Евклид: жизнь и сочинения

В
последнем
случае говорят,
что отрезки
А и В несоизмеримы
( т.е. не имеют
общей меры ).
Числа n0,
n1,
… называются
«неполными
частными».

Если
обнаружена
общая мера
величин А и В
и она равна
некоторой
величине D,
то А= λD,
B=μD
и отношение
А и В есть отношение
λ
к μ.

Интересно,
что Евклид
построил алгоритм
отдельно для
чисел ( т.е. натуральных
чисел ) и отдельно
для отрезков
( величин ).

Итак,
алгоритм Евклида
позволяет не
только находить
общую меру (
НОД ) двух чисел,
сокращать на
НОД дроби, но
и «округлять»
рациональные
числа.

Теория
отношений
Евдокса.

В
«Началах»
изложена другая
теория отношений,
созданная
Евдоксом. Она
отвечала на
вопрос: как
можно сравнивать
отношения чисел
и что происходит
с ними в результате
арифметических
операций?

Два
отношения a/b
и c/d
считаются
равными, если
для любых натуральных
чисел М, N
выполняются
условия:

aM
> bN cM >
dN,

aM
= bN cM = dN,

aM
< bN cM < dN.

Такой
подход к сравнению
отношений был
революционным
прорывом в
построении
теории действительного
числа ( пока
только для
рациональных
положительных
чисел ).

Теория
иррациональностей.

Видимо, именно
алгоритм Евклида
привёл пифагорейца
к установлению
несоизмеримости
стороны и диагонали
квадрата ( т.е.
иррациональности
числа √2 ). Это
открытие существенно
повлияло на
дальнейшее
развитие и
математики,
и философии.
Оно показало,
что ложен основной
принцип пифагорейцев
«всё есть число».
Они считали,
что всякую
величину можно
выразить числом
( натуральным
) или отношением
чисел, но оказалось,
что диагональ
квадрата со
стороной 1 не
выражалась
отношением
чисел.

Теэтет
Афинский развил
этот подход
и доказал, что
квадратные
корни из квадратных
чисел рациональны,
а из неквадратных
– иррациональны.
Кроме того,
кубические
корни из кубических
чисел рациональны,
а из некубических
– иррациональны.

Более
того, он классифицировал
некоторые типы
иррациональностей,
которые можно
построить с
помощью циркуля
и линейки.

Геометрическая
алгебра.

Важным
достижением
античной математики
стало создание
так называемой
геометрической
алгебры, зачатки
которой имелись
ещё у вавилонян.

Мы
знаем, что в
Древней Греции
не было возможности
записывать
буквами алгебраические
формулы и уравнения.
Кроме того,
большие проблемы
возникали при
операциях с
натуральными
числами. Античные
математики
обошли эту
проблему, переведя
все алгебраические
выражения
первой и второй
степени на
геометрический
язык. Все построения
были планиметрическими.

Видимо,
именно алгебраическими
потребностями
объясняется
столь бурное
развитие планиметрии
в античности.

Платоновы
тела.

В
последней, XIII
книге «Начал»
описываются
построение
и свойства
правильных
многогранников
– тетраэдра,
гексаэдра,
октаэдра, додекаэдра,
икосаэдра.

И
Евклид не просто
описал правильные
многогранники,
но и исследовал
их свойства.
Он нашёл отношения
длин рёбер всех
правильных
многогранников
к диаметру
описанной около
многогранника
сферы.

Более
того, он предложил
способы построения
правильных
многогранников,
вписанных в
сферу данного
диаметра.

Учение
о гармонии.

Ещё
пифагорейцы
знали, что если
высоты звука
относятся как
небольшие целые
числа, то сочетание
звуков будет
приятным,
гармоничным.
Так, отношение
высот 1:2 даёт
музыкальный
интервал, называемый
октавой, отношение
2:3 – даёт квинту,
3:4 кварту. Для
того чтобы
повысить на
квинту звук,
например,
колеблющейся
струны, надо
уменьшить её
длину на 1/3, заставив
звучать оставшиеся
2/3 струны, при
этом частота
колебаний
струны увеличится
в 1/(2/3) раза. А для
повышения звука
на кварту надо
извлечь звук
из 3/4 струны, т.е.
частота колебаний
будет в 4/3 раза
выше частоты
колебаний
основного тона.
Исходя из этого,
можно построить
музыкальную
шкалу.

Первым
точными расчётами
музыкальной
шкалы стал
Архит Тарентский.
Евклид продолжил
его традицию
и изложил учение
о гармонии в
«Сечении канона»
и – частично –
в «Началах».

Список
используемой
литературы.

Научно-теоретический
и методический
журнал «Математика
в школе» №4 2001.
Издательство
«Школа-Пресс».