Определение:
Элемент наилучшего приближения – L – линейное многообразие, плотное в E. "e"xÎE $u: ║x-u║<e
Теорема:
Для любого элемента нормированного пространства существует хотя бы один элемент наилучшего приближения из конечномерного подпространства.
Теорема:
Для элемента из строго нормированного конечномерного пространства существует единственный элемент наилучшего приближения из конечномерного подпространства.
Теорема:
Рисса о существовании почти ортогонального элемента. E-НП LÌE, "eÎ(0,1) $ze
ÎEL ║ze
║=1 r(ze
,L)>1-e
Определение:
Полное нормированное пространство- любая фундаментальная последовательность сходиться.
Теорема:
О пополнении нормированного пространства. Любое нормированное пространство можно считать линейным многообразием, плотным в некотором полном нормированном пространстве.
Определение:
Гильбертово пространство – нормированное пространство, полное в норме, порожденной скалярным произведением.
Теорема:
Для любого элемента гильбертова пространства существует единственный элемент наилучшего приближения в конечномерном подпространстве гильбертова пространства.
Определение:
L плотное в E, если "xÎE $uÎL: ║x-u║<e
Теорема:
Чтобы L было плотно в H - ортогональное дополнение к L состояло только из нулевого элемента.
Определение:
Сепарабельное – нормированное пространство, содержащее некоторое счетное плотное в нем множество.
Определение:
Ортогональное дополнение – множество элементов ортогональных к элементам данного пространства.
Определение:
Линейный оператор – отображение, для которого A(ax+by)=aAx+bAy
Определение:
Непрерывный оператор – Ax-Ax0
при x- x0
Определение:
L(X,Y) – пространство линейных операторов
Теорема:
Пусть X и Y – полные НП и A – непрерывен на некотором подпространстве пространства X, тогда он непрерывен на всем X.
Определение:
Ограниченный оператор - "║x║≤1 $с: ║Ax║≤c
Теорема:
A – ограниченный -"xÎX ║Ax║≤c║x║
Теорема:
Для того чтобы А был непрерывен - чтобы он была ограничен
Теорема:
{An
} равномерно ограничена -{An
}- ограничена.
Теорема:
{An
x} – ограниченно - {║An
║}- ограничена.
Определение:
Сильная (равномерная) сходимость ║An
-A║-0, n-¥, обозначают An
-A
Определение:
Слабая сходимость - "xÎX ║(An
-A)x║Y
-0, n-¥
Теорема:
Для того, чтобы имела место сильная сходимость -{An
} сходилась равномерно на замкнутом шаре радиуса 1
Теорема:
Банаха-Штенгауза An
-A n-¥ слабо -
║}- ограничена 2) An
-A, x’ÌX, x’=x
Теорема:
Хана Банаха. A:D(A)-Y, D(A)ÌX -$ A’:X-Y 1) A’x=Ax, xÎD(A) 2) ║A’║=║A║
Определение:
Равномерная ограниченность - $a "x: ║x(t)║≤a
Определение:
Равностепенная непрерывность "t1
,t2
$d: ║x(t1
)-x(t2
)║<e
Теорема:
L(X,Y) полное, если Y – полное.
Определение:
Ядро – {xÎX | Ax=0}
Определение:
Сопряженное пространство – пространство функционалов X*
:=L(X,E)
Определение:
Сопряженный оператор A*
: Y*
-X*
Теорема:
Банаха A:X-Y и X,Y- полные нормированные пространства. Тогда $A-1
и ограничен.
Определение:
Оператор А – обратимый
Определение:
Оператор А- непрерывнообратимый если 1) A- обратим, 2) R(A)=Y, 3) A-1
-ограничен.
Теорема:
A-1
$и ограничен -$m>0 "xÎX ║Ax║≥m║x║
Теорема:
Рисса о представлении линейного функционала в гильбертовом пространстве. Пусть f:X-Y – линейный ограниченный функционал -$! yÎH "xÎH f(x)=(x,y)
Определение:
MÌX называется бикомпактным, если из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся к элементам этого же множества последовательность.
Определение:
Множество называется компактным, если любая ограниченная последовательность элементов содержит фундаментальную подпоследовательность.
Теорема:
Хаусдорфа. MÌX компактно -"e>0 $конечная e-сеть
Теорема:
Арцела. MÌC[a,b] компактно - все элементы множества равномерно ограничены и равностепенно непрерывны.
Определение:
Компактный (вполне непрерывный) оператор – замкнутый шар пространства X переводит в замкнутый шар пространства Y.
Определение:
s(X,Y) – подпространство компактных операторов
Теорема:
Шаудера. AÎs(X,Y) - A*
Îs(X*
,Y*
)
Линейные нормированные пространства
1. Пространства векторов
сферическая норма
кубическая норма
ромбическая норма
p>1
2. Пространства последовательностей
p>1
или пространство ограниченных последовательностей
пространство последовательностей, сходящихся к нулю
пространство сходящихся последовательностей
3. Пространства функций
пространство непрерывных на функций
пространство k раз непрерывно дифференцируемых на функций
£p
[a,b] пространство функций, интегрируемых в степени p (не Гильбертово)
- пополнение £p
[a,b] (Гильбертово)
Неравенство Гёльдера p,q>0
Неравенство Минковского