Билеты по геометрии (11 класс)

Билет № 3

1. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

2. Объем призмы.

1.
Три случая расположения прямой и плоскости.

1.Плоскость и прямая имеют одну оющую точку aÈA

2.Прямая лежит в плоскости а значит имеет с ней 2 общие точки.

1.Пряммая и плоскость не имеют общих точек т.е.a÷ïa

2.Теорема:
Объем прямой призмы равен произведению площади основания на высоту
.

Д-во:

Рассмотрим правильную 3-угольную призму АВСА1
В1
С1
с объемом V и высотой h.

Проведем такую высоту ∆АВС (ВD) кот. разделит этот ∆на 2 ∆. Поскольку ВВ1
D разделяют данную призму на 2 призмы , основания кот является прямоугольный ∆ABD и ВСD. Плэтому объем V1
и V2
соответственно равны SAB
D
·h и SВС
D
·h. По св-ву 20
объемов V=V1
+V2
т.е V= SAB
D
·h+ SВС
D
·h= (SAB
D
+ SВС
D
) h. Т.о. V=SАВС
·h

Д-во

Возьмем произвольную прямую призму с высотой h
и площадью основания S. Такую

призму можно разбить на прямые треугольные призмы с высотой h.
Выразим объем каждой треугольной призмы по формуле (1) и сложим эти объемы. Вынося за скобки общий множитель h
,
получим в скобках сумму площадей оснований треугольных призм, т. е. площадь S основания исходной призмы. Таким образом, объем исходной призмы равен произведению Sh.
Теорема доказана.

Рассмотрим случай , когда призмая является частью параллелепип-ида. Диогональное сечение делит параллелепипед на 2 равные треугольные призмы. Так как Sпол
= 1/
/2
ab то S∆
=ab =>V∆
= Sh ч.т.д.

Билет №5

1. Перпендикуляр к наклонной плоскости(формулировки, примеры)

2. Объем цилиндра.

1.
Рассмотрим пл αи т А,
не лежащую в этой плоскости. Проведем через т А
прямую,^ к пл α, и обозначим букв H т пересечения этой прямой с пл α .Отрезок АН называется,
^ проведенным из

т А к пл
α, a т Н
— основанием
^.
Отметимв пл αкакую-нибудь т М,
отличную от Н, и проведем отр AM.
Он называется наклонной
, про-вед из т А к пл
α, а т М
— основанием наклонной.
Отрезок НМ наз-ывается проекцией наклонной
на пл α. Сравним ^АН
и наклон-ную AM:
в прямоугольном ∆АМН
сторона АН —
катет, а сторона AM
-
гипотенуза, поэтому АН<АМ. Итак, ^, проведенный аз данной т к пл, меньше любой наклонной, проведенной из той же т к этой пл.

=> из всех расстояний от т А
до различных т пл αнаименьшим является расстояние до т H. Это расстояние, т. е: длина ^, проведенного из т А
к пл α , называется расстоянием от т
A
до пл
α

Замечаиия. 1. Если две плоскости параллельны, то все точки одной плоскости равноудалены от другой плоскости.

2.
Теорема

.
Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

Д-во

. Впишем в данный цилиндр Р радиуса r и высоты h правильную n-угольную призму Fn
а в

эту призму впишем цилиндр Рп
. Обозначим через V и Vn
объемы цилиндров Р и Рп
, через rп
— радиус цилиндра Рп
. Так как объемпризмы Fn
равен Sn
h, где Sn
- площадь основания призмы, а цилиндр Р содержит призму Fn
, кот в свою очередь , содержит цилиндр Рп ,
тоVn
<Sn
h<V. Будем неограниченно увеличивать число n. При этом радиус rп
цилиндра Рп
стремиться к радиусу r цилиндра Р(rп
=rcos180/n®r при r→∞). Поэтому V цилиндра Рп
стремиться к объему цилиндра Р: limVn
=V. Из равенства (Vn
<Sn
h<V) =>, что

n→∞

limSn
h=V. Но limSn
=πr2
Т.о V=πr2
h.т.к πr2
=S ,то получим V=Sосн
h.

n→∞ n→∞

Билет № 6

1. Расстояние между скрещивающимися прямыми (формулировки, примеры)

2. Объем конуса.

Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью , проходящей через другую прямую параллельную первой , называется расстояни6е между скрещивающимися прямыми.

Если две прямые скрещиваются то через каждую из них проходит плоскость параллельная другой прямой , и при том только одна.

2 Теорема. Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Д-во

Рассмотрим конус с объемом V, радиусом основания R, высо-той h и вершиной т О . Введем ось Ох (ОМ). Произвольное сечение конуса пл. , ^ к оси Ох , является кругом с центром в т М1
пересе-чения этой пл. с осью Ох. Обозначим радиус через R1
,а S сечения через S(х) , где х – абсцисса т М1
. Из подобия прямоугольных ∆ ОМ1
А1
и ОМА=> что

ОМ1

, или

откуда

так как

S(x)= pR1
2

,то

S(x)=

pR2

ОМ

Применяя основную формулу для вычисления объемов тел при а=0, b=0, получим

∫

πR2

x2
dx=

πR2

∫

x2
dx=

πR2

½
=

πR2
h

Площадь S основания конуса равна pR2
, поэтому V=1
/3
Sh.

Следствие.
Объемом V усеченного конуса , высота кот равна h, а площадь оснований S и S1
вычисляется по формулеV=1
/3
h(S·S1
+√ S·S1
).

Билет №7

1. Угол между скрещивающимися прямыми

2. Площадь боковой поверхности цилиндра.

1.
Пусть АВ и СD – скрещивающиеся прямые . Возьмем произвольную т. М1
пространства и проведем через нее прямые А1
В1
и С1
D1
, соответственно параллельн АВ и СD

Если ∠ между прямыми А1
В1
и С1
D1
=φ, то будем говорить , что∠ между скрещивающимися прямыми АВ и СD=φ. Докажем теперь, что∠ между прямыми не зависит от выбора т. М1
. Действительно , возьмем любую т. М2
и проведем прямые А2
В2
и С2
D2
соответственно парал. АВ и СD Т.к А1
В1
∥ А2
D2
, С1
D1
∥ C2
D2
, то стороны углов с вершинами в т.М1
и М2
попарно сонаправлены( ∠А1
М1
С1
и∠А2
М2
С2
, ∠А1
М1
D1
и∠А2
М2
D2
) потому эти ∠ равны, ⇒что∠ между А2
В2
и С2
D2
так же =φ. В качестве т М можно взять любую точку на одной из скрещивающихся прямых . Например на СD отметить т М и через нее провести А'B' параллельные АВ .Угол между прямыми A'B'и CD= φ

2.
Терема:

S боковой поверхности цилиндра равна произведению длинны окружности основания на высоту

Разрежем боковую поверхность по образующей АВ и развернем т.о , что все образующие оказались в одной плоскости α . В результате в пл α получится прямоугольник АВВ'А' . Стороны АВ и А'В' –два края разреза боковой поверхности цилиндра по образующей АВ . Это прямоугольник называется разверткой боковой поверхности цилиндра . основание АА' прямоугольника является разверткой окружности основания цилиндра , поэтому АА'=2πr , AB-h, где г- радиус цилиндра , h- его высота . за S бок
цилиндра принято считать S её развертки . Т.к S прямоугольника АВВ'А'= АА'•ВА = 2πr•h то, для вычисления S бок цилиндра радиуса к и высоты h формула

S бок
=2πrh

Билет № 9

1. Угол между плоскостями (формулировка, примеры)

2. Сложение векторов. Свойства сложения.

2.
Возьмем 2 произвольных вектора a и b .Отложим от какой-нибудь т А вектор АВ равный а. Затем от т В отложим ВС=b. Вектор АС называется суммой векторов а и
b
: АС=a+b.

Это правило сложения векторов называется правилом треугольника
. (по этому же правилу складываются и коллинеарные векторы , хотя при их сложении треугольника не получается) Сумма a
+b не зависит от выбора т А, от которой при сложении откладывается вектор а.
(если например заменить т А на т А1
то вектор АС заменится равным ему вектором А1
С1
Привило треугольника можно сформулировать и в другой форме: для любых точек А,В,и С имеет место равенство
АВ+ВС=АС. Для сложения 2-ух неколлинеарных векторов можно пользоваться так же правилом параллелограмма.
Для любых векторов а, b
и с справедливы равенства:
a+b=b+a (перемести-тельный з-н.
);(a+b)+с=а+(b+с)(сочетательный з-н).
Два нулевых вектора называются противоположными, если их длины равны нулю и они противоположно направлены.Вектором проти-оположным нулевому вектору , считается нулевой вектор. Вектр АВ является проти-воположным вектру ВА

Билет № 10

1. Двугранный угол. Линейный угол двугранного угла.( формулировки , примеры)

2. Умножение вектора на число . Св-ва произведения вектора на число.

1.
Двугранным углом называют фигуру , образованную прямой а и 2-мя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости.
Полуплоскости, образующие двугранный угол , называются его гранями.

У двугранного угла 2 грани, отсюда и название. Прямая а – общая граница полуплоскостей- называется ребром
двугранного угла. Для измерения двугранного угла отметим на ребре какую-нибудь т. и в каждой грани из этой точки проведем перпендикуляр к ребру. Образованный этими лучами угол называется линейный угол двугранного угла.
(ÐАОВ ) ОА^CD CD^ОВ, то плоскость АОВ ^ к прямой СD. Двугранный угол имеет бесконечное множество линейных углов и они равны друг другу. Рассмотрим 2 линейных ÐАОВ и ÐА1
О1
В1
. Лучи ОА и О1
А1
лежат в одной грани ^к ОО1
, поэтому они сонаправлены. Точно так же сонаправлены ОВ и О1В1=> Ð А1
О1
В1
=ÐАОВ. Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла
. Он может быть прямым , острым, тупым
( 90°, <90°, >90°)

2.
Произведение ненулвого вектора а на число k
называется такой вектор
b
, длинна которого равно
|k
|·|a
|, причем вектор
a
и
b
сонаправлены при
k
≥ 0 и противоположно направлены при
k<0.
Произведением ненулевого вектора на любое число нулевой вектор.
Произведение вектора а на число k обозначается так : ak. Для любого числа k и вектора а векторы а и ka коллинеарны. Из этого определения следует , что произведение любого вектора на число 0 есть нулевой вектор. Для любых векторов а и b и любых чмсел k, l справедливы равенства:

(kl)a= k(al) (сочетательный з-н)

k(a+b)=ka+kb(Ι-ый распределительный з-н)

(k+l)a=ka+la ( II-ой распределительный з-н)

отметим, что (-1)а является вектором противоположному вектору а, т.е. (-1)а = -а. Действитель-но, длины векторов (-1)а и а равны: |(-1)a| =|(-1)|×|а|=а. Кроме того , если вектолр а ненулевой , то векторы (-1) а и а противоположно направлены. Точно так же, как в планеметрии, можно диказать, что если векторы а и b коллинеарны и а¹0 , то существует число k такое, что b= ka.

Билет № 11

1. призма (формулировки , примеры)

2. Скалярное произведение векторов.

1. Призма.
Рассмотрим два равных многоугольника А1
А2.
., Ап
и В1
В2.
...Вп
,
расположенных в параллельных пл-тях а и р так, что отрезки А1
В1
,А2
В2
,
..., Ап
Вп,
соединяющие соответственные вершины мн-

ков, параллельны.Каждый из п 4-
хугольников A
1
A2
B2
B
1
,
А2
А3
В3
В2
,
.... An
A
1
B
1
Bn
является п-ммом, так как имеет попарно параллельные про-тивоположные стороны. Мн-к, составленный из 2 равных мн-ков А1
A2
...An
и В1
В2
...Вп
,
расположенных в параллельных пл-тях, и n п-ммов наз призмой
Мн-ки A
1
A
2
.
...
An
и B
1
B
2
...Bn
наз основаниями,
а п-ммы-бокоеыми гранялш
призмы.От резки А1
В1
, А2
В2
..., АпВп
наз бо
-
коеыми ребрами
призмы. Эти ребра как противрпрложные стороны п-ммов последовательно приложенных друг к другу, равны в парал-лельны.Призму с основаниями A
1
A
2
.
...
An
и B
1
B
2
...Bn
обозначают-A
1
A
2
.
...А
n
В
1
В2
...В
n
и называют п-угольной призмой.
4-ехугольная призма- параллелепипед.^, проведенный из какой-нибудь точки одного ос-нования к плоскости другого основания, называется высотой
приз-мы. Если боковые ребра призмы ^к основаниям, то призма наз пря
-
мой,
в противном случае –наклонной.
Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.Прямая при-зма называется пра
-
вильной,
если ее основания — правильные мн-ки. У такой призмы все боковые грани -равные прямоугольники S полной поверхности. призмы
называется сумма площадей всех ее граней, а S боковой поверхности призмы—
сумма площа-дей ее боковых граней. Пло-щадь Sполн
полной повер-хности выра-жается через площадь S6os
боко-вой поверхности и пло-щадь Sосн
ос-нования призмы форму Sполн
=S6oк+
2Sосн
.

2.
Скакалярным произведением 2-ух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними
Скал-ое произведение векторов а и b обозначают так :аb . Т. о. ab=|a|×|b|cos (ab). Скал-ое произведение вектора равно 0 тогда, когда эти векторы ^; скал-ый квадрат вектора(т.е скал-ое призведение вектора на себя) = квадрату его длинны.. Скал-ое произведение 2-ух векто-ров можно вычислить, зная координаты этих векторов:скал-ое произведение векторов а{x1
;y1
;z1
} и b{x2
;y2
;z2
}выражается формулой: аb= x1
x2
+y1
y2
+z1
z2
. Косинус Ða между ненулевыми вектора-ми а{x1
;y1
;z1
} и b{x2
;y2
;z2
} вычисляется формулой.

соsa=	x1 x2 +y1 y2 +z1 z2 .	В самом деле, так как а b =\|а\|×\|b\|, то	cosa=	ab
	√x1 2 +y1 & sup2;+z1 2 ⋅√ x2 2 +y2 ²+z2 2			\|a\|×\|b\|

Подставив сюда выражения для ab, |а|и|b| через координаты векторов а и b получим эту формулу. Для любых векторов а,b и c и любого числа k справедливы равенства:

10
.а2³) , причем а2
>0 при а¹0

20
.ab=ba(переместительный з-н)

30
.(a+b)c=ac+bc(распределительный з-н)

40
.k(ab)=(ka)b (сочетательный з-н)

Утверждения 1⁰-4⁰относятся и к планиметрии Нетрудно док-ть , что распределительный з-н имеет место для любого числа слагаемых( (a+b+c)d=ad+bd+cd.)

Билет № 12

1. Прямая и правильная призма(формулировки примеры)

2. Существование плоскости , проходящей через данную прямую и данную точку.

1.
Если боковые ребра перпендикулярны основаниям, то призма нвзывается прямой
, в противном случае наклонной.
Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.

Прямая призма называется правильной
, если ее основания- правильные многоугольники. У такой призмы все боковые грани – равные прямоугольники.

2. Теорема. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и приом только одна .

Д-во.

Рассмотрим пр а и не лежащую на ней т М. Отметим на прямой а 2 точки Р и Н Точки М,Р и Н не лежат на одной прямой поэтому согласно аксиоме А1
через эти 3 точки проходит пл a. Т.к. 2 точки прямой РиН лежат в пл a., то по аксиоме А2
пл a.проходит через прямую а.Единственность пл, проходящай через прямую а и т М, => из того, что любая пл., проходящая через пр а и т М, проходит через т М, Р и Н .=>, она совпадает с пл a., т.к по аксиоме А1
через 3 точки проходит только одна плоскость.

Билет № 13

1. Параллелепипед. Прямоугольный параллелепипед(формулировка примеры)

2. Теорема о боковой поверхности призмы.

1.
Прямоугольный параллелепипед.
Параллелепипед называется прямоугольник,
если его боковые ребра ^к основанию, а основания представляют собой прямоугольники: коробки,

ящики, комнаты к т. д. прямоугольный параллелепипед ABCD A1
B1
C1
D1
.
Его основаниями служат прямоугольники ABCD
и A1
B1
C1
D1
a
боковые ребра АА1
, ВВ1
, СС1
и DD1
^к основаниям. Отсюда=>, что АА
1
^АВ,
т. е. боковая граyь АА
1
В1
В —
прямоуголь-ник. To же самое можно сказать и об остальных боковых гранях. Та-ким образом, мы обосновали следующее свойство прямоугольного параллелепипеда:

1°. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней прямоугольники.
Полупл, в кот расположены смежные грани парал-

да, образуют двугранные углы, кот называются двугранными углами параллелепипеда.

2°. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда
— прямые.

Длины трех ребер, имеющих общую вершину, назовем измерениями
прямоугольного парал-да. Например, у парал-да, можно взять длины ребер АВ,
AD
и АА1
.
Длины смежных сторон можно назвать измерениями прямоугольника и поэтому можно сказать, что квадрат диагонали, прямоугольника равен сумме квадратов двух его измерений
.

2
. Теорема:
S

боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

Д-во. Боковая поверхность прямой призмы – прямоугольники , основания которых- стороны основания призмы, а высота равна h
призмы. S боковой поверхности призмы равна сумме произведений указанных прямоугольников, т.е. равна сумме произведений сторон основания нв высоту h
. Вынося множитель h
за скобки получим в скобках сумму сторон основания призмы, т.е его периметр P
. Итак Sбок
=Ph

S=AB•h+BC•h+CA•h=h(AB+BC+CA)=Ph

Билет № 14

1. Пирамида(формулировка , примеры)

2. Существование прямой, параллельной данной прямой и проходящей через данную точку.

1. Пирамида.
Рассмотриммногоугольник А1
А2
…Аn и точку Р не лежащую в плоскости этого многоугольника . Соединив т. Р отрезками с вершинами многоугольника, получим n треугольников РА1
А1
, РА2
А3
…,РаnА1
.

Многоугольник, составленный из
n
–угольника А1
А2
…А
n
и
n
тре-угольников , называется
пирамидой.
Многоугольник А1
А2
…Аn
назы-вается основанием
, а треугольники- боковыми гранями
пирамиды. Т.Р называется вершиной
пирамиды , а отрезки РА1
,РА2
, …, РАn– её боковыми ребрами
. Пирамиду с основанием А1
А2
,…Аn и вершиной Р обозначают так: РА1
А2
…Аn –и называют n –угольной пирамидой. Треугольная пирамида называется тетраэдр. Перпендикуляр , проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания , называют высотой
пирамиды (РН) Площадью полной поверхности пирамиды
называют сумму площадей её граней , а площадью боковой поверх-ности
– сумму площадей её боковых граней

2. Т е о р е м а.
Через любдю точку пространства, не лежащую на данной

прямой, проходит прямая, параллелькая данной, и притом только одна.

Д

-

во.

Рассмотрим прямую a
и т М,
не лежащую на этой прямой. Через прямую a и т М
проходит

пл, и притом только одна . Обозначим эту плоскость буквой α.
Прямая, проходящая через точку М
параллельно прямой а,
должна лежать в одной плоскости с т М
и прямой а, т. е. должна лежать в плоскости α. Ho в плоскости α, как известно из курса планиметрии, через т М
проходит прямая, параллельная прямой а,
и притом только одна. Эта прямая обозначена буквой b
.
Итак, b
—
единственная прямая, проходящая через т М
параллельно прямой а. Теорема доказана.

Билет № 15

1. Цилиндр (формулировки и примеры)

2. Признак параллельных прямых.

1
. Цилиндр
. Рассмотрим две параллельные плоскостиα и β и окружность L с центром О радиуса r , расположенную в пл α. Отрезки прямых заключенных между плоскостями образуют цилиндрическую поверхность
. Сами отрезки называются образующими цилиндрической поверхности
По построению концов образующих расположенных в пл β заполним окружность

L1.
Тело ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с границами

L и L1
,

называется цилиндром

.
Цилиндрическая поверхность называется боковой поверхностью цилиндра,
а круги - основаниями цилиндра .
Образующие цилиндрической поверхности называются образующими цилиндра
, прямая ОО1
- осью цилиндра.

Цилиндр может быть получен вращением прямоугольника
вокруг одной из его сторон. Сечение цилиндра , проходящее через ось , представляет собой прямоугольник , две стороны которого образующие , а 2 другие –диаметры оснований цилиндра , такое сечение называется осевым. Если секущая плоскость ⊥к оси цилиндра , то сечение является кругом.
Цилиндры так же могут быть и наклонными или иметь в своем основании параболу .

Параллельность прямых а и bобозначается так: а||
b
.
Докажем теорему о параллельных прямых.

Т е о р е м а.
Через любдю точку пространства, не лежащую на данной

прямой, проходит прямая, параллелькая данной, и притом только одна.

Д

-

во.

Рассмотрим прямую a
и т М,
не лежащую на этой прямой. Через прямую a и т М
проходит

Билет №16

1. Конус (формулировки и примеры)

2. Признак параллельности прямой и плоскости

1
.Конус.
Рассмотрим окружность L с центром О и прямую ОР , перпендикулярную к плоскости этой окружности. Каждую точку окружности соединим с отрезом в т. Р Поверхность, образованная этими отрезками называется конической поверхностью

а сами отрезки – образующими конической поверхности
. Тело, ограниченное конической поверхностью и круг-ом с границей

L

, называется конусом

.
Коническая по-верх называется боковой поверхностью конуса
, а круг - снованием конуса
. Т.Р называется вершиной
конуса , а образующие конической поверхности – образующими конуса. Все образующие равны друг другу . ОР , прохо-дящая через центр основания и вершину , называется Осью конуса
. Ось конуса ⊥ к плоскости основания. Отрезок ОР называется высотой конуса
.

Конус можно получить и вращением прямоуголь-ным треугольником вокруг одного из его катетов. При этом боковая поверхность образуется с помо-щью гипотенузы. Рассмотрим сечения конуса. Если секущая ось проходит через ось , то сечение пред-ставляет собой треугольник , и называется осевым сечением.
Если секущая плоскость ⊥к оси ОР конуса, о сечене пред-ставляет собой круг с центром в т.О1
, расположенным на оси конуса. R1
этогокруга равен РО1
/РО
r , где r- радиус основания конуса , что легко усмотреть из подобия△РОМ∾△РО1
М1

2.Определение
.
Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Теорема.

Если прямая , не лежащая в даннойц плоскости, палаллльна какой-нибудь прямой , лежащей в этой плоскости, то она параллнльна данной плоскости.

Д-во.

Рассмотрим пл.αи 2║прямые a и b , расположенные так, что прямая b лежит в пл α, а прямая a не лежит в этой пл. Докажем, что α║a. Допустим, что это не так, тогда прямая a пересекает пл α , а значит по лемме о пересечении пл параллельными прямыми пр b так же пересекает пл α . Но это невозможно , так как пр b лежит в пл α. Итак пр a не пересекает пл α, поэтому она ║этой плоскости.

Билет № 17

1. Сфера, шар( формулировки, примеры)

2. Признак параллельности плоскостей.

Определение.
Сферой называется поверхность, состоящая из всех точен. пространства, расположенных на данном расстоянии
or
данной точки

Данная точка называется центром
сферы (т О
), а данное расстояние — радиусом
сферы. Радиус сферы часто обозначают буквой R
Люб-ой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, также называется радиусом сферы.Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр, называется диаметром
сферы. Очеви-дно, диаметр сферы равен 2R Отметим, что сфера может быть полу-чена вращением полуокружности вокруг ее диаметра Тело, ограни-ченное сферой, называется шаром.
Центр, радиус и диаметр сферы называются также центром, радиусом
и диаметром
шара. Очевидно, шар радиуса R
с
центром О
содержит все точки пространства, кот. Расположены от точки О
на расстоянии, не превышающем H(вклю-чая и точку О),
и не содержит других точек.

2.
Теорема.

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым, другой плоскости, то эти плоскости праллельны.

Д-во.

Рассмотрим две плоскости α и β. В плоскости αлежат пересека-ющиеся в точке М
прямые a и b, а в плоскости β — прямые a1
и b
,
причем a||a1
и b||b1
.
Докажвм, что a||b. Прежде всего отметим, что по признаку параллельности прямой и плоскости a||β и b||β.Допустим, что плоскости α и β не параллельны. Тогда они пересекаются по некоторой прямой с.
Мы получили, что плоскость a проходит через прямую а,
па-раллельную плоскости β, и пересекает плоскость по прямой с
.
Отсюда следует, что a||с.

Но плоскость a проходит также через прямую b,
параллельную плоскости β. Поэтому b||c.
Т.о, через т М
проходят две прямые a и b,
параллельные прямой с.
Но это невозможно, т.к по теореме о параллельных прямых через точку М
проходит только одна прямая, параллельная прямой с.Значит, наше допущение неверно и α|| β. Теорема доказана.

Билет № 18

1.Формула прямоугольногопараллелепипеда. (формулировка и пример)

2. Свойства перпендикулярности прямой и плоскости( доказательство одного из них)

2. Определение.

Прямая называется перпендикулярной к плоскости , если она перпендикулярна к любой прямой , лежащей в этой плоскости.

Теорема.

Если одна из 2-ух параллельных прямых перпендикуляр-на к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плос-кости.

Д-во

. Рассмотрим 2 ║а и а1
и пл α, такую, что а^α. Докажем, что и а1
^α.. проведем какую-нибудь прямую х
в пл α. Так как а^α, то а^х.
По лемме о перпендикулярности 2-ух параллельных прямых к третьей а1
^х.
Т.о. прямая а1
^ к любой прямой , лежащей в пл a т.е а1
^α.

Теорема

. Если 2 прямые перпендикулярны к плоскости , то они параллельны.

Билет №20

1.
Фрмула обьема шара( формула примеры)

2.
Теорема о трех перпендикулярах

1.
Теорема:
Объем шара радиуса R равен 4
/3

p
R3

Д-во:

Рассмотрим шар радиуса R с центром в т.О и выберем ост Ох произвольным образом. Сечение шара пл. ^к оси Ох и проходящей через т М этой оси является кругом с центром в т М. Обозничим радиус этого круга r , а его площадь S(x), где х- абсц-исса т М. Выразим S(х)через х и R.Из прямоуголь-ника ОМС находим: r=ÖOC2
–OM2 =
ÖR2
-x2
.Так как S(x)=pR2
,то S(x)= p(R2
- x2
). Заметим , что эта фор-мула верна для любого положения т.М на диаметре АВ, т.е. для всех х, удовлетворяющих условию -R£ x £R. Примеряя основную формулу для вычисления объемов тел при а= -R, b=R, получим

V	R R R R	px3	R	4
	=∫p(R2 -x2 )dx= pR2 ∫ dx-p∫x2 dx=pR2 x½-		½=		pR3
		3		3
	-R -R -R -R		-R

2.Теорема
. Прямая проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

Д-во.

Дана пл α и перпендикуляр АН , АМ- наклонная, а- прямая, проведенная в пл α через т м^ к проекции НМ наклонной. Докажем , что а ^АМ. Рассотрим пл АМН. Пр.а ^к этой пл, т.к она ^ к 2-ум пересекающимся прямым АН и МН(а ^ НМ по условию и а ^АН, т.к. АН^ α). Отсюда =>, что пр а ^ к любой прямой , лежащей в пл АМН, в частности а^АМ

Обратная теорема.
Прямая проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней перпендикулярна и к её проекции

Слов:	4489
Символов:	34676
Размер:	67.73 Кб.

Название реферата: Билеты по геометрии (11 класс)