Выполнил:
ученик9А
класса
средней школы №
135
Матвеев Евгений.
Руководитель проекта:
О
черетина
Т.В.
Казань 2004 г.
7 класс.
Глава
I
.
Точки, прямые, отрезки.
Через любые две точки Если две прямые имеют общую
можно провести прямую, точку, то они пересекаются.
и притом только одну.
Прямая а и точки А и В.
Прямая а и b пересекаются в точке О.
Две прямые либо имеют только одну общую точку,
либо не имеют общих точек.
Угол.
Угол – это геометрическая фигура, Угол называется развёрнутым, которая состоит из точки и двух лучей, если обе его стороны
исходящих из этой точки. лежат на одной прямой.
Угол с вершиной О и сторонами h и k. Развёрнутый угол с вершиной С
и сторонами p и q.
Развёрнутый угол = 180º; Неразвёрнутый угол < 180º .
Луч, исходящий из вершины угла и Два угла, у которых одна общая
делящий его на два равных угла, сторона общая, а две другие
называется биссектриса угла. являются продолжениями одна
другой, называются смежными.
Два угла, называются вертикальными,
если стороны одного угла являются Сумма смежных углов = 180º.
продолжениями сторон другого.
Две пересекающиеся прямые
Вертикальные углы равны. называются перпендикулярными,
если они образуют 4 прямых угла.
Глава
I I.
Треугольники.
Треугольник – геометрическая фигура, Р
АВС
= АВ+ВС+СА.
кот-ая состоит из 3 точек, не лежа-
щих на 1 прямой, соединённых отрезками.
В равных треугольниках против
Треугольник с вершинами А, В, С и соответственно равных сторон
Сторонами а, b, c. лежат равные углы, также против
соответственно равных равных
углов лежат равные стороны.
Теорема:
Если 2 стороны и угол
Теорема:
Из точки, не лежа-
между ними 1-го треугольника щей на прямой, можно провести
соответственно равны 2 сторонам перпендикуляр к этой, и притом
и углу между ними другого только один.
треугольника, то треугольники равны.
Отрезок, соединяющий вершину треуг- Отрезок бисс-сы угла треуг-ка,
ка с серединой противоположной сто- соединяющий вершину треуг-ка
роны, называется медианой треуг-ка. с точкой противоположной сторо- ны, называется бисс-сой треуг-ка.
Перпендикуляр, проведённый из верши-
ны треуг-ка к прямой, содержащей Треуг-к, у кот-го 2 стороны равны,
противоположную сторону, называ- называется равнобедренным.
ется высотой треуг-ка.
Теорема:
В равнобедренном треуг-ке
ВН - высота треуг-ка АВС. углы при основании равны.
Теорема:
В равнобедренном
Высота равнобедренного треуг-ка, про-
треуг-ке бисс-са, проведённая
ведённая к основанию, является медианой
к основа-нию, является
и бисс-сой.
медианой и высотой.
Медиана, проведённая к основанию, явля-
ется высотой и бисс-сой.
Теорема:
Если сторона и 2
Теорема:
Если три стороны 1го
прилежащих к ней угла 1го треуг-ка соответственно равны 3ём
треуг-ка соответственно рав- сторонам другого треуг-ка, то такие
ны стороне и 2 прилежащим к треуг-ки равны.
ней углам другого треуг-ка, то
такие треуг-ки равны.
Определение:
Окружность называется геометр-ая фигура, состоя-щая из всех точек, располож-ых на заданном расс-нии от данной точки.
Глава
I I I.
Параллельные прямые.
Определение:
Две прямые
Теорема:
Если при пересечении 2 пря-
на плоскости параллельны, мых секущей накрест лежащие углы рав-
если они не пересекаются. ны, то прямые параллельны.
Теорема:
Если при пересечении 2 пря-
Накрест лежащие – 3 и 5, 4 и 6. мых секущей соответственные углы рав-
Односторонние – 4 и 5, 3 и 6. ны, то прямые параллельны.
Соответственные – 1 и 5, 4 и 8,2 и 6, 3 и 7.
Теорема:
Если при пересече-
Теорема:
Если две параллельные пря-
нии 2 прямых секущей сумма мые пересечены секущей, то накрест
односторонних углов равна лежащие углы равны.
180º, то прямые параллельны.
Теорема:
Если две прямые пересечены
Теорема:
Если две парал- секущей, то сумма односторонних углов
лельные прямые пересечены равна 180º.
секущей, то соответствен-
ные углы равны.
Глава
IV.
Соотношения между сторонами
и углами треугольника.
Теорема:
Сумма углов
Внешний угол треуг-ка = сумме двух углов тре-
треуг-ка = 180º.
уг-ка, не смежных с ним.
В любом треугольнике либо
Теорема:
В треуг-ке против большей сто-
все углы острые, либо два роны лежит больший угол, против большего
два угла острые, а третий угла лежит большая сторона.
тупой или прямой.
В прямоугольном треуг- ке гипотенуза Если два угла треуг-ка равны, то больше катета. треуг-к – равнобедренный.
Теорема:
Каждая сторона
Для любых 3 точек А,В,С, не лежащих на
треугольника меньше суммы
одной прямой, справедливы неравенства:
2 других сторон. АВ<
AB
+
BC
, ВС<ВА+АС, АС<АВ+ВС.
Сумма двух острых углов пря- Катет прямоугольного треуг-ка, лежащий
моугольного треуг-ка = 90º
. против угла в 30º
, равен ½ гипотенузы.
Если катет прямоугольного треуг- Если катеты 1го прямоугольного треуг-
ка = ½ гипотенузы, то угол, лежа- ка соответственно = катетам другого
щий против этого катета, = 30º
. , то такие треуг-ки равны.
Если катет и прилежащий к нему
Теорема:
Если гипотенуза и острый
острый угол 1го прямоугольного угол 1го прямоугольного треуг-ка соот-
треуг-ка соответственно равны ветственно равны гипотенузе и остро-
катету и прилежащему к нему му углу другого, то такие треуг-ки равны.
острому углу другого, то такие
треугольники равны.
Теорема:
Если гипотенуза и катет 1го
прямоугольного треуг-ка соответствен-
Теорема:
Все точки каж-
но равны гипотенузе и катету другого,
дой из 2 параллельных прямых то такие треугольники равны.
равноудалены от другой прямой.
Расстояние от произвольной точки 1ой из параллельных прямых до
другой прямой называется прямой называется расстоянием между
этими прямыми.
8 класс.
Глава
V
.
Многоугольники.
Сумма углов выпуклого
n
-угольника В параллелограмме противоположные
= (
n
-2)180º. стороны равны и противоположные
углы равны.
Диагонали параллелограмма точ-
кой пересечения делятся пополам. Если в 4-угольнике 2 стороны равны и
параллельны, то этот 4-угольник – па-
раллелограм.
Если в 4-угольнике противопо-
ложные стороны попарно равны, Если в 4-угольнике диагональю пересе-
то этот 4-угольник – параллело- каются и точкой пересечения делятся
грамм. пополам, то этот 4-угольник – парал-
лелограмм.
Трапецией называется 4-угольник,
у кот-го 2 стороны параллельны, а Прямоугольником называется парал-
2 другие стороны не параллельны. лелелограмм, у кот-го все углы прямые.
Диагонали прямоугольника равны. Если в параллелограмме дигонали равны,
то этот параллелограмм – прямоуголь-
Ромбом называется параллело- ник.
грамм, у кот-го все стороны
равны. Диагонали ромба взаимно перпендикуляр-
ны и делят его углы пополам.
Квадкатом называется прямо-
угольник, у кот-го все стороны Все углы квадрата равны.
равны.
Диагонали квадрата равны, взаимно
Фигура называется симметричной перпендикулярны, точкой пересечения
относительно прямой а, если для делятся пополам и делят углы
каждой точки фигуры симметричная квадрата пополам.
ей точка относительно прямой а
также принадлежит этой фигуре. Прямая а называется осью симметрии.
Фигура называется симметричной Точка О называется центром симмет-
относительно точки О, если для рии фигуры.
каждой точки фигуры симметрич-
ная ей точка относительно точки О
также принадлежит этой фигуре.
Глава
VI
.
Площадь.
Равные многоугольники имеют
S
квадрата равна квадрату его стороны.
Равные
S
.
Если многоугольник составлен из
Теорема:
S
прямоугольника = про-
нескольких многоугольников, то изведению его смежных сторон.
Его
S
= сумме площадей этих
многоугольников.
Теорема:
S
параллелограмма = про-
изведению его основания на высоту.
Теорема:
S
треугольника =
= произведению его основания
S
прямоугольного треугольника = 1/2
на высоту.
произведения его катетов.
Если высоты 2ух 3-угольников
Теорема:
Если угол 1го 3-угольника
равны, то их
S
относятся равен углу другого 3-угольника, то
S
как основания. этих 3-угольников относятся как про-
изведения сторон, заключающих равные
Теорема:
S
трапеции = про- углы.
изведению полусуммы её осно-
ваний на высоту.
Теорема:
В прямоугольном 3-угольни-
ке квадрат гипотенузы = сумме квадра-
Теорема:
Если квадрат 1ой тов катетов.
стороны 3-угольника = сумме
квадратов 2 других сторон, то
3-угольник прямоугольный.
Глава
VII
.
Подобные треугольники.
Определение:
2 3-угольника
Теорема:
Отношение
S
2ух подоб-
называются подобными, если их ных 3-угольников = квадрату коэф-
углы соответственно равны и фициента подобия.
стороны 1го 3-угольника про-
порционально сходственны
Теорема:
Если 2 угла 1го 3-уголь-
сторонам другого. ника соответственно = 2ум углам
другого, то такие 3-угольники по-
Теорема:
3-угольника пропорциональны 2ум
сторонам другого 3-угольника и углы, заключённые между этими сторо-
нами, равны, то такие 3-угольники подобны.
Теорема:
3-угольника пропорциональны на 1ой из его сторон и равна ½ этой
3ём сторонам другого, то такие стороны.
3-угольники подобны.
sin
3-угольника – отношение ника – отношение прилежащего катета
противолежащего катета к к гипотенузе.
гипотенузе.
tg
tg
3-угольника – отношение противо-
лежащего катета к прилежащему. Основное тригонометрическое
тождество:
Если острый угол 1го прямоугольного
3-угольника = острому углу другого прямо-
угольного 3-угольника, то синусы, косинусы и тангенсы этих углов равны.
Глава
Окружность.
Если расстояние от центра окруж- Если расстояние от центра окруж-
ности до прямой < радиуса, то пря- ности до прямой = радиуса, то пря-
мая и окружность имеют 2 общие мая и окружность имеют 2 общие
точки. Прямая является секущей. точки. Прямая является касательной.
Если расстояние от центра окруж-
ности до прямой > радиуса, то пря- ности перпендикулярна к
мая и окружность не имеют общих дённому в точку касания.
точек.
Теорема:
Отрезки касательных к окружнос- через конец
ти, проведённые из 1ой точки, рав- ности, и перпендикулярна к этому
ны и составляют равные углы с
прямой, проходящей через эту точ-
ку и центр окружности. Дуга является полуокружностью.
Угол с вершиной в центре окруж- Если дуга АВ окружности с центром
ности — её центральный угол. О < полуокружности или является
полуокружностью, то её градусная
Сумма градусных мер 2ух дуг ок- мера считается равной градусной
ружности с общими концами = мере центрального угла АОВ. Если же
= 360°. дуга АВ > полуокружности, то её
градусная мера считается =
Угол, вершина кот-го лежит на = 360°–<АОВ.
окружности, а стороны пересе-
кают окружность, называется
вписанным углом. ется ½ дуги, на кот-ую он опирается.
Луч ВО совпадает с 1ой из сто- Луч ВО делит угол АВС на 2 угла, если
рон угла АВС. луч ВО пересекает дугу АС.
Луч ВО не делит угол АВС на 2 Вписанные углы, опирающиеся на 1 и ту
угла и не совпадает со сторона- же дугу, равны.
ми этого угла, если луч ВО не
пересекает дугу АС. Вписанный угол, опирающийся на полу-
окружность, -- прямой.
Теорема:
ружности пересекаются, то неразвёрнутого угла равноудалена
произведение отрезков 1ой от его сторон. Каждая точка, ле-
хорды = произведению отрез- жащая внутри угла и равноудалённая
ков другой хорды. от сторон угла, лежит на его бисс-се.
Бисс-сы 3-угольника пересека- Серединным перпендикуляром к отрезку
ются в 1ой точке. называется прямая, проходящая через
середину отрезка и перпендикулярная
Теорема:
рединного перпендикуляра к
отрезку равноудалена от концов
этого отрезка. Каждая точка,
равноудалённая отконцов отрез-
ка, лежит на серединном перпен-
дикуляре.
но вписать окружность.
Теорема:
(или их продолжения) пересека-
ются в 1ой точке.
Теорема:
гольника можно онисать окруж-
ность.
Если сумма противоположных углов 4-угольника = 180°, то около него можно описать окружность.
Глава
Векторы.
Физические величины, характери-
зуещиеся направлением в прост- го указано, какой из его концов счи-
ранстве – векторные. тается началом, а какой – концом,
называется вектором.
Длина (модуль) – длина АВ.
Длина нулевого вектора = 0.
Нулевые векторы называются
коллинеарными, если они лежат Если 2 вектора направлены одинаково,
либо на одной прямой, либо на то эти векторы – сонаправлены.
параллельных прямых; нулевой
вектор считается коллинеар- Если 2 вектора направлены противопо-
ным любому вектору. ложно, то они противоположно напра-
влены.
Определение:
называются равными, если
они сонаправлены и их дли-
ны равны.
Теорема:
1.
2.
Теорема:
ров ă и č справедливо равенство:
ă – č = ă + ( - č ).
Для любого числа
ра ă векторы ă и
k
Теорема:
пеции параллельна основаниям
и = их полусумме.
9 класс.
Глава
Метод координат.
Лемма:
коллинеарны и ă=0, то сущес- ложить по 2ум данным неколлинеар-
твует такое число
ты разложения определяются един-
Каждая координата суммы 2ух ственным образом.
векторов = сумме соответству-
ющих координат этих векторов. Каждая координата произведения век-
тора на число = произведению соот-
Каждая координата разности ветствующей координаты вектора
2ух векторов = разности соот- на это число.
ветствующих координат век-
тора на это число. Координаты точки М = соответству-
ющим координатам её радиус-вектора.
Каждая координата вектора =
разности соответствующих ко- Каждая координата середины отрезка
ординат его конца и начала. равна полусумме соответствующих ко-
ординат его концов.
Глава
Соотношения между сторонами
и углами 3-угольника.
Скалярное произведение
векторов.
Для любого угла α из промежут-
ка 0° <α<180°
ется ордината у точки М, а
угла α – абсцисса х угла α.
Теорема:
произведения 2ух его сторон на порциональны
sin
Теорема:
а2
Скалярным произведением 2ух Скалярный квадрат вектора = квадра-
векторов называется произве- ту его длины.
дение их длин на
ними.
Теорема:
ab
Нулевые векторы а( х1
b
тогда и только тогда, ког-
да х1
Для любых векторов а,
а2
а
( а+
(
Если 2 стороны 1го
добны.
Если 3 стороны 1го
Теорема:
Средняя линия параллель-
острого угла прямоугольного
cos
острого угла прямоугольного 3-уголь-
угла = отношению
sin
к
cos
острого угла прямоугольного этого угла:
tg
=
sin
/
cos
.
sin
2
α+
cos
2
α=1.
x
0
°
30
°
45
°
60
°
90
°
180
°
270
°
360
°
sinx
0
1/2
2/2
3/2
1
0
-1
0
cosx
1
3/2
2/2
1/2
0
-1
0
1
tgx
0
1/ 3
1
3
—
0
—
0
ctgx
—
3
1
1/ 3
0
—
0
—
0
П
/6
П/4
П/3
П/2
П
3П/2
2П
VIII
.
Теорема:
Касательная к окруж-
r
, прове-
Если прямая проходит
r
, лежащий на окруж-
r
, то она является касательной.
Теорема:
Вписанный угол измеряя-
Если 2 хорды ок-
Теорема:
Каждая точка бисс-сы
Каждая точка се-
к нему.
Серединные перпендикуляры к сторо-
нам 3-угольника пересекаются в 1ой
точке.
Теорема:
в любой 3-угольник мож-
Высоты 3-угольника
В 3-угольник можно вписать только 1у
окружность.
Около любого треу-
В любом вписанном 4-угольнике сумма
противоположных углов = 180°.
IX
.
Определение:
Отрезок, для кот-
Векторы,
От любой точки М можно отложить
вектор, равный данному вектору ã, и
притом только один.
для любых векторов ă, č и ĕ справедливы равенства:
ă + č = č + ă (переместительный закон);
( ă + č )+ ĕ = ă +( č + ĕ ).
Для любых векто-
Произведение любого вектора на число
0 есть нулевой вектор.
k
и любого векто- (
kl
)ă=
k
(
l
ă ) (сочетательный закон);
k
ă коллинеарны. (
k
+
l
)ă=
k
ă+
l
ă(1ый рспред-ный закон);
(ă+č )=
k
ă+
k
č.
Средняя линия тра-
X
.
Если векторы ă и
č
Теорема:
Любой вектор можно раз-
k
, что č=
k
ă. ным векторам, причём коэффициен-
XI
.
tg
угла α(α=90°) называется отношение
sin
угла α называ-
sin
α/
cos
α.
cos
sin
(90°-- α)=
cos
α
S
3-угольника = ½
Теорема:
Стороны 3-угольника про-
sin
противолежащих
угла между ними. углов.
Квадрат стороны 3-угольника = сумме квадратов 2ух других сторон – удвоенное произведение этих сторон на
cos
угла между ними.
=
b
2
+с2
-2
b
с
cos
α.
cos
угла между
Скалярное произведение векторов а( х1
; у1
) и
b
( х2
; у2
) выражается формулой:
=х1
х2
+у1
у2
.
; у1
) и
cos
угла а между нулевыми векторами
( х2
; у2
)перпендикулярны а( х1
; у1
) и
b
( х1
; у1
) выражается формулой:
cos
α=х1
х2
+у1
у2
/ х1
+у1
х2
+ у2
.
х2
+
у1
у2
= 0.
b
, с и любого числа
k
справедливы соотношения:
>0, причём а2
>0 при а=0.
b
=
b
а (переместительный закон).
b
)с=ас+
b
с (распределительный закон).
k
а )
b
=
k
(
ab
) (сочетательный закон).
Название реферата: Справочник по геометрии (7-9 класс)
| Слов: | 3446 |
| Символов: | 31531 |
| Размер: | 61.58 Кб. |