Тригонометрические функции
Тригонометрия – слово греческое и в буквальном переводе означает измерение треугольников (trigwnon - треугольник, а metrew- измеряю).
В данном случае измерение треугольников следует понимать как решение треугольников, т.е. определение сторон, углов и других элементов треугольника, если даны некоторые из них. Большое количество практических задач, а также задач планиметрии, стереометрии, астрономии и других приводятся к задаче решения треугольников.
Возникновение тригонометрии связано с землемерением, астрономией и строительным делом.
Впервые способы решения треугольников, основанные на изависимостях между сторонами и углами треугольника, были найдены древнегреческими астрономами Гиппархом (2 в. до н .э.) и Клавдием Птолемеем (2 в. н. э.). Пожднее зависимости между отношениями сторон треугольника и его углами начали называть тригонометрическими функциями.
Значительный вклад в развитие тригонометрии внесли арабские ученые аль-Батани (850-929) и Абу-ль-Вефа Мухамед-бен Мухамед (940-998), который составил таблицы синусов и тангенсов через 10’ с точностью до 1/604
. Теорему синусов уже знали индийский ученый Бхаскара (р. 1114, год смерти неизвестен) и азербайджанский астроном и математик Насиреддин Туси Мухамед (1201-1274). Кроме того, Насиреддин Туси в своей работе «Трактат о полном четырехстороннике» изложил плоскую и сферическую тригонометрию как самостоятельную дисциплину.
Теорему тангенсов доказал Региомонтан (латинизированное имя немецкого астронома и математика Иоганна Мюллера (1436-1476)). Региомонтан составил также плдробные тригонометрические таблицы; благодаря его трудам плоская и сферическая тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной и в Европе.
Дальнейшее развитие тригонометрия получила в трудах выдающихся астрономов Николая Коперника (1473-1543) – творца гелиоцентрической системы мира, Тихо Браге (1546-1601) и Иогана Кеплера (1571-1630), а также в работах математика Франсуа Виета (1540-1603), который полностью решил задачу об определениях всех элементов плоского или сферического треугольника по трем данным.
Долгое время тригонометрия носила чисто геометрический характер. Такою она была еще в средние века, хотя иногда в ней использовались и аналитические методы, особенно после появления логарифмов. Постепенно тригонометрия органически вошла в математический анализ, механику, физику и технические дисциплины.
Начиная с XVII в., тригонометрические функции начали применять к решению уравнений, задач механики, оптики, электричества, радиотехники, для описания колебательных процессов, распространения волн, движения различных механизмов, для изучения переменного электрического тока и т. д. Поэтому тригонометрические функции всесторонне и глубоко исследовались и приобрели важное значение для всей математики.
Аналитическая теория тригонометрических функций в основном была создана выдающимся математиком XVIII в. Леонардом Эйлером (1707-1783) членом Петербургской Академии наук.
Таким образом, тригонометрия, возникшая как наука о решении треугольников, со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях.
Позднее часть тригонометрии, которая изучает свойства тригонометрических функций и зависимости между ними, начали называть гониометрией
(в переводе – наука об измерении углов, от греч. gwnia - угол, metrew- измеряю). Термин гониометрия в последнее время практически не употребляется.
Изучение свойств тригонометрических функций и зависимостей между ними отнесено к школьному курсу алгебры, а решение треугольников – к курсу геометрии.
Тригонометрические функции острого угла
В прямоугольном треугольнике, имеющем данный угол a, отношения сторон не зависят от размеров треугольника. Рассмотрим два прямоугольных треугольника АВС и А1
В1
С1
(рис.1), имеющих равные углы ÐА=ÐА1
=a. Из подобия этих треугольников имеем:
Если величину угла a измерить, то написанные равенства остаются справедливыми, а измениться
лишь числовое значение отношений и т.д. Поэтому отношения
|
можно рассматривать как функции угла a.
|
|
|
|
|
Рис.1.
Синусом острого угла называется отношение противоположного этому углукатета к гипотенузе. Обозначают это так:
sin
a=
Значения тригонометрических функций (отношений отрезков) являются отвлеченными числами.
Приближенные значения тригонометрических функций острого угла можно найти непосредственно согласно их определениям. Построив прямоугольный треугольник с острым углом aи измерив его стороны, согласно определениям мы можемвычислить значение, например, sin
a
.
Пользуясь тем, что значения тригонометрических функций не зависят от размеров треугольника, для вычисления значений sin
углов a=30°; 45°; 60° рассмотрим прямоугольный треугольник с углом a=30°; и катетом ВС
=a
=1, тогда гипотенуза этого треугольника с
=2, а второй катет b
=Ö3; рассмотрим также треугольник с углом a=45° и катетом a
=1, тогда для этого треугольника c
=Ö2 и b
=1.
Полученные результаты запишем в таблицу.
| 30
° |
45
° |
60
° |
|
| sina |
|
|
|
Рис.2.
Приближенные значения тригонометрических функций для углов от 0° до 90° можно получить построив четверть круга, радиус которогопримем за 1, и его дугу разделимна 45 равных частей. Тогда градусная мера каждой части будет равна 2°.
90°N
0,79
а
А
b
С
0,620°M
Рис.3.
Радиусы АМ
и АN
разделим на 100 равных частей. Построим прямоугольный треугольник с вершиной в центре круга и катетом совпадающим с радиусом АМ
и гипотенузой АВ
=1. Если угол ВАС
=a, то по определению тригонометрических функций мы имеем:
sin
a=а
Для угла 52° на шкале радиуса АN
находим, что а
=0,79, а на шкале радиуса АМ
находим, что b
=0,62., то есть sin
52°=0,79.
Построив прямоугольные треугольники для углов a=2°, 4°, 6°, 8°,…, 88°, согласно рис.3., найдем значения (при аккуратных измерениях и вычислениях) с точностью до 0,01. Для углов 0°и 90°прямоугольных треугольников не существует. Однако, если гипотенуза АВ
будет стремиться по положению к радиусу АМ
, то угол a®0, а катеты а
®0 и b
®1. В таком случае для полноты значений тригонометрических функций принимают, что
sin
0°=а
=0; cos
0°=b
=1.
Что касается значений tg
a и ctg
a, то при a®0 отношение ®0, т.е. , а отношение при a®0 неограниченно возрастает. Этот результат записывают как ®¥, где символ ¥ указывает, что величина неограниченно возрастает и не может быть выражена никаким числом, так как знак ¥ не является каким-либо числом. Таким образом, принимают, что tg
0°=0, а ctg
0°не существует, что чаще записывают какctg
0°=¥.
Рассуждая аналогично при a®90° приходим к целесообразности принять что
sin
90°=1; cos
90°=0, tg
90° не существует (tg
90°®¥) и ctg
90°=0.
Приведем таблицу значений синусов для углов от 0° до 90° с шагом 2°, которую можно получить указанным выше способом.
| градусы
|
0
|
2
|
4
|
6
|
8
|
10
|
12
|
14
|
16
|
18
|
20
|
22
|
| sin
|
0,00 | 0,03 | 0,07 | 0,10 | 0,14 | 0,17 | 0,21 | 0,24 | 0,28 | 0,31 | 0,34 | 0,37 |
| градусы
|
24
|
26
|
28
|
30
|
32
|
34
> |
36
|
38
|
40
|
42
|
44
|
46
|
| sin
|
0,41 | 0,44 | 0,47 | 0,50 | 0,53 | 0,56 | 0,59 | 0,62 | 0,64 | 0,67 | 0,69 | 0,72 |
| градусы
|
48
|
50
|
52
|
54
|
56
|
68
|
60
|
62
|
64
|
66
|
68
|
70
|
| sin
|
0,74 | 0,77 | 0,79 | 0,81 | 0,83 | 0,93 | 0,87 | 0,88 | 0,90 | 0,91 | 0,93 | 0,94 |
| градусы
|
72
|
74
|
76
|
78
|
80
|
82
|
84
|
86
|
88
|
90
|
||
| sin
|
0,95 | 0,96 | 0,97 | 0,98 | 0,98 | 0,99 | 0,99 | 1,00 | 1,00 | 1,00 |
Пользуясь значениями тригонометрической функции y
=sinx
из таблицы, построим график.
y
|
1
0 30° 60° 90°x
Рис.4.
Основные соотношения между тригонометрическими функциями острого угла
Для прямоугольного треугольника в соответствии с теоремой Пифагора
a2
+b2
=c2
или
По определению тогда
(1)
Легко также найти следующие зависимости
(2)
(3)
(4)
(5)
Из соотношений (1)-(5), которые называют основными, можно вывести и другие вспомогательные соотношения, например:
(6)
(7)
(8)
Соотношения (1)-(8) связывают все тригонометрические функции так, что по значению одной из них для данного острого угла можно найти значения всех остальных функций для этого же угла.
Тригонометрические функции произвольного угла
Пусть в прямоугольной системе координат x0y
задан радиус-вектор образующий с положительным направлением оси 0
x
угол a. Будем считать, что ось 0
x
– начальная сторона, а вектор - конечная сторона угла a. Проекция вектора на координатные оси соответственно обозначим ax
и ay
.
Можно показать, что отношения где а – длина вектора , зависят только от
величины угла a и не зависят от длины вектора . Поэтому эти отношения можно рассматривать как функции произвольного угла a.
Синусом угла a,образованного осью 0
x
и произвольным радиусом-вектором , называется отношение проекции этого вектора на ось 0y
к его длине:
y
A
x
Рис. 6.
Если не указано сколько оборотов совершил вектор вокруг точки 0, то положение вектора определяет угол с точностью до целого оборота, т.е углу с начальной стороной 0
x
и конечной стороной соответствует бесчисленное множество углов, которые выражаются формулой
360°·n+a, где n=0; ±1; ±2; ±3; ±4; …
и sin
(a+360°· n)=sin
a
Длина радиуса-вектора всегда число положительное. Проекция его на координатные оси величины алгебраические и в зависимости от координатных четвертей имеют следующие знаки:
В I четверти ax
>0; ay
>0;
Во II четверти ax
<0; ay
>0;
В III четверти ax
<0; ay
<0;
В IV четверти ax
>0; ay
<0/
График функции y=sinx
До сих пор аргументами тригонометрических функций рассматривались именованные величины – углы (дуги), измеренные в градусах или радианах. Значения тригонометрических функций, как отношения отрезков, являются абстрактными величинами (числами). При изучении свойств тригонометрических функций приходится сравнивать изменения функции в связи с изменениями аргумента, а сравнивать можно только однородные или, что еще лучше, абстрактные величины.
Кроме того, введение тригонометрических функций от абстрактного аргумента дает возможность применять эти функции в различных вопросах математики, физики, техники и т.д.
Вместо именованного значения аргумента тригонометрических функций в x
(радианов) будем рассматривать абстрактное числогде r обозначает радианы, ии по определению принять что
sinx
, где x
– абстрактное число, равен sinx
, где x
измерен в радианах.
Тригонометрические функции являются периодическими, то есть существует число а, отличное от 0, такое, что при любом целом nтождественно выполняется равенство:
f(x+na)=f(x), n=0;
±
1;
±
2 ...
Число а
называется периодом функции. Период функции sinx
равен 2p. Для нее имеет место формула:
sin
(
x
+2
p
n
)=
sinx
, где
n=0;
±
1;
±
2 ...
График функции y=sinx
называют синусоидой. Для построения графика можно взять значения аргумента x
с определенным интервалом и составить таблицу значений y=sinx
, соответствующих выбранным значениям x
, а затем по точкам, как это часто делается в алгебре, построить график.
Строим в системе координат x1
01
y1
единичную окружность R=1 с центром 01
на оси абсцисс x1
. Дугу этой окружности начиная от точки начиная от точки оси абсцисс x1
=+1, делим на n
равных частей:
Затем строим вторую систему координат x0
y
, ось которой 0
x
совпадает с осью 0
1
x1
, но сначало координат 0
1
(x
1
=0
) и 0
(x=0
) у етих систем различные. В новой системе координат отрезок оси абсцисс от x=0
до x=2
p делим на n
равных частей: Из точек деления окружности проводим прямые параллельные оси 0
x
, а из точек деления отрезка [0, 2
p
] проводим прямые, перпендикулярные этой осм. Точки пересечения соответствующих прямых будут точками графика y=sinx
, так как ординаты этихточек равны значениям синуса, соответствующим значениям аргумента в точках деления отрезка [0, 2
p
].
Рис.8.
Некоторые свойства функции y=sinx
1. Непрерывность.
Функция y=sinx
существует при всех действительных значения x,
причем, график ее является сплошной кривой линией (без разрывов), т.е. функция sinx
непрерывна.
2. Четность, нечетность.
Функция y=sinx
нечетная и ее график симметричный относительно начала координат.
3. Наибольшие и наименьшие значения.
Все возможные значения функции sinx
ограничены неравенствами
-1
£
sinx
£+1,
причем sinx=+1
, если
и sinx=-1
, если
4.Нулевые значения (точки пересечения графика функции с осью абсцисс).
sinx=0
, если x=
p
n
(n=0;
±1;
±2;…
).
5. Интервалы возрастания и убывания.
Функция возрастает, т.е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции на интервалах
(n=0;
±1;
±2;…
).
И убывает, т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции на интервалах
(n=0;
±1;
±2;…
).