Исследование свойств прямоугольного тетраэдра

Общеобразовательная
муниципальная

средняя
школа №5

ИССЛЕДОВАНИЕ
СВОЙСТВ ПРЯМОУГОЛЬНОГО
ТЕТРАЭДРА

Автор
работы:

Андреева
Елена Валерьевна

ученица
11 «б» класса

Научный
руководитель:

Солдаткина
Клавдия Дмитриевна

Учитель
математики

Город
Кузнецк, 2004 год

ПЛАН.

І.
Объект исследования.

ІІ.
Цель исследования.

ІІІ.
Доказательства
свойств прямоугольного
тетраэдра.

ІV.
Практическое
применение
свойств прямоугольного
тетраэдра.

V.
Использованная
литература.

І.
ОБЪЕКТ ИССЛЕДОВАНИЯ

В работе
впервые вводится
понятие «Прямоугольный
тетраэдр».
Тетраэдр-
многогранник,
содержащий
4 грани. Тетраэдр
является треугольной
пирамидой и
содержит 4
трёхгранных
угла (рис. 1) Трёхгранный
угол- фигура,
образованная
тремя плоскостями
(гранями), имеющими
общую точку
(вершину) (рис
2) [1,2].

О О

А В

А В

С С

Рис.
1 Тетраэдр.
Рис.
2 Трёхгранный
угол.

Трёхгранный
угол содержит
три плоских
угла, образованных
рёбрами, лежащими
на одной грани.
Введем понятие
прямого трехгранного
угла. Назовем
прямым трёхгранным
углом трехгранный
угол, содержащий
три прямых
плоских угла
(рис3), т.е. рёбра
трёхгранного
угла взаимно
перпендикулярны.
Введем также
понятие прямоугольного
тетраэдра.
Тетраэдр называется
прямоугольным,
если содержит
прямой трёхгранный
угол (рис 4).

А

А

В

В

О
О

С

Рис.
3 Схема прямого
Рис.
4 Схема прямоугольного

трёхгранного
угла,
тетраэдра.

Введем
также понятия
катетных граней,
гипотенузной
грани, катетов
и гипотенуз
прямоугольного
тетраэдра.
Прямоугольный
тетраэдр содержит
три катетные
грани (грани,
содержащие
прямой плоский
угол) и гипотенузную
грань (не содержащую
прямой угол).
Прямоугольный
тетраэдр содержит
три катета
(рёбра прямого
трёхгранного
угла) и три
гипотенузы
(рёбра, лежащие
на гипотенузной
грани). Тетраэдр,
катеты которого
равны, назовем
равнокатет-ным.

ІІ.
ЦЕЛЬ ИССЛЕДОВАНИЯ

Установление
или доказательство
свойств прямоугольного
тетраэдра

Актуальность
темы:
прямоугольный
тетраэдр является
простейшей
геометрической
фигурой, обладающей
уникальными
свойствами.
Изучение этих
свойств в школьном
курсе математики
должно способствовать
развитию абстрактного
и логического
мышления у
учащихся.

ІІІ.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВА
СВОЙСТВ
ПРЯМОУГОЛЬНОГО
ТЕТРАЭДРА.

I.
Квадрат
площади гипотенузной
грани равен
сумме квадратов
площадей катетных
граней.

А

Дано:

ОАВС
- прямоугольный
тетраэдр

SОАВ=
S1
SABC=
S

SOBC=
S2
SOAC=
S3 В

Доказать: О

D

SІ=S1І+S2І+S3І

С

Доказательство.

Пусть
AD-
высота гипотенузной
грани АВС,
проведённая
к ребру ВС из
вершины А,


ОD-
проекция AD
на катетной
грани ОВС, OD
перпендикулярно
ВС, т.к. AD
перпендикулярно
ВС и АО перпендикулярно
ОВС (обратная
теорема о трёх
перпендикулярах).
SABC=
1/2 BCAD

SOBC=1/2
BCOD

SOAB
=1/2 OAOB

SOAC=1/2OAOC

SІ
OBC+S
ІOAB
+S ІAOC=
1/4(BCІODІ+OAІOBІ+OAІOCІ)=

=1/4(BCІODІ+OAІ(OBІ+OCІ))=1/4(BCІODІ+OAІBCІ),
т.к.

ОВІ+ОСІ=ВСІ
(по теореме
Пифагора)

SІOBC+SІOAB+SІOAC=1/4
BCІ(ODІ+OAІ)=1/4 BCІADІ
, т.к.

ODІ+OAІ=ADІ
(по теореме
Пифагора)

т.е.
SІOBC+SІOAB+SІOAC=SІABC

SІ1+SІ2+SІ3=SІ,
что и требовалось
доказать.

II.
Сумма
квадратов
гипотенуз равна
удвоенной
сумме квадратов
катетов.

Дано: А

ОАВС-
прямоугольный
тетраэдр

где
а , b
, с - катеты.
В

АВ,
ВС и АС- гипотенузы
а

Доказать: b

АВІ+ВСІ+АСІ=2(аІ
+ b
І +сІ)

Доказательство.
О

АВІ = аІ
+ b І с
С
ВСІ =
b І + сІ
(по теореме
Пифагора)

АСІ
= аІ + сІ

АВІ
+ ВСІ + АСІ =2аІ
+ 2 b
І +2сІ
, что и требовалось
доказать.

III.
Объём
прямоугольного
тетраэдра равен
1/6 произведения
катетов.

А

Дано:

ОАВС
- прямоугольный
тетраэдр

а
, b
, с - катеты. В

Доказать:
а b

V=(1/6)
а · b
· с

Доказательство. О
С

с

Поскольку
тетраэдр является
треугольной
пирамидой, его
объём

V=(1/3
)Sосн
· h

Выберем
в качестве
основания
катетную грань
ОВС, тогда катет
а будет
высотой тетраэдра,
т.к. а
перпендикулярен
ОВС, т.е.

V=(1/3)
SOBC·
а ,
т.к.SOBC=(1/2)
b
·.с

Имеем
V=(1/6)
а · b
· с, что и
требовалось
доказать.

Расстояние
от вершины
прямого трёхгранного
угла до гипотенузной
грани определяется
по формуле:

_______________

h
= (a۰b۰c)/√aІ·bІ
+ bІ·cІ
+ aІ·cІ

где
a,
b,
c
– катеты тетраэдра

Дано: А
ОАВС-
прямоугольный
тетраэдр

ОА
= а, ОВ
= b,
ОС = с
катеты Д

ОД
= h
– перпендикуляр
к грани

АВС а

h
В

Доказать:b

____________ О

h
= (a·b·c)
/ √aІbІ+bІcІ+aІcІс С

Доказательство.

Объем
тетраэдра:

V
= (1/3)SАВС·h

C
другой стороны:
V
= (1/6)abc
(свойство 3
прямоугольного
тетраэдра).

Следовательно,

h
= (abc)
/ (2SАВС)

Из
первого свойства
прямоугольного
тетраэдра:

___________________

SАВС
= √ЅІОАВ
+ SІОВС
+
SІ
ОАС

____________

т.е.
SАВС
=
(1/2)√aІbІ+bІcІ+aІcІ

Следовательно,

____________

h
= (abc)
/ √aІbІ+bІcІ+aІcІ
, что и требовалось
доказать.

Косинусы
направляющих
углов нормали
к гипотенузной
грани
определяются
по формулам:

____________

cos
α = h
/ a=
(bc)
/
√aІbІ+bІcІ+aІcІ

____________

сos
β = h
/ b
= (ac)
/ √aІbІ+bІcІ+aІcІ

____________

cos
γ = h
/
c=
(ab)
/
√aІbІ+bІcІ+aІcІ

где
a,
b,
c
– катеты тетраэдра;

α
– угол между
катетом а
и нормалью

β
– угол между
катетом b
и нормалью

γ
– угол между
катетом
с и нормалью.

h
– нормаль

Дано:

ОАВС
- прямоугольный
тетраэдр.

ОА
= а, ОВ
= b,
ОС = с
- катеты

ОД
= h
– нормаль к
грани АВС
А

Доказать:
Д
____________

cos
α
= (bc)
/ √aІbІ
+bІcІ
+aІcІh

____________ а В

cos
β
= (ac)
/ √aІbІ
+bІcІ
+aІcІαb

____________
β

cos
γ
= (ab)
/ √aІbІ
+bІcІ
+aІcІ γ

С

О с

Доказательство.

Соединим
точку Д с точкой
А и получим
прямоугольный
треугольник
ОАД

cos
α
= ОД/ОА
= h/a

____________

Поскольку
h
= (abc)
/ √aІbІ+bІcІ+aІcІ

____________

cos
α
= (bc)/√aІbІ+bІcІ+aІcІ
, что и требовалось
доказать.

Аналогично:

____________

cos
β
= ОД/ОВ = d/b
= (ac)/√aІbІ+bІcІ+aІcІ

____________

cos
γ = ОД/ОС
= d/c
= (ab)/√aІbІ+bІcІ+aІcІ

Радиус
сферы, описывающей
прямоугольный
тетраэдр,
определяется
по формуле:

________

R
= ( Ѕ) · √aІ+bІ+cІ

где
a,
b,
c
– катеты тетраэдра

К L

Дано:

ОАВС-
прямоугольный
тетраэдр А М

ОА
= а, ОВ
= b,
ОС = с
– катеты

R
– радиус сферы,
описывающей

тетраэдр.

Доказать: а

_______ В Д

R
= (1/2)√aІ+bІ+cІb

О

Доказательство. с С

На
базе прямоугольного
тетраэдра

ОАВС
достраиваем
прямоугольный
параллелепипед
ОВДСАКЛМ. Диагонали
прямоугольного
параллелепипеда