Абстрактная
теория групп
Понятие абстрактной
группы.
1.Понятие
алгебраической
операции.
Говорят, что
на множестве
X определена
алгебраическая
операция
(*), если
каждой упорядоченной
паре элементов
поставлен в
соответствие
некоторый
элемент
называемый
их произведением.
Примеры.
Композиция
перемещений
на множествах
является
алгебраической
операцией.
Композиция
подстановок
является
алгебраической
операцией на
множестве
всех подстановок
степени n.
Алгебраическими
операциями
будут и обычные
операции сложения,
вычитания и
умножения на
множествах
соответственно
целых, вещественных
и комплексных
чисел. Операция
деления не
будет алгебраической
операцией на
этих множествах,
поскольку
частное
не определено
при
.
Однако на множествах
,
это будет
алгебраическая
операция.
Сложение
векторов является
алгебраической
операцией на
множестве
.
Векторное
произведение
будет алгебраической
операцией на
множестве
.
Умножение
матриц будет
алгебраической
операцией на
множестве всех
квадратных
матриц данного
порядка.
2.Свойства
алгебраических
операций.
Операция
(*) называется
ассоциативной,
если
.
Это
свойство выполняется
во всех приведенных
выше примерах,
за исключением
операций вычитания
( и деления) и
операции векторного
умножения
векторов. Наличие
свойства
ассоциативности
позволяет
определить
произведение
любого конечного
множества
элементов.
Например, если
,
.
В частности
можно определить
степени с натуральным
показателем:
.
При этом имеют
место обычные
законы:
,
.
2.
Операция (*)
называется
коммутативной,
если
В
приведенных
выше примерах
операция коммутативна
в примерах 3 и
4 и не коммутативна
в остальных
случаях. Отметим,
что для коммутативной
операции
Элемент
называется
нейтральным
для алгебраической
операции (*)
на множестве
X,
если
.
В примерах 1-6
нейтральными
элементами
будут соответственно
тождественное
перемещение,
тождественная
перестановка,
числа 0 и 1 для
сложения и
умножения
соответственно
(для вычитания
нейтральный
элемент отсутствует
!),
нулевой вектор,
единичная
матрица. Для
векторного
произведения
нейтральный
элемент отсутствует.
Отметим,
что нейтральный
элемент (если
он существует)
определен
однозначно.
В самом деле,
если
- нейтральные
элементы, то
.
Наличие нейтрального
элемента позволяет
определить
степень с нулевым
показателем:
.
Допустим,
что для операции
(*) на
X существует
нейтральный
элемент. Элемент
называется
обратным для
элемента
,
если
.
Отметим, что
по определению
.
Все перемещения
обратимы также
как и все подстановки.
Относительно
операции сложения
все числа обратимы,
а относительно
умножения
обратимы все
числа, кроме
нуля. Обратимые
матрицы - это
в точности все
матрицы с ненулевым
определителем.
Если элемент
x обратим,
то определены
степени с
отрицательным
показателем:
.
Наконец, отметим,
что если x
и
y обратимы,
то элемент
также обратим
и
.
(Сначала мы
одеваем рубашку,
а потом куртку;
раздеваемся
же в обратном
порядке!).
Определение
(абстрактной)
группы.
Пусть на множестве
G определена
алгебраическая
операция (*).
(G ,*)
называется
группой, если
Операция
(*)
ассоциативна
на G.
Для
этой операции
существует
нейтральный
элемент e
(единица
группы).
Каждый
элемент из G
обратим.
Примеры
групп.
Любая
группа преобразований.
(Z,
+), (R,
+), (C, +).
Матричные
группы:
-
невырожденные
квадратные
матрицы порядка
n,
ортогональные
матрицы того
же порядка,
ортогональные
матрицы с
определителем
1.
Простейшие
свойства групп.
В
любой группе
выполняется
закон сокращения:
(левый
закон сокращения;
аналогично,
имеет место
и правый закон).
Доказательство.
Домножим
равенство
слева на
и воспользуемся
свойством
ассоциативности:
.
Признак
нейтрального
элемента:
Доказательство
Применим
к равенству
закон сокращения.
Признак
обратного
элемента:
Доказательство
Применим
закон сокращения
к равенству
.
Единственность
обратного
элемента. Обратный
элемент определен
однозначно.
Следует
из п.3.
Существование
обратной операции.
Для любых двух
элементов
произвольной
группы G
уравнение
имеет и притом
единственное
решение.
Доказательство
Непосредственно
проверяется,
что
(левое
частное элементов
)
является решением
указанного
уравнения.
Единственность
вытекает из
закона сокращения,
примененного
к равенству
.
Аналогично
устанавливается
существование
и единственность
правого частного.
Изоморфизм
групп.
Определение.
Отображение
двух групп G
и K
называется
изоморфизмом
, если
1.Отображение
j взаимно
однозначно.
2.Отображение
j сохраняет
операцию:
.
Поскольку
отображение
обратное к j
также является
изоморфизмом,
введенное
понятие симметрично
относительно
групп G
и
K , которые
называются
изоморфными.
Примеры.
1.Группы
поворотов
плоскости
и
вокруг
точек
и
изоморфны
между собой.
Аналогично,
изоморфными
будут и группы,
состоящие из
поворотов
пространства
относительно
любых двух
осей.
2.Группа диэдра
и соответствующая
пространственная
группа
изоморфны.
Группа
тетраэдра T
изоморфна
группе
состоящей из
четных подстановок
четвертой
степени. Для
построения
изоморфизма
достаточно
занумеровать
вершины тетраэдра
цифрами 1,2,3,4 и
заметить, что
каждый поворот,
совмещающий
тетраэдр с
собой некоторым
образом переставляет
его вершины
и, следовательно,
задает некоторую
подстановку
множества{1,2,
3, 4} Повороты
вокруг оси,
проходящей
через некоторую
вершину (например
1), оставляет
символ 1 на месте
и циклически
переставляет
символы 1, 2, 3. Все
такие перестановки
- четные. Поворот
вокруг оси,
соединяющей
середины ребер
(например, 12 и
34 ) переставляет
символы 1 и 2 , а
также 3 и 4. Такие
перестановки
также являются
четными.
Формула
определяет
взаимно однозначное
соответствие
между множеством
R
вещественных
чисел и множеством
положительных
чисел. При этом
.
Это означает,
что
является
изоморфизмом.
Замечание.
В абстрактной
алгебре изоморфные
группы принято
считать одинаковыми.
По существу
это означает,
что игнорируются
индивидуальные
свойства элементов
группы и происхождение
алгебраической
операции.
Понятие
подгруппы.
Непустое подмножество
называется
подгруппой,
если
само
является группой.
Более подробно
это означает,
что
,
и
.
Признак
подгруппы.
Непустое
подмножество
будет подгруппой
тогда и только
тогда, когда
.
Доказательство.
В
одну сторону
это утверждение
очевидно. Пусть
теперь
-
любой элемент.
Возьмем
в признаке
подгруппы.
Тогда получим
.
Теперь возьмем
.
Тогда получим
.
Примеры
подгрупп.
Для
групп преобразований
новое и старое
понятие подгруппы
равносильны
между собой.
-
подгруппа
четных подстановок.
и т.д.
Пусть
G -
любая группа
и
- любой фиксированный
элемент. Рассмотрим
множество
всевозможных
степеней этого
элемента. Поскольку
,
рассматриваемое
множество
является подгруппой.
Она называется
циклической
подгруппой
с образующим
элементом g
.
Пусть
любая подгруппа
Рассмотрим
множество
-
централизатор
подгруппы H
в группе G.
Из определения
вытекает, что
если
,
то
,
то есть
.
Теперь ясно,
что если
,
то и
и значит централизатор
является подгруппой.
Если группа
G
коммутативна,
то
.
Если G=H,
то централизатор
состоит из тех
элементов,
которые перестановочны
со всеми элементами
группы;
в этом случае
он называется
центром группы
G
и обозначается
Z(G).
Замечание
об аддитивной
форме записи
группы.
Иногда,
особенно когда
операция в
группе коммутативна,
она обозначается
(+) и называется
сложением. В
этом случае
нейтральный
элемент называется
нулем и удовлетворяет
условию:
g+0=g. Обратный
элемент в этом
случае называется
противоположным
и обозначается
(-g).
Степени
элемента g
имеют вид
g+g+...+g ,
называются
кратными элемента
g и
обозначаются
ng.
Абстрактная
теория групп
(продолжение)
Реализация
абстрактной
группы как
группы преобразований.
Существует
несколько
способов связать
с данной абстрактной
группой некоторую
группу преобразований.
В дальнейшем,
если не оговорено
противное, знак
алгебраической
операции в
абстрактной
группе будет
опускаться.
Пусть
некоторая
подгруппа.
А)
Для каждого
определим
отображение
(левый
сдвиг на элемент
h)
формулой
.
Теорема
1
Множество
L(H,G)=
является
группой преобразований
множества G.
Соответствие:
является
изоморфизмом
групп H
и L(H,G).
Доказательство.
Надо
проверить, что
отображение
взаимно однозначно
для всякого
.
Если
,
то
по закону
сокращения.
Значит
инъективно.
Если
любой
элемент, то
и
так что
к тому же и
сюръективно.
Обозначим
через ·
операцию композиции
в группе Sym(G)
взаимно
однозначных
отображений
.
Надо проверить,
что
и
.
Пусть
любой элемент.
Имеем:
;
и значит,
.
Пусть
.
Надо проверить,
что l
взаимно
однозначно
и сохраняет
операцию. По
построению
l
сюръективно.
Инъективность
вытекает из
закона правого
сокращения:
.
Сохранение
операции фактически
уже было установлено
выше:
.
Следствие.
Любая
абстрактная
группа изоморфна
группе преобразований
некоторого
множества
(Достаточно
взять G=H
и рассмотреть
левые сдвиги).
Для
случая конечных
групп получается
теорема Кэли:
Любая
группа из n
элементов
изоморфна
подгруппе
группы
подстановок
степени n.
Для
каждого
определим
отображение
(правый
сдвиг на элемент
h)
формулой
.
Теорема
B.
.
Множество
является группой
преобразований
множества G.
Соответствие
является
изоморфизмом
групп H
и R(H,G).
Доказательство
теоремы B
вполне аналогично
доказательству
теоремы A.
Отметим только,
что
.
Именно поэтому
в пункте 3 теоремы
В появляется
не
,
а
.
С)
Для каждого
определим
(сопряжение
или трансформация
элементом h
) формулой
.
Теорема
С.
Каждое
отображение
является
изоморфизмом
группы G
с собой
(автоморфизмом
группы G).
Множество
является группой
преобразований
множества G.
Отображение
сюръективно
и сохраняет
операцию.
Доказательство.
Поскольку
,
отображение
взаимно однозначно
как композиция
двух отображений
такого типа.
Имеем:
и потому
сохраняет
операцию.
Надо
проверить, что
и
.
Оба равенства
проверяются
без труда.
Сюръективность
отображения
имеет место
по определению.
Сохранение
операции уже
было проверено
в пункте 2.
Замечание
об инъективности
отображения
q.
В
общем случае
отображение
q не является
инъективным.
Например, если
группа H
коммутативна,
все преобразования
будут тождественными
и группа
тривиальна.
Равенство
означает,
что
или
(1) В связи
с этим удобно
ввести следующее
определение:
множество
называется
централизатором
подгруппы
.
Легко проверить,
что централизатор
является подгруппой
H.
Равенство (1)
означает, что
.
Отсюда вытекает,
что если централизатор
подгруппы H
в G
тривиален,
отображение
q является
изоморфизмом.
Смежные
классы;
классы
сопряженных
элементов.
Пусть, как и
выше,
некоторая
подгруппа.
Реализуем H
как группу
L(H,G) левых
сдвигов на
группе G.
Орбита
называется
левым смежным
классом группы
G по
подгруппе H.
Аналогично,
рассматривая
правые сдвиги,
приходим к
правым смежным
классам
.Заметим,
что
стабилизатор
St(g, L(H,G)) (как и St(g,
R(H,G)) ) тривиален
поскольку
состоит из
таких элементов
,
что hg=g.
Поэтому, если
группа H
конечна, то
все левые и
все правые
смежные классы
состоят из
одинакового
числа элементов,
равного
.
Орбиты
группы
называются
классами
сопряженных
элементов
группы G
относительно
подгруппы H
и обозначаются
Если G=H,
говорят просто
о классах сопряженных
элементов
группы G.
Классы сопряженных
элементов могут
состоять из
разного числа
элементов . Это
число равно
,
где Z(H,g)
подгруппа
H ,
состоящая из
всех элементов
h
перестановочных
с g.
Пример.
Пусть
-
группа подстановок
степени 3. Занумеруем
ее элементы:
=(1,2,3);
=(1,3,2);
=(2,1,3);
=(2,3,1);
=(3,1,2);
=(3,2,1).
Пусть
.
Легко проверить,
что левые смежные
классы суть:
,
,
.
Правые
смежные классы:
,
,
.
Все
эти классы
состоят из 2
элементов.
Классы
сопряженных
элементов G
относительно
подгруппы H:
,
,
,
.
В то
же время,
,
,
.
Теорема
Лагранжа.
Пусть
H подгруппа
конечной группы
G.
Тогда порядок
H является
делителем
порядка
G.
Доказательство.
По
свойству орбит
G
представляется
в виде объединения
непересекающихся
смежных классов:
.
Поскольку все
смежные классы
состоят из
одинакового
числа элементов,
,
откуда и вытекает
теорема.
Замечание.
Число s
левых (или
правых) смежных
классов называется
индексом подгруппы
.
Следствие.
Две
конечные подгруппы
группы G
порядки
которых взаимно
просты пересекаются
только по
нейтральному
элементу.
В
самом деле,
если
эти подгруппы,
то
их общая подгруппа
и по теореме
Лагранжа
- общий делитель
порядков H
и K
то есть 1.
Нормальные
подгруппы.
Факторгруппы.
Пусть
любая подгруппа
и
-любой
элемент. Тогда
также
является подгруппой
G
притом изоморфной
H,
поскольку
отображение
сопряжения
является
изоморфизмом.
Подгруппа
называется
сопряженной
по отношению
к подгруппе
H.
Определение.
Подгруппа
H называется
инвариантной
или нормальной
в группе G,
если все сопряженные
подгруппы
совпадают с
ней самой:
.
Равенство
можно
записать в виде
Hg = gH и
таким образом,
подгруппа
инвариантна
в том и только
в том случае,
когда левые
и правые смежные
классы по этой
подгруппе
совпадают.
Примеры.
В
коммутативной
группе все
подгруппы
нормальн
как отображение
сопряжения
в такой группе
тождественно.
В
любой группе
G нормальными
будут , во первых,
тривиальная
подгруппа
и, во вторых,
вся группа G.
Если других
нормальных
подгрупп нет,
то G
называется
простой.
В
рассмотренной
выше группе
подгруппа
не
является нормальной
так как левые
и правые смежные
классы не совпадают.
Сопряженными
с H
будут подгруппы
и
.
Если
-
любая подгруппа,
то ее централизатор
Z = Z(H,G) -
нормальная
подгруппа в
G ,
так как для
всех ее элементов
z
.
В частности,
центр Z(G)
любой группы
G -нормальная
подгруппа.
Подгруппа
H индекса
2 нормальна. В
самом деле,
имеем 2 смежных
класса :
H и Hg
= G-H = gH.
Теорема
(свойство смежных
классов по
нормальной
подгруппе).
Если
подгруппа H
нормальна
в G,
то множество
всевозможных
произведений
элементов из
двух каких либо
смежных классов
по этой подгруппе
снова будет
одним из смежных
классов, то
есть
.
Доказательство.
Очевидно,
что для любой
подгруппы H
.Но
тогда
=
=
=
.
Таким образом,
в случае нормальной
подгруппы H
определена
алгебраическая
операция на
множестве
смежных классов.
Эта операция
ассоциативна
поскольку
происходит
из ассоциативного
умножения в
группе G.
Нейтральным
элементом для
этой операции
является смежный
класс
.
Поскольку
,
всякий смежный
класс имеет
обратный. Все
это означает,
что относительно
этой операции
множество всех
(левых или правых)
смежных классов
по нормальной
подгруппе
является группой.
Она называется
факторгруппой
группы G
по H
и обозначается
G/H.
Ее порядок
равен индексу
подгруппы H
в G.
Абстрактная
теория групп
(продолжение)
9
Гомоморфизм.
Гомоморфизм
групп - это
естественное
обобщение
понятия изоморфизма.
Определение.
Отображение
групп
называется
гомоморфизмом,
если оно сохраняет
алгебраическую
операцию, то
есть
:
.
Таким
образом, обобщение
состоит в том,
что вместо
взаимно однозначных
отображений,
которые участвуют
в определении
изоморфизма,
здесь допускаются
любые отображения.
Примеры.
Разумеется,
всякий изоморфизм
является
гомоморфизмом.
Тривиальное
отображение
является
гомоморфизмом.
Если
-
любая подгруппа,
то отображение
вложения
будет инъективным
гомоморфизмом.
Пусть
-
нормальная
подгруппа.
Отображение
группы G
на факторгруппу
G/H будет
гомоморфизмом
поскольку
.
Этот сюръективный
гомоморфизм
называется
естественным.
По
теореме С
предыдущего
раздела отображение
сопряжения
сохраняет
операцию и,
следовательно
является
гомоморфизмом.
Отображение
,
которое каждому
перемещению
n-
мерного пространства
ставит в соответствие
ортогональный
оператор
(см.
лекцию №3) является
гомоморфизмом
поскольку по
теореме 4 той
же лекции
.
Теорема
(свойства
гомоморфизма)
Пусть
-
гомоморфизм
групп,
и
-
подгруппы.
Тогда:
,
.
-
подгруппа.
-подгруппа,
причем нормальная,
если таковой
была
.
Доказательство.
и по признаку
нейтрального
элемента
.
Теперь имеем:
.
Пусть
p = a(h)
, q = a(k)
. Тогда
и
.
По признаку
подгруппы
получаем 2.
Пусть
то есть элементы
p = a(h)
, q = a(k)
входят в
.
Тогда
то есть
.
Пусть теперь
подгруппа
нормальна
и
-
любой элемент.
и потому
.
Определение.
Нормальная
подгруппа
называется
ядром гомоморфизма
.Образ
этого гомоморфизма
обозначается
.
Теорема.
Гомоморфизм
a инъективен
тогда и только
тогда, когда
Доказательство.
Поскольку
,
указанное
условие необходимо.
С другой стороны,
если
,
то
и если ядро
тривиально,
и отображение
инъективно.
Понятие гомоморфизма
тесно связано
с понятием
факторгруппы.
Теорема
о гомоморфизме.
Любой
гомоморфизм
можно представить
как композицию
естественного
(сюръективного)
гомоморфизма
,
изоморфизма
и (инъективного)
гомоморфизма
(вложения подгруппы
в группу):
.
Доказательство.
Гомоморфизмы
p и
i описаны
выше (см. примеры)
Построим изоморфизм
j. Пусть
.
Элементами
факторгруппы
являются смежные
классы Hg
. Все элементы
имеют одинаковые
образы при
отображении
a :
.
Поэтому формула
определяет
однозначное
отображение
.
Проверим сохранение
операции
.Поскольку
отображение
j очевидно
сюръективно,
остается проверить
его инъективность.
Если
,
то
и потому
.
Следовательно,
и по предыдущей
теореме j
инъективно.
Пусть
- любой элемент.
Имеем :
.
Следовательно,
.
10
Циклические
группы.
Пусть G
произвольная
группа и
-
любой ее элемент.
Если некоторая
подгруппа
содержит g
, то она содержит
и все степени
.
С другой стороны,
множество
очевидно
является подгруппой
G .
Определение.
Подгруппа
Z(g)
называется
циклической
подгруппой
G с
образующим
элементом g.
Если G
= Z(g) , то и вся
группа G
называется
циклической.
Таким
образом, циклическая
подгруппа с
образующим
элементом g
является
наименьшей
подгруппой
G,
содержащей
элемент g.
Примеры
Группа
Z целых
чисел с операцией
сложения является
циклической
группой с образующим
элементом 1.
Группа
поворотов
плоскости на
углы кратные
2p¤n
является
циклической
с образующим
элементом
-
поворотом на
угол 2p¤n.
Здесь n
= 1, 2, ...
Теорема
о структуре
циклических
групп.
Всякая
бесконечная
циклическая
группа изоморфна
Z.
Циклическая
группа порядка
n изоморфна
Z / nZ .
Доказательство.
Пусть
G = Z(g) -
циклическая
группа. По
определению,
отображение
-
сюръективно.
По свойству
степеней
и потому j
- гомоморфизм.
По теореме о
гомоморфизме
.
H = KerjМZ.
Если H
- тривиальная
подгруппа, то
.
Если H
нетривиальна,
то она содержит
положительные
числа. Пусть
n -
наименьшее
положительное
число входящее
в H.
Тогда nZМH.
Предположим,
что в H
есть и другие
элементы то
есть целые
числа не делящееся
на n
нацело и k
одно из них.
Разделим k
на n
с остатком:
k = qn +r , где 0
< r < n. Тогда r
= k - qn О
H , что противоречит
выбору n.
Следовательно,
nZ = H и
теорема доказана.
Отметим,
что
»
Z / nZ .
Замечание.
В
процессе
доказательства
было установлено,
что каждая
подгруппа
группы Z
имеет вид
nZ ,
где n
= 0 ,1 , 2 ,...
Определение.
Порядком
элемента
называется
порядок соответствующей
циклической
подгруппы Z(
g ) .
Таким
образом, если
порядок g
бесконечен,
то все степени
- различные
элементы группы
G.
Если же этот
порядок равен
n,
то элементы
различны и
исчерпывают
все элементы
из Z(
g ), а
N
кратно n
. Из теоремы
Лагранжа вытекает,
что порядок
элемента является
делителем
порядка группы.
Отсюда следует,
что для всякого
элемента g
конечной
группы G
порядка n
имеет место
равенство
.
Следствие.
Если
G - группа
простого порядка
p,
то
-
циклическая
группа.
В
самом деле,
пусть
- любой элемент
отличный от
нейтрального.
Тогда его порядок
больше 1 и является
делителем p,
следовательно
он равен p.
Но в таком случае
G = Z( g )».
Теорема
о подгруппах
конечной циклической
группы.
Пусть
G -
циклическая
группа порядка
n и
m - некоторый
делитель n.
Существует
и притом только
одна подгруппа
HМG
порядка m.
Эта подгруппа
циклична.
Доказательство.
По
предыдущей
теореме G»Z
/ nZ. Естественный
гомоморфизм
устанавливает
взаимно однозначное
соответствие
между подгруппами
HМG
и теми подгруппами
KМZ
, которые
содержат Kerp
= nZ . Но, как отмечалось
выше, всякая
подгруппа K
группы Z
имеет вид
kZ Если
kZЙnZ
, то k
- делитель
n и
p(k)
- образующая
циклической
группы H
порядка m
= n /k. Отсюда и
следует утверждение
теоремы.
Верна
и обратная
теорема:
если конечная
группа G
порядка
n
обладает
тем свойством,
что для всякого
делителя m
числа n
существует
и притом ровно
одна подгруппа
H
порядка
m, то G
- циклическая
группа.
Доказательство.
Будем
говорить, что
конечная группа
G порядка
N обладает
свойством (Z),
если для всякого
делителя m
числа N
существует
и притом только
одна подгруппа
HМG
порядка m.
Нам надо доказать,
что всякая
группа, обладающая
свойством (Z)
циклическая.
Установим
прежде всего
некоторые
свойства таких
групп.
Лемма.
Если
G обладает
свойством (Z),
то
Любая
подгруппа G
нормальна.
Если
x и
y
два элемента
такой группы
и их порядки
взаимно просты,
то xy
= yx.
Если
H подгруппа
порядка m
такой группы
G порядка
N
и числа m
и N/m
взаимно просты,
то H
обладает
свойством (Z).
Доказательство
леммы.
1. Пусть
HМG
. Для любого
подгруппа
имеет тот же
порядок, что
и H.
По свойству
(Z)
то есть подгруппа
H нормальна.
2. Пусть
порядок x
равен p,
а порядок
y равен
q.
По пункту 1)
подгруппы Z(x)
и Z(y)
нормальны.
Значит, Z(x)y
= yZ(x) и xZ(y)
= Z(y)x и потому
для некоторых
a и b
.
Следовательно,
.
Но, поскольку
порядки подгрупп
Z(x) и
Z(y)
взаимно просты,
то
.
Следовательно,
и потому xy
= yx.
Используя
свойство (Z)
, выберем в
G подгруппу
K порядка
N/m.
По 1) эта подгруппа
нормальна, а
поскольку
порядки H
и K
взаимно просты,
эти подгруппы
пересекаются
лишь по нейтральному
элементу. Кроме
того по 2) элементы
этих подгрупп
перестановочны
между собой.
Всевозможные
произведения
hk
=kh,
где hОH,
kОK
попарно различны,
так как
=e
поскольку это
единственный
общий элемент
этих подгрупп.
Количество
таких произведений
равно m
N/m =
и, следовательно,
они исчерпывают
все элементы
G.
Сюръективное
отображение
является
гомоморфизмом
с ядром K.
Пусть теперь
число s
является
делителем m.
Выберем в G
подгруппу
S порядка
s.
Поскольку s
и N/m
взаимно
просты,
и потому
- подгруппа
порядка s.
Если бы подгрупп
порядка s
в H
было несколько,
то поскольку
все они были
бы и подгруппами
G условие
(Z) для
G было
бы нарушено.
Тем самым мы
проверили
выполнение
условия (S)
для подгруппы
H.
Доказательство
теоремы.
Пусть
- разложение
числа N
в произведение
простых чисел.
Проведем индукцию
по k.
Пусть сначала
k = 1,
то есть
.
Выберем в G
элемент x
максимального
порядка
.
Пусть y
любой другой
элемент этой
группы. Его
порядок равен
,
где u
Ј
s. Группы
и
имеют одинаковые
порядки и по
свойству (Z)
они совпадают.
Поэтому
и мы доказали,
что x
- образующий
элемент циклической
группы G.
Пусть теорема
уже доказана
для всех меньших
значений k.
Представим
N в
виде произведения
двух взаимно
простых множителей
N = pq
(например,
)
. Пусть H
и K
подгруппы G
порядка p
и q.
Использую 3) и
предположение
индукции , мы
можем считать,
что H
= Z(x), K = Z(y), причем
xy = yx .
Элемент xy
имеет порядок
pq = N и,
следовательно,
является образующим
элементом
циклической
группы G.
11.
Некоторые
теоремы о подгруппах
конечных групп.
Теорема
Коши.
Если
порядок конечной
группы делится
на простое
число p,
то в ней имеется
элемент порядка
p.
Прежде
чем переходить
к доказательству
этой теоремы,
отметим, что
если g№e
и
,
где p
- простое
число, то порядок
g равен
p.
В самом деле,
если m
- порядок g,
то p
делится на
m,
откуда m=1
или m=p.
Первое из этих
равенств невозможно
по условиям
выбора g.
Индукция
, с помощью которой
проводится
доказательство
теоремы, основана
на следующей
лемме
Лемма.
Если
некоторая
факторгруппа
G/H конечной
группы G
имеет элемент
порядка p,
то тем же свойством
обладает и сама
группа G.
Доказательство
леммы.
Пусть
- элемент порядка
p.
Обозначим через
m порядок
элемента
.
Тогда
и значит m
делится на
p.
Но тогда
- элемент порядка
p.
Доказательство
теоремы Коши.
Зафиксируем
простое число
p и
будем проводить
индукцию по
порядку n
группы G.
Если n=p,
то G»Z/pZ
и теорема
верна. Пусть
теорема уже
доказана для
всех групп
порядка меньше
n и
,
причем n
делится на
p.
Рассмотрим
последовательно
несколько
случаев
G
содержит
собственную
( то есть не
совпадающую
со всей группой
и нетривиальную)
подгруппу H
, порядок
которой делится
на p.
В этом случае
порядок H
меньше n
и по предположению
индукции имеется
элемент
порядка p.
Поскольку
в этом случае
теорема доказана.
G
содержит
собственную
нормальную
подгруппу.
Если ее порядок
делится на p,
то по 1 теорема
доказана. В
противном
случае на p
делится
порядок факторгруппы
G/H и
теорема в этом
случае следует
из доказанной
выше леммы.
Если
G -
коммутативна,
то возьмем
любой
.
Если порядок
g делится
на p,
то теорема
доказана по
1, поскольку
Z(g)МG.
Если это не
так, то , поскольку
в коммутативной
группе все
подгруппы
нормальны,
теорема доказана
по 2.
Остается
рассмотреть
случай, когда
порядки всех
собственных
подгрупп G
не делятся
на p,
группа G
проста ( то
есть не имеет
собственных
нормальных
подгрупп ) и
не коммутативна.
Покажем, что
этого быть не
может. Поскольку
центр группы
G
является нормальной
подгруппой
и не может совпадать
со всей группой,
он тривиален.
Поэтому G
можно рассматривать
как группу
преобразований
сопряжения
на множестве
G.
Рассмотрим
разбиение
множества G
на классы
сопряженных
элементов:
.
Здесь отдельно
выделен класс
и классы неединичных
элементов.
Стабилизатор
St(g)
элемента
g№
e представляет
собой подгруппу
группы G,
не совпадающую
со всей группой.
В самом деле,
если St(g)
= G, то g
коммутирует
со всеми элементами
из G
и потому
gОZ(g)
= {e}. Значит,
порядок этой
подгруппы не
делится на p,
а потому
делится на p:
.
Но тогда
- не делится
на p,
что не соответствует
условию.
Замечание.
Если
число p
не является
простым, то
теорема неверна
даже для коммутативных
групп. Например,
группа
порядка 4 коммутативна,
но не является
циклической,
а потому не
имеет элементов
порядка 4.
Теорема
о подгруппах
коммутативной
группы.
Для
конечной
коммутативной
группы G
справедлива
теорема обратная
к теореме Лагранжа
:
если m
- делитель
порядка группы,
то в G
имеется подгруппа
порядка m.
Доказательство.
Проведем
индукцию по
порядку n
группы G.
Для n
= 2 теорема
очевидна. Пусть
для всех коммутативных
групп порядка
< n теорема
доказана. Пусть
простое p
делит m
. По теореме
Коши в G
имеется
циклическая
подгруппа S
порядка p.
Так как G
коммутативна,
S - нормальная
подгруппа. В
факторгруппе
G/S
используя
предположение
индукции выберем
подгруппу K
порядка m/p
.Если
естественный
гомоморфизм,
то
- подгруппа
G порядка
m
.
Замечание.
Для
некоммутативных
групп данная
теорема неверна.
Так, например,
в группе
четных перестановок
степени 4, которая
имеет порядок
12, нет подгрупп
шестого порядка.