Уравнение Кортевега - де Фриса, солитон, уединенная волна

Содержание

1. Введение	3
1.1. Волны в природе	3
1.2. Открытие уединенной волны	4
1.3. Линейные и нелинейные волны	5
2. Уравнение Кортевега - де Фриса	8
2.1. Солитоны Кортевега - де Фриса	10
2.2. Групповой солитон	13
3. Постановка задачи	15
3.1. Описание модели	15
3.2. Постановка дифференциальной задачи.	15
4. Свойства уравнения Кортевега - де Фриза	16
4.1. Краткий обзор результатов по уравнению КдФ	16
4.2. Законы сохранения для уравнения КдФ	17
5. Разностные схемы для решения уравнения КдФ	19
5.1. Обозначения и постановка разностной задачи.	19
5.2. Явные разностные схемы (обзор)	21
5.3 Неявные разностные схемы (обзор).	23
6.Численное решение	25
7. Заключение	26
8. Литература	27

1. Введение

1.1. Волны в природе

Из школьного курса физики [1] хорошо извест­но, что если в какой-либо точке упругой среды (твердой, жидкой или газообразной) возбудить ко­лебания, то они будут передаваться в другие места. Эта передача возбуждений обусловлена тем, что близкие участки среды связаны друг с другом. При этом колебания, возбужденные в одном месте, рас­пространяются в пространстве с определенной ско­ростью. Волной принято называть процесс передачи возбуждений среды (в частности, колебательного процесса) от одной точки к другой.

Природа механизма распространения волны может быть различной. В простейшем случае связи между участками в среде могут быть обусловлены силами упругости, которые возникают из-за дефор­маций в среде. При этом в твердой упругой среде могут распространяться как продольные волны, при которых смещения частиц среды осуществля­ются в направлении распространения волны, так и поперечные волны, у которых смещения частиц перпендикулярны распространению волны. В жид­кости или газе в отличие от твердых тел нет сил со­противления сдвигу, поэтому могут распространять­ся только продольные волны. Хорошо известный пример продольных волн в природе — звуковые вол­ны, которые возникают из-за упругости воздуха.

Среди волн иной природы особое место занима­ют электромагнитные волны, передача возбужде­ний у которых происходит из-за колебаний элект­рического и магнитного полей. Среда, в которой распространяются электромагнитные волны, как правило, оказывает существенное влияние на про­цесс распространения волн, однако электромагнит­ные волны в отличие от упругих могут распростра­няться даже в пустоте. Связь между различными участками в пространстве при распространении та­ких волн обусловлена тем, что изменение электри­ческого поля вызывает появление магнитного поля и наоборот.

С явлениями распространения электромагнит­ных волн мы часто сталкиваемся в нашей повседнев­ной жизни. К этим явлениям относятся радиоволны, применение которых в технических приложениях общеизвестно. В этой связи можно упомянуть рабо­ту радио и телевидения, которая основана на прие­ме радиоволн. К электромагнитным явлениям, только в другом частотном диапазоне, относится также свет, с помощью которого мы видим окружа­ющие нас предметы.

Очень важным и интересным типом волн яв­ляются волны на поверхности воды. Это один из распространенных видов волн, который каждый наблюдал еще в детстве и который обычно демон­стрируется в рамках школьного курса физики. Од­нако, по выражению Ричарда Фейнмана [2], "более неудачного примера для демонстрации волн приду­мать трудно, ибо эти волны нисколько не похожи ни на звук, ни на свет; здесь собрались все труднос­ти, которые могут быть в волнах".

Если рассмотреть достаточно глубокий бассейн, наполненный водой, и на его поверхности создать некоторое возмущение, то по поверхности воды начнут распространяться волны. Возникновение их объясняется тем, что частицы жидкости, которые находятся вблизи впадины, при создании возмуще­ния будут стремиться заполнить впадину, находясь под действием силы тяжести. Развитие этого явле­ния со временем и приведет к распространению волны на воде. Частицы жидкости в такой волне двигаются не вверх-вниз, а приблизительно по ок­ружностям, поэтому волны на воде не являются ни продольными, ни поперечными. Они как бы смесь тех и других. С глубиной радиусы окружностей, по которым двигаются частицы жидкости, уменьша­ются до тех пор, пока они не станут равными нулю.

Если анализировать скорость распространения волны на воде, то оказывается, что она зависит от ее длины. Скорость длинных волн пропорциональна корню квадратному из ускорения свободного паде­ния, умноженному на длину волны. Причиной воз­никновения таких волн является сила тяжести.

Для коротких волн восстанавливающая сила обусловлена силой поверхностного натяжения, и потому скорость таких волн пропорциональна кор­ню квадратному из частного, в числителе которого стоит коэффициент поверхностного натяжения, а в знаменателе — произведение длины волны на плот­ность воды. Для волн средней длины волны ско­рость их распространения зависит от перечислен­ных выше параметров задачи [2]. Из сказанного ясно, что волны на воде и в самом деле довольно сложное явление.

1.2. Открытие уединенной волны

Волны на воде издавна привлекали к себе вни­мание исследователей. Это связано с тем, что они представляют собой широко известное явление в природе и, кроме того, сопровождают перемещение судов по воде.

Любопытную волну на воде наблюдал шотланд­ский ученый Джон Скотт Рассел в 1834 году. Он за­нимался исследованием перемещения по каналу баржи, которую тянула пара лошадей. Неожиданно баржа остановилась, но масса воды, которую баржа привела в движение, не остановилась, а собралась у носа судна, а затем оторвалась от него. Далее эта масса воды покатилась по каналу с большой скоро­стью в виде уединенного возвышения, не меняя своей формы и не снижая скорости.

На протяжении всей жизни Рассел неоднократ­но возвращался к наблюдению за этой волной, по­скольку верил, что открытая им уединенная волна играет важную роль во многих явлениях в природе. Он установил некоторые свойства этой волны. Во-первых, заметил, что она движется с постоянной скоростью и без изменения формы [3]. Во-вторых, нашел зависимость скорости С
этой волны от глу­бины канала h
и высоты волны а:

где g
—
ускорение свободного падения, причем a
<
h
.
В-третьих, Рассел обнаружил, что возможен распад одной большой волны на несколько волн. В-четвер­тых, он отметил, что в экспериментах наблюдаются только волны возвышения. Однажды он также обра­тил внимание, что открытые им уединенные волны проходят друг через друга без каких-либо измене­ний
, как и малые волны, образованные на поверхно­сти воды. Однако на последнее очень важное свой­ство он не обратил существенного внимания.

Работа Рассела, опубликованная в 1844 году как "Доклад о волнах", вызвала осторожную реакцию в среде ученых. На континенте ее не заметили сов­сем, а в самой Англии на нее обратили внимание Г.Р. Эйри и Дж.Г. Стоке. Эйри подверг критике ре­зультаты экспериментов, которые наблюдал Рассел. Он отмечал, что из теории длинных волн на мелкой воде выводы Рассела не получаются, и утверждал, что длинные волны не могут сохранять неизменную форму. И в конечном итоге подверг сомнению пра­вильность наблюдений Рассела. Один из основате­лей современной гидродинамики, Джордж Габриэль Стоке, также не согласился с результатами наблюде­ний, полученными Расселом, и критически отнесся к факту существования уединенной волны.

После столь негативного отношения к откры­тию уединенной волны долгое время о ней просто не вспоминали. Определенную ясность в наблюде­ния Рассела внесли Дж. Буссинеск (1872 год) и Дж.У. Рэлей (1876 год), которые независимо друг от друга нашли аналитическую формулу для возвыше­ния свободной поверхности на воде в виде квадрата гиперболического секанса и вычислили скорость распространения уединенной волны на воде.

Позже опыты Рассела были повторены другими исследователями и получили подтверждение.

1.3. Линейные и нелинейные волны

В качестве математических моделей при описа­нии распространения волн в различных средах час­то используют уравнения в частных производных. Это такие уравнения, которые содержат в качестве неизвестных производные от характеристик рассматриваемого явления. Причем поскольку ха­рактеристика (например, плотность воздуха при распространении звука) зависит от расстояния до источника и от времени, то и в уравнении использу­ются не одна, а две (а иногда и больше) производ­ные. Простое волновое уравнение имеет вид

utt
=
c
2
uxx
(1.1)

Характеристика волны и
в этом уравнении зависит от пространственной координаты х
и времени t
,
а индексы у переменной и
обозначают вторую произ­водную от и
по времени (utt
) и вторую производную от и
по переменной x
(
uxx
).
Уравнение (1) описывает плоскую одномерную волну, аналогом которой мо­жет служить волна в струне. В этом уравнении в ка­честве и
можно принять плотность воздуха, если речь идет, например, о звуковой волне в воздухе. Ес­ли рассматривают электромагнитные волны, то под и
следует понимать напряженность электрического или магнитного поля.

Решение волнового уравнения (1), которое впервые было получено Ж. Д'Аламбером в 1748 го­ду, имеет вид

u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct)
(1.2)

Здесь функции f
и g
находят из начальных условий для и.
Уравнение (1.1) содержит вторую производную от и
по t
,
поэтому для него следует задавать два на­чальных условия: значение и
при t
= 0 и производ­ную и,
при t
= 0.

Волновое уравнение (1.1) имеет очень важное свойство, суть которого заключена в следующем. Оказалось, что если взять два любых решения этого уравнения, то их сумма снова будет решением этого же уравнения. Это свойство отражает принцип су­перпозиции решений уравнения (1.1) и соответствует линейности явления, которое оно описывает. Для нелинейных моделей это свойство не выполняется, что приводит к существенным отличиям протекания процессов в соответствующих моделях. В частности, из выражения для скорости уединенной волны, ко­торую наблюдал Рассел, следует, что ее значение за­висит от амплитуды, а для волны, описываемой уравнением (1.1), такой зависимости нет.

Непосредственной подстановкой в уравнение (1.1) можно убедиться, что зависимость

u(x,t)=a cos(kx-
w
t)
(1.3)

в которой а,
k
и w
— постоянные, при w
=±
k
является решением уравнения (1). В этом решении а —
амплитуда, k
— волновое число, а w
— частота. При­веденное решение представляет собой монохрома­тическую волну, переносимую в среде с фазовой скоростью

cp
=
(1.4)

На практике монохроматическую волну создать трудно, и обычно имеют дело с цугом (пакетом) волн, в котором каждая волна распространяется со своей скоростью, а скорость распространения паке­та характеризуется групповой скоростью

Cg
=
,
(1.5)

определяемой через производную от частоты w
по волновому числу k
.

Определить, с какой (линейной или нелиней­ной) моделью имеет дело исследователь, не всегда легко, но когда математическая модель сформули­рована, то решение этого вопроса упрощается и вы­полнение принципа суперпозиции решений можно проверить.

Возвращаясь к волнам на воде, заметим, что их можно анализировать используя хорошо известные уравнения гидродинамики, о которых известно, что они нелинейны. Поэтому и волны на воде в общем случае являются нелинейными. Только в предель­ном случае малых амплитуд эти волны могут счи­таться линейными.

Отметим, что и распространение звука не во всех случаях описывается линейным уравнением. Еще Рассел при обосновании своих наблюдений по уе­диненной волне отметил, что звук от выстрела пуш­ки распространяется в воздухе быстрее, чем коман­да произвести этот выстрел. Это объясняется тем, что распространение мощного звука описывается уже не волновым уравнением, а уравнениями газо­вой динамики.

2. Уравнение Кортевега - де Фриса

Окончательная ясность в проблеме, которая воз­никла после опытов Рассела по уединенной волне, наступила после работы датских ученых Д .Д. Кортевега и Г. де Фриса, которые попытались разобраться в существе наблюдений Рассела. Обобщив метод Рэлея, эти ученые в 1895 году вывели уравнение для описания длинных волн на воде. Кортевег и де Фрис, используя уравнения гидродинамики, рас­смотрели отклонение и(х,
t
)
от положения равнове­сия поверхности воды при отсутствии вихрей и при постоянстве плотности воды. Сделанные ими на­чальные приближения были естественны. Они так­же предположили, что при распространении волны выполняются два условия для безразмерных пара­метров

e
=
<<1,
d
=
(2.1)

Здесь а —
амплитуда волны, h
—
глубина бассейна, в котором рассматриваются волны, l
— длина волны (рис. 1).

Суть приближений состояла в том, что амплиту­да рассматриваемых волн была много меньше, чем

Рис. 1. Уединенная волна, распространяющаяся по каналу, и ее параметры

глубина бассейна, но в то же время длина волны бы­ла много больше, чем глубина бассейна. Таким образом, Кортевег и де Фрис рассматривали длин­ные волны.

Уравнение, которое было ими получено, имеет вид

ut
+ 6uux
+ uxxx
= 0.
(2.2)

Здесь u
(x,t) -
отклонение от положения равновесия поверхности воды (форма волны) - зависит от ко­ординаты x
и времени t
. Индексы у характеристики u
означают соответствующие производные по t
и по x
.
Это уравнение, как и (1), является уравнением в ча­стных производных. Изучаемая характеристика у него (в данном случае u
)
зависит от пространствен­ной координаты x
и времени t
.

Решить уравнение такого типа - значит найти зависимость u
от x
и t,
после подстановки которой в уравнение мы придем к тождеству.

Уравнение (2.2) имеет волновое решение, извест­ное с конца прошлого века. Оно выражается через специальную эллиптическую функцию, изученную Карлом Якоби, которая носит теперь его имя.

При некоторых условиях эллиптическая функ­ция Якоби переходит в гиперболический секанс и решение имеет вид

u(x,t)=2k2
ch-2
{k(x-4k2
t)+
j
0
}
, (2.3)

где j
0
— произвольная постоянная.

Решение (8) уравнения (7) является предельным случаем бесконечно большого периода волны. Именно этот предельный случай является уединен­ной волной, соответствующей наблюдению Рассела в 1834 году.

Решение (8) уравнения Кортевега— де Фриса яв­ляется бегущей волной. Это означает, что оно зави­сит от координаты x
и времени t
через переменную x
=
x
-
c
0
t
.Эта переменная характеризует положение точки координат, движущейся со скоростью волны с0
, то есть она обозначает положение наблюдателя, который постоянно находится на гребне волны. Та­ким образом, уравнение Кортевега— де Фриса в от­личие от решения Д'Аламбера (1.2) волнового реше­ния (1.1) имеет волну, распространяющуюся лишь в одном направлении. Однако оно учитывает прояв­ление более сложных эффектов вследствие дополнительных слагаемых uux
и uxxx
.

В действительности это уравнение является так­же приближенным, поскольку при его выводе ис­пользованы малые параметры (2.1) e
и
d
.
Если прене­бречь влиянием этих параметров, устремляя их к нулю, мы получим одну из частей решения Д'Алам­бера.

Конечно, при выводе уравнения для длинных волн на воде влияние параметров е и 6 может быть учтено более точно, но тогда получится уравнение, содержащее гораздо больше слагаемых, чем уравне­ние (2.2), и с производными более высокого порядка. Из сказанного следует, что решение уравнения Кортевега-де Фриса для описания волн справедливо только на определенном расстоянии от места обра­зования волны и на определенном промежутке вре­мени. На очень больших расстояниях нелинейные волны уже не будут описываться уравнением Кортевега-де Фриса, и для описания процесса потребует­ся более точная модель. Уравнение Кортевега-де Фриса в этом смысле следует рассматривать как не­которое приближение (математическую модель), со­ответствующее с определенной степенью точности реальному процессу распространения волн на воде.

Используя специальный подход, можно убе­диться, что принцип суперпозиции решений для уравнения Кортевега-де Фриса не выполняется, и поэтому это уравнение является нелинейным и описывает нелинейные волны.

2.1. Солитоны Кортевега - де Фриса

В настоящее время кажется странным, что от­крытие Рассела и его последующее подтверждение в работе Кортевега и де Фриса не получили замет­ного резонанса в науке. Эти работы оказались за­бытыми почти на 70 лет. Один из авторов уравне­ния, Д.Д. Кортевег, прожил долгую жизнь и был известным ученым. Но когда в 1945 году научная общественность отмечала его 100-летний юбилей, то в списке лучших публикаций работа, выполнен­ная им с де Фрисом, даже не значилась. Составите­ли списка сочли эту работу Кортевега не заслужива­ющей внимания. Только спустя еще четверть века именно эта работа стала считаться главным науч­ным достижением Кортевега.

Однако если поразмыслить, то такое невнима­ние к уединенной волне Рассела становится понят­ным. Дело в том, что в силу своей специфичности это открытие долгое время считалось довольно част­ным фактом. В самом деле, в то время физический мир казался линейным и принцип суперпозиции считался одним из фундаментальных принципов большинства физических теорий. Поэтому никто из исследователей не придал открытию экзотичес­кой волны на воде серьезного значения.

Возвращение к открытию уединенной волны на воде произошло в какой-то степени случайно и вна­чале, казалось, не имело к нему никакого отноше­ния. Виновником этого события стал величайший физик нашего столетия Энрико Ферми. В 1952 году Ферми попросил двух молодых физиков С. Улама и Д. Паста решить одну из нелинейных задач на ЭВМ. Они должны были рассчитать колебания 64 гру­зиков, связанных друг с другом пружинками, ко­торые при отклонении от положения равновесия на D
l
приобретали возвращающуюся силу, равную k
D
l
+a
(D
l
)2
. Здесь k
и a
- постоянные коэффициен­ты. При этом нелинейная добавка предполагалась малой по сравнению с основной силой k
D
l
. Созда­вая начальное колебание, исследователи хотели по­смотреть, как эта начальная мода будет распреде­ляться по всем другим модам. После проведения расчетов этой задачи на ЭВМ ожидаемого результа­та они не получили, но обнаружили, что перекачи­вание энергии в две или три моды на начальном этапе расчета действительно происходит, но затем наблюдается возврат к начальному состоянию. Об этом парадоксе, связанном с возвратом начального колебания, стало известно нескольким математи­кам и физикам. В частности, об этой задаче узнали американские физики М. Крускал и Н. Забуски, ко­торые решили продолжить вычислительные экспе­рименты с моделью, предложенной Ферми.

После расчетов и поиска аналогий эти ученые установили, что уравнение, которое использовали Ферми, Паста и Улам, при уменьшении расстояния между грузиками и при неограниченном росте их числа переходит в уравнение Кортевега—де Фриса. То есть по существу задача, предложенная Ферми, сводилась к численному решению уравнения Кор­тевега—де Фриса, предложенного в 1895 году для описания уединенной волны Рассела. Примерно в те же годы было показано, что для описания ионно-звуковых волн в плазме используется также уравне­ние Кортевега—де Фриса. Тогда стало ясно, что это уравнение встречается во многих областях физики и, следовательно, уединенная волна, которая опи­сывается этим уравнением, является широко рас­пространенным явлением.

Продолжая вычислительные эксперименты по моделированию распространения таких волн, Крус­кал и Забуски рассмотрели их столкновение. Оста­новимся подробнее на обсуждении этого замеча­тельного факта. Пусть имеются две уединенные волны, описываемые уравнением Кортевега—де Фриса, которые различаются амплитудами и дви­жутся друг за другом в одном направлении (рис. 2). Из формулы для уединенных волн (8) следует, что скорость движения таких волн тем выше, чем боль­ше их амплитуда, а ширина пика уменьшается с ростом амплитуды. Таким образом, высокие уеди­ненные волны движутся быстрее. Волна с большей амплитудой догонит движущуюся впереди волну с меньшей амплитудой. Далее в течение некоторого времени две волны будут двигаться вместе как еди­ное целое, взаимодействуя между собой, а затем они разъединятся. Замечательным свойством этих-волн является то, что после своего взаимодействия форма и

Рис. 2. Два солитона, описываемые уравнением Кортевега-де Фриса,

до взаимодействия (вверху) и после (внизу)

скорость этих волн восстанавливаются. Обе волны после столкновения лишь смещаются на не­которое расстояние по сравнению с тем, как если бы они двигались без взаимодействия.

Процесс, у которого после взаимодействия волн сохраняются форма и скорость, напоминает упру­гое столкновение двух частиц. Поэтому Крускал и Забуски такие уединенные волны назвали солитонами (от англ. solitary- уединенный). Это специ­альное название уединенных волн, созвучное элек­трону, протону и многим другим элементарным частицам, в настоящее время общепринято.

Уединенные волны, которые были открыты Рас­селом, и в самом деле ведут себя как частицы. Боль­шая волна не проходит через малую при их взаимо­действии. Когда уединенные волны соприкасаются, то большая волна замедляется и уменьшается, а волна, которая была малой, наоборот, ускоряется и подрастает. И когда малая волна дорастает до разме­ров большой, а большая уменьшается до размеров малой, солитоны разделяются и больший уходит вперед. Таким образом, солитоны ведут себя как уп­ругие теннисные мячи.

Дадим определение солитона [4]. Солитоном
на­зывае

тся нелинейная уединенная волна, которая сохраняет свою форму и скорость при собственном движении и столкновении с себе подобными уеди­ненными волнами, то есть представляет собой ус­тойчивое образование. Единственным результатом взаимодействия солитонов может быть некоторый сдвиг фаз.

Открытия, связанные с уравнением Кортевега - де Фриса, не закончились открытием солитона. Следующим важным шагом, имеющим отношение к этому замечательному уравнению, было создание нового метода решения нелинейных уравнений в частных производных. Хорошо известно, что най­ти решения нелинейных уравнений очень сложно. До 60-х годов нашего столетия считалось, что такие уравнения могут иметь только некоторые частные решения, удовлетворяющие специально заданным начальным условиям. Однако уравнение Кортевега—де Фриса и в этом случае оказалось в исключи­тельном положении.

В 1967 году американские физики К.С. Гарднер, Дж.М. Грин, М. Крускал и Р. Миура показали, что решение уравнения Кортевега—де Фриса может быть в принципе получено для всех начальных усло­вий, которые определенным образом обращаются в нуль при стремлении координаты к бесконечности. Они использовали преобразование уравнения Кортевега - де Фриса к системе двух уравнений, называ­емой теперь парой Лакса (по имени американского математика Питера Лакса, внесшего большой вклад в развитие теории солитонов), и открыли новый ме­тод решения ряда очень важных нелинейных урав­нений в частных производных. Этот метод получил название метода обратной задачи рассеяния, по­скольку в нем существенно используется решение задачи квантовой механики о восстановлении по­тенциала по данным рассеяния.

2.2. Групповой солитон

Выше мы говорили, что на практике волны, как правило, распространяются группами. Подобные группы волн на воде люди наблюдали с незапамят­ных времен. На вопрос о том, почему для волн на воде так типичны "стаи" волн, удалось ответить Т. Бенжамену и Дж. Фейеру только в 1967 году. Тео­ретическими расчетами они показали, что простая периодическая волна на глубокой воде неустойчива (теперь это явление называется неустойчивостью Бенжамена—Фейера), и поэтому волны на воде из-за неустойчивости разбиваются на группы. Уравнение, с помощью которого описывается распространение групп волн на воде, было получено В.Е. Захаровым в 1968 году. К тому времени это уравнение уже было известно в физике и носило название нелинейного уравнения Шрёдингера. В 1971 году В.Е. Захаров и А.Б. Шабат показали, что это нелинейное уравне­ние имеет решения также в виде солитонов, более того, нелинейное уравнение Шрёдингера, так же как и уравнение Кортевега—де Фриса, может быть проинтегрировано методом обратной задачи рассея­ния. Солитоны нелинейного уравнения Шрёдинге­ра отличаются от обсуждаемых выше солитонов Кортевега—де Фриса тем, что они соответствуют форме огибающей группы волн. Внешне они на­поминают модулированные радиоволны. Эти солитоны называются групповыми солитонами, а иногда солитонами огибающей. Это название от­ражает сохраняемость при взаимодействии огиба­ющей волнового пакета (аналог штриховой ли­нии, представленной на рис. 3), хотя сами волны под огибающей двигаются со скоростью, отличной от групповой. При этом форма огибающей описывается

Рис. 3. Пример группового солитона (штриховая линия)

зависимостью

a(x,t)=a0
ch-1
()

где аа
-
амплитуда, а l
— половина размера солитона. Обычно под огибающей солитона находится от 14 до 20 волн, причем средняя волна самая большая. С этим связан хорошо известный факт, что самая вы­сокая волна в группе на воде находится между седь­мой и десятой (девятый вал). Если в группе волн об­разовалось большее количество волн, то произойдет ее распад на несколько групп.

Нелинейное уравнение Шрёдингера, как и урав­нение Кортевега— де Фриса, также имеет широкую распространенность при описании волн в различ­ных областях физики. Это уравнение было предло­жено в 1926 году выдающимся австрийским физи­ком Э. Шрёдингером для анализа фундаментальных свойств квантовых систем [4] и первоначально ис­пользовано при описании взаимодействия внут­риатомных частиц. Обобщенное или нелинейное уравнение Шрёдингера описывает совокупность явлений в физике волновых процессов. Например, оно используется для описания эффекта самофоку­сировки при воздействии мощного лазерного луча на нелинейную диэлектрическую среду и для опи­сания распространения нелинейных волн в плазме.

3. Постановка задачи

3.1.
Описание модели.В настоящее время наблюдается значи­тельно возрастающий интерес к исследованию нелинейных волно­вых процессов в различных областях физики (например, в оптике, физике плазмы, радиофизике, гидродинамике и т.д.). Для изучения волн малой, но конечной амплитуды в дисперсионных средах в каче­стве модельного уравнения часто используют уравнение Кортевега-де Фриза (КдФ):

u
t
+ иих
+
b
иххх
= 0
(3.1)

Уравнение КдФ было использовано для описания магнитозвуковых волн, распространяющихся строго поперек магнитного поля или под углами, близкими к .

Основные предположения, которые делаются при выводе уравне­ния: 1) малая, но конечная амплитуда, 2) длина волны велика по сравнению с длиной дисперсии.

Компенсируя действие нелинейности, дисперсия дает возможность формироваться в дисперсионной среде стационарным волнам конеч­ной амплитуды - уединенным и периодическим. Уединенные волны для уравнения КдФ после работы [8] стали называться солитонами [9]. Периодические волны носят название кноидальных волн. Соот­ветствующие формулы для их описания даны в [4].

3.2. Постановка дифференциальной задачи.В работе иссле­дуется численное решение задачи Коши для уравнения Кортевега-де Фриза с периодическими условиями по пространству в прямоуголь­нике QT
={(
t
,
x
):0<
t
<
T
, x
Î
[0,
l
].

u
t
+ иих
+
b
иххх
= 0
(3.2)

u(x,t)|x=0
=u(x,t)|x=l
(3.3)

с начальным условием

u(x,t)|t=0
=u0
(x) (3.4)

4. Свойства уравнения Кортевега - де Фриза

4.1. Краткий обзор результатов по уравнению КдФ.Задача Коши для уравнения КдФ при различных предположениях отно­сительно u
0
(х)
рассматривалась во многих работах [10-17]. Задача о существовании и единственности решения с условиями периодично­сти в качестве краевых условий была решена в работе [10] с помощью метода конечных разностей. Позже, при менее сильных предположе­ниях, существование и единственность были доказана в статье [11] в пространстве L¥
(0,T,Hs
(R1
)), где s>3/2, а в случае периодической задачи - в пространстве L¥
(0,T,H¥
(C))где С - окружность дли­ны, равной периоду, на русском языке эти результаты представлены в книге [12].

Случай, когда не предполагается какая-либо гладкость началь­ной функции u
0
Î
L
2
(
R
1
)
, рассмотрен в работе [13]. Там вводит­ся понятие обобщенного решения задачи (3.2),(3.4), устанавливает­ся существование обобщенного решения и(
t
,х)
Î
L
¥
(0,
T
,
L
2
(
R
1
))
в случае произвольной начальной функции u0
Î
L
2
(
R
1
)
; при этом и(
t
,х)
Î
L
2
(0,Т;H-1
(-
r
,
r
))
для любого r>0
, и если для некото­рого a
> 0 (
x
a
u
0
2
(
x
))
Î
L
1
(0,+
¥
)
, то

(4.1)

Используя обращение линейной части уравнения при помощи фун­даментального решения G
(t,x)
соответствующего линейного опера­тора , вводится класс корректности задачи (3.2),(1.4) и уста­навливаются теоремы единственности и непрерывной зависимости решений этой задачи от начальных данных. Также исследуются во­просы регулярности обобщенных решений. Одним из основных ре­зультатов является достаточное условие существования непрерыв­ной по Гельдеру при t
> 0
производной в терминах существования моментов для начальной функции, для любых k
и l
.

Задача Коши для уравнения КдФ исследовалась также методом обратной задачи рассеяния, предложенном в работе [14]. При по­мощи этого метода были получены результаты о существовании и гладкости решений при достаточно быстро убывающих начальных функциях, причем в [15] установлен, в частности, результат о раз­решимости задачи (3.2),(3.4) в пространстве C
¥
(О, Т; S(R1
))
.

Наиболее полный обзор современных результатов по уравнению КдФ можно найти в [16].

4.2. Законы сохранения для уравнения КдФ.
Как известно, для уравнения КдФ существует бесконечное число законов сохране­ния. В работе [17] приводится строгое доказательство этого факта. В работах [11], [12] различные законы сохранения применялись для до­казательства нелокальных теорем существования решения задачи (3.2),(3.4) из соответствующих пространств.

Продемонстрируем вывод первых трех законов сохранения для за­дачи Коши на R1
и периодической задачи.

Для получения первого закона сохранения достаточно проинте­грировать уравнения (3.2) по пространственной переменной. Полу­чим:

отсюда и следует первый закон сохранения:

Здесь в качестве a
и b
выступают +¥ и -¥ для задачи Коши и границы основного периода для периодической задачи. Поэтому второе и третье слагаемые обращаются в 0.

(4.2)

Для вывода второго закона сохранения следует умножить уравне­ние (3.2) на 2
u
(t,x)
и проинтегрировать по пространственной пере­менной. Тогда, используя формулу интегрирования по частям полу­чим:

но в силу "краевых" условий все слагаемые кроме первого опять сокращаются

Таким образом второй интегральный закон сохранения имеет вид:

(4.3)

Для вывода третьего закона сохранения нужно умножить наше уравнение (3.2) на (и2
+ 2
b
ихх
),
таким образом получим:

После применения несколько раз интегрирования по частям тре­тий и четвертый интегралы сокращаются. Второе и третье слагае­мые исчезают из-за граничных условий. Таким образом из первого интеграла получаем:

что эквивалентно

(4.4)

А это и есть третий закон сохранения для уравнения (3.2). Под физическим смыслом первых двух интегральных законов со­хранения в некоторых моделях можно понимать законы сохранения импульса и энергии, для третьего и последующих законов сохране­ния физический смысл охарактеризовать уже труднее, но с точки зрения математики эти законы дают дополнительную информацию о решении, которая используется потом для доказательств теорем существования и единственности решения, исследования его свойств и вывода априорных оценок.

5. Разностные схемы для решения уравнения КдФ

3.1. Обозначения и постановка разностной задачи.
В области ={(
x
,
t
):0
£
x
£
l
,0
£
t
£
T
}
обычным образом введем равномерные сетки, где

Введем линейное пространство W
h
сеточных функций, определен­ных на сетке со значениями в узлах сетки yi
=
yh
(
xi
).
Пред­полагается, что выполнены условия периодичности y
0
=
yN
.
Кроме того, формально полагаем yi
+
N
=
yi
для i
³
1
.

Введем скалярное произведение в пространстве W
h

(5.1)

Снабдим линейное пространство П/г нормой:

Поскольку в пространство W
h
входят периодические функции, то это скалярное произведение эквивалентно скалярному произведе­нию:

Будем строить разностные схемы для уравнения (3.2) на сетке с периодическими краевыми условиями. Нам потребуются обозна­чения разностных аппроксимаций. Введем их.

Используем стандартные обозначения для решения уравнения на очередном (n-м) временном слое, то есть

Введем обозначения для разностных аппроксимаций производных. Для первой производной по времени:

Аналогично для первой производной по пространству:

Теперь введем обозначения для вторых производных:

Третью пространственную производную будем аппроксимировать следующим образом:

Также нам потребуется аппроксимация у2
, которую мы обозначим буквой Q
и введем следующим образом:

(5.2)

Для записи уравнения на полу целых слоях будем использовать уравновешенную аппроксимацию, т.е.

за исключением аппроксимации у2
на полу целом слое. Приведем одну из возможных аппроксимаций у2
на полу целом слое:

Замечание
2. Стоит отметить, что для
1
выполняется равенство:

Определение 1.Следуя [19] разностную схему для уравнения КдФ будем называть консервативной, если для нее имеет место сеточ­ный аналог первого интегрального закона сохранения, справедливо­го для дифференциальной задачи.

Определение 2.Следуя [19] разностную схему для уравнения КдФ будем называть L2
-консервативной, если для нее имеет место сеточ­ный аналог второго интегрального закона сохранения, справедливо­го для дифференциальной задачи.

5.2. Явные разностные схемы (обзор).
При построении раз­ностных схем будем ориентироваться на простейшую разностную схему из работы [19] для линеаризованного уравнения КдФ, кото­рое сохраняет свойства самого уравнения КдФ в смысле двух первых законов сохранения.

(5.3)

Исследуем теперь схему (5.4) на свойства консервативности. Вы­полнение первого закона сохранения очевидно. Достаточно просто умножить это уравнение скалярно на 1. Тогда второе и третье сла­гаемые схемы (5.4) дадут 0, а от первого останется:

(5.4)

Это сеточный аналог первого закона сохранения.

Для вывода второго закона сохранения умножим скалярно урав­нение (5.3) на 2
t
у.
Приходим к энергетическому тождеству

(5.5)

Наличие отрицательного дисбаланса говорит не только о невыпол­нении соответствующего закона сохранения, но и ставит под сомне­ние вопрос вообще об устойчивости схемы в наиболее слабой норме L
2
().
)- В работе [15] показано, что схемы семейства (3.18) являются абсолютно неустойчивыми в норме L
2
().

Другим примером явной двухслойной схемы является двух шаговая схема Лакса-Вендрофа [20].Это схема типа предиктор-корректор:

В данный момент наиболее популярными схемами для уравнения КдФ считаются трехслойные схемы ввиду их простоты, точности и удобства реализации.

(5.6)

Эту же схему можно представить в виде явной формулы

(5.7)

Самой простой трехслойной схемой является следующая схема:

Эта схема была использована при получении первых численных решений КдФ [8]. Эта схема аппроксимирует дифференциальную задачу с порядком О (t2
+ h2
). Согласно [21], схема является устой­чивой при выполнении условия (при малых Ь):

Приведем еще несколько схем. Трехслойная явная схема с поряд­ком аппроксимации O
(
t
2
+
h
4
)
[20]:

Третья производная по пространству аппроксимируется на семи­точечном шаблоне, а первая строится по пяти точкам. Согласно [21], эта схема устойчива при выполнении условия (при малых h
):

Легко видеть, что для этой схемы с более высоким порядком ап­проксимации условие устойчивости является более жестким.

В работе [19] предлагается следующая явная разностная схема с порядком аппроксимации О(t2
+ h2
) :

(5.8)

Так как разностное уравнение (5.8) можно записать в дивергент­ном виде

(5.9)

то, скалярно умножив уравнение (5.9) на 1, получим

следовательно, выполняется соотношение:

которое можно считать сеточным аналогом первого закона сохране­ния. Таким образом, схема (5.8) является консервативной. В [19] доказано, что схема (5.8) является L
2
-консервативной и ее решение удовлетворяет сеточному аналогу интегрального закона сохранения

5.3. Неявные разностные схемы (обзор).
В этом параграфе мы рассмотрим неявные разностные схемы для уравнения Кортевега-де Фриза.

Вариант двухслойной схемы - неявная абсолютно устойчивая схе­ма с порядком аппроксимации О (t2
, h4
) [21]:

Решение разностной схемы (3.29) вычисляется с помощью семи диагональной циклической прогонки [22]. Вопрос о консервативности этой схемы не исследовался.

В работе [15] предлагается неявная трехслойная схема с весами:

(5.10)

Разностная схемы (5.10) с периодическими по пространству реше­ниями, консервативна, L2
-консервативна при s
=1/2
и s
=1/4
для ее решения имеют место сеточные аналоги интегральных законов сохранения.

6. Численное решение

Численное решение для (3.2), (3.3), (3.4) было проделано с использованием явной схемы

(5.7)

Решалась начально-краевая задача на отрезке [0, 2p]. В качестве начальных условий бралась функция

u0
(x)=sin (x).

Явным образом было получено решение.

Программа для расчетов была написана на языке TurboPascal 7.0. Текст основных частей программы прилагается.

Расчеты велись на вычислительной машине с процессором AMD-K6-2 300 МГц с технологией 3DNOW!, размер оперативной памяти 32 Мб.

7.
Заключение

Настоящая работа посвящена исследованию уравнения Кортевега – де Фриза. Проведен обширный литературный обзор по теме исследования. Изучены различные разностные схемы для уравнения КдФ. Выполнен практический счет с использованием явной пяти точечной разносной схемы

Как показал анализ литературных источников, явные схемы для решения уравнений типа КдФ наиболее применимы. В данной работе также решение было получено с использованием явной схемой.

8. Литература

1. Ландсберг Г.С. Элементарный учебник физики. М.: Наука, 1964. Т. 3.

2. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. М.: Мир, 1965. Вып.4.

3. Филиппов А. Г Многоликий солитон. М.: Наука, 1986. (Б-чка "Квант"; Вып. 48).

4. Рубанков В.Н. Солитоны, новое в жизни, науке, тех­нике. М.: Знание, 1983. (Физика; Вып. 12).

5. Korteweg D.J., de Vries G. On the change form of long waves advancing in a rectangular channel and on new type of long stationary waves.//Phyl.May. 1895. e5. P. 422-443.

6. Сагдеев Р.З. Коллективные процессы и ударные волны в разре­женной плазме.-В кн.: Вопросы теории плазмы, Вып.4. М.: Атомиз-дат, 1964, с.20-80.

7. Березин Ю.А., Карпман В.И. К теории нестационарных волн конечной амплитуды в разреженной плазме. // ЖЭТФ, 1964, т.46, вып.5, с. 1880-1890.

8. Zabusky N.J., Kruskal M.D. Interactions of "solitons"in a collisionless plasma and the reccurence of initial states // Phys.Rev.Lett. 1965. V.15. еб. Р.240-243.

9. Буллаф Р., Кодри Ф. Солитоны. М.: Мир; 1983

10. Sjoberg A. On the Korteweg-de Vries equation, existence and uniqueness, Uppsala University, Department of Computers, 1967

11. Temam R. Sur un probleme non lineare // J.Math.Pures Anal. 1969, V.48, 2, P. 159-172.

12. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972.

13. Кружков С.Н. Фаминский А.В. Обобщенные решения для урав­нения Кортевега-де Фриза.// Матем. сборник, 1983, т. 120(162), еЗ, с.396-445

14.. Gardner C.S., Green J.M., Kruskal M.D., Miura R.M. Method for solving the Korteweg-de Vries equation // Phys.Rev.Lett. 1967. V. 19. P. 1095-1097.

15. Шабат А.Б. Об уравнении Кортевега-де Фриза // ДАН СССР, 1973, т.211, еб, с.1310-1313.

16. Фаминский А.В. Граничные задачи для уравнения Кортевега-де Фриза и его обобщений: Дисс.... докт. физ.-матем. наук,М:РУДН,2001

17. Miura R.M., Gardner C.S., Kruscal M.D. Korteweg-de Vries equation and generlization. II. Existence of conservation laws and constants of motion. // J.Math.Phys. 1968. V.9. P. 1204-1209.

18. Амосов А.А., Злотник А.А. Разностная схема для уравнений движений газа.

19. Самарский А.А., Мажукин В.И., Матус П.П., Михайлик И.А. Z/2-консервативные схемы для уравнения Кортевега-де Фриса.// ДАН, 1997, т.357, е4, с.458-461

20. Березин Ю.А. Моделирование нелинейных волновых процес­сов. Новосибирск: Наука. 1982.

21. Березин Ю.А., О численных решениях уравнения Кортевега-де Вриза.// Численные методы механики сплошной среды. Новоси­бирск, 1973, т.4, е2, с.20-31

22. Самарский А.А., Николаев Методы решения сеточных уравнений. М: Наука, 1978

23. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М: Наука, 1989

24. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М: Наука, 1987