Лекции по линейной алгебре (МГИЕМ, ФПМ)

ГРУППЫ
ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

1.Перемещения

Пусть X
- множество
всех точек
прямой
,
плоскости
или трехмерного
пространства
.
Обозначим через
d(P, Q)
расстояние
между точками
P и
Q множества
X.
Отображение
f: X ®
X f(P) = P
называется
перемещением,
если для всех
P и
Q
d(P, Q) = d(P,
Q).

Примеры.

1.
Пусть в
выбрана правая
декартова
прямоугольная
система координат
(x, y) с
началом О. Поворот
плоскости на
угол j
вокруг точки
О задается
формулами R
=
R.
Здесь R
=
, R
=
.
Очевидно, поворот
является перемещением
плоскости.

Отметим,
что
(О)
=О, то есть точка
О остается
неподвижной
при повороте.
Аналогично,
в
можно рассмотреть
поворот
на
угол j
вокруг оси,
заданной единичным
вектором v
и точкой О. Легко
проверить, что
это перемещение
задается формулой:
R =Rcosj
+ (Rґv)sinj
+v(1-cosj)(RЧv)
. Все точки
оси поворота
являются
неподвижными.

Перемещением
будет и параллельный
перенос
на вектор v
, Очевидно,

R
= R
+v .
Неподвижных
точек перенос
не имеет.

Пусть
l некоторая
прямая в
.
(Зеркальное)
отражение

относительно
этой прямой
является
перемещением.
Если в декартовой
прямоугольной
системе координат
уравнение
прямой имеет
вид y
= tg(j/2)
x , то отражение
задается формулой
: R
=
R
. Аналогично,
если p
некоторая
плоскость в
,
то отражение

относительно
этой плоскости
будет перемещением.
Если n
единичный
вектор нормали
к плоскости
p , проходящей
через начало
координат, то
R = R
- 2(RЧn)n
.

Переносы и
отражения
(примеры 2 и 3) можно
рассматривать
и в
.

Композиция
U*V
(последовательное
выполнение
) двух перемещений
U и
V
снова будет
перемещением:
(U*V)(P)
= U(V(P)). Например,

=
*
= I
-
тождественное
перемещение.

2. Связь с
линейными
операторами.

Теорема 1

Пусть
f: X ®
X - перемещение,
A, B, C, D -
точки X,
f(A) = A
и т.д. Если
AB =
CD
(как
свободные
векторы), то AB
= CD
.

Доказательство.

Достаточно
проверить, что
в условиях
теоремы четырехугольник
ABDC является
параллелограммом.
Пусть О точка
пересечения
диагоналей
AD и
BC.
Принадлежность
точки О отрезку
АD
равносильно
равенству:
d(A, O) + d(O, D) = d(A, D). Поскольку
для образов
этих точек
имеет место
аналогичное
равенство d(A
, O)
+ d(O,
D)
= d(A
, D)
, мы видим, что
O лежит
на отрезке AD
и делит его
пополам, поскольку
d(A
, O)
= d(A
,O) = 1/2 d(A ,D) = 1/2 d(A
, D)
. Аналогично,
O лежит
на CD и
делит его пополам.
Следовательно,
ABDC - параллелограмм.

Из
теоремы 1 следует,
что если
- пространство
свободных
векторов, то
для всякого
перемещения
f: X ®
X определено
отображение:
f*: V ®
V.

Отметим,
что если О -
некоторая
фиксированная
точка X,
то для любой
точки P
точка f(P)
получается
из O
переносом
на вектор f*(OP).
Отсюда вытекает,
что перемещение
f однозначно
определяется
отображением
f* и
точкой O
.

Теорема
2.

Отображение
f* является
линейным оператором
в V и
сохраняет
скалярное
произведение.

Доказательство.

Свойство
f*(u
+
v)
= f*(u)
+f*(v)
следует из
определения
сложения векторов
: если
u =
AB
, v
= BC , то u
+ v = AC. Так как
при перемещении
любой треугольник
ABC переходит
в равный треугольник,
то сохраняются
не только длины,
но и углы между
векторами, а
значит и скалярное
произведение.
Наконец, использую
сохранение
скалярного
произведения,
имеем:
=
-2+
=
-
2+
=0.
Следовательно,
f*(lv)
= lf*(v)
, то есть отображение
f* линейно.

Следствие

Отображение
евклидова
пространства
V,
обладающее
свойством
является
линейным оператором
и сохраняет
скалярное
произведение.

Как
известно, оператор
в конечномерном
пространстве
определяется
своей матрицей.
Матрица A
оператора,
сохраняющего
скалярное
произведение,
называется
ортогональной
и имеет следующие
свойства:

Матрица
А невырождена,
более того
det(A) =
1.
Операторы с
определителем
1 сохраняют
ориентацию
пространства,
а с определителем
(-1) меняют ее на
противоположную.

Все
собственные
значения A
- комплексные
числа по модулю
равные 1.

Кроме
того, известны
простейшие
формы ортогональных
матриц в ортонормированном
правом базисе.
Эти простейшие
формы указаны
в следующей
таблице:

Замечание
1.

Учитывая
связь между
перемещением
f и
оператором
f*,
можно утверждать,
что в подходящей
декартовой
системе координат
имеет место
формула:

R
= АR + v
, где А - одна
из матриц из
таблицы, а v
- некоторый
вектор.
Следовательно,
всякое перемещение
f имеет
обратное
,
которое задается
формулой R
=
(R
- v
) =
R
-
v.
Поскольку
матрица
- ортогональна,
обратное отображение
также является
перемещением.
Отметим еще,
что для всякой
ортогональной
матрицы P
и любого
вектора w

преобразование
R
= PR +
w
является
перемещением.

Замечание
2.

Имеется
существенное
различие между
математическим
понятием перемещения
и физическим
понятием движения.
Во втором случае
имеется в виду
непрерывное
во времени
изменение
положения
точки, в то время
как в первом
фиксируются
только ее начальное
и конечное
положения.

Перемещения
с det(A)
= 1 можно представлять
себе и как движения,
в то время как
при det(A)=
-1 такое представление
невозможно,
если оставаться
в пределах
исходного
пространства
X.

Классификация
перемещений.

Напомним, что
нам уже известны
некоторые
перемещения.
Перемещениями
прямой
являются
тождественное
преобразование
I,
перенос
на вектор v
и отражение
относительно
точки О .

Для
случая плоскости
перемещениями
будут уже упомянутые
I
и
,
а также поворот
вокруг точки
О на угол j
и отражение
относительно
прямой l
. Определим
дополнительно
скользящее
отражение
как
комбинацию
отражения
относительно
прямой l
с переносом
на вектор vЅЅl
.

Наконец,
для пространства
мы
имеем перемещения
I
и
,
а, кроме того
поворот
вокруг
оси, заданной
точкой О и единичным
направляющим
вектором w
на угол j
и отражение
относительно
плоскости p.
Определим
дополнительно
зеркальный
поворот
как комбинацию
отражения
относительно
плоскости,
заданной точкой
О и вектором
нормали n
с поворотом
и скользящее
отражение
- композицию
отражения .
относительно
плоскости p
и переноса на
вектор vЅЅp.
Наконец, определим
винтовое
перемещение

как комбинацию
поворота
и параллельного
переноса на
вектор hw.

Отметим,
что некоторые
из указанных
выше перемещений
являются частными
случаями других.
Например,
тождественное
перемещение
можно рассматривать
как перенос
на нулевой
вектор (или как
поворот на
нулевой угол),
отражение
является частным
случаем скользящего
отражения
при v
= 0
и т. д.

Теорема
3 .

Каждое
перемещение
f в
(n
= 1, 2, 3 ) суть одно
из следующих
:

n
= 1
,

n
= 2
,
,

n
= 3
,
,
.

Доказательство.

Как
уже отмечалось,
можно выбрать
такой ортонормированный
базис, что
перемещение
f имеет
вид R
= АR + v
, где v
- некоторый
вектор. Если
изменить начало
координат :
R = r + u
,
R
= r
+ u
, получаем:
r
= Ar
+ v
, где v
= Au
-u
+v
=
(A - E)u
+
v
.Мы видим,
что если число
1 не является
собственным
значением
матрицы А (или,
если угодно,
оператора f*)
, то можно
выбрать u
так, что в
новой системе
координат v
= 0 . (Поскольку
матрица A
- E невырождена).
Тем самым утверждение
теоремы доказано
при n=1
и при n=2
в случае
det(A) = 1
(так как
собственные
значения
суть exp(ij)№
1 при j№2pn
).

В
случае матрицы
можно добиться,
чтобы v
=
,
что приводит
к скользящему
отражению
.
Для матрицы
при j№2pn
получаем
v
=
,
и мы приходим
к винтовому
перемещению
.
(При j=2pn
мы приходим
к переносу).
Наконец, для
при
j№2pn
можно считать
v
= 0 , что приводит
к зеркальному
повороту
,
а при j=2pn
- v
=
и получается
скользящее
отражение
.

Замечание.
( о параметрах
перемещений)

Параметр
для поворота
плоскости
будем считать
изменяющимся
mod 2p
т.
е.
=
.
Такое же соглашение
будем использовать
и для винтового
перемещения
при
h > 0.
Если же h
= 0 , и речь идет
о повороте в
пространстве,
надо учитывать,
что
=
.
В частности,
=
(отражение
относительно
прямой параллельной
v и проходящей
через О).
Аналогично,
=
.
Если при этом
j=p это
преобразование
не зависит от
вектора n
и является
отражением
относительно
точки О.

4*
Композиции
1.

Теорема
4

Если
f и
g два
перемещения
X,
а f*, g*
- соответствующие
операторы в
V, то
(f·g)*
= f*g*(Символом
· обозначена
композиция
перемещений).

Доказательство.

Используем
координатную
форму записи:
f( R) = AR + v,
g( R) = BR + w.
Тогда:
(f·g)(
R) = f( (g( R)) = f( BR + w)
= A( BR +w)
+v
= ( AB)R + ( Aw
+
v).
Следовательно,
(f·g)*
= AB = f*g*.

Следствие.

Композиция
двух перемещений
с определителями
одного знака
имеет определитель
(+1);
если знаки
определителей
противоположны,
композиция
имеет определитель
(-1).

Вычисление
композиции
перемещений
пространства
не вызывает
затруднений.
Отметим только,
что
·
=
,где v
=2AB.

Для
случая пространства
удобно
использовать
комплексные
числа. Отождествляя
их с точками
плоскости,
получаем удобный
способ записи
перемещений.
Например, поворот
можно записать
в виде:
z ®z
+ c. Точка О
является неподвижной
и соответствующее
комплексное
число
находится из
уравнения
=
+ с, откуда
=
с/(1-).
Таким образом,
Отметим, что
=
при j+y№0
(mod 2p)
. В то же время
при j+y = 0
указанная
композиция
будет переносом
на вектор AD,
где D
=
.

Преобразование
z®+c
является
скользящим
отражением
относительно
прямой Im(=
0
на вектор
0,5 (с +
).
Если прямая
l проходит
через точку
и ее
направляющий
вектор (рассматриваемый
как комплексное
число) имеет
аргумент
,
то перемещение
можно
записать в виде

Композиция
двух скользящих
отражений
относительно
пересекающихся
прямых будет
поворотом. В
то же время,
если прямые
параллельны,
композиция
- перенос.

ГРУППЫ
ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

(продолжение)

5.Кватернионы

Удобный
способ аналитической
записи перемещений
в пространстве
дают кватернионы
, являющиеся
обобщением
комплексных
чисел. Чтобы
подчеркнуть
аналогию между
способами
построения
кватернионов
из комплексных
чисел и построением
комплексных
чисел из вещественных
сравним обе
конструкции.

Построение
комплексных
чисел


Построение
кватернионов

Связь с векторной
алгеброй в
.

В этом параграфе
нам придется
рассматривать
одновременно
несколько
разных произведений.
Крестом (ґ)
будем обозначать
векторное
произведение
в
,точкой
(Ч) - скалярное
произведение,
а звездочка
(*) будет
использована
для умножения
кватернионов.
Пусть q
=bi
+ cj +dk - чисто мнимый
кватернион.
Пользуясь
формулами
предыдущего
параграфа,
нетрудно подсчитать,
что
,
ij
= -ji = k, jk = -kj = i, ki = - ik = j. Если
кватернионам
i , j ,k
поставить
в соответствие
правый ортонормированный
базис (i,
j, k) пространства,
то чисто мнимый
кватернион
q = bi + cj +
dk можно интерпретировать
как вектор в
пространстве
и мы видим, что
умножение двух
чисто мнимых
кватернионов
сводится к
операциям
векторного
и скалярного
умножения в
:
q*r
= -qЧr
+ qґr
. Отсюда
следует, что
q*r
+r*q
=-2qЧr
- вещественное
число, а q*r
-
r*q
=2
qґr
- чисто мнимое
число.

Следствие

Пусть
p
и q
- мнимые
части кватернионов
P и
Q
соответственно.
Кватернионы
P и
Q
коммутируют
(то есть P*Q
= Q*P
) тогда и только
тогда, когда
векторы p
и q
коллинеарны.

В
самом деле,
поскольку
вещественные
числа коммутируют
с любым кватернионом,
P*Q
= Q*P
p*q
=
q*p
то есть -pЧq
+ pґq
= -qЧp
+ qґp
pґq
= qґp
pґq
=0.

Используя
кватернионы
можно вывести
некоторые
свойства векторного
произведения.

Теорема
5.

Для
любых трех
векторов p
, q , r
имеет место
равенство
(pґq)
ґr
+ (qґr)
ґp
+ (rґp)
ґq
=0 (Тождество
Якоби)

(pґq)
ґr
= (rЧp)q
- (qЧr)p

Доказательство.

Поскольку qґr
= q*r
+ qЧr,
имеем:
(pґq)
ґr=(pґq)*r
+(pґq)Чr
= (p*q)
*r
+ (pЧq)r
+ (pґq)Чr
; последнее
слагаемое -
смешанное
произведение
(pqr).
Производя
круговую
перестановку,
получим:
(qґr)ґp
= (q*r)*p
+ (qЧr)p
+ (pqr).Сложим
эти формулы
и учтем ассоциативность
умножения
кватернионов:
(pґq)
ґr
+ (qґr)ґp
= (p*(q*r))
+ (q*r)*p)
+ (pЧq)r
+ (qЧr)p
+ 2(pqr). (1) Заменяя
обратно q*r
= -
qЧr
+ qґr,
преобразуем
первую скобку
A
= -2 (qЧr)p
+ [p*(qґr)
+ (qґr)*p].
В квадратной
скобке стоит
произведение
чисто мнимых
кватернионов
и потому она
будет вещественным
числом. Учитывая,
что левая часть
формулы (1) - чисто
мнимое число,
получаем
окончательно:
(pґq)
ґr
+ (qґr)ґp
= (pЧq)r
- (qЧr)p.
Производя
круговые
перестановки,
получаем 2
аналогичных
равенства:

(qґr)
ґp
+ (rґp)ґq
= (qЧr)p
- (rЧp)q
(2)

(rґp)
ґq
+ (pґq)ґr
= (rЧp)q
- (pЧq)r.
Складывая
все 3 равенства,
получаем тождество
Якоби:
(pґq)
ґr
+ (qґr)
ґp
+ (rґp)
ґq
=0 Вычитая
из этого тождества
равенство (2) ,
получим:
(pґq)
ґr
= (rЧp)q
- (qЧr)p.

Связь с перемещениями
в
.

Пусть p
- чисто мнимый
кватернион,
а s№0
- любой кватернион.
Пусть q
=
.
Тогда
.
Учитывая, что
и
,
получаем
,
то есть этот
кватернион
чисто мнимый.
Таким образом
возникает
отображение
:
.Заметим,
что
Поскольку
,
- линейный оператор,
сохраняющий
скалярное
произведение.

Теорема
6.

Det()
= 1.

Доказательство.

Пусть
e = (i,j,k).
Тогда
=
()
и Det()
равен определителю
этой матрицы
то есть смешанному
произведению
ее столбцов
. Имеем:

=
+.
Второе слагаемое
равно 0 так как
=0,
а первое преобразуется
следующим
образом:
=
.
Поэтому, ()==1.

Как
нам известно,
ортогональная
матрица с
определителем
1 задает поворот
в
.
Вектор v
параллельный
оси вращения
удовлетворяет
условию
(
v )=v
Интерпретируя
v как
чисто мнимый
кватернион,
заметим, что
условие
означает, что
v и
s коммутируют.
Значит, если
Im(s) №0,
v =
lIm(s).Подсчитаем
теперь угол
поворота j.
Пусть s
= a + v, где v№0.
Пусть вектор
p
ортогонален
оси вращения
v.
Тогда v*p
=vґp
.Имеем:
= (a - v)
p(a
+ v)
=
+
2apґv
- (vґp)ґv.
Используя
формулы предыдущего
параграфа,
получаем:
(vґp)ґv
=
.
Итак,
=
()
Второе слагаемое
в скобке можно
записать как
.
Значит, cosj
=
,
sinj
=.Если
определить
угол y =
arccos(),
то j = 2y
+2pn.
Таким образом,
поворот на
уголвокруг
оси, заданной
единичным
вектором n
задается
формулой
,
где s
= cos(j/2)
+ n
sin(j/2).
Композиция
двух поворотов
,
заданных
кватернионами
s и
t = cos(a/2)
+ m
sin(a/2)
задается
формулой
и, следовательно,
равна
.
Находим:
s*t
= cos(j/2)
cos(a/2)-(nЧm)
sin(j/2)
sin(a/2)
+ n
sin(j/2)
cos(a/2)
+ m
cos(j/2)
sin(a/2)
+ (nґm)
sin(j/2)
sin(a/2).
Вещественная
часть этого
кватерниона
равна косинусу
половины угла
поворота, а
мнимая часть
определяет
направление
оси вращения.

Преобразование
является зеркальным
поворотом.
Особо отметим
случай вещественного
s
. В этом случае
оно имеет вид:
(зеркальный
поворот на 180
градусов) и
является центральной
симметрией.
Обозначим его
буквой Z
и отметим,
что оно перестановочно
с любым оператором.

Переходя
к перемещениям
мы видим, что
формула
,
где как и выше
s = cos(j/2)
+ n
sin(j/2)
задает поворот
на угол j
вокруг оси,
заданной единичным
вектором
n
и точкой
,
а та же формула
со знаком (-) задает
зеркальный
поворот.

Перемещение
как произведение
отражений.

Теорема 7

Всякое
ортогональное
преобразование
n- мерного
векторного
пространства
можно представить
в виде композиции
не более чем
n отражений.

Всякое
перемещение
n - мерного
точечного
пространства
можно представить
в виде композиции
не более чем
(n+1)
отражений.

Доказательство.

Условимся,
что произведение
пустого множества
преобразований
является
тождественным
отображением.
Приняв это
соглашение,
мы видим, что
при n
= 1 первое
утверждение
очевидно. При
n = 2 для
доказательства
того же утверждения
достаточно
заметить, что
композиция
двух отражений
относительно
осей, составляющих
угол a/2,
будет вращением
на угол a.
Таким же образом
пространственное
вращение
представляется
в виде композиции
двух отражений
относительно
плоскостей,
проходящих
через ось вращения.
Наконец, зеркальный
поворот требует
еще одного
дополнительного
отражения
относительно
плоскости
перпендикулярной
оси.

Для
доказательства
второго утверждения
отметим прежде
всего, что перенос
(скажем на плоскости)
на вектор h
можно представить
в виде композиции
двух отражений
относительно
параллельных
осей, перпендикулярных
h.
Поскольку
всякое перемещение
можно рассматривать
как композицию
перемещения,
сохраняющего
начало координат(которое
можно отождествить
с соответствующим
ортогональным
оператором)
и параллельного
переноса, второе
утверждение
доказано для
всех таких
перемещений,
для которых
соответствующая
матрица представляется
в виде композиции
1.
Тогда правая
часть последнего
равенства -
число a
между 1 и 2 (1Јa1.
Но, поскольку
,
каждое слагаемое
слева не меньше
1/2. Поэтому, 4 или
больше слагаемых
слева быть не
может. Итак, k
=2 или k
=3. Если k
=2 , то
или
,
откуда
.
Два полюса (на
одной оси!)
порядка N
соответствуют
случаю группы
.
Пусть теперь
k = 3.
Соотношение
принимает вид:
.
Пусть
.
Если
,
то сумма слева
меньше 1, что
невозможно.
Значит,
и равенство
принимает вид:
.
Если
,
то сумма не
больше 1/2, что
невозможно.
Итак,
или =3. Если
,
то
.
Это случай
группы
.
Пусть, наконец,
.
Имеем:
,
откуда
.
Для
находим N
= 12, что соответствует
случаю группы
T.
Для
получаем N
= 24 - случай
группы W,
Наконец при
- N = 60 и
мы приходим
к группе P.

16.Пространственные
группы, содержащие
зеркальные
отражения.

Пусть
S конечная
группа перемещений
в пространстве
содержащая
преобразования
с определителем
(-1). По теореме
12 такая группа
содержит 2n
элементов
,
причем первые
n ее
элементов имеют
определитель
1 и составляют
подгруппу
G=G(S)
, а последние
n имеют
определитель
(-1) и получаются
из элементов
подгруппы путем
их умножения
на любой фиксированный
элемент g
с определителем
(-1):
Напомним, что
буквой Z
была обозначена
симметрия
относительно
начала координат
(зеркальный
поворот на p).
Это перемещение
перестановочно
с любым другим
и
.

Теорема
17.

Пусть
S конечная
группа перемещений
в пространстве
и
.
Если G(S)
= {},
то S = {}.

Доказательство.

Теорема
очевидна, так
как det(Z)
= -1.

Замечание.

Группа
S в этом
случае обозначается

Теорема
18.

Пусть
S конечная
группа перемещений
в пространстве
и
.
Если G(S)
= {},
то множество
является группой
-
преобразований
. Обратно, если
Г любая группа
вращений из
2n элементов,
содержащая
G,
то, домножая
все элементы
из Г-G
на Z,
получаем группу
перемещений
S, для которой
G(S)
= G.

Доказательство.

Надо
проверить, что
и
.
Если
,
то эти условия
выполнены
поскольку G
- группа
преобразований.
Если
,то
ни один из элементов
не входит в G
и потому это
множество
совпадает с
множеством
{
}.
Поэтому
.
Аналогично,
поскольку ни
один из элементов
не входит в G,
все произведения
и потому
.
Таким же образом
убеждаемся,
что
и, значит,
.
Обратное утверждение
теоремы проверяется
точно таким
же образом.

Замечание.

Стандартное
обозначение
для S в
этом случае
-
.

Следствие.

Конечная
группа перемещений
пространства,
содержащая
зеркальные
вращения совпадает
с одной из групп
( в скобках
указаны их
порядки):

(2n),
(4n),
(24),
(48),
(120);

(2n),
(2n),
(4n),
(24).

Замечание
1.

Полные
группы симметрий
правильных
многогранников
получаются
по способу,
указанному
в теореме 17, если
этот многогранник
имеет центр
симметрии. В
противном
случае используется
конструкция
теоремы 18.

Следовательно,
это следующие
группы:

,
,
,
,
.

Замечание
2.

Назовем флагом
многогранника
тройку (D,
R, v), где D-
некоторая его
грань, R
- одно из ребер,
ограничивающих
эту грань и v
- вершина,
лежащая на этом
ребре. Многогранник
называется
правильным
(это одно из
возможных
определений
), если для любых
двух его флагов
и
существует
перемещение,
переводящее
многогранник
в себя и отображающее
первый флаг
во второй. Поскольку
перемещение
оставляющее
флаг неподвижным
очевидно является
тождественным,
мы видим, что
порядок группы
G правильного
многогранника
совпадает с
количеством
его флагов.
Таким образом,
=2Гr,
где Г - количество
его граней, r
- количество
ребер, ограничивающих
некоторую
грань, 2 - количество
вершин на ребре.