Линейная Алгебра. Теория групп

Лекции
по общей алгебре

Лекция 1

Понятие
бинарной
алгебраической
операции

Говорят,
что на множестве
S
определена
(бинарная)
алгебраическая
операция
(АО)
« *», если
для всяких двух
его элементов
x
и
y однозначно
определен
элемент z=x*y
называемый
композицией
или произведением
элементов x
и y.

Примерами
таких операций
могут служить
обычные операции
сложения, вычитания
или умножения
на множестве
всех действительных
(или комплексных
) чисел, операция
умножения на
множестве всех
квадратных
матриц данного
порядка ,операция
композиции
на множестве
всех перестановок
из N
элементов,
операция векторного
перемножения
на множестве
всех векторов
трехмерного
пространства.

Само
по себе понятие
АО является
слишком общим,
чтобы допускать
сколько ни будь
глубокое изучение.
В алгебраических
теориях обычно
рассматривают
операции, обладающие
рядом дополнительных
свойств. Перечислим
некоторые из
них.

Свойство
ассоциативности

(1)

Во
всех перечисленных
выше примерах
АО это свойство
выполняется,
за исключением
операции вычитания
и операции
векторного
произведения.

Из
свойства (1)
вытекает, что
произведение
любого числа
сомножителей
однозначно
определено,
так как не зависит
от того, как в
этом произведении
расставлены
скобки, например

Разумеется,
при этом нельзя
нарушать порядок
сомножителей.

Наличие
свойства
ассоциативности
позволяет
определить
степень любого
элемента с
натуральным
показателем.
А именно:

(n
сомножителей).

При
этом выполняются
обычные правила
действий со
степенями:

,

Свойство
коммутативности

(2)

Это
свойство выполняется
для сложения
и умножения
чисел, но нарушается
для умножения
матриц и композиции
перестановок.

Разумеется,
из (2) вытекает,
что в случае
ассоциативной
и коммутативной
АО мы имеем
право переставлять
любым способом
сомножители
в произведении
любого их числа.

Кроме
того, в этом
случае

Наличие
нейтрального
элемента

(3)

Элемент
n
в этом
случае называется
нейтральным
для АО (*).

Для
операции сложения
чисел нейтральным
является число
ноль, для операции
умножения -
число единица.
Для умножения
матриц нейтральным
элементом будет
единичная
матрица, для
композиции
перестановок
- тождественная
перестановка.
В случае векторного
перемножения
векторов нейтральный
элемент отсутствует.

Отметим,
что в (3) квантор
существования
предшествует
квантору всеобщности,
то есть элемент
n
не зависит
от выбора x.

В
случае существования
единственного
нейтрального
элемента и
ассоциативности
операции можно
определить
степень с нулевым
показателем:

для всякого
элемента x.
Упомянутые
выше свойства
степеней при
этом сохраняются.

Наличие
обратного
элемента

Это
понятие имеет
смысл в случае
наличия нейтрального
элемента для
операции (*).

Элемент
называется
обратным для
элемента x,
если

(4)

Для
сложения чисел
обратный элемент
существует
для любого
числа и равен
противоположному
числу. Для умножения
обратный элемент
так и называется
и существует
у любого числа,
кроме 0. В случае
умножения
матриц обратный
элемент равен
обратной матрице
и существует
в том случае,
если эта матрица
невырождена,
то есть ее
определитель
не равен нулю.

Элементы
для которых
существует
обратный называются
обратимыми.
Из условия (4)
сразу вытекает,
что элемент

всегда обратим
и обратным для
него будет
исходный элемент
x.
Кроме того в
случае ассоциативной
операции произведение
двух обратимых
элементов снова
будет обратимым
элементом и
при этом
.
В самом деле:
и аналогично

Если
элемент
определен
однозначно,
можно определить
степени x
с отрицательным
целым показателем,
а именно:

, где
m=1,2,... . При
этом сохраняются
обычные правила
действий со
степенями.

Замечание

В
конкретных
алгебраических
системах
алгебраическая
операция чаще
всего обозначается
либо знаком
(+) и называется
сложением ,
либо знаком
(.) и называется
умножением.
В первом случае
говорят об
аддитивном,
а во втором о
мультипликативном
способе записи
операции. Операция
записанная
аддитивно как
правило считается
коммутативной.
В этом случае
вместо термина
«обратный»
используется
термин «противоположный
элемент»,
который, естественно,
обозначается
(-x),
а вместо степени
элемента говорят
о его кратных
(nx).

Понятие
группы

Определение

Множество
G
на котором
определена
бинарная операция
(*) называется
группой (G,*),
если выполняются
условия:

Операция
(*) ассоциативна.

Для
операции существует
нейтральный
элемент.

Все
элементы G
обратимы.

Примеры
групп

R
-
группа
действительных
чисел с операцией
сложения. (
аддитивная
группа действительных
чисел)

C
- аддитивная
группа комплексных
чисел.

-
группа ненулевых
действительных
чисел с операцией
умножения (
мультипликативная
группа действительных
чисел)

-
мультипликативная
группа комплексных
чисел.

- группа
невырожденных
матриц порядка
n
с действительными
элементами.
(Аналогично,
)

-
группа перестановок
множества 1,2,
..., n.

Во
всех этих примерах
наличие свойств
1- 3 не вызывает
сомнений.

Прежде
чем приводить
другие примеры
групп укажем
некоторые
простейшие
свойства этих
алгебраических
систем. Во всех
последующих
формулировках
считается, что
x,
y, z, ... - элементы
некоторой
группы G.

Закон
сокращения

(левое сокращение)

(правое сокращение)

Докажем,
например, первый
закон. Используем
существование
обратного
элемента
и
свойство
ассоциативности
операции.

y=z.

Единственность
нейтрального
элемента

В
любой группе
нейтральный
элемент определен
однозначно.
В самом деле,
если
и
оба являются
нейтральными,
то по определению

и в то же время
,
откуда
.
Единственный
нейтральный
элемент группы
G
будет
в дальнейшем
обозначаться
или просто e.

Единственность
обратного
элемента

Для
каждого элемента
x
обратный
элемент
определен
однозначно.
В самом деле,
если элементы
y
и z
являются обратными
для x,
то y*x=e
и z*x=e,
откуда
y*x=z*x
и по закону
сокращения
y=z.

Признак
нейтрального
элемента

Действительно,
поскольку
,
имеем
, откуда по закону
сокращения
получаем
.

Разрешимость
любого уравнения
первой степени
(существование
обратной операции)

. Элемент z
определен
однозначно.
(Его
можно
назвать «частным»
от деления
y
на x).

Имеем:
и значит
можно взять
.
Однозначность
следует из
закона сокращения:
.

Понятие
подгруппы

Определение

Группа
называется
подгруппой
группы
,
если, во первых

(как подмножество)
и, во-вторых,

(то есть закон
умножения на
подмножестве
H
такой
же как и во всем
множестве G.)

Тот
факт, что
является подгруппой
в
обозначается
с помощью символа
включения:
или просто
.

Примеры
подгрупп.

Целые
числа с операцией
сложения (Z)
образуют
подгруппу в
группе R,
которая, в свою
очередь является
подгруппой
группы C.

Четные
перестановки
образуют подгруппу

в группе
всех перестановок.

Матрицы
с определителем
1 образуют подгруппу
в группе
всех невырожденных
матриц.

Чтобы
проверить,
будет ли данное
подмножество
H
в G
подгруппой
надо, очевидно,
проверить
следующие
условия :

.

Оказывается,
что вместо трех
этих условий
достаточно
проверить
только одно.

Признак
подгруппы

Непустое
подмножество
H
в группе
G
будет
подгруппой
этой группы
тогда и только
тогда, когда:

.
(5)

Доказательство.

Условие
(4) очевидно следует
из 1 -3. Проверим
обратное утверждение.
Взяв в (5) y=x,
получим:
,
то есть выполнено
второе условие.
Теперь возьмем
,
тогда получим:
и таким образом
условие 3. также
выполнено.
Наконец, взяв
в условии (5)
,
получим
,
то есть условие
1.

Лекция№10

Мультипликативная
группа поля;
Неприводимые
многочлены.

Свойство
мультипликативной
группы поля.

Конечная
подгруппа
мультипликативной
группы любого
поля циклична.

Доказательство.

Проведем
доказательство
от противного.
Пусть
-
конечная подгруппа.
Предположим,
что G
не является
циклической
группой. Рассмотрим
первое каноническое
разложение:
,
где n>1
и n
| m. Тогда G
, а значит и
содержит
подгруппу H
.
Для каждого
(а всего в H
элементов
) имеем:
.
Поэтому уравнение
в поле k
имеет не
менее
корней, что
невозможно,
так как степень
этого уравнения
равна n
.

Следствие.

Мультипликативная
группа конечного
поля циклична.

Заметим,
что этот результат
нетривиален
даже для простейших
конечных полей
GF(p). Образующие
элементы группы
называются
первообразными
корнями по
модулю p.
В следующей
таблице приведены
наименьшие
первообразные
корни по некоторым
модулям:

Неприводимые
многочлены
над некоторыми
полями.

Поле
комплексных
чисел C.

Имеет место
фундаментальная
теорема Гаусса:
Всякий многочлен
положительной
степени над
полем C
имеет корень.
Из нее вытекает,
что над полем
C
неприводимы
только многочлены
первой степени.

Поле
вещественных
чисел R.

Чтобы перейти
от поля C
к полю R,
заметим, что
отображение

,
сопоставляющее
каждому комплексному
числу z
сопряженное
число
является
изоморфизмом
поля на себя
(автоморфизмом
) и переводит
поле R
в себя. Отсюда
вытекает, что
для всякого

и всякого
имеет место
формула:
=
(),
где
-
многочлен с
комплексно
сопряженными
коэффициентами.
Пусть теперь

- многочлен
положительной
степени. По
теореме Гаусса
он имеет корень.
Но,
)
= 0. Если
,
то многочлены
( x -
)
и ( x
-
) взаимно
просты и из
делимости
многочлена
p
( по теореме
Безу) на ( x
-
)
и на ( x
-
) следует
его делимость
на их произведение

.
Следовательно,
над полем R
неприводимыми
будут , во первых,
все многочлены
первой степени,
а, во-вторых,
те многочлены
второй степени,
которые не
имеют корней
в R
( то есть у которых
дискриминант
отрицателен).
Все прочие
многочлены
- приводимы.

Поле
рациональных
чисел Q.

Если
q ненулевой
многочлен с
рациональными
коэффициентами,
то, приводя их
к общему знаменателю,
можно записать:
q
=
()
=
, где все коэффициенты
целые числа,
ОНД()
= 1 и
,>0
. Легко
видеть, что
многочлен
и число
определены
однозначно.
Будем называть
примитивным
многочленом,
соответствующим
многочлену
q.

Лемма
:
.

Для
всякого целочисленного
многочлена
w =
и простого
числа p
обозначим
через
многочлен
над полем GF(p),
коэффициенты
которого получаются
из соответствующих
коэффициентов
w приведением
по модулю p
:
.
Очевидно, что
отображение
является
гомоморфизмом
кольца Z[x]
в кольцо
GF(p)[x].
Многочлен w
будет
примитивным
тогда и только
тогда, когда
для любого p
.
Поскольку в
кольце GF(p)[x]
нет делителей
нуля, отсюда
и вытекает
утверждение
леммы.

Таким
образом вопрос
о приводимости
многочлена
над полем
рациональных
чисел сводится
к вопросу о
разложении
на множители
меньшей степени
многочлена
с целыми коэффициентами.
В этом направлении
имеется следующее
достаточное
условие неприводимости:

Критерий
Эйзенштейна.

Если
для многочлена
q с
целыми коэффициентами
q =
удается найти
такое простое
число
p, что

1.ОНД(
p ,
)
= 1
2.

3.
не делит

то этот
многочлен
неприводим.

Доказательство.

Предположим,
что q
приводимый
многочлен : q
= uv. Тогда
.
По условию
теоремы
=a,
где a
0.
Значит,
,
,
где k 0.

Следствие.

В
поле k
характеристики
p имеет
место формула:
.
В самом деле,
все промежуточные
слагаемые в
формуле бинома
входят с нулевыми
коэффициентами:
=0.

Гомоморфизм
Фробениуса.

Пусть
k -
поле характеристики
p.
Рассмотрим
отображение
,
действующее
по формуле:
Ф(a) =
.
Только что мы
проверили, что
Ф(a+b) =
Ф(a)+Ф(b).
Кроме того,
очевидно, что
Ф(ab) =
Ф(a)Ф(b).
Это означает,
что Ф - гомоморфизм
поля k
в себя. Поскольку
=
0
a
= 0, Ф инъективен.
Если поле k
конечно
отсюда следует,
что Ф взаимно
однозначно,
то есть является
изоморфизмом
поля k
с самим собой
(автоморфизмом)
. Ф называется
автоморфизмом
Фробениуса.
Если k
= GF(p), то поскольку
- циклическая
группа порядка
( p-1),
для всякого
,
то есть Ф(а) = а.
Возвращаясь
к случаю произвольного
поля k
характеристики
p заметим,
что так как
уравнение
в поле k
имеет не
более p
корней, этими
корнями будут
в точности все
элементы
,
так что для
элементов
и не
входящих в
GF(p),
Ф(а)
а.
Например, для
рассмотренного
выше поля GF(4)
характеристики
2 (см. пример 2),
имеем:

Ф(0)
= 0 ; Ф(1) = 1 ; Ф(а) = b
; Ф(b)
= а.

Если
q любой
многочлен над
полем GF(p),
k -
некоторое поле
характеристики
p и
,
тоФ())
= Ф()
, а потому, если
- корень q,
то Ф()
также является
его корнем,
причем отличным
от исходного,
если
.
(Отметим очевидную
аналогию с
комплексным
корнем многочлена
с вещественными
коэффициентами;
здесь роль
автоморфизма
Ф играет комплексное
сопряжение).

Пример.

Пусть
q =
- многочлен
над полем GF(2),
=а.
Используя
таблицы примера
3, легко проверить,
что
.
Значит, Ф()
=
= b также
будет корнем
этого многочлена,
причем не совпадающим
с a.
Это можно проверить
«в лоб» или
использовать
формулы Виета:

a
+ b = 1 и ab
= 1.

Замечание.

В
случае бесконечного
поля положительной
характеристики
гомоморфизм
Ф может не быть
сюръективным.
Например, для
поля GF(p)(x),
построенного
в примере 3,
гомоморфизм
Ф, очевидно,
действует по
формуле: Ф(r(x))
= r()
и потому элемент
r = x
не входит в его
образ.

Лекция 12

Расширения
полей.

Присоединение
элементов
большего поля.

Если k - подполе
поля K, то говорят
также, что K -
расширение
поля k. Отметим,
что при расширении
сохраняется
характеристика
поля. В самом
деле, поле k
характеристики
0 содержит подполе
изоморфное
Q - полю
рациональных
чисел, а поле
k характеристики
p>0 - подполе изоморфное
полю GF(p)
- вычетов по
модулю p. По
определению
расширения
большее поле
K содержит те
же подполя и,
следовательно,
имеет ту же
характеристику.

Напомним,
что векторным
пространством
над полем k
называется
такое множество
X (векторов), для
которого определены
операции сложения
векторов и
умножения
вектора на
элемент поля
(скаляр) со
следующими
свойствами:

Относительно
сложения векторы
образуют абелеву
группу.

a(U+V)
= aU+aV

(a+b)U
= aU+bU

a(bU)
= (ab)U

1U
=U.

Очевидно,
что поле K можно
рассматривать
как векторное
пространство
над k: сложение
векторов
интепретируется
как сложение
элементов поля
K, а умножение
на скаляр как
умножение в
том же поле
(ведь каждый
скаляр из k в
то же время
является элементом
K). Свойства 1 - 5
вытекают из
определения
поля. Таким
образом, все
известные нам
результаты,
относящиеся
к векторным
пространствам,
применимы к
случаю расширения
полей. В частности,
можно говорить
о размерности
K над k. Это число
называется
степенью
расширения
и обозначается
[K:k] . Если степень
расширения
конечна, то и
само расширение
называется
конечным.

Примеры.

Поле
С комплексных
чисел является
расширением
поля R
вещественных
чисел. Так как
каждое комплексное
число однозначно
записывается
в виде a+bi, то числа
1 и i образуют
базис С
над R
и значит [C:R]
= 2.

Рассмотрим
поле R
как расширение
поля рациональных
чисел Q.
Покажем, что
степень расширения
бесконечна.
Для этого достаточно
для всякого
n указать линейно
независимую
над Q
систему
вещественных
чисел. Положим
,
,
,...,
.
Пусть для некоторых
рациональных

выполнено
равенство:
=0.
Тогда многочлен
с рациональными
коэффициентами
q =
имеет корень
x=
.Однако
тот же корень
имеет неприводимый
многочлен
,
который, следовательно,
делит многочлен
q. Это возможно
только в том
случае, когда
многочлен q
нулевой, чем
и доказано
наше утверждение.

Теорема
о степени составного
расширения.

Пусть
поле F является
расширением
поля k, а K - расширение
F. Тогда степень
расширения
[K:k] находится
по формуле:
[K:k] = [K:F] [F:k].

Доказательство.

Пусть
- базис K над F, а
- базис F над k. Для
всякого U
K
имеем: U =
,
где
.
Но,
,
где
.
Значит, всякий
элемент поля
K записывается
в виде линейной
комбинации
над k элементов
в
количестве
nm штук. Остается
проверить их
линейную
независимость.
Если

=0,
то поскольку
линейно независимы
над F, для всякого

i=
1,...,n имеем=
0. Но
линейно
независимы
над k и потому
все.

Расширение
посредством
присоединения
элементов.

Пусть
дано поле k и
элементы,
принадлежащие
некоторому
большему полю
K. Наименьшее
(по включению)
подполе поля
K, содержащее
поле k и все элементы
обозначается
k()
и называется
расширением
k посредством
присоединения
элементов.
Если n=1, то
расширение
называется
простым
, а соответствующий
элемент U называется
порождающим
элементом
простого расширения.

Примеры.

Если
все,
то k()=k.

Если
k=R, U=a+biC,
причем b0,
то простое
расширение
R(U) совпадает
с С. В
самом деле,
R(U) содержит
U и все вещественные
числа. Но тогда

i
= 1/b(U-a)
R(U),
а значит и любое
комплексное
число p+qiR(U).

3. Поле
Q()
содержит множество
X всех вещественных
чисел, которые
можно записать
в виде a+b,
где a,bQ.

Проверим,
что X - поле и тем
самым установим,
что Q()
=X. Напомним, что
подмножество
T поля k будет
полем тогда
и только тогда,
когда

a)
T содержит 0 и
1.

b)
Вместе с любыми
двумя элементами
t и s T содержит
их разность
t-s.

c)
Вместе с любыми
двумя элементами
t и s
0
T содержит их
частное t/s.

Условия
a) и b) для X очевидно
выполнены.
Чтобы проверить
c) надо”уничтожить
иррациональность”
в знаменателе
дроби (a+b)/(c+d).
Из элементарной
алгебры известно,
что для этого
достаточно
числитель и
знаменатель
умножить на
c-d.
Итак, [Q():Q]=2
и базис составляют
элементы 1 и.

4.
Поле Q()
содержит.
Но тогда оно
должно содержать
также и,
а значит и все
числа вида
a+b+c,
где a,b,cQ.
Отметим, что
запись числа
в такой форме
однозначна
поскольку мы
уже убедились
в линейной
независимости
чисел 1,
,
над
Q. Чтобы
доказать, что
все элементы
поля уже построены,
надо как и в
предыдущем
примере уничтожить
иррациональность
в знаменателе
дроби (a+b+c)/(
d+e+f).
Это можно проделать,
используя
тождество:
-3xyz=
(x+y+z)(
-xy-xz-yz)=(x+y+z)S. Достаточно
вэять x=d, y=e,
z=f
и домножить
числитель и
знаменатель
на S. Следовательно,
[Q()
:Q]=3 и базис
составляют
элементы1,
,
.

Анализируя
приведенные
примеры, мы
видим, что строение
простого расширения
существенно
зависит от
алгебраической
природы порождающего
элемента.

В
связи с этим
дадим следующее
определение.
Пусть kK
и UK.
Элемент U называется
алгебраическим
над k, если
он является
корнем полинома
pk[x]
положительной
степени. В противном
случае U называется
трансцендентным
элементом.
Если p(U)=0 и p=qr, то
либо q(U)=0, либо
r(U)=0, поэтому найдется
такой неприводимый
многочлен
sk[x],
что s(U)=0. Если еще
потребовать,
чтобы s был
унитарным, то
он будет определен
однозначно.
Это будет многочлен
наимеьшей
степени, имеющий
U своим корнем
(минимальный
многочлен
алгебраического
элемента U ). Степень
минимального
многочлена
называется
степенью числа
U над полем k.

Примеры.

Любое
комплексное
число z является
корнем квадратного
уравнения над
R:
=0. Таким образом
все комплексные
числа алгебраичны
над R
и степень их
не превосходит
2.

,
- алгебраические
элементы над
Q. Они
являются корнями
неприводимых
уравнений
-3=0 и
-2=0 соответственно,
так что их степени
- 2 и 3.

Можно
доказать(весьма
непросто!), что
числа
и е трансцендентны
над полем Q.

Строение
простых алгебраических
расширений.

Теорема.

Если
U алгебраический
над k элемент
степени n, то
[k(U):k]=n и в качестве
базиса можно
выбрать элементы
1, U,
.

Доказательство.

Ясно,
что U и все его
степени входят
в k(U). Пусть pk[x]
- минимальный
многочлен
элемента U. Тогда
=.
Умножая обе
части этого
равенства на,
получаем, что
при mn
выражается
над k в виде линейной
комбинации
меньших степеней
U. В то же время
элементы 1, U,...,
линейно независимы
над k, так как
в противном
случае U было
бы корнем уравнения
степени меньше
n, что невозможно.
Остается проверить
что множество
X={
}
является полем,
для чего достаточно
установить,
что элемент
x=1/
Положим: q=.
Так как степень
этого многочлена
меньше n, ОНД(p,q)=1.
По основной
теореме теории
делимости для
многочленов
можно подобрать
такие многочлены
s и t над полем
k, что sq+tp=1. Но тогда
s(U)q(U)=1 и следовательно
x= s(U)
k.

Пример.

Пусть
k=Q, U=.
Тогда,
откуда
=24. Значит U алгебраическое
число, являющееся
корнем уравнения
p=
+1=0.
Решая это
биквадратное
уравнение
определим все
его корни: x=.
Если бы многочлен
p был приводим,
он имел бы над
Q делитель вида
(x-a) или (x-a)(x-b) , где a,b
некоторые из
указанных выше
корней. Однако
непосредственная
проверка показывает,
что ни один из
этих многочленов
не имеет рациональных
коэффициентов.
Поэтому степень
числа U равна
4 и базис в расширении
составляют
числа : 1, U=,
,
.
Вместо них в
базис можно
включить 1,
,,
.
Отсюда вытекает,
что Q()=Q()
и таким образом
присоединение
двух элементов
и
равносильно
присоединению
единственного
элементa.
Можно доказать,
что всякое
конечное расширение
поля характеристики
0 является простым
алгебраическим
расширением
и таким образом
для его построения
достаточно
к исходному
полю присоединить
один единственный
элемент.

Лекция 13

Расширения
полей.

Формальное
присоединение
элементов.

На прошлой
лекции было
показано, что
исходное поле
k можно расширить
добавляя элементы
из некоторого
большего поля.
В случае простого
алгебраического
расширения
добавляется
единственный
элемент U, являющийся
корнем некоторого
неприводимого
многочлена
над k степени
n. Это приводит
к полю k(U), которое
будет расширением
степени n исходного
поля k.

Оказывается,
что конструкцию
присоединения
можно провести
“изнутри”, не
выходя в большее
поле K. Идея этого
построения
раскрывается
в следующей
теореме.

Теорема.

Пусть
pk[x]
- неприводимый
многочлен над
k, U - его корень
в некотором
большем поле
K, (p) =pk[x]
k[x]
- главный идеал
с образующим
элементом p.
Тогда k(U)
k[x]/(p).

Доказательство.

Определим
отображение
:k[x]
k(U) формулой
(q)=q(U).
Поскольку
каждый элемент
Vk(U)
может быть
записан в виде
многочлена
от U,
сюръективно.
По теореме о
гомоморфизме
k(U)
k[x]/Ker.
Остается доказать,
что Ker
= (p). Если q=pd, то
q(U)=p(U)d(U) = 0 и таким образом
(p)
Ker.
Обратно, если
q(U) = 0 то поскольку
p неприводим
и p(U) = 0 , p | q и значит
Ker
(p).

Следствие.

Если
и
корни одного
неприводимого
над k многочлена,
то поля k()
и k()
изоморфны,
причем при этом
изоморфизме
каждый элемент
поля k отображается
на себя.

Замечание.

Поле
F = k[x]/(p), для своего
построения
не требует
знания большего
поля K, в котором
лежит корень
неприводимого
многочлена
p. Поле F содержит
k. Рассмотрим
естественный
гомоморфизм
t: k[x]
F и определим
элемент U поля
F равенством
U= t(x). Тогда, очевидно,
p(U) =0 . Теперь только
что доказанная
теорема позволяет
утверждать,
что Fk(U).
Такой способ
присоединения
новых элементов
к полю называется
формальным.
Отметим, что
именно так было
построено поле
C комплексных
чисел исходя
из поля вещественных
чисел R:
мнимую единицу
i мы присоединили,
как корень
(неприводимого
над R)
многочлена
.
Присоединение
было формальным
в вышеуказанном
смысле, так как
находясь в
области вещественных
чисел, мы не
можем указать
корень этого
многочлена.

Примеры.

Пусть
k = Q, U =.
Тогда p=
имеет корни
U,
U,
U,
где
-
кубический
корень из 1.
Согласно только
что сформулированному
следствию,
поля k=k(U) и k=k(U)
изоморфны,
хотя они и состоят
из элементов
различной
природы: все
числа из поля
k действительные,
а для k это уже
не так.

Рассмотрим
k = GF(2) и
неприводимый
многочлен p=
+x+1 над этим полем.
Нам неизвестно
никакое большее
поле K, в котором
следует искать
корни этого
многочлена.
В соответствии
с только что
доказанной
теоремой рассмотрим
поле K=k[x]/(p). Всякий
его элемент
можно записать
в виде a+bU, где a ,
bGF(2),
причем
+U+1
= 0 . Поле K поэтому
содержит 4 элемента:
0 = 0+0U; 1=1+0U; U =0+1U; V = 1+1U. Поле K
является расширением
поля GF(2)
и потому имеет
характеристику
2. С учетом этого
обстоятельства
его элементы
складываются
очевидным
образом. Что
касается умножения,
то (как и во всяком
поле) (a+bU)(c+dU) = ac+(ad+bc)U+bdи
остается
воспользоваться
равенством
=U+1.
Например, U(U+1) =
+U
=1 так что элементы
U и U+1 взаимно
обратны. Поле
K обозначается
GF(4). В нем
многочлен p
имеет корень
U. Другим корнем
p в том же поле
будет V = U+1. Значит
в поле GF(4) многочлен
p раскладывается
на множители
первой степени:
p = (x+U)(x+U+1).

Поле
разложения
многочлена.

Пусть
pk[x]
произвольный
многочлен
степени n. Разложим
его в произведение
неприводимых
многочленов:
p =.
Присоединяя
к k корень многочлена
p построим новое
поле,
в котором p = (x-a)
,
где многочлены
неприводимы
над.
Теперь присоединим
к
корень
многочлена
и так далее. В
результате
не более чем
через n шагов
мы придем к
полю K в котором
многочлен p
распадается,
то есть раскладывается
в произведение
многочленов
первой степени:
p=

Определение.

Построенное
таким образом
поле K называется
полем разложения
многочлена
p. Это - наименьшее
поле, содержащее
k и все корни
многочлена
p: K = k().

Примеры.

У
нас уже появлялись
поля разложения.
Так мы видели,что
Q()
-поле разложения
многочлена
Q[x],
Q()
- поле разложения
многочлена
Q[x],
GF(4) - поле
разложенияGF(2)[x].

Построим
поле разложения
для p =
Q[x].
Заметим, что
поле=Q()
таковым не
является; в
этом поле p =
и второй множитель
q неприводим
даже над R,
поскольку его
дискриминант
меньше нуля.
Поле разложения
K получится,
если мы присоединим
к полю
один
из корней уравнения
q(x) = 0, то есть величину,
где
-
кубический
корень из 1.
Впрочем, поскольку,
достаточно
присоединить.
Первое расширение
имеет базис
1,
,.
Второе - 1,
.
По теореме о
строении составного
расширения,
базис K над Q
составляют
элементы: 1,
,,,,
и [K:Q]
=6. Заметим, что
=
K, хотя в отдельности
ни i ни
не входят в K.

Замечание.

Можно
доказать ( мы
этого делать
не будем), что
поле разложения
данного многочлена
определено
однозначно
с точностью
до изоморфизма.

Строение
конечных полей.

Теорема
о количестве
элементов
конечного поля.

Пусть
K расширение
конечного поля
k степени n. Если
k содержит q
элементов, то
K содержит
элементов.

Доказательство.

Пусть
-
базис расширения.
Любой элемент
поля K однозначно
записывается
в виде:,
гдеk.
Отсюда и вытекает
наше утверждение.

Следствие.

Количество
элементов
конечного поля
k характеристики
p равно.
В самом деле,
kGF

Как
нам известно,
над полем GF(p)
существуют
неприводимые
многочлены
любой степени
. Присоединяя
( формально) к
GF(p) корень
такого многочлена
степени n, мы
получим расширение
KGF(p)
степени n. Итак,
имеем следующее
утверждение.

Теорема
существования
для конечных
полей

Для
всякого натурального
n и простого p
существует
конечное поле
из
элементов.

Рассмотрим
теперь многочлен
t =,
где q =
над полем GF(p).
Пусть K какое
либо поле, содержащее
все корни этого
многочлена,
так что в K
.
Отметим, что
среди элементов
нет одинаковых.
В самом деле,
, так что ОНД(t,
)
= 1 и t не имеет
кратных корней.

Теорема.

Множество
T = {}K
является полем
из q элементов.

Доказательство.


Надо
проверить, что
и

1.
,
Но
. Значит,

2.
.

Следствие.

Поле
T из
элементов
является полем
разложения
многочлена
над GF(p).

Поскольку
поле разложения
многочлена
определено
однозначно
с точностью
до изоморфизма,
мы вправе ввести
для него специальное
обозначение.
Это поле называется
полем Галуа
в честь
французского
математика
Эвариста Галуа
и обозначается
GF().

Пусть
теперь K любое
поле из
элементов. Как
нам известно,
группа K* - циклическая
порядка q-1. Поэтому
для любого,
а потому
для всех без
исключения
элементов K.
Таким образом
всякий элемент
xK
удовлетворяет
уравнению
=0
и KGF(q).
Поскольку они
состоят из
одинакового
числа элементов,
мы получаем:

Теорема.

Любое
конечное поле
изоморфно
GF().

Следствие.

Всякий
неприводимый
над GF(p)
многочлен s
степени n является
делителем
многочлена
d =.

В
самом деле,
присоединяя
к GF(p) корень
многочлена
s, мы получаем
поле из
элементов.
Следовательно,
этот корень
содержится
в GF()
и неприводимый
многочлен s
делит d.

Отметим,
что после этого
присоединения
получается
поле разложения
многочлена
s.

Следствие.

Поле
разложения
любого неприводимого
многочлена
s степени n над
GF(p) получается
в результате
присоединения
одного единственного
корня этого
многочлена
и изоморфно
GF().
Многочлен s не
имеет корней
в полях GF()
при l0).

Если
H
подгруппа
группы
,
то H=
причем n
делится
на m
нацело.
Порядок H
равен
=d
, и значит
.

Доказательство.

Рассмотрим
стандартный
гомоморфизм
.
K=
- подгруппа Z
и значит
K=mZ
для
некоторого
целого m.
Отсюда
следует, что

H=
.
При этом
и потому
n=dm
где d
- целое.
По теореме
о гомоморфизме
.

Из
доказанных
теорем следует,
что всякая
подгруппа
циклической
группы циклична.
Мы видим также,
что для каждого
целого d,
делящего порядок
n
конечной циклической
группы
имеется
и притом ровно
одна подгруппа
порядка d,
то есть для
конечных циклических
групп справедлива
теорема обратная
теореме Лагранжа.

Дальнейшее
изучение структуры
циклических
групп опирается
на один результат
о делимости
целых чисел,
который мы
сейчас и изложим.

Напомним,
что для любых
целых n
и m
определен их
наибольший
общий делитель
d=(n,m).
Если n
0
и m

0,
то d
- это наибольшее
целое число
на которое без
остатка делятся
n
и
m. (0,m)=(m,0)=m
по определению.
Числа, для которых
(n,m)=1
называются
взаимно простыми.

Основная
теорема теории
делимости.

Если
числа n
и m
взаимно просты,
то можно подобрать
два таких целых
x
и y,
что xn+ym=1.

*Доказательство.

Поскольку
числа n
и m
ненулевые,
nn+0m=
>0.
Значит среди
чисел вида
xn+ym
есть
положительные.
Пусть s=xn+ym
- наименьшее
положительное
число этого
вида. Предположим,
что s>1.
Тогда
s>
(n,m) и потому
либо n
либо m
(пусть n)
не делится на
s
нацело.
Значит n=ks+r,
где
0< r0,
то числа
и
взаимно просты
и по доказанной
теореме для
подходящих
x
и y
имеем:
, откуда и
следует сформулированный
результат.*

Теорема
о порядках
элементов
конечных циклических
групп.

Пусть
p0
любое
целое. Вычет
в группе
имеет порядок
v=n/(n,p).

Доказательство.

Пусть
(n,p)=d.
Поскольку p/d
- целое
число, имеем:
===,
откуда следует,
что порядок
не превосходит
v.
С другой
стороны, если
порядок
равен k,
то k=,
то есть kp
делится
на n.
По основной
теореме теории
делимости
d=xn+yp
и значит
kd=kxn+ykp
также
делится на n.
Но если
kr
.

Определение.

Пусть
G-
абелева группа
и
-
система ее
подгрупп. G
называется
прямой
суммой системы
подгрупп,
если каждый
элемент
однозначно
представляется
в виде суммы
,
где
.
Это записывается
следующим
образом:
.

Таким
образом, диагональный
вид матрицы
означает, что
,
где количество
слагаемых Z
равно
n-r
. Очевидно,
что слагаемые,
отвечающие
тривиальным
группам (d=1)
могут быть
исключены из
этой суммы.

Примеры.

Очевидно,
что
.

Отметим,
что если все
подгруппы
имеют конечные
порядки
, то порядок
равен
.

Подгруппа

состоит из
элементов:
,
а
-
из элементов

.
Поскольку
+=
и
+=,
мы видим, что
.

В
развитие предыдущего
примера установим,
что, если числа
p
и
q взаимно
просты, то.
Используем
основную теорему
теории делимости:
существуют
целые x
и y,
такие что 1=xp+yq
. Отсюда
для любого n
получаем,
что n=nyq+nxp
и значит
.
Остается заметить,
что эти группы
имеют одинаковые
порядки.

Как
было показано
на предыдущей
лекции, группа
описывается
матрицей
.
Приводя эту
матрицу к
диагональному
виду, получаем
эквивалентную
матрицу
.
Следовательно,
.
В качестве
образующих
этих циклических
подгрупп можно
взять, например,
элементы
и
.

Подводя
итог всему
вышесказанному,
можно утверждать,
что всякая
г.к.о. G
является
прямой суммой
своих циклических
подгрупп
,
(1)

где
порядки
конечных подгрупп
удовлетворяют
условию:
числа
-
целые. Разложение
(1) называется
первым каноническим
разложением
группы G.

Лекция№7

Коммутативные
группы с конечным
числом образующих.

Часть третья:
следствия
из классификации.

Теорема
о подгруппах
группы

Всякая
подгруппа
группы
изоморфна
,
причем
.

Доказательство.

Мы
знаем, что подгруппа
G
группыимеет
не более чем
n
образующих
и потому для
нее можно записать
первое каноническое
разложение:
,
где (m+k)
n.
Поскольку все
элементы
имеют бесконечный
порядок, G
не содержит
конечных циклических
подгрупп. Таким
образом, k=0
и теорема
доказана.

Теорема
о подгруппах
конечной
коммутативной
группы.

Для
всякого числа
m
делящего
порядок n
конечной
коммутативной
группы G
в ней
найдется подгруппа
H
порядка
m.

Доказательство.

Используем
разложение
G
в прямую
сумму циклических
подгрупп :
Имеем
:
n=.
Поскольку m
делит
n, можно
записать:
m=,
где каждое
делит
.
Пусть
.
Теперь достаточно
положить:
.

Замечание.

Вообще
говоря, подгруппа
H
не единственна
(в отличие от
случая подгруппы
циклической
группы ). Например,
если
,
где число p
простое, то
каждый неединичный
элемент
имеет порядок
p
и значит
входит в циклическую
подгруппу
порядка p.
Две такие подгруппы
либо совпадают,
либо пересекаются
только по
нейтральному
элементу. Значит
G
содержит
в точности
подгрупп порядка
p.

Теорема
о порядках
элементов
конечных
коммутативных
групп

Пусть
G-
конечная
циклическая
группа и
-
ее первое
каноническое
разложение,
так что каждое
делит
.
Тогда множество
порядков всех
элементов G
совпадает
с множеством
всевозможных
делителей числа
.

Доказательство.

Поскольку
все
являются
делителями
,
=0
и потому
G=0.
С другой стороны,
если q
делит
,
то
(а
значит и G
!) содержит
элемент g
порядка
q.

Следствие.

Если
число m
взаимно
просто с порядком
n
конечной
коммутативной
группы G,
то mG=G.

В
самом деле, в
этом случае
для каждого
прямого слагаемого
группы
G
m=.

Второе
каноническое
разложение

Напомним,
что если числа
p
и q
взаимно просты,
то
.
Поскольку любое
натуральное
n
можно
разложить в
произведение
простых множителей,
,
где все простые
попарно
различны, имеем:
. Используя
разложение
конечной абелевой
группы в сумму
циклических
подгрупп, получаем
отсюда, что
всякая такая
группа может
быть представлена
в виде суммы
таких циклических
подгрупп, порядки
которых являются
степенями
простых чисел.
Объединим
слагаемые,
относящиеся
к одному простому
числу p
в подгруппу
.

Определение.

Подгруппа
называется
p-компонентой
группы G.
Группа G,
порядок которой
равен степени
простого числа
p
называется
p-примарной.

Итак,
всякая
конечная абелева
группа G
раскладывается
в прямую сумму
p-компонент:
,
где p-простое
число, делящее
порядок G,
а всякая p-компонента,
в свою очередь,
в прямую сумму
примарных
циклических
подгрупп:
.
Прямая сумма,
стоящая в правой
части этого
равенства
обозначается
,
а выражение,
стоящее в показателе
степени p,-
типом
компоненты
.
Порядок
равен
,
где
-
количество
1 в показателе,
-
количество
2 и т.д. Таким
образом компонента
является примарной
группой. Только
что построенное
разложение
конечной абелевой
группы называется
вторым
каноническим
разложением.

Пример.

Пусть
.
Поскольку 12=,
72=,
имеем:
.

Замечание.

Если
- две подгруппы
примарной
циклической
группы и st,
то
.
Отсюда вытекает,
что примарная
циклическая
группа не может
быть разложена
в прямую сумму
своих подгрупп.
Таким образом,
второе каноническое
разложение
конечной абелевой
группы - это
представление
ее в виде суммы
наименьших
(далее не
разложимых)
слагаемых. Для
сравнения
заметим, что
первое каноническое
разложение
- это представление
группы в виде
суммы наибольших
циклических
слагаемых.

Теорема
единственности
для разложения
в сумму компонент.

Компоненты
конечной
коммутативной
группы G
определены
однозначно.
Точнее, пусть
-
разложение
порядка n
группы
G
в произведение
простых чисел,
.
Тогда
.

Доказательство.

Из
разложения
мы видим, что
=0.
Если же (p,q)=1,
то q
=
.
Поскольку при
ji
делится
на,
а
=1,
отсюда и следует
утверждение
теоремы.

Теорема
единственности
определения
типа примарной
группы.

Тип
примарной
группы определен
однозначно.
Точнее, если
p-компонента
группы
G
представлена
в виде прямой
суммы циклических
подгрупп:
=,
то
.

Доказательство.

Пусть
G=-
разложение
G
в сумму
p-компоненты
и остальных
компонент.
Таким образом,
(ord(),p)=1
и потому
=.
С другой стороны,
=
при m>k
(равно
0 в противном
случае). Поэтому

ord()=.
Обозначая
ord()=N,
получаем:

ord(G)=N.
Отсюда:
ord(G)/
ord(G)=
откуда
и следует утверждение
теоремы.

Замечание.

Обращаем
внимание на
существенное
отличие в
формулировке
свойства
единственности
в двух последних
теоремах. В
первой из них
утверждается
единственность
каждой из подгрупп
, тогда как во
второй подгруппы,
составляющие
прямые слагаемые,
определены,
вообще говоря,
неоднозначно,
но их количество
и порядок каждой
из них находятся
уже единственным
образом.

Количество
неизоморфных
конечных абелевых
групп данного
порядка.

Обозначим
через ab(n)
количество
попарно неизоморфных
абелевых групп
порядка n.
Ввиду единственности
разложения
такой группы
в сумму примарных
компонент,
разложению
в произведение
простых отвечает
равенство
ab(n)=ab()ab()...ab().
Если p-
любое
простое число,
и G-

группа
порядка
и
типа (1,1,...1,2,2,......k)
то m=1+1+...+1+2+2+...+...+k.
Каждому представлению
числа m
в виде
суммы положительных
целых слагаемых
(причем порядок
слагаемых не
играет роли)
отвечает определенный
тип абелевой
группы порядка
.
Такое представление
числа m
называется
его разбиением
и обозначается
.
Таким образом,
поскольку тип
группы определяется
однозначно,
ab()=.

Примеры.

Составим
прежде всего
следующую
табличку
разбиений:

ab(16)=
=5.
Соответствующие
абелевы группы
порядка 16 следующие:
,
,
,
,.
Первые канонические
разложения
для них имеют
вид:
,
,
,
,
.

ab(72)=ab(8)*ab(9)=
=6.
Соответствующие
группы суть:
,
,
,
,
,
.
Первые
канонические
разложения
для них имеют
вид:
,
,
,
,
,
.

В
заключение
приведем табличку
количества
Г(n)
попарно неизоморфных
групп
и ab(n)
абелевых групп
данного порядка
n.

Лекция№8

Множества
с двумя алгебраическими
операциями.
Кольца и поля.

Пусть на множестве
R определены
две алгебраические
операции, которые
мы будем называть
сложением и
умножением
и обозначать
соответственно
+ и *. Говорят, что
умножение
обладает свойством
(правой) дистрибутивности
относительно
сложения, если

.
(1)

Аналогично
определяется
свойство левой
дистрибутивности.
Разумеется,
если операция
умножения
коммутативна,
эти свойства
равнозначны.
В общем случае
говоря о свойстве
дистрибутивности
мы будем подразумевать
двустороннюю
дистрибутивность.
Предположим,
что операция
’+’
на R
имеет нейтральный
элемент, обозначаемый
0. Положив в
равенстве (1)
y
=
z
=
0,
получим: x*0
= x*0 + x*0, откуда,
при наличии
свойства сокращения
для операции
’+’
, получаем, что
x*0 = 0.
Если для элемента
y имеется
противоположный
элемент (-y),
то взяв в том
же равенстве
z = -y,
получим: 0 = x*0
= x*y + x*(-y) и, значит,
x*(-y) =
-x*y.

Определение.

Множество
с двумя алгебраическими
операциями
R(+,*)
называется
кольцом, если

(R,+)
- абелева
группа
(аддитивная
группа кольца
R).

Умножение
в R
дистрибутивно
относительно
сложения.

Дополнительные
свойства операции
умножения
отмечаются
с помощью
соответствующих
прилагательных
перед словом
кольцо. Так
ассоциативное
кольцо - это
кольцо, в котором
операция умножения
обладает свойством
ассоциативности.
Аналогичный
смысл имеет
термин коммутативное
кольцо. Наличие
нейтрального
элемента для
операции умножения
выражают термином
кольцо с единицей
( этот нейтральный
элемент называют
единицей и
обозначают
или
просто e
); При этом дополнительно
предполагается,
что кроме свойств
1 и 2 выполнено

0.

Элементы
такого кольца
R,
имеющие
обратные
относительно
операции умножения,
называются
обратимыми
, а их множество
обозначается
через
.
Отметим, что
для ассоциативного
кольца с единицей
множество
является
группой по
умножению,
называемой
мультипликативной
группой кольца
R.
Поскольку в
кольце R
с единицей

x*0 = 0e
, элемент 0 из
R необратим.
В случае ассоциативного
кольца не будет
обратим и такой
элемент y0,
для которого
можно найти
такое z0,
что y*z
= 0. Такой элемент
y
называется
(левым) делителем
нуля.

Определение.

Полем
называется
такое ассоциативное
коммутативное
кольцо с единицей
k,
в котором всякий
ненулевой
элемент обратим:
.

Таким
образом, по
определению
в поле отсутствуют
делители нуля.

Примеры
колец и полей.

Хорошо
известными
примерами
полей являются,
конечно, поля
R,Q,
и C
соответственно
вещественных,
рациональных
и комплексных
чисел . Отметим,
что любое поле
содержит по
крайней мере
2 элемента - 0 и
e.
Этот «минимальный»
запас элементов
и достаточен
для образования
поля: операции
определяются
очевидным
образом ( отметим
только, что
e+e=0).
Построенное
поле из двух
элементов
обозначается
GF(2) (по
причинам, которые
будут ясны в
дальнейшем).
Напомним также,
что если p
- простое
число, то все
вычеты по модулю
p,
кроме 0, обратимы
относительно
операции умножения.
Значит, рассматривая
группу
с дополнительной
операцией
умножения, мы
получаем поле
из p
элементов,
которое обозначается
GF(p).

Множество
Z целых
чисел с операциями
сложения и
умножения дает
важный пример
ассоциативного
коммутативного
кольца с единицей.
Аддитивная
группа этого
кольца - хорошо
известная нам
бесконечная
циклическая
группа. Мультипликативная
группа
содержит всего
2 элемента 1 и
-1 и потому изоморфна
.
Элементы, не
входящие в
необратимы,
хотя и не являются
делителями
нуля.

Пусть
R - любое
ассоциативное
коммутативное
кольцо. Множество-
квадратных
матриц порядка
n с
элементами
из кольца R
образует
кольцо относительно
операций сложения
и умножения
матриц. Отметим,
что кольцо
матриц ассоциативно,
но, вообще говоря,
не коммутативно.
Если R
содержит
единицу
,
то матрица
Е =
diag(,,...,)
,будет единицей
кольца матриц.
Заметим, что
для любой матрицы

имеет смысл
понятие определителя
det(A)

R, причем
det(AB)=det(A)det(B).
Если det(A)
обратимый
элемент кольца
R,
то матрица A
обратима
в кольце матриц:
,
где
-
присоединенная
к А матрица
(то есть транспонированная
матрица из
алгебраических
дополнений).
Таким образом,
=
-
группа матриц
порядка n
с обратимым
определителем.
В случае поля
R это
означает, что
det(A)
0,
то есть матрица
невырождена.
С другой стороны,
в этом случае
любая вырожденная
матрица
будет делителем
нуля. В самом
деле, из det(A)
= 0 следует,
что столбцы
А линейно зависимы:
,
причем не все
коэффициенты
нулевые. Построим
ненулевую
матрицу В, взяв

в качестве ее
первого столбца
и считая прочие
элементы В
нулевыми. Тогда
А*В = 0 и значит
А - делитель
нуля.

Пусть
снова R
любое ассоциативное
коммутативное
кольцо и x
- некоторый
символ. Формальная
сумма вида
p=
,
где
называется
многочленом
над кольцом
R.
Если
, то число n
называется
степенью этого
многочлена
и обозначается
deg(p).
Нулевой
многочлен не
имеет степени.
Многочлены
над R
можно складывать
и перемножать
по обычным
правилам и они
образуют кольцо
R[x].
Если кольцо
R имеет
единицу е, то
многочлен
нулевой степени
p=e
будет единицей
кольца R[x].
Если R
не имеет
делителей
нуля, то deg(pq)=deg(p)+
deg(q) и потому
R[x] также
не имеет делителей
нуля. В то же
время обратимыми
элементами
кольца многочленов
будут в точности
обратимые
элементы R,
рассматриваемые
как многочлены
нулевой степени.
Отметим, что
эта конструкция
позволяет
рассматривать
и многочлены
от нескольких
переменных:
по определению,
R[x,y]
=R[x][y] (=R[y][x]).

Определение.

Подмножество
называется
подкольцом,
если оно является
кольцом относительно
тех же операций,
которые определены
в R.

Это
означает, что
К является
подгруппой
аддитивной
группы R
и замкнуто
относительно
умножения:
.
Отметим, что
если R
обладает
свойством
ассоциативности
, коммутативности
или отсутствием
делителей нуля,
то и К обладает
теми же свойствами.
В то же время,
подкольцо
кольца с единицей
может не иметь
единицы. Например,
подкольцо
четных чисел
2Z
Z
не имеет
единицы. Более
того, может
случиться, что
и R и
K имеют
единицы, но они
не равны друг
другу. Так будет,
например, для
подкольца
,
состоящего
из матриц с
нулевой последней
строкой и последним
столбцом;
=diag(1,1,...,1,0)
=diag(1,1,...,1).

Определение.

Гомоморфизмом
колец
называется
отображение,
сохраняющее
обе кольцевые
операции:
и
.
Изоморфизм
- это взаимно
однозначный
гомоморфизм.

Ядро
гомоморфизма
- это ядро группового
гомоморфизма
аддитивных
групп
,
то есть множество
всех элементов
из R,
которые отображаются
в
.

Пусть
снова
-
некоторое
подкольцо.
Поскольку (К,+)
- подгруппа
коммутативной
группы (R,+),
можно образовать
факторгруппу
R/K,
элементами
которой являются
смежные классы
r+K.
Поскольку К*К
К,
для произведения
двух смежных
классов имеет
место включение:
(r+K)*(s+K)
r*s+r*K+K*s+K.

Определение.

Подкольцо
К называется
идеалом кольца
R,
если
:
x*K
K
и
K*yK.

Мы
видим, что если
К является
идеалом в R,
произведение
смежных классов
(r+K)*(s+K)
содержится
в смежном классе
r*s+K.
Значит в факторгруппе
R/K определена
операция умножения,
превращающая
ее в кольцо,
называемое
факторкольцом
кольца R
по идеалу
К.

Примеры.

Подкольцо
nZ
является
идеалом кольца
Z,
поскольку для
любого целого
m m(nZ)
nZ.
Факторкольцо
Z/nZ
- это множество
вычетов по
модулю n
с операциями
сложения и
умножения.
Отметим, что
если число n
не является
простым, то
Z/nZ
имеет делители
нуля.

Пусть
IR[x]
- множество
всех многочленов
,
у которых
=0.
Удобно записать:
I = xR[x].
Поскольку p*I
=(p*x)R[x]
I,
мы имеем идеал
кольца многочленов.
Каждый смежный
класс q+I
содержит
элемент
.
Значит, (q+I)*(s+I)
= (+I)*(+I)
=*+I.

В
развитие предыдущего
примера рассмотрим
некоторое
ассоциативное
коммутативное
кольцо S.
Если
любой его элемент,
то множество
I=x*S
является
идеалом кольца
S,
называемым
главным идеалом
с образующим
элементом x.
Этот идеал
обозначается
(x).
Если S
кольцо с
единицей и
элемент x
обратим, то
(x)=S.

Если
кольцо S
является
полем, то всякий
ненулевой
идеал I
в S
совпадает
со всем полем.
В самом деле,
если
,
x
0,
то для всякого
имеем:
,
откуда
.

Пусть
I идеал
кольца R.
Сопоставляя
каждому элементу

смежный класс
r+I,
получаем
сюръективный
гомоморфизм

.
Этот гомоморфизм
называется
естественным
гомоморфизмом
кольца на
факторкольцо.

Замечание.

Свойства
ассоциативности,
коммутативности
и наличия единицы
очевидно сохраняются
при переходе
к факторкольцу.
Напротив, отсутствие
в R
делителей
нуля еще не
гарантирует
их отсутствие
в факторкольце
(см. пример 1).

Теорема
об ядре.

Ядро
гомоморфизма
колец является
идеалом.

Доказательство.

Пусть
-
гомоморфизм
колец, I
=Ker,
-
любой элемент.
Тогда,
(x*I)
=(x)*
(I)
=(x)*0
=0. Значит, x*I
Ker
=I. Аналогично
проверяется,
что I*xI.

Теорема
о гомоморфизме
для колец.

Пусть
-
сюръективный
гомоморфизм
колец. Тогда
S изоморфно
факторкольцу
R/Ker.
Если эти изоморфные
кольца отождествить,
то
отождествляется
с естественным
гомоморфизмом
кольца R
на свое
факторкольцо.

Доказательство
этой теоремы
аналогично
доказательству
соответствующей
теоремы для
групп и мы его
опускаем.

Пример.

Пусть
K - кольцо
многочленов
R[x],
:
KC
- гомоморфизм,
сопоставляющий
каждому многочлену
p его
значение в
точке i
:
(p)
=p(i). Ядро этого
гомоморфизма
составляют
многочлены,
представимые
в виде: (+1)*q(x),
где q
- любой многочлен.
Можно записать:
Ker
=(+1).
По теореме о
гомоморфизме
.

Лекция№9

Кольцо
многочленов
над полем.

Кольцо многочленов
над полем (в
отличие от
случая многочленов
над кольцом)
обладает рядом
специфических
свойств, близких
к свойствам
кольца целых
чисел Z
.

Делимость
многочленов.

Хорошо
известный для
многочленов
над полем R
способ деления
«углом»
использует
только арифметические
действия над
коэффициентами
и потому применим
к многочленам
над любым полем
k. Он дает
возможность
для двух ненулевых
многочленов
p,sk[x]
построить
такие многочлены
q (неполное
частное) и r
(остаток),
что p
= q*s +r , причем
либо r
=0, либо deg(r
)< deg(s ). Если r
=0 , то говорят,
что s
делит p
(или является
делителем p
) и обозначают
это так: s
| p. Будем называть
многочлен
унитарным (
или приведенным),
если его старший
коэффициент
равен 1.

Определение.

Общим
наибольшим
делителем
ненулевых
многочленов
p и
s называется
такой унитарный
многочлен ОНД(
p, s), что

ОНД(
p, s)
| p; ОНД(
p, s) | s.

q
| p, q | s
q | ОНД( p,
s).

По
определению,
для ненулевого
многочлена
р со старшим
коэффициентом
а ОНД (р, 0) = ОНД
(0, р) = р/а; ОНД (0, 0)=0.

Аналогично
определяется
ОНД любого
числа многочленов.

Единственность
ОНД двух многочленов
непосредственно
вытекает из
определения.
Существование
его следует
из следующего
утверждения.

Основная
теорема теории
делимости (для
многочленов).

Для любых двух
ненулевых
многочленов
p и
q над
полем k
можно найти
такие многочлены
u и
v над
тем же полем,
что ОНД(p,
q)= u*p+v*q.

Доказательство
этой теоремы
очень похоже
на приведенное
в лекции доказательство
аналогичной
теоремы над
Z.
Все же наметим
основные его
шаги.

Выберем
такие многочлены
u и
v чтобы
сумма w=
u*p+v*q имела возможно
меньшую степень(
но была ненулевой!).
Можно при
этом считать
w унитарным
многочленом.
Проверим, что
w | p.
Выполняя
деление с остатком,
получаем: p=
s*w+r. Подставляя
это равенство
в исходное,
находим: r
=
p
- s*w
=p
- s*(u*p+v*q)
= (1-s*u)*p+(-s*v)q = U*p
+ V*q . Если при
этом r
0,
то deg(r
)0, то
это противоречит
неприводимости
p, а если deg(s )=0, то d |
qp
| q.

2. Если
p |
и p неприводим,
то либо p |
либо p |
.
Действительно,
в противном
случае НОД(p,
)
= НОД(p,
)
=1 и потому по
основной теореме
теории делимости
;
,
откуда:
и значит,
,
то есть НОД(p,
)=1
и, следовательно,
deg (p )=0.

III.
Корни многочленов.
Производная
и кратные корни.

Пусть p =
некоторый
многочлен над
k и
.
Элемент поля
k, равный
,
называется
значением
многочлена
p в точке a и
обозначается
p(a). Соответствие
является
гомоморфизмом
Ядро этого
гомоморфизма
состоит из всех
многочленов,
для которых
p(a) = 0, то есть a является
их корнем.
Поскольку ядро
I - идеал, содержащий
(x-a) и не совпадающий
с k[x]
(x -a +),
а каждый идеал
в k[x] - главный, то
I =(x-a). Мы приходим
таким образом
к теореме Безу
: элемент
будет корнем
многочлена
p тогда и только
тогда, когда
(x - a) | p. Отсюда
непосредственно
вытекает, что
неприводимый
многочлен
степени больше
1 не имеет корней.

Если
| p , то a называется
корнем кратности
не ниже n. Введем
понятие производной
многочлена
p. По определению
это многочлен
.
Имеют место
обычные правила
вычисления
производной:
;
.
Отсюда следует,
что
и потому наличие
у многочлена
корня a
кратности не
ниже n
влечет наличие
у
его производной
того же корня
кратности не
ниже (n-1).
В частности,
если p(a)
= 0, но
,
то корень a
-
простой
(то есть не кратный).

Если
| p, но
не делит p,
то число n
называется
кратностью
корня a
. Пусть
-
множество всех
корней многочлена
p с
указанными
кратностями
.
Поскольку
при
ab

НОД(,)
=1, многочлен p
делится на
и потому deg(p)
.
Итак, многочлен
степени n
имеет не
более n
корней с
учетом их кратности.