Множина комплексних чисел

Чернігівський державний педагогічний університет імені Т.Г.Шевченка

фізико-математичний факультет

Курсова робота на тему:

Множина комплексних чисел

Підготувала студентка 45 групи

Петрова Наталія Олександрівна

Чернігів 2003

План

1. Виникнення та розвиток поняття комплексного числа.

2. Поняття комплексного числа.

3. Дії над комплексними числами.

4. Геометричне зображення комплексного числа.

5. Модуль і аргумент комплексного числа.

6. Тригонометрична форма комплексного числа.

7. Застосування комплексних чисел.

Виникнення та розвиток поняття комплексного числа.

“Помимо и даже против воли того или другого математика, мнимые числа снова и снова появляются на выкладках, и лишь постепенно по мере того как обнаруживается польза от их употребления, они получают более и более широкое распространение”

Ф. Клейн.

Древнегреческие математики считали “настоящими” только натуральные числа. Постепенно складывалось представление о бесконечности множества натуральных чисел.

В III веке Архимед разработал систему обозначения вплоть до такого громадного как . Наряду с натуральными числами применяли дроби - числа, составленные из целого числа долей единицы. В практических расчетах дроби применялись за две тысячи лет до н. э. в древнем Египте и древнем Вавилоне. Долгое время полагали, что результат измерения всегда выражается или в виде натурального числа, или в виде отношения таких чисел, то есть дроби. Древнегреческий философ и математик Пифагор учил, что “… элементы чисел являются элементами всех вещей и весь мир в целом является гармонией и числом. Сильнейший удар по этому взгляду был нанесен открытием, сделанным одним из пифагорейцев. Он доказал, что диагональ квадрата несоизмерима со стороной. Отсюда следует, что натуральных чисел и дробей недостаточно, для того чтобы выразить длину диагонали квадрата со стороной 1. Есть основание утверждать, что именно с этого открытия начинается эра теоретической математики: открыть существование несоизмеримых величин с помощью опыта, не прибегая к абстрактному рассуждению, было невозможно.

Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было введение отрицательных чисел - это было сделано китайскими математиками за два века до н. э. Отрицательные числа применяли в III веке древнегреческий математик Диофант, знавший уже правила действия над ними, а в VII веке эти числа уже подробно изучили индийские ученые, которые сравнивали такие числа с долгом. С помощью отрицательных чисел можно было единым образом описывать изменения величин. Уже в VIII веке было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения - положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратный корень извлекать нельзя: нет такого числа , чтобы .

В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В формуле для решения кубических уравнений вида кубические и квадратные корни: .

Эта формула безотказно действует в случае, когда уравнение имеет один действительный корень (), а если оно имеет три действительных корня (), то под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число. Получалось, что путь к этим корням ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Вслед за тем, как были решены уравнения 4-й степени, математики усиленно искали формулу для решения уравнения 5-й степени. Но Руффини (Италия) на рубеже XVIII и XIX веков доказал, что буквенное уравнение пятой степени нельзя решить алгебраически; точнее: нельзя выразить его корень через буквенные величины a, b, c, d, e с помощью шести алгебраических действий (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня).

В 1830 году Галуа (Франция) доказал, что никакое общее уравнение, степень которого больше чем 4, нельзя решить алгебраически. Тем не менее всякое уравнение n-й степени имеет (если рассматривать и комплексные числа) n корней (среди которых могут быть и равные). В этом математики были убеждены еще в XVII веке (основываясь на разборе многочисленных частных случаев), но лишь на рубеже XVIII и XIX веков упомянутая теорема была доказана Гауссом.

Итальянский алгебраист Дж. Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система уравнений , не имеющая решений во множестве действительных чисел, имеет решения вида , , нужно только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и считать что . Кардано называл такие величины “чисто отрицательными
” и даже “софистически отрицательными
”, считал их бесполезными и старался их не употреблять. В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение какой-нибудь величины. Но уже в 1572 году вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней. Название “мнимые числа
” ввел в 1637 году французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777 году один из крупнейших математиков XVIII века - Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire
(мнимый) для обозначения числа (мнимой единицы). Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу . Термин “комплексные числа
” так же был введен Гауссом в 1831 году. Слово комплекс (от латинского complexus
) означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т. д. Образующих единое целое.

В течение XVII века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимых чисел, возможности дать им геометрическое обоснование.

Постепенно развивалась техника операций над мнимыми числами. На рубеже XVII и XVIII веков была построена общая теория корней n-ых степеней сначала из отрицательных, а за тем из любых комплексных чисел, основанная на следующей формуле английского математика А. Муавра (1707): . С помощью этой формулы можно было так же вывести формулы для косинусов и синусов кратных дуг. Л. Эйлер вывел в 1748 году замечательную формулу : , которая связывала воедино показательную функцию с тригонометрической. С помощью формулы Л. Эйлера можно было возводить число e

в любую комплексную степень. Любопытно, например, что . Можно находить sin и cos от комплексных чисел, вычислять логарифмы таких чисел, то есть строить теорию функций комплексного переменного.

В конце XVIII века французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ уже не затрудняют мнимые величины. С помощью мнимых чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Такие уравнения встречаются, например, в теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде. Еще раньше швейцарский математик Я. Бернулли применял комплексные числа для решения интегралов.

Хотя в течение XVIII века с помощью комплексных чисел были решены многие вопросы, в том числе и прикладные задачи, связанные с картографией, гидродинамикой и т. д., однако еще не было строго логического обоснования теории этих чисел. По этому французский ученый П. Лаплас считал, что результаты, полученные с помощью мнимых чисел, - только наведение, приобретающее характер настоящих истин лишь после подтверждения прямыми доказательствами.

“Никто ведь не сомневается в точности результатов, получаемых при вычислениях с мнимыми количествами, хотя они представляют собой только алгебраические формы иероглифы нелепых количеств” Л. Карно.

В конце XVIII века, в начале XIX века было получено геометрическое истолкование комплексных чисел. Датчанин К. Вессель, француз Ж. Арган и немец К. Гаусс независимо друг от друга предложили изобразить комплексное число точкой на координатной плоскости. Позднее оказалось, что еще удобнее изображать число не самой точкой M
, а вектором , идущим в эту точку из начала координат. При таком истолковании сложение и вычитание комплексных чисел соответствуют эти же операции над векторами. Вектор можно задавать не только его координатами a и b, но так же длиной r и углом 
 который он образует с положительным направлением оси абсцисс. При этом , и число z принимает вид , который называется тригонометрической формой комплексного числа. Число r называют модулем комплексного числа z и обозначают . Число называют аргументом z и обозначают ArgZ. Заметим, что если , значение ArgZ не определено, а при оно определено с точностью до кратного . Упомянутая ранее формула Эйлера позволяет записать число z в виде (показательная форма комплексного числа).

Геометрическое истолкование комплексных чисел позволило определить многие понятия, связанные с функцией комплексного переменного, расширило область их применения.

Стало ясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело с величинами, которые изображаются векторами на плоскости: при изучении течения жидкости, задач теории упругости.

После создания теории комплексных чисел возник вопрос о существовании “гиперкомплексных” чисел - чисел с несколькими “мнимыми” единицами. Такую систему вида , где , построил в 1843 году ирландский математик У. Гамильтон, который назвал их “кватернионами”.

Большой вклад в развитие теории функций комплексного переменного внесли русские и советские ученые Н. И. Мусхелишвили занимался ее применениями к упругости, М. В. Келдыш и М. А. Лаврентьев - к аэро- и гидродинамике, Н. Н. Богомолов и В. С. Владимиров - к проблемам квантовой теории поля.

Поняття комплексного числа.

“Подобно тому, как всю область действительных величин можно представить с помощью бесконечной прямой, можно себе представить область всех величин, действи­тельных и мнимых, с помощью бесконечной плоскости, где каждая точка, определенная своей абсциссой а и своей ординатой
b
, представляет в то же время величину
a
+
ib”
.

Гаусс

Рассмотрим множество чисел, каждое из которых определяется упорядоченной парой дей­ствительных чисел. Действительные числа будем обозначать буквами а, b, с, ..., а упорядоченные пары действительных чисел — буквами α, β, γ, ... и соот­ветственно записывать α=(a, b), β =(c, d) и т. д. Такую упорядоченную пару действительных чисел (a,b) назовем комплексным
числом.

Определим действия над упорядоченными парами действительных чисел. Суммой
двух упорядоченных пар α= (а, b) и β = (с, d) назовем упорядоченную пару γ = (a+c, b+d):

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), (1)

а произведением
указанных пар — упорядоченную пару δ = (ас – bd, ad + bc):

(a, b)(c, d) = (ac – bd, ad + bc). (2)

Действия сложения и умножения упорядоченных пар действительных чисел определены аксиома­тически.

Для этих действий существуют обратные дей­ствия — вычитание и деление (кроме деления на нуль). Разностью
α — β двух упорядоченных пар α = (a, b) и β = (с, d) назовем такую упорядочен­ную пару (х, y), для которой (с, d) + (x, y) = (a, b). Принимая во внимание равенство (1), получаем с + х = a, d + y = b, откуда x = а – c, y = b – d. Разностью α — β упорядоченных пар α = (а, b) и β = (с, d) является упорядоченная пара (а – c, b – d):

(a, b) – (c, d) = (a – c, b – d). (3)

Нулем служит пара 0 = (0, 0). Упорядоченной парой, противоположной для упорядоченной пары α = (а, b) будет, пара - α = ( -а, -b), так как α + (-α) = (а, b) + (-а, -b) = (0,0) = 0.

Частным
от деления упорядоченной пары α = (а, b) на упорядоченную пару β = (с, d), где β 0 или с + d 0 (т. е. хотя бы одно из чисел с, d отлично от нуля) должна быть упорядоченная пара (x, y) такая, что (с, d) (x, y) = (а, b). Отсюда на основании равенства (2) получаем cx – dy = a, cy – dx = b. Из этой системы уравнений находим x и y:

x = , y = .

Итак, если β0, то частное α/β двух упорядоченных пар α = (а, b), β = (с, d) существует и определя­ется формулой:

= . (4)

Положив в этой формуле β = α (т. е. c = a, d = b), найдем, что единицей при умножении упорядоченных пар служит упорядоченная пара (1, 0). Полагая α = 1 = (1, 0), из формулы (4) получаем, что при β 0 упорядоченной парой, обратной для β, будет упорядоченная пара

.

Таким образом, построено множество чисел, дей­ствия над которыми определяются по формулам (1) - (4). Это множество чисел называют множест­вом комплексных чисел.

Докажем, что множество комплексных чисел в качестве своего подмножества содержит все дейст­вительные числа. Рассмотрим упорядоченные пары вида (a, 0). Каждой паре (a, 0) поставим в соот­ветствие действительное число а, в результате полу­чим взаимно однозначное соответствие между мно­жеством рассматриваемых упорядоченных пар и множеством всех действительных чисел. Применяя к указанным упорядоченным парам формулы (1) и (2), находим;

(а, 0) + (b, 0) = (а + b, 0); (а, 0) (b, 0) = (ab, 0).

Эти равенства означают, что упорядоченные пары вида (а, 0) складываются и умножаются так же, как действительные числа. Следовательно, множест­во указанных упорядоченных пар действительных чисел, рассматриваемое как подмножество множест­ва комплексных чисел, по своим алгебраическим свойствам не отличается от множества действитель­ных чисел. Это позволяет положить

(а, 0) = а, (5)

т. е. не различать упорядоченную пару (a, 0) дейст­вительных чисел и действительное число a. В част­ности, нуль (0, 0) и единица (1, 0) множества комп­лексных чисел оказываются обычными действитель­ными числами 0 и 1.

Покажем, что среди комплексных чисел содер­жится корень уравнения х+ 1 = 0. Корнем уравне­ния х+ 1 = 0 является такое число, квадрат кото­рого равен действительному числу —1. Это число определяется упорядоченной парой (0, 1). В самом деле, применив формулу (2), получим

(0, 1) (0, 1) = (-1, 0) = -1.

Обозначим эту упорядоченную пару через i
, т. е. i
= (0, 1), тогда

i
= - 1, i
= , (6)

число ί
называют мнимой единицей
.

Найдем произведение действительного числа b на упорядоченную пару (0, 1) = ί
— мнимую еди­ницу:

bi
= (b, 0)(0, 1) = (0, b), i
b = (0, 1)(b, 0) = (0, b). (7)

Если (а, b) - произвольная упорядоченная пара, то из очевидного равенства (а, b) = (a, 0) + (0, b) и формул (5), (7) получаем

(a, b) = a + bi
. (8)

Следовательно, комплексное число α = (a, b) мо­жет быть записано в виде a + bi
= a + i
b, где a и b — действительные числа, ί
— мнимая единица, определяемая соотношением (6). Выражение a + bi
называют алгебраической формой комплексного числа
. Число a называют действительной, число
b — мнимой частью комплексного числа a + bi
.
Обозначая комплексное число a + bi
одной буквой α, пишут:

a = Reα, b = Imα,

где Re — начальные буквы латинского слова realis
(действительный), Im - начальные буквы латинского слова imaginarius
(воображаемый). Кроме указанных обозначений, употребляются также и такие: a = R(α), b = I(α), где (a, b) = a + bi
. Числа вида bi
называют чисто мнимыми числами
или просто мнимыми
.

85

Комплексное число a + bi
считают равным нулю тогда и только тогда, когда а = 0, b = 0:

. (9)

Два комплексных числа a + bi
и c + di
считают равными
тогда и только тогда, когда равны между собой соответственно их действительные и мнимые части, т. е. a = с, b = d:

. (10)

Комплексное число a - bi
называют сопряжен­ным
комплексному числу a + bi
. Обозначим число a - bi
буквой = a + bi
. Числу будет сопряжено число a – (-bi
) = a + bi
= α. Вследствие этого числа α = a + bi
и = a - bi
называют комп­лексно сопряженными числами
. Действительные числа и только они сопряжены сами себе. В самом деле, если α = a, где a - действительное число, то из формул (5) и (8) имеем: α = a + 0i
= a, = a – 0i
= a, т. е. α = .

Например:
комплексному числу 3 + 5i
сопряжённым будет 3 – 5i
;

комплексному числу 4 - 7i
сопряжённым будет 4 + 7i
.

Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме

Рассмотрим правила, по которым производятся арифметические действия над комплекс­ными числами.

Если даны два комплексных числа α = a + bi
и β = c + di
, то

α + β = (a + bi
) + (c + di
) = (a + c) + (b + d)i
,

α – β = (a + bi
) – (c + di
) = (a – c) + (b – d)i
. (11)

Это следует из определения действий сложения и вычитания двух упорядоченных пар действительных чисел (см. формулы (1) и (3)). Мы получили правила сложения и вычитания комплексных чисел: чтобы сложить
два комплексных числа, надо отдельно сложить их действительные части и соответственно мни­мые части; чтобы из одного комплексного числа вычесть
другое, необходимо вычесть соответственно их действительные и мнимые части.

Число – α = – a – bi
называют противополож­ным
числу α = a + bi
. Сумма двух этих чисел равна нулю: - α + α = (- a - bi
) + (a + bi
) = (-a + a) + (-b + b)i
= 0.

Для получения правила умножения
комплексных чисел воспользуемся формулой (6), т. е. тем, что i
2
= -1. Учитывая это соотношение, находим (a + bi
)( c + di
) = ac + adi
+ bci
+ bdi
2
= ac + (ad + bc)i
– bd, т.е.

(a + bi
)( c + di
) = (ac - bd) + (ad + bc)i
. (12)

Эта формула соответствует формуле (2), которой определялось умножение упорядоченных пар дей­ствительных чисел.

Отметим, что сумма и произведение двух комп­лексно сопряженных чисел являются действительными числами. В самом деле, если α = a + bi
,
= a – bi
, то α = (a + bi
)( a - bi
) = a2
– i
2
b2
= a2
+ b2
, α + = ( a + bi
) + (a - bi
) = (a + a) + (b - b)i
= 2a, т.е.

α + = 2a, α = a2
+ b2
. (13)

При делении
двух комплексных чисел в алгеб­раической форме следует ожидать, что частное вы­ражается также числом того же вида, т. е. α/β = u + vi
, где u, v R. Выведем правило деления комплексных чисел. Пусть даны числа α = a + bi
,
β = c + di
, причем β ≠ 0, т. е. c2
+ d2
≠ 0. Послед­нее неравенство означает, что c и d одновременно в нуль не обращаются (исключается случай, когда с = 0, d = 0). Применяя формулу (12) и вто­рое из равенств (13), находим:

.

Следовательно, частное двух комплексных чисел определяется формулой:

, (14)

соответствующей формуле (4).

С помощью полученной формулы для числа β = с + di
можно найти обратное
ему число β-1
= 1/β. Полагая в формуле (14) а = 1, b = 0, получаем

.

Эта формула определяет число, обратное данному комплексному числу, отличному от нуля; это число также является комплексным.

Например
:
(3 + 7i
) + (4 + 2i
) = 7 + 9i
;

(6 + 5i
) – (3 + 8i
) = 3 – 3i
;

(5 – 4i
)(8 – 9i
) = 4 – 77i
;

.

Свойства действий

над комплексными числами

Для любых комплексных чисел α = a + bi
, β = с + di
, γ = e + fi
выполняются следую­щие свойства действий сложения и умножения:

1) α + β = β + α – переместительное (коммутатив­ное) свойство сложения;

2) (α + β) + γ = α + (β + γ) – сочетательное (ассоциативное) свойство сложения;

3) αβ = βα – переместительное (комму­тативное) свойство умножения;

4) (αβ)γ = α(βγ) – сочетательное (ассоциативное) свойство умножения;

5) (α + β)γ = αγ + βγ – распределительное (дистри­бутивное) свойство умножения относительно сло­жения.

Докажем, например, первое и третье из этих свойств. По определению сложения получаем

α + β = (a + bi
) + (c + di
) = (a + c) + (b + d)i
,

β + α = (c + di
) + (a + bi
) = (c + a) + (d + b)i =
(a + c) + (b + d)i
= α + β,

так как с + a = a + с, d + b = b + d, т. е. для любых действительных чисел выполняется переместительное (коммутативное) свойство сложения. Далее,

αβ = (a + bi
)(c + di
) = aс + adi
+ bci
+ bdi2
= (ac - bd) + (ad + bc)i
,

βα = (c + di
) (a + bi
) = сa + cbi
+ dai
+ dbi2
= (ca - db) + (cb + da)i
= (ac - bd) + (ad + bc)i
= αβ,

поскольку для любых действительных чисел ac = ca, bd = db, т. е. выполняется перемести­тельное (коммутативное) свойство умножения.

Остальные свойства доказываются аналогично, с учетом соответствующих свойств операций над дей­ствительными числами.

Таким образом, операции над комплексными числами подчиняются тем же законам, что и опера­ции над действительными числами.

Возведение в степень комплексного числа.

Извлечение корня из комплексного числа

При возведении в степень комплексного числа пользуются формулой бинома Ньютона:

.

С помощью формулы бинома Ньютона получаем

.

В правой части этого равенства заменяют сте­пени мнимой единицы i
их значениями и приводят подобные члены. Рассмотрим, как выражаются эти степени. Учитывая формулу i
2
= - 1 , получаем i
3
= i
2
∙ i
= -1 ∙ i
= - i,
i4
= i3
∙ i
= -i
∙ i = -i
2
= 1, i5
= i4
∙ i = i,
i6
= i5
∙ i = i2
= -
1, i
7
= i
6
∙ i
= -
i
, i
8
= i
7
∙
i
= - i
2
= 1 и т. д. В общем виде полученный результат можно записать так:

i
4
k
= 1, i
4
k
+1
= i
, i
4k+2
= -1, i
4
k
+3
= - i
(k = 0, 1, 2, …).

Например
:
(3 + 4i
)2
= 32
+ 2 ∙ 3 ∙ 4i
+ (4i
)2
= 9 + 24i
+ 16i
2
= 9 + 24i
– 16 = -7 + 24i
;

(1 + i
)3
= 1 + 3i
+ 3i
2
+ i
3
= 1 + 3i
– 3 – i
= - 2 + 2i
.

Переходим к извлечению квадратного корни из комплексного числа a + bi
. Квадратным корнем
из комплексного числа называют такое комплексное число, квадрат которого равен данному комплексно­му числу. Обозначим это комплексное число через u + vi
, т. е.

.

Последнее равенство перепишем в следующем виде:

u2
+ 2uvi
+ v2
i
2
= a + bi
, u2
– v2
+ 2uvi
= a + bi
.

Учитывая определение равенства комплексных чисел (см. (10)), получаем

u2
– v2
= a, 2uv = b. (15)

Возведем в квадрат обе части каждого из этих равенств, сложим их, преобразуем полученную левую часть и извлечем квадратный корень:

(u2
– v2
)2
+ 4u2
v2
= a2
+ b2
, (u2
+ v2
)2
= a2
+ b2
, u2
+ v2
= .

Это уравнение и первое из уравнений (15) дают возможность определить u2
и v2
:

. (16)

Из первого уравнения находим два значения u, отличающиеся друг от друга только знаком, второе уравнение дает два значения v. Все эти значения будут действительными, поскольку при любых a и b

.

Знаки u и v следует выбирать так, чтобы выполнялось второе из равенств (15). Это дает две возможные комбинации значений u и v, т. е. два числа u1
+ v1
i
, u2
+ v2
i
, отличающиеся знаком.

Следовательно, извлечение квадратного корня из комплексного числа всегда возможно и дает два значения, отличающиеся друг от друга только знаком.

Например:
пусть требуется извлечь квадратный корень из комплексного числа 3 — 4i
, т. е. найти комплексное число u + vi
такое, что (u + vi
)2
= 3 – 4i
. В данном случае a = 3, b = -4, поэтому уравнения (16) принимают вид

, .

Второе из равенств (15) запишется так: 2uv = - 4, uv =-2; это означает, что соответствующие зна­чения u и v имеют разные знаки. Так как u2
= 4, v2
= 1, то с учетом равенства uv = -2 находим, что u1
= 2, v1
= -1, u2
= -2, v2
= 1, т.е. 2 – i
и -2 + i
– значения квадратного корня из комп­лексного числа 3 – 4i
.

Геометрическое изображение комплексного числа

(a,b)

(a,b)

Рис. 1

0

x

y

i

-i

1

-1

Всякое комплексное число α = a + bi
мы можем изображать как точку на плоскости с координатами a и b (рис. 1). Число α называют аффиксом
этой точки. Плоскость, точки которой изображают комплексные числа, называют комплексной числовой плоскостью
. Начало координат, которому соответствует число 0, называют нулевой точкой
. При таком изображении комплексных чисел действительные числа изображаются точками оси абсцисс, точки же оси ординат представляют чисто мнимые числа. Поэтому ось абсцисс называют действительной осью
, ось ординат – мнимой осью
. Сопряженные комплексные числа α и изображаются точками, симметричными относительно действительной оси, противоположные комплексные числа α и –α симметричны относительно нулевой точки.

Комплексные числа и соответствующие им точки комплексной плоскости обозначают буквой z и пишут z = x + i
y, где x – действительная часть (x = Rez), y – мнимая часть (y = Imz).

Модуль и аргумент комплексного числа

Комплексное число z = x + i
y изобра­зим точкой z комплексной плоскости; точка z имеет координаты (x, y). Рассмотрим радиус-вектор этой точки (рис. 2). Модулем
комплексного числа
z называют длину г радиус-вектора данной точки. Модуль комплексного числа z обозначают через |z|. Следовательно, по определению

r = |z|, |z|0. (17)

Поскольку г = (получено из формулы для расстояния между двумя точками на плоскости: 0 (0, 0) и z (x, y)), то

|z| = . (18)

y

<

br />

φ

A

z

- φ

Рис. 2

x

0

z

Эта формула выражает мо­дуль комплексного числа z = x + i
y через его действительную и мнимую часть. Формула (18) имеет простой геометрический смысл: она выражает длину гипотенузы прямо­угольного треугольника с катетами |х| и |y| (см. рис. 2).

z=|z|

Отметим, что модуль комплексного числа являет­ся неотрицательным действительным числом.

Аргументом комплексного числа
z = x + i
y назы­вают величину угла φ наклона радиус-вектора к положительной полуоси Ox. Аргумент комплексного числа z обозначают так: Argz. При изменении z этот угол может принимать любые действительные значения (как положительные, так и отрицательные; последние отсчитываются по часо­вой стрелке). Если модули двух комплексных чисел равны, а значения угла φ отличаются друг от друга на 2π, или на число, кратное 2π, то точки, соответст­вующие этим комплексным числам, совпадают; комп­лексные числа в этом случае равны между собой. Следовательно, аргумент комплексного числа z имеет бесконечное множество значений, отличающихся друг от друга на число, кратное 2π. Аргумент не опре­делен лишь для числа 0, модуль которого равен нулю: |0| =0. Среди значений аргумента комплексного чи­сла z0 существует одно и только одно значение, за­ключенное между —π, +π, включая последнее значение. Его называют главным значением аргумен­та и обозначают argz. Итак, модуль и аргумент комплексного числа z удовлетворяют следующим соотношениям:

|z|0, -π < argz π, Argz = argz + 2πn (n = 0, 1, 2, …).

Главное значение аргумента положительного действительного числа равно 0, главное значение аргумента действительного отрицательного числа равно π, главное значение аргумента мнимого числа bi
(b > 0) равно π/2, главное значение аргумента мнимого числа –bi
(b > 0) равно –π/2.

Выразим действительную и мнимую части комп­лексного числа z = x + i
y через его модуль и аргу­мент. Пусть точка z изображает число z = x + i
y (рис. 2). Из прямоугольного треугольника ОAz получаем

x = r cosφ, y = r sinφ, (19)

где r = |z|. Отсюда и из формул (17), (18) следует:

cosφ = , sinφ = , tgφ = .

Например
: 1) найдём аргумент числа z = 1 – i
.
Так как Re z = 1, Im z = -1, то точка z = 1 – i
лежит в IV четверти. Поэтому достаточно найти такое решение одного из последних уравнений , которое является углом в IV четверти. Рассмотрим уравнение cosφ = . Находим

cos φ = , φ = + 2kπ (k = 0, 1, 2, …);

2) найдём аргумент числа -1- i
. Точка -1-i
лежит в III четверти. Найдём такое решение уравнения tg φ = , которое является углом в III четверти. Находим

tg φ = 1, φ = + 2kπ (k = 0, 1, 2, …).

Тригонометрическая форма комплексного числа

Рассмотрим комплексное число

z = x + i
y. (20)

Подставляя сюда выражения для x и y через модуль и аргумент комплексного числа (см. форму­лы (19)), получаем z = r cosφ + i
r sinφ, или

z = r (cosφ + i
sinφ) (r0). (21)

Запись комплексного числа z в виде (21) называют тригонометрической
формой этого числа.

Замечание.
Не всякая запись комплексного числа через тригонометрические функции является тригонометрической формой этого числа. Например, запись числа ί в виде

i
= cos + i
sin, или i =
(-1)(cos + i
sin)

не является тригонометрической формой числа i
: в первом случае у косинуса и синуса разные аргу­менты, во втором - имеется отрицательный множи­тель. Поскольку аргументами комплексного числа i
являются числа π/2 + 2kπ (k = 0, ±1, ±2, ...) и только они, и |i
| = 1, то тригонометрическая форма числа i
имеет вид

i
=
cos ( + 2kπ) + i
sin ( + 2kπ) (k – любое целое число).

Очевидно, что

r (cosφ + i
sinφ) = r (cos(φ +2kπ) + i
sin(φ +2kπ)).

Два комплексных числа, заданных в тригоно­метрической форме, равны
тогда и только тогда, когда их модули равны, а аргументы отличаются на величину, кратную 2π. Следовательно, если

r1
(cosφ1
+ i
sinφ1
) = r2
(cosφ2
+ i
sinφ2
), (22)

то

r1
= r2
, φ2
= φ1
+ 2kπ (k = 0, ±1, ±2, ...). (23)

Если комплексное число z = x + i
y задано в три­гонометрической форме (21), то комплексное число = x – i
y записывается в форме

= r (cos(-φ) + i
sin(-φ)),

поэтому

|z| = ||, argz = -arg,

т. е. при переходе от числа z к комплексно сопряженному числу модуль не меняется, а аргу­мент изменяет лишь знак (см. рис. 2).

Покажем, как умножать и делить комплексные числа, заданные в тригонометрической форме. Пусть даны два комплексных числа

z1
= r (cosφ + i
sinφ) , z2
= ρ (cosψ + i
sinψ), (24)

где r = |z1
|, φ = Argz1
, ρ = |z2
|, ψ = Argz2
.

Пользуясь правилами действий над комплексны­ми числами в алгебраической форме, находим

z1
z2
= r (cosφ + i
sinφ) ρ(cosψ + i
sinψ) = rρ(cosφcosψ + i
cosφsinψ + i
sinφcosψ + i
2
sinφsinψ ) = rρ(cosφcosψ – sinφsinψ) + i
(cosφsinψ + sinφcosψ)),

или

z1
z2
= rρ (cos(φ + ψ) + i
sin(φ + ψ) ). (25)

Из полученной тригонометрической формы произ­ведения двух комплексных чисел следует, что

|z1
z2
| = rρ или |z1
z2
| = |z1
| |z2
|, (φ + ψ) = Arg(z1
z2
),

т. е. модуль произведения равен произведению модулей множителей, а сумма аргументов множителей является аргументом произведения.

Предположив, что z2
0, т. е. ρ0, найдем частное двух комплексных чисел z1
и z2
, заданных формулами (24):

или

. (26)

Из формулы (26) следует, что

, или ; (27)

φ – ψ = Arg. (28)

Формула (27) означает, что модуль частного равен модулю делимого, деленному на модуль де­лителя. Формула (28) показывает, что разность аргументов делимого и делителя является аргу­ментом частного двух комплексных чисел.

Формула (26) позволяет найти модуль и аргумент комплексного числа, обратного данному числу. Полагая в этой формуле z1
= l = l (cos0 + i
sin0), z2
= z = r (cosφ + i
sinφ), получаем

z-1
= = (cos(0-φ) + i
sin(0-φ)),

z-1
= r-1
(cos(-φ) + i
sin(-φ)), (29)

откуда |z-1
| = r-1
, argz-1
= -φ, т. е.

|z-1
| = |z|-1
, argz-1
= -argz.

Таким образом, модуль комплексного числа z-1
, обратного числу z, равен обратной величине модуля числа z, а его главное значение аргумента отлича­ется от главного значения аргумента z лишь знаком.

Рассмотрим вопрос о возведении в степень комплексного числа z = r(cos φ + i
sin φ), заданного в три­гонометрической форме. Если n — целое положитель­ное число, то с помощью формулы (25) получаем следующую формулу

zn
= (r (cosφ + i
sinφ))n
= rn
(cosnφ + i
sinnφ), (30)

откуда |zn
| = rn
, Arg zn
= nφ.

Итак, при возведении комплексного числа в натуральную степень модуль возводится в ту же степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Формула (30) справедлива и для целых отрица­тельных показателей. В самом деле, так как z-
n
= (z-1
)n
, то достаточно применить формулу (30) к числу z-1
, тригонометрическая форма которого определяется формулой (29).

Формулу (30) называют формулой Муавра. В частном случае, при r = 1, из этой формулы получаем

(cos φ + i
sin φ)n
= cos nφ + i
sin nφ.

ю;

Извлечение корня
n
-й степени из комплексного числа

Извлечь корень n-й степени из комплек­сного числа z – это значит найти такое комплексное число α, что αn
= z. Представим числа z и α в три­гонометрической форме: z = r (cosφ + i
sinφ), α = ρ (cosψ + i
sinψ), где r = |z|, φ = Argz; ρ = |α|, ψ = Αrgα. Обозначим корень n-й степени из комплексного числа z через , тогда по определению

.

.

Применяя формулу (30), получаем

.

На основании формул (22) и (23) из этого ра­венства следует, что

ρn
= r, nψ = φ + 2kπ (k = 0, ± 1, ± 2, …), откуда

, (k = 0, ± 1, ± 2, …). (31)

Полученные формулы определяют модуль ρ и аргумент числа α – корня степени n
из комплексного числа z. Обратно, если дано комплексное число , то при любом целом k
,
положительном или отрицательном, n-я степень этого числа равна числу z = r(cosφ + i
sinφ). Итак,

, (32)

где - арифметическое значение корня из дейст­вительного неотрицательного числа, k – любое целое число. Так как k может принимать любые значения (положительные и отрицательные), то может пока­заться, что корень n-й степени из комплексного числа z имеет бесконечное множество различных значений. На самом деле различных значений будет только n. Полагая

k = 0, 1, 2, … , n – 1, (33)

получаем следующие n значений корня:

,

,

, (34)

……………………………….

.

Докажем, что среди значений αi
(i = 0, 1, ... , n – 1) нет равных между собой. Пусть p и q – любые различные числа из чисел k = 0, 1, 2, ... , n – 1, тогда

.

Поскольку не является целым числом (p < n, q < n), то число 2π не будет кратным 2π. Та­ким образом, комплексные числа

,

не равны между собой, потому что разность их аргументов не будет кратной 2π (см. (22) и (23)).

Предположим, что k – любое натуральное число, большее n – 1. Пусть k = nq + r, где 0 ≤ r ≤ n – 1, тогда , т. е. значение аргумента при этом значении k отли­чается от значения аргумента при k = r на число, кратное 2π. Следовательно, при этом значении k по­лучаем такое же значение корня, как и при k = r, т. е. при значении k=0, 1, 2, ..., n – 1.

Таким образом, извлечение корня n-й степени из комплексного числа z всегда возможно и дает n различных значений, определяемых формулами (34). Из этих формул видно, что все n значений корня n-й степени из комплексного числа z расположены на окружности радиуса с центром в точке нуль и делят эту окружность на n равных частей.

Отметим, что корень n-й степени из действитель­ного числа a
также имеет n различных значений. Среди этих значений действительных будет два, одно или ни одного, в зависимости от знака a
и чет­ности n. Корень n-й степени из нуля имеет только одно значение, равное нулю, т. е. .

Рассмотрим важный частный случай извлечения корня, а именно извлечения корня n-й степени из числа 1. Представляя это число в тригонометри­ческой форме 1=cos0+i
sin0 и применяя форму­лу (34), получаем n значений корня из единицы:

, k = 0, 1, 2, … , n – 1. (35)

На комплексной плоскости корни n-й степени из единицы изображаются точками, расположенными на окружности радиуса R = 1 и делящими ее на n равных дуг. Одной из таких точек будет точка, изображающая число 1.

Например:
найдем все значения корня шестой степени из единицы. По формуле (35), которая в данном случае принимает вид

, k = 0, 1, 2, 3, 4, 5,

получаем шесть следующих значений:

α1

α2

α0

α3

0

x

y

α4

α5

Рис. 3

Эти значения изображаются вершинами правиль­ного шестиугольника, вписанного в единичную окружность (рис. 3).

Где применяются комплексные числа?

В течение последних двухсот лет комплексные числа находят многочисленные, а иногда и совершенно неожиданные применения. Так, например, с помощью комплексных чисел Гаусс на­шел ответ на чисто геометрический вопрос: при каких натуральных n циркулем и линейкой можно по­строить правильный n-угольник? Из школьного кур­са геометрии известно, как циркулем и линейкой по­строить некоторые правильные многоугольники: правильный треугольник, квадрат, правильный шестиугольник (его сторона равна радиусу описан­ной около него окружности). Более сложным являет­ся построение правильных пятиугольника и пятнадцатиугольника. Научившись строить эти правильные многоугольники, легко перейти к построению соответ­ствующих многоугольников с удвоенным числом сторон: восьмиугольника, десятиугольника и т. п. Все эти задачи на построение были решены еще в Древней Греции. Однако, несмотря на огромные усилия мно­гих замечательных древнегреческих геометров и дру­гих ученых, никому не удалось построить ни правиль­ный семиугольник, ни правильный девятиугольник. Не удалось также осуществить построение пра­вильного р-угольника ни при каком простом числе р, кроме p = 3 и p = 5. Более двух тысяч лет никто не мог продвинуться в решении этой проблемы. В 1796 г. Карл Фридрих Гаусс, 19-летний студент-математик Геттингенского университета, впервые доказал воз­можность построения правильного семнадцатиугольника с помощью циркуля и линейки. Это было одно из самых удивительных открытий в истории матема­тики. В течение нескольких последующих лет Гаусс полностью решил проблему построения правильных n-угольников.

Гаусс доказал, что правильный N–угольник с не­четным числом сторон (вершин) может быть по­строен с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда число N является простым числом Ферма или произведением нескольких различных простых чисел Ферма. (Числами Ферма называют числа вида Fn
= + 1 · При n = 0, 1, 2, 3, 4 эти числа являются простыми, при n = 5 число F5
будет состав­ным. Из этого результата следовало, что построение правильного многоугольника невоз­можно при N = 7, 9, 11, 13.

Легко заметить, что задача о построении пра­вильного n-угольника равносильна задаче о делении окружности радиуса R = 1 на n равных частей. Выше было показано, что корень n-й степени из единицы имеет точно n значений; почти все эти значения (за исключением одного, двух) являются комплексны­ми. Точки, изображающие корни n-й степени из еди­ницы, располагаются на окружности радиуса R = 1 и делят ее на n равных дуг, т. е. являются вершина­ми правильного n-угольника, вписанного в эту окруж­ность (см. рис. 3). При доказательстве возможности построения правильного 17-угольника Гаусс поль­зовался свойствами корней 17-й степени из единицы.

D

D '

0 '

v

u

0

y

x

В XVIII в. возникла новая область математики – теория функций комплексной переменной. Введем по­нятие такой функции. Рассмотрим две комплексные переменные z = x + i
y и w = u + i
v, где x, y, u, v – действительные переменные, i
= - мнимая еди­ница. Зафиксируем две комплексные плоскости Oxy (плоскость z), O'uv (плоскость w) с выбранными на них системами прямоугольных координат и два множества на этих плоскостях: D и D' соответствен­но (рис. 4).

Рис. 4

Если каждой точке zD по некоторому закону f ставится в соответствие единственная точка wD', то говорят, что w есть функция от z и пишут: w = f(z). Множество D в этом случае называют об­ластью определения функции
w = f(z), значения кото­рой принадлежат области D'. Если множество значе­ний f(z) исчерпывает все множество D', то D' называ­ют множеством значений
(областью изменения) функции f(z). B таком случае пишут: D'= f(D). Мно­жества D и D' можно изображать на одной комплекс­ной плоскости. Каждое из множеств D и D' может совпадать со всей плоскостью.

Таким образом, каждая комплексная функция реализует однозначное в одну сторону отображение одного множества на другое. Благодаря этому комплексные функции находят важные применения таких науках, как гидродинамика и аэродинами­ка, поскольку с их помощью удобно описывать дви­жение объема жидкости (или газа).

С помощью теории функций комплексной пере­менной доказана следующая важная теорема, которую долгое время называли основной теоремой алгебры.

Теорема:

Всякий многочлен с любыми число­выми коэффициентами, степень которого не меньше единицы, имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.

Рассмотрим многочлен степени n (n ≥ 1):

f(x) = a0
xn
+ a1
xn
-1
+ … + an
-1
x + an
. (36)

Корнем многочлена
называют такое число с (в об­щем случае комплексное: с = a + bi
), которое обра­щает данный многочлен в нуль:

a0
cn
+ a1
cn-1
+ … + an-1
c + an
≡ 0.

Другими словами, теорема утверждает, что алге­браическое уравнение n-й степени (n ≥ 1)

a0
xn
+ a1
xn
-1
+ … + an
-1
x + an
= 0 37)

имеет хотя бы один корень.

Отсюда следует, что любое алгебраическое урав­нение n-й степени имеет ровно n корней. Действи­тельно, если многочлен f(х) = a0
xn
+ a1
xn
-1
+ … + an
-1
x + an
, имеет корень α1
, то его можно пред­ставить в виде f(х) = (х – α1
)φ1
(x), где φ1
(x) – много­член степени n – 1. Этот многочлен по данной теоре­ме имеет хотя бы один корень. Обозначим корень многочлена φ1
(x) через α2
, тогда φ1
(x) = (х – α2
)φ2
(x), где φ2
(x) – многочлен степени n – 2. Продолжая аналогичные рассуждения, находим, что f(x) = a0
(x – a1
)(x – a2
)...(x – an
). Отсюда видно, что f(αi
) = 0 при i – 1, 2, ... , n, т. е. αi
— корни многочлена (36) или уравнения (37). Таким образом, уравне­ние (37) имеет n корней.

Отметим, что комплексные корни всякого много­члена с действительными коэффициентами всегда сопряжены: если с = a - bi
– корень уравнения, то с = а-bi
– также корень данного уравнения. Ины­ми словами, комплексные корни такого многочлена входят парами во множество его корней. Отсюда следует, что любое алгебраическое уравнение не­четной степени имеет хотя бы один действительный корень.

Замечание

. Не всякое уравнение имеет корни, действительные или комплексные. Например, транс­цендентное (неалгебраическое) уравнение аx
= 0 (а > 0) не имеет никаких корней (ни действительных, ни комплексных).

x

0

Рис. 6

Рис. 5

w = z + c

c

z

y

x

0

Простейшим примером функции комплексной переменной является линейная функция w = z + c, где с – постоянная (комплексное число). Эта функ­ция осуществляет преобразование плоскости z на плоскость w. Каждой точке z она ставит в соответ­ствие точку w = z + с. Очевидно, от точки z можно перейти к точке w путем сдвига (параллельного пе­реноса) на вектор с
, т. е. посредством перемещения точки z по направлению вектора с
на расстояние, равное длине этого вектора (рис. 5). Путем подхо­дящего выбора числа с можно получить любой сдвиг. Например, если точку z нужно сдвинуть в положи­тельном направлении оси Ox на две единицы, то надо взять с = 2; точка w = z + 2 будет искомой (рис. 6). Если же точку z нужно сдвинуть в отрицательном направлении оси Oy на три единицы, то берем c = -3i
; точка w'= z + (-3i
) = z – 3i
будет искомой (рис. 6). Итак, функция w = z + c осуществляет преобразование (отображение) плоскости, которое называют сдвигом на вектор с
.

2

1

w' = z – 3i

z

w = z + 2

y

Геометрическое преобразование, при котором ве­личины углов между любыми двумя линиями, содер­жащимися в преобразуемой фигуре, не изменяются, называют конформным преобразованием
или кон­формным отображением
. (Под углом между двумя линиями, пересекающимися в некоторой точке, по­нимают угол между касательными к этим линиям, проведенными в этой точке.) Примерами конформ­ных отображений могут служить сдвиг (параллель­ный перенос), гомотетия и поворот. Таким образом, можно сказать, что функция w = z + с осуществляет конформное отображение; это одна из таких функций.

Теория функций комплексной переменной находит широкое применение при решении важных практи­ческих задач картографии, электротехники, тепло­проводности и др. Во многих вопросах, где речь идет, например, об электрическом потенциале в точ­ках пространства, окружающего заряженный кон­денсатор, или о температуре внутри нагретого тела, о скоростях частиц жидкости или газа в потоке, дви­жущемся в некотором канале и обтекающем при этом некоторые препятствия, и т. п., нужно уметь находить потенциал, температуру, скорости и т. п. Задачи такого рода могут быть решены без особых затруд­нений в случае, когда встречающиеся в них тела имеют простую форму (например, в виде плоских пластин или круговых цилиндров). Однако расчеты необходимо уметь производить и во многих других случаях. Например, чтобы сконструировать самолет, надо уметь вычислять скорости частиц в потоке, обтекающем крыло самолета. Разумеется, при полете самолета движутся и частицы воздуха, и само крыло. Однако, опираясь на законы механики, исследование можно свести к случаю, когда крыло неподвижно, а на него набегает и обтекает его поток воздуха. Крыло самолета в поперечном

а

разрезе, (профиль крыла) имеет вид, показанный на рисунке 7. Расчет ско­ростей производится достаточно просто, когда по­перечный разрез обтекаемого тела есть круг (т. е. само тело является круглым цилиндром). Чтобы свести задачу о скоростях частиц потока воздуха, обтекающего крыло самолета, к более простой задаче обтекания круглого цилиндра, достаточно конформно отобразить часть плоскости, заштрихованную на ри­сунке 7, а (вне крыла), на другую фигуру, заштрихо­ванную на рисунке 7, б (вне круга). Такое ото­бражение осуществляется с помощью некоторой фун­кции комплексной пере­менной.

б

Знание этой фун­кции позволяет перейти от скоростей в потоке, обте­кающем круглый

Рис. 7

цилиндр, к скоростям в потоке, об­текающем крыло самоле­та, и тем самым полностью решить поставленную задачу.

Конформное отображение, заданное соответствующей функцией комплексной переменной, аналогичным образом позволяет сводить решение задач о расчете электрического потенциала и температур от случая тел произвольной формы (любого профиля сечения) к простейшим случаям, для которых задачи решается легко.

Русский и советский ученый H. E. Жуковский (1847–1921) успешно применял теорию функций комплексной переменной к решению важных при­кладных задач. Так, методами этой теории он доказал основную теорему о подъемной силе крыла самолета. В. И. Ленин назвал H. E. Жуковского «отцом русской авиации». В одном из своих высту­плений H. E. Жуковский говорил: «...человек не имеет крыльев и по отношению веса своего тела к весу мускулов он в 72 раза слабее птицы; ...он почти и 800 раз тяжелее воздуха, тогда как птица тяжелее воздуха в 200 раз. Но, я думаю, что он полетит, опираясь не на силу своих мускулов, а на силу своего разума». (Жуковский H.E. Собрание сочи­нений. – М. – Л.: Гостехиздат, 1950. –T. 7. – С. 16.) С помощью теории функций комплексной перемен­ной H.E. Жуковский решал задачи, относящиеся к вопросам просачивания воды через плотины.