Рефераты → Математика → Ин → Интегрирование линейного дифференциального уравнения с помощью степенных рядов

Интегрирование линейного дифференциального уравнения с помощью степенных рядов


Для
решения дифференциального
уравнения:


(I.1)



где функции
аi(t)
(i=0,1,2)
разлагаются
в степенной
ряд в окрестности
точки t0
с радиусами
сходимости
ri
:






i=0,1,2


необходимо
найти два
линейно-независимых
решения 1(t),
2(t).
Такими решениями
будут, например,
решения уравнения
(I.1)
с начальными
условиями:





Решения i
будем искать
в виде степенного
ряда:





(I.2)


методом
неопределенных
коэффициентов.



Для решения
воспользуемся
теоремами.


Теорема
1: (об аналитическом
решении)

Если
p0(x),
p1(x),
p2(x)
являются
аналитическими
функциями x
в окрестности
точки x=x0
и p0(x)≠0,
то решения
уравнения
p0(x)y’’
+ p1(x)y’
+ p2(x)y
= 0 также являются
аналитическими
функциями в
некоторой
окрестности
той же точки
и, значит, решения
уравнения можно
искать в виде:
y=l0
+ l1(x-x0)
+ l2(x-x0)2
+ … + ln(x-x0)n
+ …

Теорема
2: (о разложимости
решения в обобщенный
степенной ряд)


Если уравнение
(I.1) удовлетворяет
условиям предыдущей
теоремы, но
x=x0
является нулем
конечного
порядка S
функции a0(x),
нулем порядка
S-1 или выше
функции a1(x)
(если S>1) и
нулем порядка
не ниже S-2
коэффициента
a2(x)
(если S>2), то
существует,
по крайней
мере, одно
нетривиальное
решение уравнения
(I.1) в виде
суммы обобщенного
степенного
ряда:



y= l0(x
- x0)k
+ l1(x
– x0)k+1
+ … + ln(x-x0)k+n
+ …



где k- некоторое
действительное
число, которое
может быть как
целым, так и
дробным, как
положительным,
так и отрицательным.


Рассмотрим
уравнение:



(I.3)


a0(t)
= t + 2 ; a1(t)
= -1; a2(t)
= -4t3;
a0(t)
≠ 0
t



по теореме 2
хотя бы одно
нетривиальное
решение уравнения
(I.3) может
быть найдено
в виде суммы
обобщенного
степенного
ряда
(t)
=
cn(t-t0)n



возьмем t0
= 0, будем искать
решение в виде
(t)
=
cntn
(I.4)



Опираясь на
теорему 1 и,
дифференцируя
ряд (I.4) почленно
два раза, получим



(t)
=
ncntn-1,
(t)
=
n(n-1)cntn-2



(2+t)(
n(n-1)cntn-2)
– (ncntn-1)
– 4t3(
cntn)=0



Вычислим коэффициенты
при соответствующих
степенях:



t0
: 4c2
– c1=0

4c2-c1-4c-3=0



t1
:








рекуррентное
соотношение
имеет вид




n
N, c-3=0,
c-2=0, c-1=0
(I.5)



при n=0,



n=1,



n=2, c4=0



n=3,



n=m-2,





Итак,



Найдем радиусы
сходимости
R полученных
решений, общим
методом не
представляется
возможным,
поэтому на
основании
теоремы о
существовании
и единственности
решения.









Которые имеют
область сходимости
(по формуле
Даламбера):



а)



б)




Итак, область
сходимости



Синтез
управления
с не более, чем
с одним переключением
в управляемой
системе второго
порядка.



Необходимо
рассмотреть
линейную управляемую
систему:




Требуется
подобрать
управление
и( ),
переводящее
фазовую точку
(х1,х2)
из заданного
начального
состояния в
начало координат
(0,0).



На
выбор управления
и( )
накладывается
условие |
и( )|=1 и и(
) имеет не
более одного
переключения.



положение
равновесия




Д=-7
фокус,
т.к.
0, то
при замене
на
ориентация
системы координат
не изменилась.


Литература


Лизоркин
Г.И. Курс
обыкновенных
дифференциальных
и интегральных
уравнений.
М.: Наука, 1981, Гл.7.
§6. С.344-348.



Эльсгольц
Г.Э. Дифференциальные
уравнения и
вариационное
исчисление.
М.: Наука, 1969, Гл.2.
§7.



Понтрягин
Л.С., Болтянский
В.Г., Гамкрелидзе
Р.В., Мищенко
Е.Ф. Математическая
теория оптимальных
процессов. М.:
Наука, 1969, Гл.1. §5.



Болтянский
В.Г. Математические
методы оптимального
управления.
М.: Наука, 1969, Гл.1.
§3.



Понтрягин
Л.С. Обыкновенные
дифференциальные
уравнения.
М.: Наука, 1974, Гл.2.
§16.



Арнольд В.
И. Обыкновенные
дифференциальные
уравнения.
М.: Наука, 1975, ГЛ.2.
§12. С.73-78,
84-85.


program
coefficients;


type

r />mas=array[1..100] of real;beg=array[1..6] of real;


var
rez1,rez2:text;



r1,r2:mas;i:integer;r:beg;


procedure
calculate(t:beg;var a:mas);


begin


for
i:=1 to 6 do a[i]:=t[i];


for
i:=7 to 100 do



a[i]:=2*a[i-5]/(i*(i-1))+a[i-1]*(1-i)/(2*i)


end;


begin



assign(rez1,'rez1.txt');


rewrite(rez1);



assign(rez2,'rez2.txt');


rewrite(rez2);


r[1]:=1;r[6]:=1/10;


calculate(r,r2);



r[1]:=0;r[2]:=1;r[3]:=1/4;r[6]:=0;


calculate(r,r1);


for
i:=1 to 25 do begin


writeln(rez1,'
',r1[i],' ',r1[i+25],' ',r1[i+50],' ',r1[i+75]);


writeln(rez2,'
',r2[i],' ',r2[i+25],' ',r2[i+50],' ',r2[i+75]);



end;



close(rez1);close(rez2);


end.

0.0000000000E+00
-8.1624958212E-09 2.6771846582E-17 -3.2491066259E-25


1.0000000000E+00
4.0882043248E-09 -1.2724159976E-17 1.5836707627E-25


2.5000000000E-01
-1.9312581703E-09 6.0587809612E-18 -7.7230912899E-26


0.0000000000E+00
8.7931901201E-10 -2.8899594137E-18 3.7682040069E-26


0.0000000000E+00
-3.9113365760E-10 1.3806999533E-18 -1.8394445248E-26


0.0000000000E+00
1.7170446696E-10 -6.6063798253E-19 8.9833955968E-27


4.7619047619E-02
-7.4927003757E-11 3.1655138993E-19 -4.3892344328E-27


-1.1904761905E-02
3.2670558317E-11 -1.5188147944E-19 2.1454810957E-27


5.2910052910E-03
-1.4287416203E-11 7.2964561538E-20 -1.0491602917E-27


-2.3809523810E-03
6.2822346640E-12 -3.5094186285E-20 5.1325610907E-28


1.0822510823E-03
-2.7813172998E-12 1.6898431516E-20 -2.5118617002E-28


2.2546897547E-04
1.2405702723E-12 -8.1455391475E-21 1.2297620795E-28


-2.5668775669E-04
-5.5748878718E-13 3.9303541430E-21 -6.0228905014E-29


1.7731937375E-04
2.5231583802E-13 -1.8982784409E-21 2.9508171556E-29


-1.0542477804E-04
-1.1494982403E-13 9.1766487366E-22 -1.4461997657E-29


5.8436623727E-05
5.2681234526E-14 -4.4400237356E-22 7.0901975787E-30


-2.5841727522E-05
-2.4272611542E-14 2.1500363892E-22 -3.4771871308E-30


1.0525340241E-05
1.1236692030E-14 -1.0419555735E-22 1.7058202580E-30


-3.9487320804E-06
-5.2239376878E-15 5.0533583057E-23 -8.3708571981E-31


1.3207804853E-06
2.4378141584E-15 -2.4525851909E-23 4.1089817635E-31


-3.5067345145E-07
-1.1415093557E-15 1.1911535700E-23 -2.0175412562E-31


5.5497924241E-08
5.3615711160E-16 -5.7889316226E-24 9.9090274547E-32


1.5059649832E-08
-2.5253197948E-16 2.8151673613E-24 -4.8680681263E-32


-2.1523082502E-08
1.1924700892E-16 -1.3698530670E-24 2.3921919191E-32


1.4733681219E-08
-5.6440981997E-17 6.6695603490E-25 -1.1758340267E-32

1.0000000000E+00
1.7987642729E-08 -4.5312164317E-17 5.4992078518E-25


0.0000000000E+00
-8.3840108994E-09 2.1536019548E-17 -2.6804090156E-25


0.0000000000E+00
3.7670469949E-09 -1.0254665309E-17 1.3071557555E-25


0.0000000000E+00
-1.6526367936E-09 4.8913410547E-18 -6.3777953290E-26


0.0000000000E+00
7.1493015948E-10 -2.3368750685E-18 3.1133135776E-26


1.0000000000E-01
-3.0725084549E-10 1.1181490949E-18 -1.5204659400E-26


-4.2857142857E-02
1.3192138050E-10 -5.3577247549E-19 7.4289074616E-27


1.8750000000E-02
-5.6827322754E-11 2.5706384024E-19 -3.6312894115E-27


-8.3333333333E-03
2.4632088817E-11 -1.2349465142E-19 1.7757344336E-27


3.7500000000E-03
-1.0762594132E-11 5.9397935216E-20 -8.6870095383E-28


1.1363636364E-04
4.7441168372E-12 -2.8601088852E-20 4.2513992844E-28


-7.0143398268E-04
-2.1098685807E-12 1.3786562892E-20 -2.0814082337E-28


5.6412337662E-04
9.4633740966E-13 -6.6522391701E-21 1.0193918067E-28


-3.5348951644E-04
-4.2779448863E-13 3.2128916989E-21 -4.9943442121E-29


2.0067606005E-04
1.9475161560E-13 -1.5531745983E-21 2.4477353385E-29


-9.3119933452E-05
-8.9215279760E-14 7.5148698397E-22 -1.2000366465E-29


3.8663542340E-05
4.1095067060E-14 -3.6389993788E-22 5.8852407672E-30


-1.4570702990E-05
-1.9021691211E-14 1.7635402376E-22 -2.8871506037E-30


4.8347217880E-06
8.8424759764E-15 -8.5529565117E-23 1.4167920272E-30


-1.2403030595E-06
-4.1262694515E-15 4.1510720614E-23 -6.9545716342E-31


1.4719225001E-07
1.9320856329E-15 -2.0160622039E-23 3.4147474967E-31


9.7123795568E-08
-9.0747292577E-16 9.7979358322E-24 -1.6771318352E-31


-1.0404222235E-07
4.2742041848E-16 -4.7647529737E-24 8.2393474718E-32


6.7370672802E-08
-2.0182966417E-16 2.3185163214E-24 -4.0488546850E-32


-3.6472266477E-08
9.5528152219E-17 -1.1288425670E-24 1.9901334294E-32
Сохранить в соц. сетях:
Обсуждение:
comments powered by Disqus

Название реферата: Интегрирование линейного дифференциального уравнения с помощью степенных рядов

Слов:1646
Символов:11961
Размер:23.36 Кб.