 произведение неопределенно (можно не учесть часть суммы), поэтому рассмотрим два отдельных случая.
При n
=1:
,
и при n
=2:
Учитывая данные коэффициенты имеем разложения в виде
и вообще
Найдем первые пять гармоник для данного разложения:
1-ая гармоника
2-ая гармоника
3-ая гармоника
4-ая гармоника
5-ая гармоника
И просуммировав выше перечисленные гармоники получим график функции F
(x
)
Вывод:
На основании главы 2, разложение функции в тригонометрический ряд(рис.1), разложение в ряд по косинусам(рис.2), разложение по синусам(рис.3), можно заключить, что данная функция разложима в тригонометрический ряд и это разложение единственное. И проанализировав суммы первых пяти гармоник по каждому разложению можно сказать, что наиболее быстрее к заданному графику достигается при разложении по синусам.
Комплексная форма ряда по синусам
Основываясь на теорию (см. гл.1) для ряда получаем:
, (т.к. )
тогда комплексный ряд имеет вид:
ГЛАВА 3 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ИНТЕГРАЛОМ ФУРЬЕ
Проверка условий представимости
Данную ранее функцию (см. гл. 2) доопределим на всей прямой от до как равную нулю(рис.4).
Рис.4
а) f(x)-определенна на R;
б) f(x) возрастает на , f(x) убывает на - кусочнo-монотонна.
f(x) = const на и .
< .
Интеграл Фурье
В соответствии с теорией (см. гл. 1) найдем a
(u
) и b
(u
):
;
.
И в конечном варианте интеграл Фурье будет выглядеть так:
Интеграл Фурье в комплексной форме
Теперь представим интеграл Фурье в комплексной форме. На основе выше полученных разложений имеем:
,
,
а теперь получим интеграл в комплексной форме:
.
ГЛАВА 4 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ПОЛИНОМОМ ЛЕЖАНДРА
Основные сведения
Функцию можно разложить в ортонормированной системе пространства X=[-1,1] , причем полиномы получим, если проинтегрируем выражение:
Соответственно получим для n=0,1,2,3,4,5, ... :
. . . . . . . . . .
Для представления функции полиномом Лежандра необходимо разложить ее в ряд:
,
где и разлагаемая функция должна быть представлена на отрезке от -1 до 1.
Преобразование функции
Наша первоначальная функция имеет вид (см. рис. 1):
т. к. она расположена на промежутке от 0 до необходимо произвести замену, которая поместит функцию на промежуток от -1 до 1.
Замена:
и тогда F(t) примет вид
или
Вычисление коэффициентов ряда
Исходя из выше изложенной формулы для коэффициентов находим:
Далее вычисление коэффициентов осложнено, поэтому произведем вычисление на компьютере в системе MathCad и за одно проверим уже найденные:
Рассмотрим процесс стремления суммы полинома прибавляя поочередно - слагаемое:
А теперь рассмотрим график суммы пяти полиномов F
(t
) на промежутки от -1 до 0 (рис.5):
Рис. 5
т.к. очевидно, что на промежутке от 0 до 1 будет нуль.
Вывод:
На основе расчетов гл.2 и гл.4 можно заключить, что наиболее быстрое стремление из данных разложений к заданной функции достигается при разложении функции в ряд.
ГЛАВА 5 ДИСКРЕТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
Прямое преобразование
Для того, чтобы произвести прямое преобразование, необходимо задать данную функцию (гл. 1, рис. 1) таблично. Поэтому разбиваем отрезок от 0 до на N
=8 частей, так чтобы приращение:
В нашем случае , и значения функции в k
-ых точках будет:
для нашего случая (т.к. a
=0).
Составим табличную функцию:
| k
|
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 0 | 0.785 | 1.571 | 2.356 | 3.142 | 3.927 | 4.712 | 5.498 | |
| 0 | 0.707 | 1 | 0.707 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Табл. 1
Прямым дискретным преобразованием Фурье вектора называется . Поэтому найдем :
, n
=0,1,...,N
-1
Сумму находим только до 3 слагаемого, т.к. очевидно, что от 4 до 7 к сумме суммируется 0 (т.к. значения функции из таблицы равны нулю).
Составим таблицу по прямому дискретному преобразованию:
зная, , где
, где
| n
|
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | |
| 2,4 | 2 | 1 | 0 | 0.4 | 0 | 1 | 2 | |
| 0.318 | 0.25 | 0.106 | 0 | 0.021 | 0 | 0.009 | 0 |
Табл. 2
Амплитудный спектр
Обратное преобразование
Обратимся к теории гл.1. Обратное преобразование- есть функция :
В нашем случаи это:
А теперь найдем модули и составим таблицу по обратным дискретным преобразованиям:
| k
|
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 0 | 0.785 | 1.571 | 2.356 | 3.142 | 3.927 | 4.712 | 5.498 | |
| 0 | 0.707 | 1 | 0.707 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
| 0 | 0.708 | 1 | 0.707 | 8e-4 | 5e-5 | 5e-4 | 3e-4 |
Табл. 3
Из приведенной таблицы видно, что приближенно равно .
Построим графики используя табл.3, где - это F
(k
), а - это f
(k
) рис. 6 :
Рис. 6
Вывод:
На основе проделанных расчетов можно заключить, что заданная функция представима в виде тригонометрического ряда Фурье, а также интеграла Фурье, полинома Лежандра и дискретных преобразований Фурье. О последнем можно сказать, что спектр (рис. 6) прямого и обратного преобразований совпадают с рассматриваемой функцией и расчеты проведены правильно.
Этап I
1 Постановка задачи
Дана основная (рис
а) б)
Рис. 1.1
Первый способ
- каждому элементу основной схемы подключаются параллельно по N
резервных элементов имеющих надежность в два раза меньше, чем надежность элемента к которому подключают.
Второй способ
- подключить к основной схеме параллельно по N
резервной схеме.
| № элемента | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| Надежность | 0.6 | 0.6 | 0.6 | 0.3 | 0.7 | 0.4 | 0.3 | 0.5 | 0.1 |
| Надеж.(резер.) | 0.3 | 0.3 | 0.3 | 0.15 | 0.35 |
2 Теоретическая часть
Ввиду важности операций сложения и умножения над событиями дадим их определение:
Суммой двух событий А и В
называется событие С, состоящее в выполнении события А
или события В
, или обоих событий вместе.
Суммой нескольких событий
называется событие, состоящее в выполнении хотя бы одного из этих событий.
Произведением двух событий А и В
называется событие D
, состоящее в совместном выполнении события А
и события В
.
Произведением нескольких событий
называется событие, состоящее в совместном выполнении всех этих событий.
А к с и о м ы т е о р и и в е р о я т н о с т е й :
1. Вероятность любого события находится в пределах:
.
2. Если А
и В
несовместные события , то
3. Если имеется счетное множество несовместных событий
А1
, А2
, ... Аn
, ... при , то
Следствие: сумма вероятностей полной группы несовместных событий равна единице
, т.е. если
; при
то
.
Сумма вероятностей противоположных событий ровна единице
:
Правило умножения вероятностей: вероятность произведения
(пересечения, совмещения) двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность второго при наличии первого
.
Для независимых событий правило умножения принимает вид:
, или
Основываясь на теорию выведем некоторые формулы для решения поставленной задачи.
Схема состоит из нескольких n
блоков (рис. 2.1), каждый из которых (независимо от других) может выйти из строя. Надежность каждого блока равна p
. Безотказная работа всех без исключения блоков необходима для безотказной работы в целом. Найти вероятность безотказной работы всей схемы.
Рис. 2.1
Событие A
={безотказная работа прибора} есть произведение n
независимых событий А
1
, А
2
, ... Аn
, где Ai
={безотказная работа i
-го блока}. По правилу умножения для независимых событий имеем
.
Схема состоит из 2 блоков (рис. 2.2), каждый из которых (независимо от друг от друга) может выйти из строя. Надежность каждого блока равна p
. Найти вероятность безотказной работы всей системы.
Рис. 2.2
От события В
={система будет работать} перейдем к противоположному:={система не будет работать}. Для того чтобы система не работала, нужно, чтобы отказали оба блока. Событие есть произведение двух событий:
={блок 1 отказал}x{блок 2 отказал}.
По правилу умножения для независимых событий:
3 Практическая часть
Воспользовавшись выше изложенными формулами рассчитаем надежность основной схемы (рис. 1а), она составит :
, а также резервной схемы (рис. 1б) :
Рассмотрим первый способ подключения (смотри рис. 3.1), когда подключаем по N элементов до тех пор, пока
Рис. 3.1
Тогда формула вероятности для схемы на рис. 2 будет выглядеть так :
, где
,
,
,
,
.
Увеличивая N
дополнительных элементов пошагово добиваемся значения :
Шаг первый, при N
=1
< 0.95
Шаг второй, при N
=2
< 0.95
Шаг третий, при N
=3
< 0.95
Шаг четвертый, при N
=4
< 0.95
Шаг пятый, при N
=5
> 0.95
Из рассмотренных вычислений можно заключить, что для достижения заданной вероятности 0.95 необходимо пяти добавочных элементов.
Рассмотрим второй способ подключения к основной резервной схемы (рис. 3) и найдем число N
подключений при котором достигается заданная вероятность .
Рис. 3.2
Формула по которой будет вычисляться вероятность схемы на рис. 3 выглядит так :
, где
, а - смотри выше.
Увеличивая N
дополнительных резервных схем пошагово добиваемся значения :
При N
=1 :
< 0.95
При N
=2 :
< 0.95
При N
=3 :
< 0.95
При N
=4 :
< 0.95
При N
=5 :
< 0.95
При N
=6 :
> 0.95
Из рассмотренных вычислений можно заключить, что для достижения заданной вероятности 0.95 необходимо шесть резервных схем.
Этап II
1 Постановка задачи
- найти неизвестную константу функции f
(x
);
- выписать функцию распределения, построить их графики;
- найти математическое ожидание и дисперсию;
- найти вероятность попадания в интервал (1;4).
2 Теоретическая часть
Под случайной величиной понимается величина, которая в результате измерения (опыта) со случайным исходом принимает то или иное значение.
Функция распределения случайной величины Х называется вероятность того, что она примет значение меньшее, чем заданное х
:
.
Основные свойства функции распределения:
1) F
(x
) - неубывающая функция своего аргумента, при .
2) .
3) .
Плотностью распределения непрерывной случайной величины Х в точке х
называется производная ее функции распределения в этой точке. Обозначим ее f
(x
) :
Выразим функцию распределения F
(x
) через плотность распределения f
(x
):
Основные свойства плотности распределения f
(x
):
1. Плотность распределения - неотрицательная функция .
2. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единицы:
.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных ее значений на вероятности этих значений.
Перейдем от дискретной случайной величины Х
к непрерывной с плотностью f
(x
).
Дисперсия случайной величины есть математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной величины:
Для непосредственного вычисления дисперсии непрерывной случайной величины служит формула:
3 Практическая часть
Для нахождения неизвестной константы c
применим выше описанное свойство:
, откуда
, или
Найдем функцию распределения основываясь на теоретической части:
- на интервале
- на интервале
- на интервале
Теперь построим график функций f
(x
)- плотности распределения (рис. 2.1 - кривая распределения) и F
(x
)- функции распределения (рис. 2.2)
Рис. 2.1
Рис. 2.2
Следуя постановке задачи найдем математическое ожидание и дисперсию для случайной величины X
:
Производя еще одну замену приходим к первоначальной формуле из чего можно сделать вывод, что математическое ожидание с.в. Х
равно :
Также находим дисперсию :
И последнее, вероятность попадания в интервал (1;4) находим как :
Этап III
1 Постановка задачи
Дана случайная выборка объема n
=100 :
| 104.6 | 95.2 | 82.0 | 107.7 | 116.8 | 80.0 | 100.8 | 124.6 | 99.4 | 101.4 |
| 100.6 | 86.3 | 88.2 | 103.8 | 98.5 | 111.8 | 83.4 | 94.7 | 113.6 | 74.7 |
| 114.3 | 86.9 | 106.6 | 94.9 | 105.9 | 88.6 | 96.6 | 93.7 | 90.8 | 96.5 |
| 110.2 | 100.0 | 95.6 | 102.9 | 91.1 | 103.6 | 94.8 | 112.8 | 100.1 | 95.3 |
| 113.9 | 113.9 | 86.1 | 110.3 | 88.4 | 97.7 | 70.1 | 100.5 | 90.9 | 94.5 |
| 109.1 | 82.2 | 101.9 | 86.7 | 97.4 | 102.1 | 87.2 | 94.71 | 112.4 | 94.9 |
| 111.8 | 99.0 | 101.6 | 97.2 | 96.5 | 102.7 | 98.6 | 100.0 | 86.2 | 89.4 |
| 85.0 | 86.6 | 122.7 | 101.8 | 118.3 | 106.1 | 91.3 | 98.4 | 90.4 | 95.1 |
| 93.1 | 110.4 | 100.4 | 86.5 | 105.4 | 96.9 | 101.9 | 83.8 | 107.3 | 107.5 |
| 113.7 | 102.8 | 88.7 | 112.5 | 79.4 | 79.1 | 98.1 | 103.8 | 107.2 | 102.3 |
2 Теоретическая часть
Под случайной выборкой объема n
понимают совокупность случайных величин , не зависимых между собой. Случайная выборка есть математическая модель проводимых в одинаковых условиях независимых измерений.
Упорядоченной статистической совокупностью будем называть случайную выборку величины в которой расположены в порядке возрастания .
Размах выборки есть величина r=Xn
-X1
, где Xn
- max , X1
- min элементы выборки.
Группированным статистическим рядом называется интервалы с соответствующими им частотами на которые разбивается упорядоченная выборка, причем ширина интервала находится как :
тогда частота попадания в отрезок находим по формуле :
, где Vi
- число величин попавших в отрезок , причем . Поделив каждую частоту на получим высоту для построения гистограммы.
Построив гистограмму мы получили аналог кривой распределения по которой можем выдвинуть гипотезу о законе распределения. Выровнять статистическое распределение с помощью закона о котором выдвинули гипотезу, для этого нужно статист. среднее m
x
*
и статистическую дисперсию D
x
*
.
Которые находим как
Естественной оценкой для мат. ожидания является среднее арифметическое значение :
.
Посмотрим, является ли эта оценка не смещенной , для этого найдем ее мате-матическое ожидание :
,
то есть оценка для m
является несмещенной.
Найдем дисперсию этой оценки :
Эффективность или неэффективность оценки зависит от вида закона распределения случайной величины X
.Если распределение нормально, то оценка для мат. ожидания m
является и эффективной.
Перейдем к оценке для дисперсии D
. На первый взгляд наиболее естественной представляется статистическая дисперсия D
*
, то есть среднее арифметическое квадратов отклонений значений Xi
от среднего :
.
Проверим состоятельность этой оценки, выразив ее через среднее арифметическое квадратов наблюдений:
.
, где правая часть есть среднее арифметическое значений случайной величины X2
сходится по вероятности к ее мат. ожиданию: . Вторая часть сходится по вероятности к ; вся величина сходится по вероятности к . Значит, оценка состоятельна.
Проверим ее на несмещенность, подставив в вместо его выражение и произведем действия:
.
Так как D*
не зависит от выбора начала координат то отцентрируем все случайные величины . Тогда
.
Найдем мат. ожидание величины D*
:
.
Но ,, и получаем:
.
Отсюда видно, что величина D*
не является несмещенной оценкой для дисперсии D
; ее мат. ожидание не равно D
, а несколько меньше. Пользуясь оценкой D*
вместо D
, будет проходить систематическая ошибка в меньшую сторону, чтобы ее ликвидировать введем поправку тогда мы получим несмещенную оценку для дисперсии:
При больших n
поправочный коэффициент становится близким к единицы, и его применение теряет смысл. Поэтому в качестве приближенных значени (оценок) этих характеристик нужно взять:
,
.
3 Практическая часть
Упорядоченная выборка где n=100 количество замеров :
| 70.1 | 74.7 | 79.1 | 79.4 | 80.0 | 82.0 | 82.2 | 83.4 | 83.8 | 85.0 |
| 86.1 | 86.2 | 86.3 | 86.5 | 86.6 | 86.7 | 86.9 | 87.2 | 88.2 | 88.4 |
| 88.6 | 88.7 | 89.4 | 90.4 | 90.8 | 90.9 | 91.1 | 91.3 | 93.1 | 93.7 |
| 94.5 | 94.7 | 94.7 | 94.8 | 94.9 | 94.9 | 95.1 | 95.2 | 95.3 | 95.6 |
| 96.5 | 96.5 | 96.6 | 96.9 | 97.2 | 97.4 | 97.7 | 98.1 | 98.4 | 98.8 |
| 98.6 | 99.0 | 99.4 | 100.0 | 100.0 | 100.1 | 100.4 | 100.5 | 100.6 | 100.8 |
| 101.4 | 101.6 | 101.8 | 101.9 | 101.9 | 102.1 | 102.3 | 102.7 | 102.8 | 102.9 |
| 103.6 | 103.8 | 103.8 | 104.6 | 105.4 | 105.9 | 106.1 | 106.6 | 107.2 | 107.3 |
| 107.5 | 107.7 | 109.1 | 110.2 | 110.3 | 110.4 | 111.8 | 111.8 | 112.4 | 112.5 |
| 112.8 | 113.0 | 113.6 | 113.9 | 113.9 | 114.3 | 116.8 | 118.3 | 122.7 | 124.6 |
Размах выборки r=Xn
-X1
=124.6-70.1= 54.5
На основе выше изложенной теории для исследования статистики составляем табл. 3.1.
Табл. 3.1
| Интервалы | Число попаданий в интервал | Частота попаданий в интервал | Высоты интервалов для гистограммы |
1. 70.10 - 75.55 2. 75.55 - 81.00 3. 81.00 - 86.45 4. 86.45 - 91.90 5. 91.90 - 97.35 6. 97.35 - 102.80 7. 102.80 - 108.25 8. 108.25 - 113.70 9. 113.70 - 119.15 10.119.15 - 124.60 |
2 3 8 15 17 23.5 13.5 11 5 2 |
0.020 0.030 0.080 0.150 0.170 0.235 0.135 0.110 0.050 0.020 |
0.0036697 0.0055045 0.0146788 0.0275229 0.0311926 0.0431192 0.0247706 0.0201834 0.0091743 0.0036697 |
| Сумма 1.000 |
По построенной гистограмме (рис. 3.1) можно предположить, что данное распределение подчиняется нормальному закону. Для подтверждения выдвинутой гипотезы проведем оценку неизвестных параметров, для мат. ожидания
,
для оценки дисперсии
.
Полагая в выражении нормальной плотности
, где
и пользуясь, либо приложением 4 в учебнике Вентцель Е.С., Овчаров Л.А.” Прикладные задачи теории вероятностей.” - М.: Радио и связь, 1983, либо как в нашем случае воспользоваться системой MathCad , получим значения на границах разрядов табл. 3.2 :
Табл. 3.2
| x
|
f(x)
|
1. 70.10 2. 75.55 3. 81.00 4. 86.45 5. 91.90 6. 97.35 7. 102.80 8. 108.25 9. 113.70 10.119.15 11.124.60 |
0.0010445 0.0036354 0.0097032 0.0198601 0.0311717 0.0375190 0.0346300 0.0245113 0.0133043 0.0055377 0.0017676 |
и построим выравнивающую ее нормальную кривую рис. 3.1
Рассчитаем вероятность (табл. 3.3) попадания с. в. Х
в k
-й интервал по формуле
Табл. 3.3
|
|
|
1. 70.10 - 75.55 2. 75.55 - 81.00 3. 81.00 - 86.45 4. 86.45 - 91.90 5. 91.90 - 97.35 6. 97.35 - 102.80 7. 102.80 - 108.25 8. 108.25 - 113.70 9. 113.70 - 119.15 10.119.15 - 124.60 |
0.0115694 0.0344280 0.0790016 0.1398089 0.1908301 0.2009057 0.1631453 0.1021833 0.0493603 0.0183874 |
Для проверки правдоподобия гипотезы воспользуемся критерием согласия для этого возьмем данные из табл. 3.1 и 3.3 и подставим в формулу :
Рис. 3.1
Определяем число степеней свободы (10-1-l
)=7, где l
- число независимых условий (количество параметров подлежащих оценки в нашем случаи их l=
2, это mx
, Dx
- для нормального распределения). По приложению 3 в учебнике Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. ”Теория вероятностей и ее инженерные приложения.” - М.: Наука, 1988 находим при r=7, p=0.95 =2.17 для уровня значимости и видим, что , но даже меньше.
Это свидетельствует о том, что выдвинутая нами гипотеза о нормальности распределения не противоречит опытным данным.