Поверхности второго порядка

Содержание.

· Понятие поверхности второго порядка.1.
Инварианты уравнения поверхности второго порядка.

· Классификация поверхностей второго порядка.1. Классификация центральных поверхностей.

-1°. Эллипсоид.

-2°. Однополостный гиперболоид.

-3°. Двуполостный гиперболоид.-4°. Конус второго порядка.

2. Классификация нецентральных поверхностей.

-1°. Эллиптический цилиндр, гиперболический цилиндр, эллиптический параболоид, гиперболиче­ский параболоид.

-2°. Параболический цилиндр

•Исследование формы поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям.

1.
Эллипсоид. 2. Гиперболоиды.

- 1°. Однополостный гиперболоид.

-2°. Двуполостный гиперболоид.

3. Параболоиды.

-1°. Эллиптический параболоид.-2°. Гиперболический пара­болоид.

4
.
Конус и цилиндры второго порядка.

- 1°. Конус второго порядка.-2°. Эллиптический цилиндр.-3°. Гиперболический цилиндр.-4°. Параболический цилиндр.

Список использованной литературы.

§ 1. Понятие поверхности второго порядка.

Поверхность второго порядка - геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

a11
х2
+ а
22
у2
+a
33
z2
+2a
12
xy
+2
a
23
уz +
2a
13
xz +
2а
14
x
+
2а
24
у+2а
34
z
+а
44
=
0
(1)

в котором по крайней мере один из коэффициентов a11
, а
22
, a
33
,
a12
,
a23 ,
a13
отличен от нуля.

Уравнение (1) мы будем называть общим уравнением по­верхности второго порядка
.

Очевидно, поверхность второго порядка, рассматриваемая как геометрический объект, не меняется, если от данной де­картовой прямоугольной системы координат перейти к другой декартовой системе координат. Отметим, что исходное уравне­ние (1) и уравнение, полученное после преобразования коор­динат, алгебраически эквивалентны.

1.
Инварианты уравнения поверхности второго порядка.

Справедливо следующее утверждение.

являются инвариантами уравнения
(1) поверхности второго-порядка относительно преобразований декартовой системы ко­ординат.

Доказательство этого утверждения приведено в выпуске «Линейная алгебра» настоящего курса.

§ 2. Классификация поверхностей второго порядка

1. Классификация центральных поверхностей.
Пусть S — центральная поверхность второго порядка. Перенесем начало координат в центр этой поверхности, а затем произведем стан­дартное упрощение уравнения этой поверхности. В резуль­тате указанных операций уравнение поверхности примет вид

a11
х2
+ а
22
у2
+a
33
z2
+ а
44
= 0 (2)

Так как инвариант I3
для центральной поверхности отличен от ноля и его значение, вычисленное для уравнения (2) , равно a11
•
а
22
•
a
33
, то коэффициенты a11
,а
22
,
a
33
удовлетворяют условию :

Возможны следующие случаи:

-1°.
Коэффициенты
a11
,а
22
,
a
33
одного знака, а коэффициента
44
отличен от нуля.
В этом случае поверхность S называется эллипсоидом.

Если коэффициенты a11
,а
22
,
a
33
, а
44
одного знака,
то левая часть (2) ни при каких значениях х, у, z
не обращается в нуль, т. е. уравнению поверхности S не удовлетворяют коорди­наты никакой точки. В этом случае поверхность S называется мнимым эллипсоидом
.

Если знак коэффициентов a11
,а
22
,
a
33
противоположен знаку коэффициента а
44
, то поверхность S называется вещественным эллипсоидом
.
В дальнейшем термином «эллипсоид» мы будем называть лишь вещественный эллипсоид.

Обычно уравнение эллипсоида записывают в канонической форме. Очевидно, числа

положительны. Обозначим эти числа соответственно а
2
, b2
,
с2
. После не­сложных преобразований уравнение эллипсоида (2) можно записать в следующей форме:

Уравнение (3) называется каноническим уравнением эллип­соида
.

Если эллипсоид задан своим каноническим уравнением (3), то оси Ох, Оу
и Оz
.
называются его главными осями.

-2°.
Из четырех коэффициентов
a11
,а
22
,
a
33
, а
44
два одного
зна­ка, а два других—противоположного.
В этом случае поверх­ность S называется однополостным гиперболоидом
.

Обычно уравнение однополостного гиперболоида записывают в канонической форме. Пусть, ради определенности, a11
> 0,а
22
>0, a
33
<0,а
44
<0. Тогда числа

положительны. Обозначим эти числа соответственно а
2
, b2
, с2
. После несложных преобразований уравнение (2) однополостного гиперболоида можно записать в следующей форме:

Уравнение (4) называется каноническим уравнением однопо­лостного гиперболоида
.

Если однополостный гиперболоид задан своим каноническим уравнением (4), то оси Ох, Оу
иOz
называются его глав­ными осями.

-3°
. Знак одного из первых трех коэффициентов
a11
,а
22
,
a
33
, а
44
противоположен знаку остальных коэффициентов.
В этом случае поверхность S
называется двуполостным гиперболоидом.

Запишем уравнение двуполостного гиперболоида в канониче­ской форме. Пусть, ради определенности, a11
< 0,а
22
<0, a
33
>0,а
44
<0. Тогда :

Обозначим эти числасоответственно через a2
, b2
, с2
. Поcли несложных преобразова­ний уравнение (2) двуполостного гиперболоида можно запи­сать в следующей форме:

Уравнение (5) называется каноническим уравнением двупо­лостного гиперболоида
.

Если двуполостный гиперболоид задан своим каноническим

уравнением, то оси Ох, Оу
и Оz
называются его главными осями.

- 4°
. Коэффициент
а
44
равен нулю.
В этом случае поверхность S называетсяконусом второго порядка
.

Если коэффициенты a11
,а
22
, a
33
одного знака, то левая часть (2) обращается в нуль (а
44
=0) лишь для х=у=z=0,
т. е. уравнению поверхности S удовлетворяют координаты только едной точки. В этом случае поверхность S называется мнимым конусом второго порядка
.
Если коэффициенты a11
,а
22
, a
33
имеют разные знаки, то поверхность S является вещественным
конусом второго порядка.

Обычно уравнение вещественного конуса второго порядка за­писывают в канонической форме. Пусть, ради определенности,

a11
> o, а
22
> 0,a
33
<0. Обозначим

соответственно через а2
, b2
,
с2
. Тогда уравнение (2) можно записать в виде

Уравнение (6) называется каноническим уравнением веще­ственного конуса второго порядка
.

2. Классификация нецентральных поверхностей второго по­рядка.

Пусть S — нецентральная поверхность второго порядка, т. е. поверхность, для которой инвариантI

3

равен нулю. Произведем стандартное упрощение урав­нения этой поверхности. В результате уравнение поверхности примет вид

a´11
х
´
2
+ а
´22
у
´
2
+a´
33
z´
2
+
2а
´
14
x´
+
2а
´
24
у
´
+2а
´
34
z´
+а
´
44
=
0
(7)

для системы координат Ox´y´z´

Так как инвариант I
3
=0 и его значение, вы­численное для уравнения (7), равно

a´11
• а
´22
•
a´
33
, то один или два из коэффициентов a´11
, а
´22
,
a´
33
равны нулю. В соответствии с этим рассмотрим следующие возможные случаи.

-1°
. Один из коэффициентов
a´11
, а
´22
,
a´
33
равен нулю.
Радиопределенности будем считать, чтоa´
33
=0(если равен нулю ка­кой-либо другой из указанных коэффициентов, то можно перей­ти к рассматриваемому случаю путем переименования осей координат). Перейдем от координат х', у', z'
к новым координатам х, у,
z
по формулам

Подставляях',
у'
и z', найденные из (8), в левую часть (7) и заменяя затем

a´11
наa11
, а
´22
на а
22
, а
´
34
на p
и а
´
44
на q
, получим следующее уравнение поверхности S в новой системе ко­ординатOxyz
:

a11
х2
+ а
22
у2
+ 2pz + q = 0
(9)

1)
Пусть
р=0, q =0. Поверхность
S
распадается на пару пло­скостей

При этом, очевидно, эти плоскости будут мнимыми, если знаки
a11
и
а
22
одинаковы, и вещественными, если знаки
a11
и
а
22
различны.

2)
Пусть
р=0, q ≠ 0.
Уравнение (9) принимает вид

a
11
х2
+ а
22
у2
+ q = 0 (10)

Известно, что уравнение
(10) яв­ляется уравнением цилиндра с образующими, параллельными оси
Оz
.
При этом если a11

, а
22
,
q
имеют одинаковый знак, то левая часть (10) отлична от нуля для любых х
и y, т. е. ци­линдр будет мнимым
.
Если же среди коэффициентов a11
, а
22
,
q
имеются коэффициенты разных знаков, то цилиндр будет ве­щественным
. Отметим, что в случае, когда a11
и
а
22
имеютодинаковые знаки, a q
—
противоположный, то величины

положительны.

Обозначая их соответственно через а
2
и b2
, мы приведем уравнение (10) к виду

Таким образом, в отмеченном случае мы имеем эллиптический цилиндр
.
В случае, a11
и а
22
имеют различные знаки, мы получим гиперболический цилиндр
.
Легко убедиться, что урав­нение гиперболического цилиндра может быть приведено к виду

3)
Пусть
р
≠0.
Произведем параллельный перенос системы координат, выбирая новое начало в точке с координатами

(0, 0, ).

При этом оставим старые обозначения координатх,
у, z.
Очевидно, для того чтобы получить уравнение поверх­ности S в новой системе координат, достаточно заменить в урав­нении (9)

Получим следующее уравнение:

a
11
х2
+ а
22
у2
+ 2pz = 0 (13)

Уравнение (13) определяет так называемые параболоиды
.
Причем если a11
и а
22
имеют одинаковый знак, то параболоид называется эллиптическим
.
Обычно уравнение эллиптического параболоида записывают в канонической форме:

Уравнение (14) легко получается из (13). Если a11
и а
22
имеют разные знаки, то параболоид называется гиперболиче­ским
.
Каноническое уравнение гиперболического параболоида имеет вид

Это уравнение также легко может быть получено из (13).

-2°.
Два из коэффициентов
a´11
, а
´22
,
a´
33
равны нулю.
Ради определенности будем считать, чтоa´11
= 0
и а
´22
= 0
Перейдем отх,', у', z'
к.
новымкоординатам х, у,
z
по формулам :

Подставляя х', у'
и z'
,
найденные из (16) в левую часть (7) и заменяя затем a´
33
на a
33 ,
a´
14
на р
,
a´
24
наq
и a´
44
на r
, по­лучим следующее уравнение поверхности S в новой системе ко­ординат Охуz
:

a
33
z2
+ 2px + 2qy + r = 0
(17)

1)
Пусть
р=0,
q=0
.
Поверхность Sраспадается на пару па­раллельных плоскостей

При этом, очевидно, эти плоскости будут мнимыми
, если знаки
a
33
и
r одинаковы, и вещественными
, если знаки
a
33
и r различ­ны, причем при
r = 0 эти плоскости сливаются в одну.

2)
Хотя бы один из коэффициентов
р или
q отличен от нуля.
В этом случае повернем систему координат вокруг осиOz
так, чтобы новая ось абсцисс стала параллельной плоскости 2рх+
2qy+r=0
.
Легко убедиться, что при таком выборе системы координат, при условии сохранения обозначения х, у
и z для новых координат точек, уравнение (17) примет вид

a
33
z2
+ 2q´y = 0
(19)

которое является уравнением параболического цилиндра
с обра­зующими, параллельными новой оси Ох.

§ 3. Исследование формы поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям

1. Эллипсоид.

Из уравнения (3) вытекает, что координатные плоскости яв­ляются плоскостями симметрии эллипсоида, а начало коорди­нат—центром симметрии.
Числа а, b, с
называются полуосями
эллипсоида и представляют собой длины отрезков, от начала координат до точек пересечения эллипсоида с осями координат. Чтобы более наглядно представить себе формуэллипсоида, выясним форму линий пересечения его плоскостями, параллельными какой-либо из координатных плоскостей.

Ради определенности рассмотрим линииLh
пересечения эл­липсоида с плоскостями

z = h(20)

параллельными плоскости Оху.
Уравнение проекцииL*
h
ли­нииLh
на плоскость Оху
получается из уравнения (3), если положить в немz = h.
Таким образом, уравнение этой проекции имеет вид

Если положить

то уравнение (21) можно записать в виде

т. е.L*
h
представляет собой эллипс с полуосями а* и b*, которые могут быть вычислены по формулам (22). Так как Lh
получается «подъемом»L*
h
на высоту h по оси О
z
(см. (20)), то и Lh
представляет собой эллипс.

Представление об эллипсоиде можно получить следующим об­разом. Рассмотрим на плоскости Оху
семейство эллипсов (23) (рис. 1), полуоси а*
и b*
которых зависят отh
(см. (22)), и каждый такой эллипс снабдим отметкой h, указывающей, на ка­кую высоту по оси Оz
должен быть «поднят» этот эллипс. Мыполучим своего рода «карту» эллипсоида. Используя эту «кар­ту», легко представить себе пространственный вид эллипсоида.

(Метод представления формы фигуры путем получения «карты» фигуры я привожу только для эллипсоида, представить форму других фигур этим методом можно аналогично)

Наглядное изображение эллипсоида находится на следующей странице.

Эллипсоид
.

2. Гиперболоиды.

-1°
. Однополостный гиперболоид.
Обратимся к каноническому

уравнению (4) однополостного гиперболоида

Из уравнения (4) вытекает, что координатные плоскости яв­ляются плоскостями симметрии, а начало координат — центром симметрии однополостного гиперболоида.

-2°
. Двуполостный гиперболоид.
Из канонического уравнения (5)двуполостного гиперболоида вытекает, что координатные пло­скости являются его плоскостями симметрии, а начало коорди­нат — его центром симметрии.

3. Параболоиды.

-1°.
Эллиптический параболоид.
Обращаясь к каноническому уравнению (14) эллиптического параболоида

мы видим, что для негоOxz
и Оуz являются плоскостями симметрии.
Ось Oz, представляющая линию пересечения этих плоскостей, называется осью эллиптического параболоида.

-2°.
Гиперболический пара­болоид.
Из канонического уравнения (15)гиперболического параболои­да вытекает, что плоскости
Oxz и
Оуz являются плоско­стями симметрии.
ОсьOz
называется осью гиперболического п
aраболоида
.

Прим.
: получение «карты высот» для гиперболического п
aраболоида несколько отличается от аналогичной процедуры для вышеприведенных поверхностей 2-го порядка, поэтому я также включил его в свой реферат.

Линииz=h
пересечения гиперболического параболоида плоскостямиz=h представляют собой при h>0 гиперболы

с полуосями

а приh < 0 —сопряженные гиперболы для гипербол (24)

с полуосями

Используя формулы (24)—(27), легко построить «карту» гиперболического параболоида. Отметим еще, плоскость z=0 пересекает гиперболический параболоид по двум прямым :

Из формул (25) и (27) вытекает, что прямые (28) являются асимптотами гипербол (24) и (26).Карта гиперболического параболоида дает представление о его пространственной форме. Как и в случае эллип­тического параболоида, можно убедиться в том, что гиперболи­ческий параболоид может быть получен путем параллельного перемещения параболы, предста­вляющей собой сечение плоско­стьюOxz
(Оу
z
),
когда ее вер­шина движется вдоль параболы, являющейся сечением параболо­ида плоскостьюOyz (Oxz).

Прим.:
Изображение гиперболического пaраболоида дано на следующей странице.

Гиперболический пара­болоид.

4. Конус и цилиндры второго порядка.

-1°.
Конус второго порядка

Убедимся, что вещественный конус S образован прямыми ли­ниями, проходящими через начало О координат.
Естественно на­зывать точку О вершиной конуса.

Для доказательства сформулированного утверждения, очевид­но, достаточно установить, что прямая L, соединяющая произвольную, отличную от начала координат точку М
0
(х
0
, у
0
,
z
0
)
ко­нуса (6) и начало координат О , целиком распола­гается на конусе, т. е. координаты (х, у, z)
любой точки М
прямойL
удовлетворяют уравнению (6).

Так как точка М
0
(х
0
, у
0
,
z
0
)
лежит на конусе (6), то :

Координаты (х, у, z)
любой точки М
прямой L
равны соответ­ственноtx
0
,
ty
0
, tz
0
,
гдеt
—
некоторое число. Подставляя эти значения для х,
у
иz
в левую часть (6), вынося затем t2
за скоб­ку и учитывая (29), мы убедимся в том, что М
лежит на ко­нусе. Таким образом, утверждение доказано. Представление о форме конуса может быть получено методом сечений. Легко убедиться, что сечения конуса плоскостями z =
h
представляютсобой эллипсы с полуосями :

-2°
. Эллиптический
цилиндр.

Состоит из прямых линий, параллельных оси Oz.

-3°
. Гиперболический
цилиндр.

Состоит из прямых линий, параллельных оси Oz.

-4°
. Параболический
цилиндр.
a
33
z2
+ 2q´y = 0
(19)Путем переименования осей координат и простых арифметических операций из уравнения, (19) мы получим новое, компактное уравнение параболического
цилиндра.