Геометрия чисел

Введение.
Возникновением
теории чисел
мы, по большому
счёту, обязаны
Минковскому.
Минковский
(Minkowski), Герман - выдающийся
математик (1864
- 1909), еврей, родом
из России. Был
профессором
в Бонне, Кенигсберге,
Цюрихе и Геттингене.
Сблизил теорию
чисел с геометрией,
создав особое
учение о "геометрии
чисел" ("Geometrie der
Zahlen", 1896 - 1910; "Diophantische Approzimationen",
1907, и др.). Последняя
его работа:
"Raum und Zeit" (Лейпциг.,1909;
несколько
русских переводов);
здесь дана
смелая математическая
формулировка
так называемого
"принципа
относительности".
Полное собрание
сочинение
Минковского
вышло в Лейпциге,
в 1911 г.; биография
Минковского
в русском издании
"Пространство
и время". Таким
образом, Минковский
сделал большой
вклад в развитие
математики
как науки. В
частности, он
сумел упростить
теорию единиц
полей алгебраических
чисел, а также
упростил и
развил теорию
аппроксимации
иррациональных
чисел рациональными,
или теорию
диофантовых
приближений.
Под диофантовыми
приближениями
в данном случае
понимается
раздел теории
чисел, изучающий
приближения
действительных
чисел рациональными
и вопросы, связанные
с решением в
целых числах
линейных и
нелинейных
неравенств
с действительными
коэффициентами.
Это новое
направление,
которое Минковский
назвал „геометрией
чисел", развилось
в независимый
раздел теории
чисел, имеющий
много приложений
в самых различных
вопросах и
вместе с тем
достаточно
интересный
для самостоятельного
изучения.

Постановка
задачи.

Для начала
я хочу рассмотреть
некоторые
понятия и результаты,
играющие в
дальнейшем
основную роль.
Рассуждения,
которыми мы
здесь пользуемся,
иногда значительно
отличаются
от рассуждений
в основных
книгах
по данному
вопросу, так
как в данной
работе мы имеем
целью, не давая
полных доказательств,
сделать для
простейших
случаев геометрическую
ситуацию
интуитивно
ясной, тогда
как позднее
мы будем вынуждены
жертвовать
наглядностью
ради точности.
В работе рассматривается
основная задача
геометрии
чисел, приводится
теорема Минковского
с её доказательством,
и объясняются
такие понятия
геометрии чисел
как решётки
и критические
решётки. В конце
работы приводится
так называемая
«неоднородная
задача» геометрии
чисел.

Основная
задача геометрии
чисел.

Основной
и типичной
задачей геометрии
чисел является
сле­дующая
задача.

Пусть
f(х1,…,xn)
— функция
вещественных
аргументов,
прини­мающая
вещественные
значения. Как
мал может быть
f(u1,…,un)
при
подходящем
выборе целых
чисел u1,…,un?
Может встретиться
тривиальный
случай f(0,…,0)=0,
например, если
f(х1,…,xn)
является
однородной
формой; в этом
случае совокупность
значений u1
= u2
= ...
= un
= 0 из рассмотрения
исключается
(“однородная
проблема”).

Обычно
рассматриваются
оценки, применимые
не только для
кон­кретных
функций f,
но и для целых
классов функций.
Так, типичным
результатом
такого рода
является следующее
предложение.
Пусть

f(x1,x2)
= a11x12
+ 2a12x1x2
+ a22x22
(1)

- положительно
определённая
квадратичная
форма. Тогда
найдутся такие
целые числа
u1,u2,
не равные
одновременно
нулю, что справедливо
неравенство

f(u1,u2)

(4D/3)1/2
(2)

где D
= a11a22
– a122
– определитель
формы. Ясно,
что если этот
результат
верен, то он
является наилучшим.
Действительно,

u12
+ u1u2
+ u22

1

для всех пар
целых чисел
u1,u2,
не равных
одновременно
нулю; здесь D
= 3/4.

Конечно,
случай положительно
определённых
бинарных квадратичных
форм крайне
прост, и результат
задачи был
известен задолго
до возникновения
геометрии
чисел. Однако
на положительно
определённых
бинарных квадратичных
формах относительно
просто проводятся
некоторые
рассуждения
геометрии
чисел, так что
эти формы удобно
использовать
в качестве
иллюстрации
всех рассуждений.

Только
что сформулированный
результат можно
выразить на­глядно.
Неравенство
типа

f(x1,x2)

k,

где f(x1,x2)
— форма
(1), а k
— некоторое
положительное
число, задает
область 
плоскости
{x1,x2},
ограниченную
эллипсом. Таким
образом,
наше предложение
утверждает,
что если k

(4D/3)1/2,
то область

содержит
точку (u1,u2)
с целыми координатами
u1
и u2,
не
равными одновременно
нулю.

Теорема
Минковского.

Аналогичный,
но, правда, не
настолько
точный результат
немедленно
следует из
основной теоремы
Минковского.
В двумерном
случае эта
теорема утверждает,
что область

всегда содержит
точку (u1,u2)
с целыми координатами,
отличную от
начала, если
эта область
удовлетворяет
следующим
трем условиям:

область

симметрична
относительно
начала координат;
т. е. если
точка (x1,x2)
находится
в ,
то точка (-x1,-x2)
также содержится
в ;

область

выпукла; т. е.
если (x1,x2),
(y1,y2)
— две какие-нибудь
точки области
,
то и весь отрезок

{x1
+ (1-)y1,
x2
+ (1-)y2},
0 


1,

соединяющий
эти точки, также
содержится
в ;

3)
площадь 
больше 4.

Любой
эллипс f(x1,x2)

k
удовлетворяет
условиям 1) и
2). Так
как его площадь
равна

k
/ (a11a22
– a12)1/2
= k
/ D1/2,

то он удовлетворяет
условию 3), если
k
> 4D1/2.
Таким образом,
мы имеем
результат,
аналогичный
приведенному
выше предложению,
если
в (2) константу
(4/3)1/2
заменить любым
числом, большим
4/.

Доказательство
теоремы Минковского.

Интересно
будет кратко
рассмотреть
основные идеи,
лежащие в основе
доказательства
теоремы
Минковского,
потому что в
формальных
доказательствах,
приводимых
основными
источниками,
они заслоняются
необходимостью
получения
сильных теорем,
имеющих наиболее
широкие приложения.

Вместо области

Минковский
рассматривает
область 
= /2,
которая состоит
из точек (x1/2,x2/2),
где (x1,x2)

точки области
.
Таким образом,
область 
симметрична
относительно
начала координат
и выпукла, её
площадь равна
четверти
площади области

и,
следовательно,
больше
1. В общем случае
Минковский
рассматривает
совокупность
областей

(u1,u2)
с центрами
в целочисленных
точках (u1,u2),
полученных
из тела 
параллельными
переносами.

Для начала
справедливо
отметить, что
если 
и (u1,u2)
пересекаются,
то точка (u1,u2)
находится в
.
Обратное
утверждение
тривиально.
Если точка
(u1,u2)
находится в
,
то точка (u1/2,u2/2)
содержится
как в ,
так и в (u1,u2).
Действительно,
пусть (ξ1,
ξ2) –
точка, лежащая
в пересечении.
Так как точка
(ξ1,
ξ2) лежит
в области (u1,u2),
то тогда
точка (ξ1
– u1,
ξ2 – u2)
лежит
в области ;
следовательно,
ввиду симметрии
области 
точка
(u1
- ξ1,
u2
- ξ2) находится
в .
Наконец,
в силу выпуклости
тела 
середина
отрезка, соединяющего
точку (u1
- ξ1,
u2
- ξ2) с
точкой (ξ1,
ξ2), то
есть точка
(u1/2,u2/2),
лежит в ,
а потому точка
(u1,u2)
находится в
.
Что, собственно,
и требовалось
доказать. Ясно,
что область
(u1,u2)
тогда и только
тогда пересекается
с областью
(u1’,u2’),
когда
область 
пересекается
с об­ластью
(u1
- u1’,
u2
- u2’).

Таким
образом, чтобы
теорема Минковского
была доказана,
достаточно
показать,
что если области
(u1,u2)
не
пересекаются,
то площадь
области
(u1,u2)
не
превышает 1.
Небольшое
размышление
убеждает, что
так должно
быть. Другое
обоснование,
возможно интуитивно
более ясное,
можно
получить, полагая,
что область

целиком
содержится
в квадрате

‌ x1‌
≤ X,
|x2|
≤ X,

при этом нужно
учитывать то,
что выпуклая
область конечной
площади ограничена.

Пусть
U — достаточно
большое целое
число. Существует
(2U
+ 1)2 областей
(u1,u2),
координаты
центров которых
удовлетворяют
неравенствам

‌ u1‌
≤ U,
|u2|
≤ U.

Все
эти области
целиком находятся
в квадрате

‌ x1‌
≤ U
+ X,
|x2|
≤ U
+ X,

площадь
которого равна

4 (U
+ X)2.

Так как
предполагается,
что области
(u1,u2)
не пересекаются,
то имеет
место неравенство

(2U + 1)2V

4(U + X)2,

где V
– площадь области
,
а значит, и любой
области (u1,u2).
Устремляя
теперь U
к бесконечности,
мы получаем
неравенство
V

1, что и требовалось
доказать.

Решётки.

Преобразование
координат в
приведённом
примере с
определённой
бинарной квадратичной
формой может
привести и к
другой точке
зрения. Мы
можем представить
форму f(x1,x2)
как
сумму квадратов
двух линейных
форм

f(x1,
x2)
= Х12
+ Х22,
(3)

где

Х1
= x1
+ x2,
X2
= x1
+ x2,
(4)

,,,
- некоторые
постоянные
вещественные
числа. Можно,
например, положить

 =
a111/2,

= a11-1/2a12,

 =
0, 
= a11-1/2D1/2.

Обратно,
если ,,,
- такие вещественные
числа, что 
- 
 0, и формы
Х1, Х2 заданы
равенствами
(4), то выражение

Х12
+ Х22
=
a11x12
+ 2a12x1x2
+ a22x22,

где

a11
= 2
+ 2,

a12
= 
+ ,
(5)

a22
= 2
+ 2,

является
положительно
определен­ной
квадратичной
формой с определителем

D = a11a22
– a122
= (
- )2.
(6)

Теперь
будем рассматривать
пару
(Х1,
Х2)
как
систему пря­моугольных
декартовых
координат.
Тогда говорят,
что точки (Х1,
Х2),
соответствующие
целым (x1,
x2)
в выражениях
(4), образуют
(двумерную)
решетку .
В векторных
обозначениях
решетка 
есть совокупность
точек

(Х1,
Х2)
= u1(,)
+ u2(,),
(7)

где
u1,
u2
пробегают
все целые числа;
точки (векторы)
(,)
и (,)
образуют базис
решётки .

Рассмотрим
теперь более
подробно свойства
решеток. Ввиду
того, что
мы рассматриваем
решетку 
просто как
множество
точек, мы можем
её описать с
помощью различных
базисов. Например,
пара

(α – β, γ – δ), (-
β, - δ)

является
другим базисом
решётки .
Фиксированный
базис (α, β), (γ, δ)
решётки 
определяет
разбиение
плоскости двумя
семействами
равноудалённых
параллельных
прямых; первое
семейство
состоит из тех
точек (Х1,
Х2),
которые имеют
координаты
вида (7), где u2
– любое
целое число,
а u1
– любое
вещественное.
Для линий второго
порядка семейства
u1
и u2
меняются
ролями. Таким
образом, плоскость
разбивается
на параллелограммы,
вершинами
которых являются
как раз точки
решётки .

Разумеется,
что это разбиение
зависит от
выбора базиса.
Однако, можно
показать, что
площадь получаемых
параллелограммов,
именно число

|αδ – βγ|,

не зависит
от выбора базиса.
Это становится
возможным, если
показать, что
число N(X)
точек решётки
в достаточно
большом квадрате

ζ (Х): |Х1|
≤ Х, |Х2|
≤ Х

удовлетворяет
соотношению

N(X)
/ 4X2
→ 1 / |αδ
- βγ|
(X
→ ∞).

Действительно,
рассмотрение
идей доказательства
теоремы Минковского
о выпуклом
теле, которое
было приведено
в кратком виде
выше, показывает,
что число точек
решётки 
в квадрате ζ
(Х), грубо говоря,
равно числу
параллелограммов,
находящихся
в этом квадрате.
А это число, в
свою очередь,
приблизительно
равно площади
квадрата ζ (Х),
делённой на
площадь |αδ
- βγ| одного
параллелограмма.
Строго положительное
число

d ()
= |αδ - βγ|
(8)

называется
определителем
решётки .
Как было только
что показано,
это число не
зависит от
выбора базиса.

Критические
решётки.

Используя
введённые выше
новые понятия,
можно заметить,
что утверждение
о существовании
целых решений
неравенства
f(х1,х2)

(4D/3)1/2 эквивалентно
утверждению
о том, что любая
решётка 
в области

Х12
+ Х22
≤ (4/3)1/2
d()
(9)

имеет точки,
отличные от
начала координат.
В силу однородности
это в свою очередь
эквивалентно
утверждению,
что открытый
круг

Đ: Х12
+ Х22
< 1 (10)

содержит
точку каждой
решётки ,
для которой
d()
< (3/4)1/2.
А тот факт, что
существуют
такие формы,
для которых
в (2) знак равенства
необходим,
эквивалентен
существованию
решётки с
с определителем
d(с)
= (3/4)1/2,
не имеющей
точек в круге
Đ. Таким образом,
задача о произвольной
определённой
бинарной квадратичной
форме эквивалентна
задаче о фиксированной
области Đ и
произвольной
решётке. Аналогично
исследование
решёток с точками
в области

| Х1
Х2| <
1

даёт
информацию
о минимумах
inf
|f(u1,u2)|
неопределённых
бинарных квадратичных
форм f(x1,x2).
Здесь точная
нижняя граница
берётся по всем
целым числам
u1
и u2,
не равным
одновременно
нулю. Примеры
можно продолжить.

Подобные
рассмотрения
приводят к
следующим
определениям.
Говорят, что
решётка 
допустима для
области (точечного
множества) 
в плоскости
{Х1,Х2}
если она не
содержит никаких
других точек
,
кроме, может
быть, начала
координат.
Последний
случай возможен,
когда начало
координат
является точкой
области .
Тогда мы говорим,
что эта решётка
-допустима.
Точная нижняя
грань Δ()
определителей
d(Λ)
всех -допустимых
решёток является
константой
области .
Если -допустимых
решёток не
существует,
то полагаем,
что Δ()
= ∞. Тогда любая
решётка Λ, для
которой d(Λ)
< Δ(),
обязательно
содержит точку
области ,
отличную от
начала координат.
-допустимая
решётка Λ, для
которой d(Λ)
= Δ(),
называется
критической
(для ).
Конечно, критические
решётки, вообще
говоря, существуют
не всегда.

Важность
критических
решёток была
замечена уже
Минковским.
Если с
– критическая
решётка области
,
а решётка Λ
получена из
Λс
небольшой
деформацией
(то есть малым
изменением
пары базисных
векторов), то
либо решётка
Λ имеет точку,
отличную от
начала координат
и лежащую в
области ,
либо d(Λ)
≥ d(Λс).
Либо и то, и другое
вместе.

В качестве
примера можно
снова рассмотреть
открытый круг

Đ: Х12
+ Х22
< 1.

Предположим,
что Λс
– критическая
решётка области
Đ. Ниже
будет дан набросок
доказательства
того, что если
критическая
решётка существует,
то она должна
иметь три пары
точек (А1,
А2),
(В1,
В2),
(С1,
С2)
на границе Х12
+ Х22
= 1 круга Đ.

Если Λс
не имеет точек
на окружности
Х12
+ Х22
= 1, то
можно будет
получить
Đ-допустимую
решетку с меньшим
определителем,
гомотетически
сжимая решетку
Λс
к началу координат,
то есть рассматривая
решетку

= tΛс
точек (tX1,
tX2),
где (Х1,
Х2)

Λс
, а t
— это фикси­рованное
число с условием
0 < t
< 1. Тогда d()
= t2d(c)
< d(c)
и, очевидно,

будет Đ-допустимой
решеткой, если
t
достаточно
близко
к 1. Таким образом,
решетка c
содержит пару
точек на
окружности
Х12
+ Х22
= 1, координаты
которых после
надлежащего
поворота
осей мы можем
считать равными
± (1,
0).

Если бы
на окружности
Х12
+ Х22
= 1 не
было бы больше
точек решетки
c,
то мы смогли
бы получить
Đ-допустимую
решетку 
с меньшим
определителем,
сжимая решетку
c
в направлении,
пер­пендикулярном
оси X1,
то есть принимая
за 
решетку точек
(Х1,
tХ2),
где
(Х1,
Х2)

Λс,
а t
достаточно
близко к 1.

Наконец,
если бы Λс
имела бы только
две пары точек
±(1, 0), ± (В1,
В2)
на границе, то
решетку можно
было бы слегка
деформиро­вать
так, чтобы точка
(1, 0)
осталась на
месте, а точка
с координатами
(В1,
В2)
продви­нулась
бы вдоль окружности
Х12
+ Х22
= 1 ближе
к оси Х1.
Наглядно это
представлено
на рисунке:

Данная операция,
как легко проверить,
уменьшает
определитель,
и при небольших
деформациях
получающаяся
решётка Λ
остаётся
Đ-допустимой.
Действительно,
(1,0) и (В1,
В2) можно
рассматривать
как базис решётки
Λс,
так как треугольник
с вершинами
(0, 0), (1, 0), (В1,
В2), а
следовательно,
и параллелограмм,
отвечающий
базису (1, 0), (В1,
В2) не
содержит внутри
себя точек Λс.
Тогда критическая
решётка Λс
(если она
существует)
должна иметь
три пары точек
на окружности
Х12
+ Х22
= 1. Легко увидеть,
что единственной
решеткой,
у которой три
пары точек
лежат на окружности
Х12
+ Х22
= 1, а одна из
пар есть
пара ± (1, 0), является
решетка Λ ́ с
базисом

(1, 0), (1/2, √3/4).

Она содержит
вершины правильного
шестиугольника

± (1, 0), ± (1/2, √3/4),
±(-1/2, √3/4),

лежащие на
окружности
Х12 + Х22 =
1, но не содержит
ни одной точки
(кроме (0, 0)) в круге
Х12 + Х22 <
1. Таким образом,
мы по­казали,
что если Đ имеет
критическую
решетку, то
Δ(Đ) = d(Λ ́) =
(3/4)1/2. Минковский
показал, что
критические
решетки существуют
для довольно
широкого класса
областей ,
показав, грубо
говоря, что
любую -допустимую
решетку Λ можно
постепенно
деформи­ровать
до тех пор, пока
она не станет
критической.

“Неоднородная
задача”

Другим
общим типом
проблемы является
следующая
типичная
«неоднородная
задача». Пусть
f(х1,…,xn)
—
некоторая
вещественнозначная
функция вещественных
аргументов
х1,
. . ., хn.
Требуется
подобрать
постоянное
число k
со следующим
свойством: если
ξ1,
...,
ξn
— любые вещественные
числа, то найдутся
такие целые
числа
u1,…,un,
что

│f(ξ1
– u1,…,
ξn
– un)│≤
k.

Подобные
вопросы естественно
возникают,
например, в
теории алгебраических
чисел. И на этот
раз имеется
простая геометрическая
интерпретация.
Для наглядности
положим n
= 2. Пусть

— мно­жество
таких точек
(х1,
х2)
двумерной
евклидовой
плоскости, что

│f(x1,
…, xn)│≤
k.

Пусть
u1,
u2
— любые целые
числа; обозначим
через (u1,
u2)
об­ласть,
полученную
из 
параллельным
переносом на
вектор (u1,
u2);
иными словами,
(u1,
u2)
есть
множество таких
точек х1,
х2,
что

│f(х1
– u1,
х2
– u2)│≤
k.

Неоднородная
проблема состоит
в выборе k
таким образом,
чтобы области
(u1,
u2)
покрывали
всю плоскость.
Желательно
выбрать k,
а значит
и ,
наименьшим
из всех возможных
(но так, чтобы
свой­ство
покрывать всю
плоскость
сохранилось).
Здесь мы имеем
про­тивоположность
постановке
однородной
задачи, приведённой
выше, где цель
состояла в том,
чтобы сделать
области наибольшими,
но все еще не
пересекающимися
одна с другой.

19

Содержание.

Введение.

2

Постановка
задачи. 3

Основная
задача геометрии
чисел. 4

Теорема
Минковского.
6

Доказательство
теоремы Минковского.
7

Решётки.
10

Критические
решётки. 13

8. «Неоднородная
задача».
17

9. Список
литературы.
18

2

Список
литературы.

Касселс, Дж.
В. С. Геометрия
чисел – М., Мир,
1965г.

Минковский
Г. Геометрия
чисел – Лейпциг,
1911г. (переиздание
1996г.)

Марков А. А.
О бинарных
квадратичных
формах положительного
определителя
– СПб., 1948г.

Чеботарёв
М. Г. Заметки
по алгебре и
теории чисел
– УЧ Зап. Каз.
Унив-та, 1934г.
(переиздание
1994г.)

Чеботарёв
М. Г. Доказательство
теоремы Минковского
о неоднородных
линейных формах
– М., Мир, 1949г.

19

Министерство
Образования
Российской
Федерации

ГОСУДАРСТВЕННОЕ
ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО
ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО
ОБРАЗОВАНИЯ
Хабаровский
Государственный
Педагогический
УниверситетКафедра
математического
анализа и информатикиКурсовая
работа“Геометрия
чисел”

Выполнил:
=PeppeR=

Научный
руководитель:
доцент кафедры


мат. анализа
и информатики

кандидат
физ.-мат. наук

Хабаровск
- 2004