Общая
постановка
задачи управляемости.
Для
задачи ОУ характерно
наличие динамического
объекта. Динамический
объект- объект,
состояние
которого меняется
со временем.
Состояние
любого динамического
объекта в момент
времени
характеризуется
параметрами
.
Такие параметры
наз. Фазовые
координаты,
а сам вектор-
фазовый вектор.
Предполагается,
что движением
объекта можно
управлять.
Набор параметров
-
параметры
управления,
u(t)-
вектор управления.
Положение
объекта
зависит только
от того, какое
управление
было до момента
времени
,
и не зависит
от того, какое
управление
будет в будущем.
В зависимости
от описания
дин. Объекта
рассматриваются
различные
задачи.
Состояние
динамического
объекта описывается
диф. уравнением
1)
-
эта система
решается приближенным
методом.
2)
x(t)
должны принадлежать
,
.
Класс допустимых
управлений
x(t),
не
можат быть
произвольным.
,
как правило
мн-во замкнуто
и ограничено,
а это не позволяет
применять класс
вариационого
исчесления,
кроме этого
на
могут
быть наложены
ограничения
по времени.
3)Начальное
и конечное
состояние
объекта.на
интервале
,
,
.Задача
управления
заключается
в том, чтобы
динамический
объект, описываемый
системой (1),
удовлетворяющий
условиям (2),
перенести за
промежуток
времени
,
из состояния
.Это
может быть
достигнуто
разными способами.
4)
Критерий управления.
Это некоторый
функционал
вида
.
Находим такие
,
что
2.
Основные вопросы
в теории ОУ.
1)
Управляемость.
Можно ли осуществить
перевод динамического
объекта из
состояния
,
за промежуток
времени
.
Существует
ли ОУ.
3)
Необходимые
условия оптимальности-
принцип максимума
Понтрягина.
4)
Достаточные
условия ОУ.
5)
Единственность
ОУ.
3.
Постановка
линейной задачи.
Линейная
задача имеет
вид: Рассматриваем
динамический
объект, поведение
которого описывается
системой (1)
,
x-
n-мерный
вектор, , A-матрица
nxn,
u
имеет ту же
размерность,
что
и
,
,
-замкнуто
и ограничено.
Допустимое
управление
u(t)
на отр.I
осуществляет
переход из
начального
мн-ва
в конечное
множество
,
если существует
решение уравнения
(1), удовлетворяющее
граничным
условиям
и
.
Цель управления
-
перевод динамический
объекта из
в
,
а качество
определяет
функционал.
Таким функционалом
явл. время,
следовательно
задача быстродействия
заключается
в нахождении
такого допустимого
управления,
которое осуществляет
переход из
множества
в
за
наименьшее
время.
4.
Пространство
,
алгебраическая
сумма,
произведение
множества на
число
.
Пространство
-пространство
состоящее из
всевозможных
не пустых компактных
подмножеств
пр-ва
.
Мн-во
F
компактное,
если оно замкнуто
и ограничено.
Мн-во
F
ограничено,
если оно содержится
в шарк некоторого
радиуса.
Мн-во
F
замкнуто,
если оно содержит
все свои предельные
точки.
Точка
f
предельная
точка F,
если в любой
ее окрестности
содержится
хотя бы одна
точка мн-ва F
отличная
от f.
Операции:1)
алгебраической
суммойназ.
мн-во C
такое, что любой
элемент
,
.
2)
произведением
множества на
число
наз. мн-во C
такое, что любой
элемент
.
5.,
хаусдорффова
норма, лемма
про определенность
хаус. нормы.
-это
минимальный
радиус шара
с центром в
начале координат,
где
.
Хаусдорффова
норма- это расстояние
между мн-ми A
и B:
-расстояние
между мн-ми A
и B
()
явл. наименьшее
положительное
число r.
Лемма:
Пусть
-
выпуклы, тогда
хаусдорффова
норма
6.
Опорные
функции.
Задано
множество
и
вектор
. Для этих двух
элементов можно
определить
опорную функцию
следующим
образом
,
где C
опорная функция.
,
,
.
,
.
Пусть
-некоторый
фиксированный
вектор, а
один
из векторов
множества F,
на котором
опорная функция
достигает
максимум:
.
В этом случае
наз.
опорным вектором
мн-ва F
в точке
.
А совокупность
всех векторов
наз.
опорным множеством
к множеству
F
в
направлении
.Гиперплоскость
-
наз. опорной
гиперплоскостью
к множеству
F
в направлении
.
Гиперплоскость
разбивает
на
два подпространства,
при этом множество
F
находится в
отрезке получаемый
относительно
,
т.к. для всех
точек
выполняется
неравенство
.
Если считать,
что
-
единичный
вектор,
,
.
опорных
7.
Свойства
опорной функции.
1.
Опорные
функция- положительно
однородная
по переменной
.
.
Это значит что
,.
2.
Для
опорные
функции удовлетворяют
неравенству:
3.
Два
множества
и
,
,
Пусть
матрица A
размера n
на
n,
и
рассмотрим
лин. образ множества
F
при лин. преобразовании
A
и
наз.
.
4.
,где
-матр.
сопряженная
с матр.
.
5.
Опорная
функция положительная
и однородная
по первому
аргументу.
,
.
Пусть
и пользуемся
: 1) условием
однородности:
6.
Пусть
задано множество
и
его опорная
фун.
. Выпуклая оболочка
мн-ва F
,
.
7.
Если
и
A=B,
то опорная
фун..
И наоборот,
если
,то.
Следствие:
Выпуклые мн-ва
равны тогда
и только тогда,
когда равны
их опорные
функции.
8.
Если
и
.
В этом случае
.
Если
,то.
Следствие:
Выпуклые мн-ва
тогда и только
тогда, когда
равны их опорные
функции
.
9.
Пусть
задано множество
,
тогда
.
В обратную
сторону:
,
когда
.
Следствие:
Точка
выпуклому мн-ву
, тогда и только
тогда , когда
.
10.
Пусть
задано множество
,
а
,
тогда
.
.
Следствие:
Пусть задано
множество
,
,
тогда и только
тогда, когда
.
и
если
,
то
.
И наоборот:
Если
,то
.Следствие:
Два вып. Мн-ва
пересекаются
тогда и только
тогда, когда
.
8.
Непрерывные
функции. Условия
Липшица. Лемма
1,2 об условиях
Липшица для
опорных функций.
Пусть
-два
метрических
пространства
с метриками
и
пусть f
отображает
.
f
непрерывна
в точке
,
если
такое
что
Условие
Липшица:
Функция f,
отображающая
,
удовлетворяет
условию Липшица
с const
L
, если для любых
двух точек
,
выполняется
неравенство
,для опорных
функций
,
,
:
Лемма:
Опорная функция
удовлетворяет
условию Липшеца
по f
с const
L=.
Лемма:
Пусть
-
выпуклы, тогда
хаусдорффова
норма
9.
Многозначные
отображения.
Многозначным
отображением
будем называть
функцию
у
которой аргументом
является число,
а значением
некоторые
множества
10.
Непрерывные
и равномерно
непрерывные
многозначные
отображения.
Многозначное
отображение
F(t)
непрерывно
в точке
,
если для
.
Лемма:
Пусть
непрерывное
многозначное
отображение
, когда
непрерывна
по t
при всяком
фиксированном
,
более того
равномерно
непрерывно
по t
.
Если
равномерно
непрерывно
по t
,
то многозначное
отображение
conv
F(t) непрерывно.
11.
Измеримые
многозначные
отображения.
Лемма о равномерной
непрерывности
многозначного
отображения.
Функция
f(t)
отображающая
в
некоторое
метрическое
пр-во
с
метрикой
называется
измеримой, если
праобраз любого
шара
есть
мн-во измеримое.
12.
Интеграл
от многозначного
отображения.
Теорема о
непрерывности
от многозначного
отображения.
F-многозначное
отображение,
такое что F:
I,
где
,
-замкнутое,
ограниченное,
не пустое, компактное
множество.
Интегралом
от многозначного
отображения
на отрезке I
называется
множество G
(G)
вида:
.
Это мн-во значений
интеграла по
всем однозначным
ветвям отображения
F(t)
.
Теорема
3:
Пусть многозначное
отображение
F(t)
измеримо и
удовлетворяет
условию:
,
где k(t)-
скалярная
функция, интегрируемая
по Лебегу на
отрезке I и
измерима, тогда
непрерывна
на отр. I
.
Опорная
функция
,
где
F,
.
13.
Теоремы
1, 2 о других видах
многозначных
отображений.
F-многозначное
отображение,
такое что F:
I,
где
,
-замкнутое,
ограниченное,
не пустое, компактное
множество.
Интегралом
от многозначного
отображения
на отрезке I
называется
множество G
(G)
вида:
.
Это мн-во значений
интеграла по
всем однозначным
ветвям отображения
F(t)
.
Теорема
1:
Пусть
многозначное
отображение
F(t)
измеримо и
удовлетворяет
условию:
,
где k(t)-
скалярная
функция, интегрируемая
по Лебегу на
отрезке I и
измерима, тогда
G является
не пустым, компактным
множеством
в пространстве
,
и
выпукло.
Теорема
2 :
Пусть
многозначное
отображение
F(t)
измеримо и
удовлетворяет
условию:
,
где k(t)-
скалярная
функция, интегрируемая
по Лебегу на
отрезке I и
измерима, тогда
опорная функция
.
14.
Линейная задача
быстродействия.
Определение
абс. непрерывной
функции. Теорема
Каратеодори.
Рассматриваем
динамический
объект, поведение
которого описывается
системой (1)
,
x-
n-мерный
вектор,
,
A-матрица
nxn,
u
имеет ту же
размерность,
что
и
,
.Задано
,
u:
I
и полагается,
что u(t)
измеримо
и
-
где
k(t)
скалярная
функция интегрируемая
по Лебегу на
отрезке I .Функция
u(t)-
называется
допустимым
управлением,
если измерима
и является
однозначной
ветвью
(2)
u(t)U(t)
-
ограничения
на управления
. В фазовом
пространстве
заданы
два не пустых
множества
.
Допустимое
управление
u(t)
на отр.I
осуществляете
переход из
начального
мн-ва
в конечное
множество
,
если существует
решение уравнения
(1), удовлетворяющее
граничным
условиям (4)
и
.
Цель управления-
перевод динамический
объекта из
в
,
а качество
определяет
функционал.
Таким функционалом
явл. время,
следовательно
задача
быстродействия
заключается
в нахождении
такого допустимого
управления,
которое осуществляет
переход из
множества
в
за
наименьшее
время.
(4).
Рассмотрим
систему линейных
дифференциальных
уравнений:
,
,
где u
известное .
Решение задачи
Коши записывается
в виде:
,
оно справедливо,
если u-
непрерывная.
Вычислим
(это
следует из
).
Определение:
Функцию x(t)
наз. абсолютно
непрерывной
на отр. I,
если ее производная
существует
для почти всех
t,
принадлежащих
I, интегрируемая
по Лебегу производная
и
выполняется
условие:
.
Если
имеем измеримое
допустимое
управление
u(t), то решение
системы (1) также
можно определить
с помощью формулы
Коши, но в этом
случае x(t) не
будет непрерывно
дифференцируема,
а будет абсолютно
непрерывной.
Теорема
Каратеородори:
Если функция
u(t)
интегрируемая
по Лебегу на
отр. I,
то для любого
начального
значения
существует
и при том единое
абс. непрерывное
решение задачи
Коши, которая
задается
формулой
Коши.
15.
Множество
достижимости
и его свойства.
Рассматриваем
динамический
объект, поведение
которого описывается
системой (1)
,
x-
n-мерный
вектор,
,
A-матрица
nxn,
u
имеет ту же
размерность,
что
и
,
.Задано
,
u:
I
и полагается,
что u(t)
измеримо
и
-
где
k(t)
скалярная
функция интегрируемая
по Лебегу на
отрезке I .Функция
u(t)-
называется
допустимым
управлением,
если измерима
и является
однозначной
ветвью (2) u(t)U(t)-
ограничения
на управления
. В фазовом
пространстве
заданы
два не пустых
множества.
Допустимое
управление
u(t)
на отр.I
осуществляете
переход из
начального
мн-ва
в конечное
множество
,
если существует
решение уравнения
(1), удовлетворяющее
граничным
условиям (4)
и
.
Цель управления-
перевод динамический
объекта из
в
,
а качество
определяет
функционал.
Таким функционалом
явл. время,
следовательно
задача
быстродействия
заключается
в нахождении
такого допустимого
управления,
которое осуществляет
переход из
множества
в
за
наименьшее
время.
(4).
Введем
понятия мн-ва
достижимости:
-это
множество все
точек фазового
пространства
,
в котором можно
перейти на
отр.
из начального
множества
по
решениям (1) при
всех допустимых
значениях
управления
u(t)
в
момент времени
.
Рассмотрим
свойства
множества
достижимости:
1)
Используем
формулу Коши:
,
-интеграл
от многозначного
отображения.
Доказательство
непосредственно
подставлением
в
уравн (1).
2)
Множество
достижимости
является не
пустым, компактным
подмножеством
пр-ва
.
.
Доказательство
следует из
формулы Коши
и 1-ой теоремы
для интеграла
многозначных
отображений.
3)
Если начальное
множество
выпукло,
то множество
достижимости
также
выпукло. Доказательство
следует из
формулы
и теоремы о
выпуклости
интеграла от
многозначного
отображения.
4)
Опорная функция
множества
достижимости
имеет вид:
,
u(s)=U. Доказательство
следует из
формулы
,
свойств (3), (4) опорных
функций , теоремы
2 и того факта,
что
.
Доказательство:
.
5)
Мн-во
достижимости:
:
Iнепрерывно
зависит от
аргумента
.
Множество
достижимости
имеет вид :
-непрерывна
по теореме 3,
матрица
также
непрерывна
по
,
следовательно
линейное отображение
непрерывная
функция.
Пример:
Найти мн-во
достижимости
для управляемого
объекта, описываемого
уравнением:.
,
и
,
I.
,,
,
,
,
.
,
.
16.
Общая
задача управляемости.
Теорема об
управляемости.
Рассмотрим
вопрос:
«Оптимален
ли объект?»
Рассматриваем
динамический
объект, поведение
которого описывается
системой (1)
,
x-
n-мерный
вектор,
,
A-матрица
nxn,
u
имеет ту же
размерность,
что
и
,
.Задано
,
u:
I
и полагается,
что u(t)
измеримо
и
-
где
k(t)
скалярная
функция интегрируемая
по Лебегу на
отрезке I .Функция
u(t)-
называется
допустимым
управлением,
если измерима
и является
однозначной
ветвью из
многозначного
отображения
U
(2) u(t)U(t)-
ограничения
на управления
. В фазовом
пространстве
заданы
два не пустых
множества.
Допустимое
управление
u(t)
на отр.I
осуществляете
переход из
начального
мн-ва
в конечное
множество
,
если существует
решение уравнения
(1), удовлетворяющее
граничным
условиям (4)
и
.
Цель управления-
перевод динамический
объекта из
в
,
а качество
определяет
функционал.
Таким функционалом
явл. время,
следовательно
задача
быстродействия
заключается
в нахождении
такого допустимого
управления,
которое осуществляет
переход из
множ
в
за
наименьшее
время.
(4).
Задача
управления-
решение вопроса
:
существует
хотя бы одно
допустимое
управление
u(t)
, переводящий
динамический
объекта из
в
,
на отр. времени
I.
Это соответствует
решению краевой
задачи:
,
.
Определим
таким
образом.
Теорема
об уравляемости.Если
и
выпуклы,
то объект явл.
управляемым
на отр. I
из мн-ва
в
,
тогда и только
тогда, когда
для
Док-во:
Очевидно, объект
управляем тогда
и только тогда,
когда множество
достижимости
и
пересекаются.
Т.к.
и
выпуклы,
то для него
применим следствие
из 11 св-ва опорных
фун-ий
().
,;
;
Bocпользуемся
еще одним св-ом
опрных функий:
если
-
невырожденная
матрица, то
можно воспользоваться
св-вом , что
:
.
В
силу положительной
опорной фун-ии
относительно
аргумента
, получаем, что
это верно
.
Теорема
док-на, т.к. левая
часть неравенства
и есть
.
17.Численное
решение задачи
управляемости.
Объект
управляем на
I=,
если выполняется
.
Если множнство
,,
таковы
что аналитически
невозможно
получить значение
опорной функции
u
Вычисление
матрицы
и интеграл,
тогда задача
решается с
применением
ЭВМ. На ЭВМ решается
для конечного
числа
.
Для этого сфера
покрывается
-сетью.
В двумерном
пространстве
-сеть
определяется
углом
.
В трехмерном
пространстве
-сеть
определяется
двумя углами.
Пусть
некоторая
-сеть
некоторой
единичной сферы
S,
где
-конечное
множество.
Какой бы вектор
,
найдется
,
такой что
.
Пусть
вычислимое
приближенное
значение
в точках
-сети.
,
.
Необходимо,
чтобы
-
в этом случае
говорим, что
объект
-управляем
и при этом
.
Отсюда имеем
следующее
.
Если
,
то
-объект
E-управляем.
Если
-объект
не управляем.
Если
,
то в этом случае
неопределенность.
Выясним вопрос
о погрешности.и
-погрешность
для вычисления
опорной функций
и
.-
погрешность
для вычисления
.
По условию
Липшица
,
.
Используем
эти формулы
, получим следующие
погрешности:
- погрешность
для вычисления
-предполагается,
что она интегрируема
по Лебегу.
-это
вычисление
интеграла
.
-
погрешность
для вычисления
.
-погрешность
вычисления
минимума функций.
,
.
+++++++
18.
Лемма
о внутренней
точке.
Пусть
А- квадратичная
матрица размера
nxn
, V-произвольный
вектор пр-ва,
отрезок I=.
Тогда
,
тогда
и только тогда
, когда векторы
линейно
независимы.
Под
интегралом-
многозначное
отображения,
интеграл от
многозначного
отображения
– тоже многозначное
отображения.
Доказательство
:
Обозначим F=.
По свойствам
опорной функции
для того чтобы
нужно,
чтобы выполнялось
условие
,
.
=
==
==.Т.к.
подынтегральная
функция непрерывна
и неотрицательна,
то условие
,
выполняется
тогда и только
тогда, когда
на
интервале I
. Покажем, что
для этого необходимо
и достаточно,
чтобы векторы
были
лин. независимы.
Необходимость:
(доказательство
от противного)
эквивалентно
,
-лин.независимы
.Предположим,
что векторы
лин. зависимы.
Для 3-х векторов
:
;
-
лежат в одной
плоскости,
;
.
Тоже самое для
n-
векторов:
,
Пришли
к противоречию,
необходимость
доказана.
Достаточность:
(от противного)
Если
векторы линейно
независимы,
то
такой, что
,
.
Продифференцируем
n-1
раз:0=
.Отсюда
следует:
,
где
-
невырожденная
матрица,
-не нулевой
вектор и
,
а это означает,
что векторы
лин.зависимы
.Получили
противоречие.
перпендикуярен
.
19.
Локальная
управляемость.
Теорема о локальной
управляемости..
Рассматриваем
динамический
объект, поведение
которого описывается
системой (1)
,
x-
n-мерный
вектор,
,
A-матрица
nxn,
u
имеет ту же
размерность,
что
и
,
.Задано
,
u:
I
и полагается,
что u(t)
измеримо
и
-
где
k(t)
скалярная
функция интегрируемая
по Лебегу на
отрезке I .Функция
u(t)-
называется
допустимым
управлением,
если измерима
и является
однозначной
ветвью из
многозначного
отображения
U
(2) u(t)U(t)-
ограничения
на управления
. В фазовом
пространстве
заданы
два не пустых
множества.
Допустимое
управление
u(t)
на отр.I
осуществляете
переход из
начального
мн-ва
в конечное
множество
,
если существует
решение уравнения
(1), удовлетворяющее
граничным
условиям (4)
и
.
Цель управления-
перевод динамический
объекта из
в
,
а качество
определяет
функционал.
Таким функционалом
явл. время,
следовательно
задача
быстродействия
заключается
в нахождении
такого допустимого
управления,
которое осуществляет
переход из
множества
в
за
наименьшее
время.
(4).
Предположим,
что
,
а мн-во
-произвольные
точки
из
окрестности
.
Сделаем
линейную замену:,где
-функции,
получим
,
,
где
,,
поэтому вместо
точки
можно
рассматривать
т.0 и будем говорить
о локальной
управляемости
в т.0. Т.е. если
объект локально
управляем в
т.0, то он локально
управляем в
любой точки
.
Определение:
Объект
наз. локально
управляем в
т.
=0
на отр.I
, если
объект явл.
Управляемым
на отр.I
из т..
Для
решения задачи
применим теорему
об управляемости,
но для конкретной
местности.
Исходя из теоремы
об управляемости,
объект явл.
управляемым
из
в
на I
, если
>=0.
20.
Теорема о локальной
управляемости.
(дает достаточное
условие локальной
управляемости)
Если
вектор
и выполняются
два условия:
1),
;
2)
-лин.
независимы,
тогда объект
явл. локально
управляем в
точке x=0
на отр. I.
Доказательство:
В силу определения
локальной
управляемости
выполняется
условие
.
,
получим (1)
.
Покажем, что
,
такое , что
выполняется
(1)
и
.
По предположению
теоремы 1) выполняется
,
получим
.
Сделаем оценку
для левой части
неравенства.
Оценим интеграл:
,
т.к.
и выполняется
2) , то 0 явл. внутренней
точкой интеграла:,
а это означает,
что опорная
функция >0,
.
Из свойств
опорной функции
следует, что
опорная функция
непрерывна
по
.
Если опорная
функция непрерывна,
>0,
и S
–компактное,
это означает,
что
,
такое что ,
,
.
Т.о. оценили
левую часть
неравенства
(1), покажем , что
для правой
части , которая
зависит от
,
по этому
можно
найти
.
Покажем
, что
.
Оценим
,
отсюда имеем
.
,,
а это значит
,
объект
локально управляем
в точке x=0.
21.
Теорема
о существовании
оптимального
управления.
Если
объект является
управляемым
из множества
на отр.
,
то существует
переводящее
объект из
за время
-
оптимально
управляем.
Рассмотрим
-множество всех
допустимых
управлений,
переводящих
объект из
.
Т.к. объект является
управляемым
, то
.
Обозначим через
попадания
фазового вектора
на
множестве
,
т.е.
.
Следовательно
за меньшее
невозможно
перейти.
Докажем,
что
,
переводящее
объект из
за
,
при этом
считается
фиксированым.
Т.к.
,
то
последовательность
перехода,
сходящаяся
к
.
удовлетворяет
мн-во достижимости
(пустое
мн-во). Пусть
для
.
Т.к. множество
замкнуто
и ограничено,
то из
можно
выбрать
подпоследовательность
.
Пусть
дано
.
Т.к.
сходящаяся
к.
Т.о.
.
Множество
непрерывно
по аргументу
,
т.е. начиная с
какого-то номера
.
.
Т.к.
произвольная,
а мн-во
компактно,
то
.
Т.к.
и
,
то это обозначает,
что
(пустое мн-во)
и это означает,
что
,
переводящее
объект из
за
.
И т.к.
,
то
-
оптимальное
управление.
Теорема док-на.
22.
Принцип максимума
Понтрягина
на языке опорных
функций.
Рассматриваем
динамический
объект, поведение
которого описывается
системой (1)
,
x-
n-мерный
вектор,
,
.Задано
,
u:
I
и полагается,
что u(t)
измеримо
и
-
где
k(t)
скалярная
функция интегрируемая
по Лебегу на
отрезке I .
В фазовом
пространстве
заданы
два не пустых
множества.
Допустимое
управление
u(t)
на отр.I
осуществляете
переход из
начального
мн-ва
в конечное
множество
,
если существует
решение уравнения
(1), удовлетворяющее
граничным
условиям
и
.
Цель управления-
перевод динамический
объекта из
в
,
а качество
определяет
функционал.
Таким функционалом
явл. время,
следовательно
задача быстродействия
заключается
в нахождении
такого допустимого
управления,
которое осуществляет
переход из
множества
в
за
наименьшее
время.
(4).
,
где
-ненулевая
вектор-функция.
,
.
Если
-оптимальное
управление,
переводящее
,
то
.
Для
нашей задачи
:
.
удовлетворяет
принципу максимума
Понтрягина
на
,
если существует
не нулевая
вектор -функция.
,
удовлетворяющая
системе
с
нач. условием
,
такая что выполняется
условие:
-здесь
достигается
максимум.
2);
3).
Теорема
о необходимых
условиях
оптимальности.
Если в линейной
задаче быстродействия
мн-ва
выпуклы,
-оптимальное
управление,
переводящее
на
отр.
,
а
-соответствующая
траектория,
то пара
удовлетворяет
принципу максимума
Понтрягина.
23.
Применение
необходимых
условий
оптимальности(схема
и пояснения
к ней).
Рассматриваем
динамический
объект, поведение
которого описывается
системой (1)
,
x-
n-мерный
вектор,
,
A-матрица
nxn,
u
имеет ту же
размерность,
что
и
,
.Задано
,
u:
I
и полагается,
что u(t)
измеримо
и
-
где
k(t)
скалярная
функция интегрируемая
по Лебегу на
отрезке I .Функция
u(t)-
называется
допустимым
управлением,
если измерима
и является
однозначной
ветвью из
многозначного
отображения
U
u(t)U(t)
-
ограничения
на управления
. В фазовом
пространстве
заданы
два не пустых
множества
,
-выпуклы.
Допустимое
управление
u(t)
на отр.I
осуществляете
переход из
начального
мн-ва
в конечное
множество
,
если существует
решение уравнения
(1), удовлетворяющее
граничным
условиям
и
.
Цель управления-
перевод динамический
объекта из
в
,
а качество
определяет
функционал.
Таким функционалом
явл. время,
следовательно
задача
быстродействия
заключается
в нахождении
такого допустимого
управления,
которое осуществляет
переход из
множества
в
за
наименьшее
время..
Пусть
оптимальное
управление,
-соответствующая
траектория,
переводящая
за
время I
. И
-
ненулевая
функция, такая
что
(2).
1)(3);
2)(4);
3)(5)
Найти
:
24.
Достаточное
условие оптимальности.
(
Вначале написать
вопрос «Применение
необходимых
условий оптимальности(схема
и пояснения
к ней»)
Для
линейной задачи
существует
дост. условие.
Для этого необходимо
выполнение
дополнительных
условий: усиление
условия трансверсальности
4) решение
удовлетворяет
усиленному
условию трансверсальности
на
на
отр.,
если для
(6).
Достаточное
условие: если
допустимое
управление,
-соответствующая
траектория,
переводящая
за
время I
и пара
удовлетворяет
принципу максимума
Понтрягина
(2-5) и усиленному
условию трансверсальности
(6), то
-
оптимальное
управление.
Следствие
из теоремы
достаточного
условия трансверсальности.
Используем
локальную
управляемость:
.Если
некоторое
допустимое
управление,
а
-
соответствующее
решение (1), переводящее
за время I,
удовлетворяет
принципу максимума
Понтрягина
и объект явл.
локально управляемым
в т.0 на любом
отр.,
то управление
-
оптимально.
25.
Единственность
оптимального
управления
для линейной
задачи.
(
В начале написать
вопрос «Применение
необходимых
условий оптимальности(схема
и пояснения
к ней)»)
При
решении с
использованием
принципа максимума
Понтрягина
в пунктах 3,4
нарушается
единственность.
При выборе
из
условия 4 и выборе
из условия (3).
Пусть задана
и
сопряженная
функция
удовлетворяющая
системе (2), если
опорная функцияявляется
дифференцируемой
по
в точке
,
т.е. в этой точке
существует
градиент функции
и
для почти всех
дифференцируемая
по
,
то соответствующая
пара
,
удовлетворяющая
принципу максимума
Понтрягина,
является
единственной.
Следствие:
Если мн-во
и
строго выпуклы
для почти всех
t
, принадлежащих
I,
тогда для любого
начального
значения
,
соответствующая
пара
,
удовлетворяющая
принципу максимума
Понтрягина,
является
единственной.
|