РефератыМатематикаИнИнтеграл Пуассона

Интеграл Пуассона

.


Пусть ¦(x
) , g
(x
),x
ÎR1
–суммируемые на [-p, p] , 2p- периодические, комплекснозначные функции. Через f
*
g(x)
будем обозначать свертку


f
*
g(x)
=dt


Из теоремы Фубини легко следует, что свертка суммируемых функций также суммируема на [-p,p]и


cn
( f*g ) = cn
( f )× cn
( g ) , n = 0, ±1 , ±2 , ... ( 1 )


где {cn
( f )} -- коэффициенты Фурье функции f ( x ) :


cn
= -i n t
dt
, n = 0, ±1,±2,¼


Пусть ¦ÎL1
(-p,p) . Рассмотрим при 0£r <1 функцию


¦r
( x ) = n
( f ) r|
n
|
ei n x
, x Î[-p,p] , ( 2 )


где ряд в правой части равенства (2) сходится равномерно по х для любого фиксированного r , 0£r <1 . Коэффициенты Фурье функции ¦r
(х)равны


cn
( fr
) = cn
× r|
n
|
, n = 0 , ±1,±2,¼, а это согласно (1) значит, что ¦r
( x ) можно представить в виде свертки :


¦r
( x ) = , ( 3 )


где


, t Î[-p,p]. ( 4 )


Функция двух переменных Рr
(t) , 0 £r<1 , t Î[-p,p] , называется ядром Пуассона , а интеграл (3) -- интегралом Пуассона .



Следовательно,


Pr
( t ) = , 0£r <1, t Î[-p,p] . ( 5 )


Если ¦Î L1
( -p,p ) -действительная функция , то , учитывая , что


c-n
( f ) = `cn
( f ) , n = 0,±1,±2,¼,из соотношения (2) мы получим :


fr
( x ) =


=, ( 6 )


где


F ( z ) = c0
( f ) + 2 ( z = reix
) ( 7 )


- аналитическая в единичном круге функция . Равенство (6) показывает, что для любой действительной функции ¦ÎL1
( -p, p ) интегралом Пуассона (3) определяется гармоническая в единичном круге функция


u ( z ) = ¦r
(eix
) , z = reix
, 0 £ r <1 , x Î [ -p, p ] .


При этом гармонически сопряженная с u (z) функция v (z) c v (0) = 0 задается формулой


v (z) = Im F (z) = . ( 8 )


Утверждение1.


Пусть u (z) - гармоническая ( или аналитическая ) в круге |z |<1+e(e>0)функция и ¦ (x) = u (eix
) , xÎ[-p, p] . Тогда


u (z) = ( z = reix
, | z |<1 ) ( 10 ).


Так как ядро Пуассона Pr
(t) - действительная функция, то равенство (10) достаточно проверить в случае, когда u (z) - аналитическая функция:


=, | z |<1+ e .


Но тогда



и равенство (10) сразу следует из (2) и (3).


Прежде чем перейти к изучению поведения функции ¦r
(x
) при r®1 , отметим некоторые свойства ядра Пуассона:


а) ;


б) ;


в) для любого d>0



С

оотношения а) и в) сразу следуют из формулы (5), а для доказательства б) достаточно положить в (2) и (3) ¦(х)º1.


Теорема 1.


Для произвольной (комплекснозначной) функции ( -p, p ) , 1 £ p < ¥ , имеет место равенство


;


если же ¦ (x) непрерывна на [ -p, p ] и ¦ (-p) = ¦ (p) , то


.


Доказательство.


В силу (3) и свойства б) ядра Пуассона


( 12 )


Для любой функции , пользуясь неравенством Гельдера и положительностью ядра Пуассона , находим




.


Следовательно,


.


Для данного e>0 найдем d = d (e) такое, что . Тогда для r , достаточно близких к единице, мы получим оценку


.


Аналогично второе неравенство вытекает из неравенства


.


Теорема 1 доказана.


Дадим определения понятий "максимальная функция" и "оператор слабого типа", которые понадобятся нам в ходе доказательства следующей теоремы.


Определение1.


Пусть функция суммируема на любом интервале (-А, А), А > 0 . Максимальной функцией для функции называется функция



где супремум берется по всем интервалам I , содержащим точку х.


Определение 2.


Оператор называется оператором слабого типа (р,р) , если для любого y > 0


.


Теорема 2 (Фату).


Пусть - комплекснозначная функция из . Тогда


для п.в. .


Доказательство.


Покажем, что для и


, ( 13 )


где С - абсолютная константа , а M ( f, x )
- максимальная функция для f (x)
[*]
. Для этой цели используем легко выводимую из (5) оценку



(К -
абсолютная константа).


Пусть - такое число, что


.


Тогда для





.


Неравенство (13) доказано. Используя затем слабый тип (1,1) оператора , найдем такую последовательность функций ,что


,


( 14 )


для п.в. .


Согласно (13) при xÎ (-2p,2p)




Учитывая , что по теореме 1 для каждого xÎ [-p,p] и (14)


Из последней оценки получим


при n®¥.


Теорема 2 доказана.


Замечание.


Используя вместо (13) более сильное неравенство (59), которое мы докажем позже, можно показать, что для п.в. xÎ [-p,p] , когда точка reit
стремится к eix
по некасательному к окружности пути.


[*]
Мы считаем , что f (x)
продолжена с сохранением периодичности на отрезок [-2p,2p] (т.е. f (x) = f (y)
, если x,y
Î [-2p,2p] иx-y=2
p
) и f (x) = 0
, если |x
|>2p.

Сохранить в соц. сетях:
Обсуждение:
comments powered by Disqus

Название реферата: Интеграл Пуассона

Слов:935
Символов:6304
Размер:12.31 Кб.