Геометрия

БИЛЕТ 6

Отрезки параллельных прямых, заключенные м/у параллельными плоскостями, равны.

Для док-ва рассмотрим отрезки АВ и СD двух параллельных прямых, заключенные м/у параллельными плоскостями a и b. Докажем, АВ=СD. Плоскость j, проходящая ч/з параллельные прямые АВ и СD, пересекается с плоскостями a и b по параллельным прямым АС и ВD. Таким образом, в четырехугольнике ABDC противолеж. стор. паралл., т.е. ABDC-параллел-м

Но в пар-ме прот. леж. стороны равны, значит AB=CD.

Sп.п.
=2pR(H+R)

БИЛЕТ 5

Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

Для док-ва данного св-ва рассмотрим прямые а и b , по которым параллельные плоскости a и b пересекаются с плоскостью j. Докажем, что а|| b.

Эти прямые лежат в одной плоскости (j) и не пересекаются. В самом деле, если бы прямые а и b пересекались, то пл. a и b имели бы общ. точку, что невозможно, т.к. a||b. Итак, прямые а и b лежат в одной плоскости и не пересекаются, а|| b.

2. Vпирамиды
= 1/3*Sосн.
*H

БИЛЕТ 4

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

ТЕОРЕМА. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Док-во: Рассмотрим

две плоскости a и b. В

плоскости a лежат

пересекающиеся в т.М

прямые a и b, а в b -

- прямые а1
и b1
,

причем а|| а1
и b|| b1
.

Докажем, что плоскос.

-ти a и b не параллель

ны. Тогда они перес.

по прямой с. Мы получили, что плоскость a проходит ч/з прямую а, параллельную плоскости b, и пересекает плоскость b по прямой с. Отсюда следует, что

а|| с.

Но плоскость a проходит также ч/з прямую b, параллельную плоскости b. Поэтому b || с. Таким обр. ч/з т.М проходят две прямые а и b, || с. Но это невозможно, т.к. по теореме о параллельных прямых ч/з т. М проходит только одна прямая || с.

Значит, наше допущение неверно и a||b. Ч.Т.Д.

- - - - - - - -

БИЛЕТ 3

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Прямая и плоскость

называются параллельными, если они не имеют общих точек.

ТЕОРЕМА. Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Док-во: Пусть a-плоскость,

а - не лежащая в ней прямая

и а1
- прямая в плоскости a,

параллельная прямой а.

Проведем плоскость a1
ч/з

прямые а и а1
.

Она отлична от a,

т.к. прямая а не ле-

жит в плоскости a. Плоскости a и a1
пересекаются по прямой а1
. Если бы прямая а пересекала плоскость a, то точка пересечения принадлежала бы прямой а1
. Но это невозможно, т.к. прямые а и а1
параллель-

ны. Итак, прямая а не пересекает плоскость a, а значит, параллельна плоскости a. Ч.Т.Д.

2. Vпараллелепипеда
= Sосн.
*H

БИЛЕТ 2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

ТЕОРЕМА. Через точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Док-во: проведем ч/з а и

М плоскость a, а ч/з М в

в плоскости a прямую

b|| a. Докажем, что b|| a

единственна.

Допустим, что существует другая прямая b2
|| a, и

проходящая ч/з т.М. Через b2
и а можно провести

плоскость a2
, которая проходит ч/з М и а, след-но,

по Т.14.1(ЧЕРЕЗ ПРЯМ. И ТОЧКУ НЕ ЛЕЖ. НА

ЭТОЙ ПРЯМОЙ МОЖНО ПРОВЕСТИ ПЛОСКОСТЬ И ПРИТОМ ТОЛЬКО ОДНУ) она

совпадает с a. По аксиоме о параллельных

прямых b2
и а совпадают. Ч.Т.Д.

2. Vус.кон.
=1/3*pH(R1
2
+R1
R2
+R2
2
)

БИЛЕТ 1

А1
Какова бы ни была плоскость, существуют точки принадлежащие этой плоскости

и точки, не принадлежащие ей.

А2
Если две различные плоскости имеют общую

точку, то они пересекаются по прямой.

А3
Если две различные прямые имеют общую

точку, то ч/з них можно провести плоскость, и

притом только одну.

2. Sп.п.
=Sбок.
+Sосн.
; Sбок.
=Pосн.
*A

БИЛЕТ 12

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол м/у ними равен 900
.

ТЕОРЕМА: Если одна из двух плоскостей проходит ч/з прямую,перпендикулярную к др.

плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Док-во: Рассмотрим плоскости a и b такие, что плоскость a проходит ч/з прямую АВ, перпендикулярную к плоскости b и пересекающуюся с ней в точке А. Докажем, что a^b. Плоскости a и b пересекаются по прямой АС, причем АВ^АС, Т.к. по усл. АВ^b, и, значит, прямая АВ^ к любой прямой, лежащей в плоскости b.

Проведем в плоскости b прямую АD,^АС. Тогда ÐBAD - линейный угол двугранного угла, образованного при пересечении плоскостей a и b. Но ÐBAD=900
(т.к. AB^b). След-но, угол м/у плоскостями a и b равен 900
, т.е. a^b. Ч.Т.Д.

Sбок
=P*a (а - бок. ребро, Р-периметр)

БИЛЕТ 11

ТЕОРЕМА: Если две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны.

Док-во: Рассмотрим прямые а
и b
, перпендикулярные к плоскости a. Докажем, что а
½½b
.

Через какую-нибудь точку М

БИЛЕТ 13

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Расстояние м/у одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей ч/з другую прямую параллельно первой, называется расстоянием м/у скрещивающимися прямыми.

Sполн
=Sбок
+2Sосн
; Sбок
=P*H(ребро)

БИЛЕТ 14

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае наклонной.

ТЕОРЕМА: Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

Док-во: Бок.грани прямой призмы - прямоугольники, основания которых - стороны основания призмы, а высоты равны высоте h
призмы. Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей указанных прямоугольников, т.е. равна сумме произведений сторон основания на высоту h
. Вынося множитель h
за скобки, получим в скобках сумму сторон основания призмы, т.е. его периметр Р.
Итак, Sбок
=P*h. Ч.Т.Д.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - --- - - - - - - - - - - -

БИЛЕТ 15

Рассмотрим два равных параллелограмма ABCD и A1
B1
C1
D1
, расположен-

ных в плоскостях так, что отрезки AA1
,BB1
,CC1
, и

DD1
параллельны.

Поверхность составленная из двух равных параллелограммов ABCD и A1
B1
C1
D1
и четырех параллелограммов называется параллелепипедом
м обозначается ABCDA1
..D1
.

Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед, называются гранями
, их стороны - ребрами
, а вершины параллелограммов - вершинами параллелепипеда
.

ТЕОРЕМА: Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Док-во: Рассмотрим четырехугольник A1
D1
CB, диагонали которого являются диагоналями параллелепипеда ABCDA1
..D1
. Т.к. A1
D1
½½ BC и

A1
D1
=BC, то A1
D1
CB - параллелограмм. Поэтому диагонали A1
C и D1
B пересекаются в некоторой точке О и этой точкой делятся пополам.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

БИЛЕТ 18

Рассмотрим многоугольник A1
A2
..An

и точку P не лежащую в плоскости этого многоугольника. Соединив точку P отрезками с вершинами многоугольника, получим n
треуголь-

ников: PA1
A2
,PA2
A3
,...,PAn
A1
.

Многогранник, составленный из n
-угольника A1
A2
..An
и n
треугольников, называется пирамидой

Многоугольник A1
A2
..An
называется основанием
, а треугольники - боковыми гранями
пирамиды. Точка P называется вершиной
пирамиды, а отрезки PA1
, PA2
, ..., Pan
- ее боковыми ребрами.

ТЕОРЕМА: Плоскость, параллельная основанию пирамиды и пересекающая ее, отсекает подобную пирамиду.

Док-во: S-вершина пирамид

A - верш.основания и A1
-

точка пересечения секущей

плоскости с боковым ребр.

SA. Подвергнем пирамиду

преобразованию гомотетии

относительно вершины S с

коэф. гомотет. k=SA1
/SA

При этом плоск-ть основания переходит в паралл. плоск-ть, проходящую ч/з точку A1
, т.е. в секущую

плоскость, а след-но, вся пирамида - в отсекаемую это плоскостью часть. Т.к. гомотет. есть преобразование подобия, то отсек. часть явл

пирамид., подобной данной. Ч.Т.Д.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

БИЛЕТ 17

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Параллелепипед называется прямоугольным , если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники.

ТЕОРЕМА: Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

Док-во: Докажем,

что

AC1
2
=AB2
+AD2
+AA1
2

Так как ребро CC1

перпендикулярно

к основанию ABCD,

то ÐACC1
-прямой.

Из прямоугольного

треугольника ACC1

по теореме Пифагора получаем AC1
2
=AC2
+CC1
2
.

Но AC -диагональ прямоугольника ABCD, поэтому AC2
=AB2
+AD2
. Кроме того, CC1
=AA1
.

След-но AC1
2
=AB2
+AD2
+AA1
2
Ч.Т.Д.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

БИЛЕТ 16

ТЕОРЕМА: Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.

Док-во: Докажем равенство граней ABB1
A1
и DCC1
D параллелепипеда ABCA1
..D1
. Т.к. ABCD и ADD1
A1
- параллелограммы, то AB½½DC и AA1
½½DD1
. Таким обр., две пересекающиеся прямые AB и AA1
одной грани соответственно параллельны двум прямым CD и DD1
другой грани. Отсюда по признаку параллельности плоск.

следует, что грани ABB1
A1
и DCC1
D1
параллельны.

Докажем равенство этих граней. Т.к. все грани параллелепипеда - параллелограммы, то AB=DC и AA1
=DD1
. По той же причине стороны углов A1
AB и D1
DC соответственно сонаправлены, и, значит, эти углы равны. Таким обр., две смежные стороны и Ð м/у ними паралл-ма ABB1
A1
соотв.

равны двум смежным сторонам у Ð м/у ними пар-ма DCC1
D1
, поэтому эти параллелограммы равны