Статистика (шпаргалка 2002г.)

1.
Анализ рядов
распределения

Ряд
распределения,
графики в приложении.

Мода:

Медиана:

Нижний
квартиль:

Верхний
квартиль:

Средний
уровень признака:

Средняя
величина может
рассматриваться
в совокупности
с другими обобщающими
характеристиками,
в частности,
совместно с
модой и медианой.
Их соотношение
указывает на
особенность
ряда распределения.
В данном случае
средний уровень
больше моды
и медианы. Асимметрия
положительная,
правосторонняя.

Асимметрия
распределения
такова:

=> 27,39 31,4 33,52

Показатели
вариации:

1)
Размах вариации
R

2)
Среднее линейное
отклонение

(простая)

(взвешенная)

3)
Дисперсия

Другие
методы расчета
дисперсии:

1.
Первый метод

Условное
начало С = 35

Величина
интервала d
= 10

Первый
условный момент:

Средний
уровень признака:

Второй
условный момент:

Дисперсия
признака:

2.
Второй метод

Методика
расчета дисперсии
альтернативного
признака:

Альтернативным
называется
признак, который
принимает
значение «да»
или «нет». Этот
признак выражает
как количественный
«да»-1, «нет»-0,
это значение
x
, тогда для него
надо определить
среднюю и дисперсию.

Вывод
формулы:

Средняя
альтернативного
признака равна
доле единиц,
которые этим
признаком
обладают.

- Дисперсия
альтернативного
признака. Она
равна произведению
доли единиц,
обладающих
признаком на
ее дополнение
до 1.

Дисперсия
альтернативного
признака используется
при расчете
ошибки для
доли.

,
W
– выборочная
доля.

Виды
дисперсии и
правило их
сложения:

Виды:

1.
Межгрупповая
дисперсия.

2.
Общая дисперсия.

3.
Средняя дисперсия.

4.
Внутригрупповая
дисперсия.

У
всей совокупности
может быть
рассчитана
общая средняя
и общая дисперсия.

1.
общая и
общая.

2. По
каждой группе
определяется
своя средняя
величина и своя
дисперсия:
a,a;
б,б;
i,i

3.
Групповые
средние
i
не одинаковые.
Чем больше
различия между
группами, тем
больше различаются
групповые
средние и отличаются
от общей средней.

Это
позволяет
рассчитать
дисперсию,
которая показывает
отклонение
групповых
средних от
общей средней:

- межгрупповая
дисперсия, где
mi
– численность
единиц в каждой
группе.

В
каждой группе
имеется своя
колеблемость
– внутригрупповая
.
Она не одинакова,
поэтому определяется
средняя из
внутригрупповых
дисперсий:

Эти
дисперсии
находятся в
определенном
соотношении.
Общая дисперсия
равна сумме
межгрупповой
и средней из
внутригрупповых
дисперсий:

- правило
сложения дисперсий.

Соотношения
дисперсий
используются
для оценки
тесноты связей
между факторами
влияния изучаемого
фактора – это
межгрупповая
дисперсия. Все
остальные
факторы – остаточные
факторы.

2.
Ряды динамики

Ряд
динамики, график
ряда динамики
в приложении.

Средняя
хронологическая:

Производные
показатели
ряда динамики:

- коэффициент
роста, базисный

- коэффициент
роста, цепной

- коэффициент
прироста

- абсолютное
значение одного
процента прироста

Взаимосвязь
цепных и базисных
коэффициентов
роста:

Произведение
последовательных
цепных коэффициентов
равно базисному:

и т. д.

Частное
от деления
одного базисного
равно цепному
коэффициенту:

и т. д.

Средний
абсолютный
прирост:

Средний
годовой коэффициент
роста:

1)

2)

3)

Анализ
тенденции
изменений
условий ряда:

Анализ
состоит в том,
чтобы выявить
закономерность.

Метод
– укрупнение
интервалов
и расчет среднего
уровня

Тенденция
изображена
в виде ступенчатого
графика (в
приложении).

Сезонные
колебания:

Индекс
сезонности:

График
«Сезонная
волна» в приложении.

3.
Индексы

Индивидуальные
индексы:

Расчет
индивидуальных
индексов ведется
по формулам:

ip
=
; iq
=

Общий
индекс физического
объема:

Iq
=

Общий
индекс цен:

1)
Ip
=

2)
Ip
=

3)
Ip(фишер)
=

Общий
индекс стоимости:

Ipq
=

Взаимосвязь
индексов Ip
, Iq
, Ipq
:

Ip
x Iq
= Ipq

(1,0975
x
1,0393) x
100 = 114,06

Влияние
факторов на
изменение
стоимости:

Общее
изменение
стоимости
составило:

pq
=

в
том числе :

-
за счет роста
цен на 9,75% дополнительно
получено доходов:

p
=

-
за счет роста
физического
объема продаж
на 3,93% дополнительные
доходы получены
в размере:

q
=

Взаимосвязь
p,
q,
pq
:

pq
=
p
+
q

4252,2
= 3064,1 + 1188,1

Методика
преобразования
общих индексов
в среднюю из
индивидуальных:

Общие
индексы – это
относительные
величины, в то
же время, общие
индексы являются
средними из
индивидуальных
индексов, т.е.
индивидуальный
индекс i
x,
а Y

.
Вид общего
индекса должен
соответствовать
агрегатной
форме расчета.
В этом случае
сохраняется
экономический
смысл индекса
и меняется
только методика
расчета.

Алгоритм
:

1.
Индекс физического
объема

а)
индивидуальный
индекс физического
объема:

iq
=

Iq
=

в)

г)
Iq
=

iq
x
(q0p0)
f

Таким
образом, индекс
физического
объема представляет
собой среднюю
арифметическую
из индивидуальных
индексов, взвешенных
по стоимости
продукции
базового периода.

2.
Индекс цен
Ласпейреса
Ip
=
ip
=

Индекс
цен Ласпейреса
– это средняя
арифметическая
из индивидуальных
индексов, взвешанных
по стоимости
базового периода
или удельному
весу.

3.
Индекс цен
Пааше

а)
Индивидуальный
индекс цены

ip
=
б)
Ip
=
в) p0
=
Ip
=
Индекс
цен Пааше является
средней гармонической
величиной из
индивидуальных
индексов, взвешенных
по стоимости
текущего периода.

Статистика
широко применяет
относительные
величины, потребность
в которых возникает
на стадии обобщения.
Они помогают
установить
закономерности,
в них заключен
«молчаливый
вывод»; являются
самостоятельными
статистическими
показателями
и имеют самостоятельную
широкую сферу
применения,
например, уровень
рождаемости,
естественного
прироста населения,
рентабельность
и т.д.

Относительная
величина – это
статический
показатель,
полученный
путем сопоставления
двух других
величин (абсолютных,
средних и других
относительных).

При пользовании
относительными
величинами
следует применять
достаточное
для целей
исследования
число значащих
цифр. Поэтому
существуют
различные
способы выражения
относительных
величин. Если
сравниваемая
величина больше
базы y1
> y0,
то удобно
пользоваться
коэффициентом
К
= у1/у0.
Если между
уровнями у1
и у0
различия абсолютных
величин невелики,
то удобно применять
децили и проценты:
Δ = 10 (у1/у0);
Т = 100 (у1/у0).
Если уровень
у1
значительно
меньше базы,
то удобно применять
промилле и
продецимилле:
П = 1000 (у1/у0);
Пґ = 10000 (у1/у0).

Например,
рост цен может
быть измерен
и коэффициентом,
и процентом
(рост в 2,1 раза
или 103,15%), рождаемость
и естественный
прирост определяют
на 1000 чел. населения
и т.д.

2.2. Виды
относительных
величин

В зависимости
от характера
сравниваемых
абсолютных
величин можно
выделить два
типа относительных
величин. Если
сравниваются
две абсолютные
величины, имеющие
одинаковые
единицы измерения,
то относительная
величина показывает
«отношение»
и является
безразмерной.
Если сравниваются
две абсолютные
величины, у
которых единицы
измерения не
совпадают, то
относительные
величины имеют
размерность.

Относительная
величина структуры
определяется
как отношение
числа единиц
f или
значения признака
у
изучаемой части
к общему числу
Σf:
W
= f
/ Σf;

Относительная
величина координации
показывает
отношение
численности
единиц одной
части совокупности
к численности
единиц другой.

Изменение
уровня изучается
во времени
относительной
величиной
динамики. Например,
уровень показателя
1999 г. (у1)
сравнивается
с уровнем того
же показателя
по тому же объекту
1990 г. (у0):
К1
= у1/у0.

Прогнозируемый
уровень сравнивается
с существующим
– относительная
величина прогноза:
Кпр
= упр/у0.

Изменение
уровня изучается
по сравнению
с предварительным
прогнозом
(нормой, планом)
– относительная
величина выполнения
прогноза: Кв.
пр. =
у1/упр.

Относительная
величина
интенсивности
представляет
собой сравнение
двух разных
статических
показателей,
которые имеют
размерность.
К таким показателям
относится
плотность
населения,
автомобильных
дорог и т.д.

Относительными
величинами
также являются
индексы: биржевые,
социальные,
сезонности
и т.д.

iр
= р1/р0;
iq
= q1/q0;
iz
= z1/z0
и т.д.

Тема 3.
Средние величины
и показатели
вариации

3.1.
Сущность и
значение средних
величин

Средняя
величина отражает
типичные размеры
признака,
характеризует
качественные
особенности
явлений в
количественном
выражении.

Средние
характеризуют
одной величиной
значение изучаемого
признака для
всех единиц
качественно
однородной
совокупности.

К.
Маркс отметил:
«Средняя величина
– всегда средняя
многих различных
индивидуальных
величин одного
и того же вида».

Средняя
величина –
величина абстрактная,
потому что
характеризует
значение абстрактной
единицы, а значит,
отвлекается
от структуры
совокупности.

Понятие
степенной
средней, формула
расчета, виды
средних величин
и область их
применения,
правило мажорантности
средних

Степенная
средняя – это
такая величина,
которая рассчитана
по индивидуальным
значениям
признака, возведенным
в степень К,
и приведена
к линейным
размерам:

В
зависимости
от показателя
степени К
средняя может
быть гармонической
(К
= -1), арифметической
(К
= 1), геометрической
(К
= 0), квадратической
(К
= 2), кубической
(К
= 3), биквадратической
(К
= 4). Каждая средняя
обладает
определенными
свойствами
и имеет свою
сферу применения.

Если
К
= 1, то средняя
является
арифметической:

где
n - число
наблюдений.

Массовые
по численности
совокупности
обобщаются
в виде ряда
распределения.
Характер
распределения,
частота повторения
каждого признака
оказывает
влияние на
среднюю, которая
называется
средней взвешенной:

где
f - частота
повторения
признака (статический
вес).

Если
К
= -1, средняя является
гармонической.
Это величина,
обратная простой
средней арифметической:

Средняя
гармоническая
взвешенная
определяется:

где
ΣW - суммарное
значение признака.

Если
К
= 0, то средняя
является
геометрической.
Эта величина,
полученная
как корень m-й
степени из
произведения
значений признака:

Взвешенная -

Если
К
= 2, то средняя
является
квадратичной:

Простая -

Взвешенная -

и
т.д.

Если
для одного и
того же первичного
ряда вычислить
различные
степенные
средние, то чем
больше показатель
степени К,
тем больше
абсолютное
значение средней:

Правило
называется
мажорантности
степенных
средних.

3.3.
Свойства средней
арифметической

Средняя
величина
арифметическая
обладает рядом
свойств, позволяющих
ускорить расчет.

Она
не изменяется,
если веса всех
вариантов
умножить или
разделить на
одно и то же
число.

Если
все значения
признака одинаковые,
то средняя
равна этой же
величине.

Средние
суммы или разности
равны сумме
или разности
средней:

Если
из всех значений
Х
вычесть постоянную
величину С,
то средняя
уменьшается
на это значение.

Если
все значения
уменьшить в
d
раз (Х/d), то средняя
уменьшится
в d
раз.

Сумма
отклонений
значения признака
равна 0.

Сумма
квадратов
отклонений

3.4.
Расчет моды
и медианы

Модой
(М0)
называется
чаще всего
встречающийся
вариант или
то значение
признака, которое
соответствует
максимальной
точке теоретической
кривой распределения.

В
дискретном
ряду мода – это
вариант с наибольшей
частотой. В
интервальном
вариационном
ряду мода приближенно
равна центральному
варианту так
называемого
модального
интервала.

где хМ0 - нижняя
граница модального
интервала;

iM0 - величина
модального
интервала;

fM0 - частота,
соответствующего
модального
интервала;

fM0-1 - частота,
предшествующая
модальному
интервалу;

fM0+1 - частота
интервала,
следующего
за модальным.

Медиана
(Ме)
– это величина,
которая делит
численность
упорядоченного
вариационного
ряда на 2 равные
части: одна
часть значения
варьирующая
признака меньшие,
чем средний
вариант, а другая
часть – большие.
Для ранжированного
ряда с нечетным
числом членов
медианой является
варианта,
расположенная
в центре ряда,
а с четным числом
членов медианой
будет средняя
арифметическая
из двух смежных
вариант.

В
интервальном
вариационном
ряду порядок
нахождения
медианы следующий:
располагаем
индивидуальные
значения признака
по ранжиру;
определяем
для данного
ранжированного
ряда накопленные
частоты; по
данным о накопленных
частотах находим
медианный
интервал.

Медиана
делит численность
ряда пополам,
следовательно,
она там, где
накопительная
частота составляет
половину или
больше половины
всей суммы
частот, а предыдущая
(накопленная)
частота меньше
половины численности
совокупности.

Если
предполагать,
что внутри
медианного
интервала
нарастание
или убывание
изучаемого
признака происходит
по прямой равномерно,
то формула
медианы в
интервальном
ряду распределения
будет иметь
следующий вид:

где хме - нижняя
граница медианного
интервала;

ime - величина
медианного
интервала;

Σf/2 - полусумма
частот ряда;

Σfmе-1 - сумма
накопительных
частот, предшествующих
медианному

интервалу;

fmе - частота
медианного
интервала.

Квартили
– это значения
признака, которые
делят ряд на
4 равные части.
Различают
нижний квартиль
Q1,
медиану Ме
и верхний квартиль
Q3.

где xmin - минимальные
границы квартильных
интервалов;

i - интервал
ряда распределения

ΣfQf-1;
ΣfQ3-1 - суммы
частот всех
интервалов,
предшествующих

квартильным;

fQ1;
fQ3 - частоты
квартильных
интервалов

Децили
(D)
– варианты,
которые делят
ранжированный
ряд на 10 равных
частей. Так,
первый и второй
децили могут
быть вычислены
по формулам:

где xmin - минимальные
границы децильных
интервалов;

i - интервал
ряда распределения

ΣfОf-1;
ΣfО2-1 - суммы
частот всех
интервалов,
предшествующих

децильным;

fD1;
fD3 - частоты
децильных
интервалов

3.5.
Понятие вариации
признака, показатели
вариации,
дисперсия
альтернативного
признака.
Упрощенный
способ расчета
дисперсии.
Виды дисперсий
в совокупности,
разбитой на
группы, правило
сложения дисперсий

Способность
признака принимать
различные
значения называют
вариацией
признака. Для
измерения
вариации признака
используют
различные
обобщающие
показатели
– абсолютные
и относительные.

Размах
вариации – это
разность
максимального
и минимального
значений признака:
R
= хmax
- хmin.

Среднее
линейное отклонение
– это средняя
из абсолютных
значений отклонений
признака от
своей средней:

Средняя
из квадратов
отклонений
значений признака
от своей средней,
т.е. дисперсия:

Дисперсия
есть разность
среднего квадрата
и квадрата
средней

или
- простая

- взвешенная

Дисперсия
может быть
определена
методом условных
моментов. Момент
распределения
– это средняя
m
отклонений
значений признака
от какой-либо
величины А:
если А
= 0, то момент
называется
начальным; если
А
=
,
то моменты –
центральными;
если А
= С,
то моменты –
условными.

В
зависимости
от показателя
степени К,
в которую возведены
отклонения
(х – А)к,
моменты называются
моментами 1-го,
2-го и т.д. порядков.

Расчет
дисперсии
методом условных
моментов состоит
в следующем:

Выбор
условного нуля
С;

Преобразование
фактических
значений признака
х в
упрощенные
хґ
путем отсчета
от условного
нуля С
и уменьшения
в d
раз:

Расчет
1-го условного
момента:

Расчет
2-го условного
момента:

Расчет
1-го порядка
начального
момента:

Дисперсии

Среднее
квадратичное
отклонение
рассчитывается
по данным о
дисперсии 
= 2

Относительные
величины вариации

Коэффициент
осцилляции
отражает
относительную
колеблемость
крайних значений
признака вокруг
средней

Относительное
линейное отклонение:

Коэффициент
вариации:

Коэффициент
асимметрии:

Виды
дисперсий и
правило сложения
дисперсий

Общая
дисперсия:

где - общая
средняя всей
совокупности

Межгрупповая
дисперсия:

где
- средняя
по отдельным
группам

Средняя
внутри групповых
дисперсий

Общая
дисперсия равна
сумме из межгрупповой
дисперсии и
средней внутригрупповой
дисперсии:

Дисперсия
альтернативного
признака.

Она
равна произведению
доли единиц,
обладающих
признаком и
доли единиц,
не обладающих
им

Тема
4. Ряды динамики

4.1.
Понятие о рядах
динамики,
виды рядов
динамики

Ряды
динамики – это
последовательность
упорядоченных
во времени
числовых показателей,
характеризующих
уровень развития
изучаемого
явления.

Ряды
динамики бывают:

В
зависимости
от времени –
моментные и
интервальные
ряды.

От
формы представления
уровней – ряды
абсолютных,
относительных
и средних величин.

От
расстояния
между датами
– полные и неполные
хронологические
ряды.

От
числа показателей
– изолированные
и комплексные
ряды.

4.2.Производные
показатели
рядов динамики

Соотношения:
у2/у1
· у3/у2
· у4/у3
· у5/у4
= у5/у1
у4/у1
: у3/у1
= у4/у3

4.4.
Средние показатели
ряда динамики

Если
ряд динамики
интервальный
и содержит все
последовательные
уровни, то средний
уровень определяется
как средняя
арифметическая
величина:
Если
ряд динамики
моментный с
одинаковыми
промежутками
времени между
датами, то средняя
хронологическая
определяется
как простая
арифметическая:

А
если с разновеликими
интервалами
между датами,
то как средняя
арифметическая
взвешенная
по времени:
где t
- время, в течение
которого уровень
не менялся
Средний абсолютный
прирост:
Средний
темп роста:

Средний
темп прироста:

4.5.
Измерение
сезонности
явлений.

Индексы
сезонности.
Построение
сезонной волны

Метод
простых средних:

а)
определяется
средняя хронологическая
для каждого
месяца
б)
средняя хронологическая
общая:
Индекс
сезонности:

Метод
сравнения
фактического
и сглаженного
уровней а) метод
скользящего
среднего уровня:

б)
метод аналитического
выравнивания:

Колеблемость
уровня ряда
измеряется
средним отклонением
индекса сезонности
iсез
от 100%:
Среднее
квадратичное
отклонение

4.6.
Выравнивание
рядов динамики

Выравнивание
рядов динамики
производят
одним из способов:

а)
Механическое
выравнивание
состоит в укрупнении
интервала
времени и расчете
средней хронологической

б)
Аналитическое
выравнивание
– это описание
тенденций с
помощью подбора
адекватной
модели, представляющей
математическую
функцию зависимости
среднего уровня
от времени:
По
уравнению
прямой:

где
a0
и а1 - это
параметры
уравнения,
которые рассчитываются
на

основе
фактических
данных методом
наименьших
квадратов

- это
условное время
принятое от
какой-то базы.

Выравнивание
может выполняться
по параболе
2-го порядка:
а0,
а1,
а2 -параметры,
определяемые
с помощью системы
уравнений:

если
Σt
= 0, то Σt3
= 0

Если
применяется
показательная
функция, то
уравнения
взаимосвязи
следующая:
, для решения
такой модели
переходят к
логарифмам:

Это
уравнения
прямой для
логарифмов
уравнений,
поэтому выравнивание
осуществляется
аналогично
прямой, но
предварительно
определяются
логарифмы

При
выборе модели
можно руководствоваться
правилами

,
если абсолютные
приросты колеблются
около постоянной
величины, то
можно использовать
модель прямой
линии

Δy
= уi
- уi-1;
а0 - база;
а1t -
прирост.

,
если приросты
приростов,
т.е. ускорение
колеблется
около постоянной
величины, то
можно использовать
параболу 2-го
порядка: а0 -
база; а1t -
прирост; а2t2 -
ускорение
(Δу2
– Δу1)

-
ср. коэффициент
роста, если
ежегодные
темпы роста
примерно постоянны,
то можно использовать
модель показательной
функции.

6.
Индексы

6.1.
Понятие индекса,
индивидуальные
и общие индексы,
различие между
ними

Индекс
– это относительная
величина сравнения
сложных совокупностей
и отдельных
их единиц, которая
показывает
изменение
изучаемого
явления:

Бывают
индексы общими
и индивидуальными.

1.
Общий индекс
цен в агрегатной
форме:

а)
-
индекс Пааше
б)
- индекс Ласпейреса

Агрегатный
индекс физического
объема

Общий
индекс

2.
Индексы как
средние величины:

Индекс
физического
объема

Индекс
цен Пааше
Индекс
цен Ласпейреса:

Индекс
цен переменного
и постоянного
состава

3.1.Индекс
переменного
состава:Индекс
постоянного
состава:
Индекс
структурных
сдвигов