1. Определители. Основные определения. Вычисление определителей третьего порядка.
Определитель
- число, характеризующее матрицу. Определителем матрицы 1-го порядка
А=(а11
) является единственный элемент этой матрицы. Определителем 2-го порядка
называется число, характеризующее матрицу 2-го порядка, которое находится по следующему правилу: из произведений элементов главной диагонали вычитается произведение элементов второй диагонали матрицы А. Определителем матрицы 3-го порядка называется число, вычисляемое по правилу Сарруса. Правило Сарруса: определитель 3-го порядка (Ñ3) равен алгебраической сумме 6-ти тройных произведений элементов, стоящих в разных строках и разных столбцах; со знаком «+» берутся произведения, сомножители которых находятся на главной диагонали и в вершинах треугольников, чьи основания параллельны главной диагонали, остальные слагаемые берутся со знаком «-».
2. Свойства определителей.
1) Если к.-л. строка или столбец в матрице состоит из одних нолей, то Ñ этой матрицы равен 0. 2)При транспонировании матрицы её определитель не изменяется: çА ç=÷ А’÷ . 3) Если все элементы к.-л. строки или столбца матрицы умножить на одно и то же число, то и Ñ этой матрицы умножится на это же число. 4) При перестановке местами 2-х строк или столбцов матрицы её определитель меняет свой знак на противоположный. 5) Если квадратная матрица содержит 2 одинаковых строки или столбца, то её определитель равен 0. 6)Если 2 строки или 2 столбца матрицы пропорциональны, то её Ñ равен 0. 7) Сумма произведений элементов к.-л. строки или столбца матрицы и другой строки или столбца равна 0. 8) Определитель матрицы не изменяется если к элементам одной строки или столбца прибавить элементы другой строки или столбца, умноженный на одно и то же число. 9)Если к.-л. столбец или строка матрицы представляет собой сумму 2-х элементов, то Ñ этой матрицы может быть представлен в виде суммы 2-х определителей.
3. Минор.
Минором М
ij
квадратной матрицы n-го порядка для элемента а
ij
называется определитель (n-1)-ого порядка, полученный с данного вычёркиванием i-ой строки и j-ого столбца.
4. Алгебраическое дополнение.
Алгебраическим дополнением А
ij
для элемента квадратной матрицы а
ij
называется минор этого элемента, взятый со знаком (-1)i
+
j
.
5. Вычисление определителей любого порядка. Понятие определителя
n
-ого порядка.
Определителем
квадратной матрицы n
-ого порядка
называется число, равное алгебраической сумме n членов, каждый из которых является произведением n-элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки или столбца (причём знак каждого члена определяется как (-1)r
(
j
)
, где r(j)-число инверсий). Теорема Лапласа
: определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов к.-л. строки или столбца на их алгебраические дополнения.
6. Матрицы. Основные определения.
Матрицей
размера m
xn
называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Вектор-строкой
называют матрицу, состоящую из одной строки. Вектор-столбцом
- из одного столбца. Матрица, у которой количество столбцов равно количеству строк, называется квадратной матрицей
n
-ого порядка
. Элементы матрицы, у которых номер строки и номер столбца совпадает, называются диагональными
и образуют главную диагональ матрицы
. Если все недиагональные элементы матрицы равны нулю, то матрицу называют диагональной
. Если у диагональной матрицы n-ого порядка на главной диагонали все элементы равны 1, то матрица
называется единичной
и обозначается Е
. Матрица любого размера, все элементы которой равны 0, называется нуль-матрицей
.
7. Операции над матрицами.
1)Умножение матрицы на число
: условий нет, умножить на число можно любую матрицу. Произведением матрицы А на число l называется матрица В, равная lА, каждый элемент которой находится по формуле: bij
=lxaij
. Для того, чтобы умножить матрицу на число необходимо умножить на это число каждый элемент матрицы. 2)Сложение 2-х матриц
: условие - складывать можно только матрицы одинакового размера. Суммой 2-х матриц А и В называется матрица С=А+В, каждый элемент которой находится по формуле С
ij
=a
ij
+b
ij
. Для того, чтобы сложить 2 матрицы, необходимо складывать между собой элементы, стоящие на одинаковых местах. 3)Вычитание 2-х матриц
: операция аналогична сложению. 4)Умножение 2-х матриц
: умножение А на В возможно тогда и только тогда, когда число столбцов А равно числу строк В; произведением матрицы А размера m
xk
на матрицу В размера k
xn
называется матрица С размера m
xn
,
каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-ого столбца матрицы В. 5)Возведение в степень
: возводить в степень можно только квадратные матрицы; целой положительной степенью квадратной матрицы Аm
называется произведение m-матриц, равных А. 6)Транспонирование
: условий нет; транспонирование
-операция, в результате которой строчки и столбцы матрицы меняются местами с сохранением порядка элемента, при этом элементы главной диагонали остаются на своих местах.
8. Понятие обратной матрицы и алгоритм её вычисления.
Матрица А-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении её на заданную как справа так и слева получатся единичная матрица. Теорема (необходимое и достаточн.условие сущ-я обратн.матрицы): обратная матрица А-1 сущ-т и единственна тогда и только тогда, когда заданная матрица не вырожденная. Матрица
называется вырожденной
, если её определитель равен 0, в противном случае она – не вырожденная. Алгоритм: 1)Определитель заданной матрицы. 2)Транспонирование. 3)Алгебраические дополнения всех элементов транспонированной матрицы. 4) Присоед.матрица А@ (на месте каждого эл-та Ат
его алгебраич.доп-я). 5) А-1
= 1/DА *A@. 6) Проверка=>А-1
*А=Е.
9. Ранг матрицы. Элементарные преобразования.
Рангом
матрицы А называется наивысший порядок отличных от 0 миноров этой матрицы [rangA=r(A)]. Ранг матрицы не изменяется при проведении элементарных преобразований. Преобразования
: 1)отбрасывание строки или столбца, состоящих из одних нулей; 2)умножение всех эл-ов к.-л. строки или столбца матрицы на одно и то же число, отличное от 0; 3)изменение порядка строк или столбцов матрицы; 4)прибавление к каждому эл-ту к.-л. строки или столбца эл-ов др. строки или столбца, умноженных на одно и то же число, не равное 0; 5) транспонирование матрицы.
10. Системы линейных алгебраических уравнений. Основные определения. Матричная форма записи.
Линейным ур-ем
относительно неизвестных x1
,x2
,…,xn
называется выражение видаa1
x1
+a2
x2
+…+an
xn
=b, где a1
,a2
,…,an
и b- простые числа, причём a1
,a1
,…,an
называются коэффициентами при неизвестных, а b- свободным коэффициентом. Последовательность чисел k1
,k2
,…,kn
называется решением ур-я
, если при подстановке этих чисел в ур-е оно обращается в верное равенство. Два линейных ур-я
называются равносильными
, если их решения совпадают. Чтобы получить равносильное ур-е из заданного, необходимо осуществить следующие преобразования: 1) перенос слагаемых из одной части ур-я в другую; 2) поэлементное умножение всего ур-я на одно и то же число, отличное от ноля. Решить линейное ур-е
–это значит найти все его решения или установить, что их нет. Система уравнений
называется совместной
, если она имеет хотя бы одно решение. Система ур-ий
называется определённой,
если она имеет одно единственное решение, и неопределённой
, если решений множество. Неизвестное
x
1
называется разрешённым,
если к.-н. ур-е системы содержит неизвестное x1
с коэффициентом, равным 1, а во все др. ур-я системы неизвестное x1
не входит. Если каждое ур-е системы содержит разрешённое неизвестное, то такую систему
называют разрешённой
. Неизвестные СЛУ, которые не входят в разрешённый набор, называются свободными
. Разрешённая СЛУ всегда совместна, она будет определённой, если число ур-ий равно числу неизвестных; и неопределённой, если число неизвестных больше, чем ур-ий. Для того, чтобы определить совместна система или нет, не решая её, можно воспользоваться теоремой Кронекера-Капелли. Матрица, эл-тами которой являются коэффициенты при неизвестных системы, называется матрицей системы
. Матрица системы, дополненная столбцом свободных коэффициентов, называется расширенной матрицей
.
11. Правило Крамера.
Правило Крамера
: пусть DА-определитель матрицы системы, а Dj-определитель матрицы, полученной из матрицы системы заменой j-ого столбца на столбец свободных коэффициентов; тогда, если DА¹0, то система имеет единственное решение, определяемое по формуле ¾Xj
=
D
j
/
D
A
.
12. Теорема Кронекера-Капелли.
Теорема Кронекера-Капелли
: СЛУ совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы. Система ур-ий называется совместной
, если она имеет хотя бы одно решение.
13. Решение систем линейных алгебраических ур-ий методом Гаусса.
Метод Гаусса
: каждую СЛУ при помощи конечного числа преобразований можно превратить в разрешённую системы ур-ий или в систему, содержащую противоречивое ур-е. Противоречивым
называется ур-е
вида OX1
+OX2
+...+OXn
=b. Если каждое ур-е системы содержит разрешённое неизвестное, то такую систему
называют разрешённой.
Неизвестное
x
1
называют разрешённым
, если к.-н. ур-е системы содержит неизвестное x
1
с коэффициентом, равным 1, а во все другие ур-я системы неизвестноеx
1
не входит.
14. Матричный метод решения системы линейных алгебраических уравнений.
Этим способом можно решить лишь те системы, в которых число неизвестных равно числу уравнений. Алгоритм
: 1)Записать матрицу системы (А); 2) Найти обратную матрицу для матрицы системы (А-1
); 3) Умножить А-1
на матрицу свободных коэффициентов (В) ¾X
=
A
-1
*
B
.
15. Однородная система линейных алгебраических уравнений.
Система m линейных ур-ий с n переменными называется системой линейных однородных уравнений, если все свободные члены равны 0. Система линейных однородных ур-ий всегда совместна, т.к. она всегда имеет, по крайней мере, нулевое решение. Система линейных однородных ур-ий имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ранг её матрицы коэффициентов при переменных меньше числа переменных, т.е. при rang
A
<
n
. Всякая лин. комбинация решений системы лин. однородн. ур-ий также является решением этой системы. Система лин.независимых решений е1
, е2
,…,еk
называется фундаментальной
, если каждое решение системы является линейной комбинацией решений. Теорема
: если ранг r матрицы коэффициентов при переменных системы линейных однородных уравнений меньше числа переменных n, то всякая фундаментальная система решений системы состоит из n-rрешений. Поэтому общее решение
системы лин. однордн. ур-ий имеет вид: с1
е1
+с2
е2
+…+сk
еk
, где е1
, е2
,…, еk
–
любая фундаментальная система решений, с1
, с2
,…,сk
– произвольные числа и k=n-r. Общее решение системы m линейных ур-ий с n переменными равно сумме общего решения соответствующей ей системы однородн. линейных ур-ий и произвольного частного решения этой системы.
1 (16). Скалярные и векторные величины. Основные определения.
В математике используется 2 вида величин: а) скалярные – величины, которые полностью определяются заданием их числовых значений (длина, площадь, объём, масса и т.д.); б) векторные – величины, для полного определения которых помимо численного значения требуются ещё и направления в пространстве (изображаются при помощи векторов). Вектор – направленный отрезок на плоскости или в пространстве, имеющий определённую длину, у которого одна из точек принята за начало, а другая за конец. Координатами
вектора `а являются координаты его конечной точки. Длиной вектора (нормой)
или модулем
называется число, равное длине отрезка, изображающего вектор [
ï
a
ï
=
Ö
x
2
+
y
2
(+
z
2
)
]
.
Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор называется нулевым
и обозначается `0. ( направление `0 произвольно, не определено). Для каждого `а, отличного от 0, существует противоположный -`а, который имеет модуль, равный ïаï, коллиниарен с ним, но направлен в другую сторону. Два вектора `а и`в называются коллинеарными
, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых. Два вектора называются равными,
если они: 1)имеют равные модули; 2)коллиниарны; 3)направлены в одну сторону.
2 (17). Линейные операции над векторами. Свойства линейных операций.
1)Сложение 2-х векторов
: (правило треугольников
) суммой
2-х векторов
`а и`в называют вектор `с =`а +`в, начало которого совпадает с началом `а, а конец- с концом `в при условии, что начало `в совпадает с концом`а. 2) Сложение нескольких векторов
: (правило многоугольника
) сумма 4-х векторов
`а,`в,`с,`d есть вектор`е =`а +`в +`с +`d, начало которого совпадает с началом `а, а конец- с концом`d. (правило параллелепипеда
) сумма 3-х векторов
`а,`в,`с определяется как `d =`а +`в +`с. 3)Вычитание 2-х векторов
: разностью 2-х векторов
`а и `в называется сумма `а и -`в (противоположного). 4) Суммой 2-х векторов одинаковой размерности
n
называется вектор, каждая компонента которого равна сумме соответствующих компонент слагаемых вектора: `S = `x +`y, Si
=xi + yi"i. 5) Произведением
`x
на действительное число
а называется `в = а`x, каждая компонента которого равна а×`xi
. Cвойства лин. операций над векторами: 1)коммутативное св-во суммы (переместительное); 2)ассоциативное св-во суммы (сочетательное); 3)ассоциативное относительно числового множителя: a
(
b
*
`
c
)
=
(
a
b
)
`
c
;
4)дистрибьютивное (распределительное; 5)существование нулевого вектора, такого, что `
c
+
0
=
`
c
"
`
c
; 6)для любого `c существует такой противоположный -`c , что `
c
+
(
-
`
c
)
=
0
"
`
c
; 7)для любого `c справедливо: `
c
*
1
=
`
c
.
3 (18). Векторное пространство, его размерность. Понятие Базиса.
N
-мерным вектором
называется упорядоченная совокупность n-действительных чисел, записанных в виде `x
=(
x
1
,
x
2
,
x
i
,
x
n
)
, где Xi-компонента `X. Два N-мерных вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты: `x =`y, если xi
=yi
"i. Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее всем сво-вам суммы( коммутативное, ассоциативные), называется векторным пространством
. Размерность векторного пространства
равна количеству векторов в базисе этого пространства. Совокупность n-мерных векторов, рассматриваемая с определёнными в ней операциями сложения векторов и умножения вектора на число, называется n
-мерным координатным пространством
. Система n—мерных лин. независимых векторов называется базисом
R
n
(R2
-плоскость,R3
-пространство), если каждый вектор этого пространства R разлагается по векторам этой системы. Базисом
называется совокупность всех лин. независимых векторов системы пространства. Теорема: для того, чтобы -- 1)2 вектора на плоскости (2)3-в пространстве) были линейно не зависимы необходимо и достаточно, чтобы они были не 1) коллиниарны (2) компланарны). Векторы называются компланарными
, если они лежат в одной плоскости или параллельны одной плоскости. Два вектора `а и`в называются коллинеарными
, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых. Теорема
: если диагональная система является частью n-мерных векторов, то она же является базисом этой системы. Теорема
: любой вектор системы векторов единственным
образов разлагается по векторам её базиса.
4 (19). Базис на плоскости. Разложение вектора по базису
R
.
Система n—мерных лин. независимых векторов называется базисом
R
n
(R2
-плоскость,R3
-пространство), если каждый вектор этого пространства R разлагается по векторам этой системы. Базисом
называется совокупность всех лин. независимых векторов системы пространства.
5 (20). Базис в пространстве. Разложение вектора по базису
R
.
Система n—мерных лин. независимых векторов называется базисом
R
n
(R2
-плоскость,R3
-пространство), если каждый вектор этого пространства R разлагается по векторам этой системы. Базисом
называется совокупность всех лин. независимых векторов системы пространства.
6 (21). Линейные операции над векторами, заданные координатами.
7 (22). Проекция вектора а на вектор
b
. Направляющие косинусы вектора.
8 (23). Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения.
Скалярным произведением
2-х векторов
`а и`в называется число, равное произведению модулей, перемноженных на cos угла между ними: а
*
`
в
=
ï
`
а
ï
*
ï
`
в
ï
*
Cos
j
, где j-угол`а между`в. Скалярное произведение может быть найдено также по формуле: `а
*
`
в =
ï
`
а
ï
*
пр.
а
`
в =
ï
`
в
ï
*
пр.
в
`
а
® скалярное произведение 2-х векторов равно произведению модуля одного из них на проекцию на него другого вектора. Свойства скалярного произведения
: 1)Переместительное (`а*`в=`в *`а); 2)Сочетательное относительно числового множителя (l
(
`
а
*
`
в)=
l
`
а
*
l
`
в
); 3)Распорядительное ( (
`
а +
`
в )
×
`
с=
`
а
×
`
с
+
`
в
×
`
с
); 4)Если скалярное пр-е равно 0, то либо равен 0 один из перемножаемых векторов, любо Cos угла между ними, т.е. векторы перпендикулярны
. Скалярное произведение само на себя равно квадрату его модуля.
9 (24). Скалярное произведение ортов. Скалярное произведение векторов, заданных координатами.
10 (25). Определение угла между двумя векторами.
11 (26). Условия параллельности и перпендикулярности двух векторов.
12 (27). Векторное произведение.
Векторным произведением
вектора `а на вектор
×
`
в =
ú
i
j
k
ú
ú
a
x
a
y
a
z
ú
ú
b
x
b
y
b
z
ú
.
13 (28). Свойства векторного произведения.
1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет свой знак на противоположный, сохраняя при этом свой модуль: `а ×`в =(`в) ×`а. 2)Векторн.пр-е обладает сочетательным св-вом относительно числового (скалярного) множителя: l×(`а×`в)=(l`а)×`в=`а×(l×`в). 3)Векторн.пр-е обладает распределительным св-ом. 4) Если векторн.пр-е 2-х векторов равно 0-вектору, то либо равен 0 один из перемножаемых векторов, любо синус угла между ними, т.е. векторы коллиниарны (параллельны). ÞДля того, чтобы 2 ненулевых вектора были коллиниарны необходимо и достаточно, чтобы их векторное пр-е было равно нуль-вектору.
14 (29). Векторное произведение ортов.
15 (30). Векторное произведение векторов, заданных проекциями.
16 (31). Смешанное произведение векторов. Свойства смешанного произведения. Геометрический смысл смешанного произведения.
Рассмотрим произведение векторов а, в и с, составленное следующим образом: (`а *`в) – векторно, а затем полученной произведение умножают на `с скалярно. (`а *`в) ×`с. Такое произведение называется векторно-скалярным
или смешанным
. Оно представляет собой некоторое число. Скалярным произведением двух векторов
называется произведение длин двух векторов на косинус угла между ними. Смешанное произведение
равно определителю 3-го порядка, в строках которого стоят соответствующие проекции перемножаемых векторов.
Свойства: 1)если внутри смешанного произведения в векторном произведении поменять множители местами, то смешанное пр-е поменяет свой знак на противоположный, т.е. (`а *`в) ×`с = - (`в *`а) ×`с; (`а *`в) ×`с = `с × (`а *`в). 2)Для того, чтобы 3 вектора а, в и с были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось 0: (`а *`в) ×`с=0. Векторы, параллельные одной плоскости или лежащие в одной плоскости, называются компланарными
. Геометрич. смысл смешанного произведения
: состоит в том, что смешанное пр-е с точностью до знака равно объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах как на рёбрах.
1 (32). Координаты на прямой. Деление отрезка в данном отношении.
Положение каждой точки на оси определяется числом, равным отношению длины отрезка прямой от точки 0 до заданной точки к выбранной единице длины. Положение каждой точки на вертикальной оси определяется координатой, которая называется ордината
. Координата на горизонтальной оси называется абсцисса
. Метод координат на плоскости ставит в соответствие каждой точки плоскости упорядоченную
пару действительных чисел – координаты этой точки. Расстояние между 2-мя точками
возможно найти 2-мя путями: 1)если обе точки лежат на одной оси, то расстояние между ними по оси ординат (или абсцисс) равно 0, а по оси абсцисс (ординат) абсолютной величине разности между абсциссами конца и начала отрезка +рис.; 2) если 2 точки лежат в одной плоскости, длина отрезка равна квадратному корню из суммы квадратов разностей соответствующих координат концов отрезков.
Деление отрезков в данном отношении
: даны 2 точки М
1
(
c
1
g
1
)
и М
2
(
c
2
g
2
)
.
Требуется найти внутри отрезка точку М с координатами (
c
;
g
)
,
такую, что отрезок М1М2 поделится точкой М в соотношении М1
М/М2
М=
l
. Найти координаты М, удовлетворяющие данному равенству.
Решение
: М1М/М2М=АА1/АА2. АА1=X-X1, AA2=X2-X. M1M/M2M=(X-X1)/(X2-X) =l. X-X1=l(X2-X), X-X1=lX2-lX. X+lX=X1+lX2ÞX (1+l) =X1+lX2, X=X1+lX2/1+l.
2 (33). Общее уравнение прямой и его исследование.
Рассмотрим ур-е первой степени с двумя переменными в общем виде: Ax
+
By
+
C
=0
, в котором коэффициенты А и В не равны одновременно нулю, т.е.А2
+В2
¹0. 1)
Пусть В¹0. Тогда ур-е А
x
+
By
+
C
=0
можно записать в виде y= -Ax/B – C/B. Обозначим k= -А/В, b= -C/B. Если А¹0, С¹0, то получим y=kx+b (ур-е прямой, проходящей ч/з начало координат); если А=0, С¹0, то y=b (ур-е прямой, параллельной оси Оy); если А=0, С=0, то y=0 (ур-е оси Оx). 2)
Пусть В=0, А¹0. Тогда ур-е А
x
+
By
+
C
=0
примет вид x= - C/A. Если С¹0, то получим x=a (ур-е прямой, параллельной оси Оy); если С=0, то x=0 (ур-е оси Оy). Таким образом, при любых значениях коэффициентов А, В (не равных одновременно нулю) и С ур-е Ax
+
By
+
C
=0
есть ур-е некоторой прямой линии на плоскости Оxy. Это ур-е называется общим ур-ем прямой
. Ур-е прямой, заданное в общем виде, не даёт представления о расположении прямой на плоскости, но из него легко находятся все основные хар-ки прямой: 1)k= -A/B; 2)начальная ордината b= - C/B; 3) отрезки, отсекаемые прямой на осях ординат: Ax+By+C=0 /¸(-C)
-Ax/C-By/C=1
a= - C/A; b= - C/B.
3 (34). Уравнение прямой, проходящей через точку М (
x
,
y
) перпендикулярно нормальному вектору
n
(
A
,
B
).
4 (35). Уравнение прямой, проходящей через точку М (
x
,
y
) параллельно направляющему вектору
q
(
l
,
m
).
5 (36). Уравнение прямой, проходящей через две точки М
1
(
x
1
,
y
1
) М
2
(
x
2
,
y
2
).
Это ур-е является частным случаем ур-я пучка прямых. Прямая задана 2-мя лежащими на ней точками М1
(x1
;y1
) и M2
(x2
;y2
), x1¹x2, y1¹y2(при равенстве - применение ур-япрямой, проход.ч.з 2 точки, невозможно). Для составления ур-я прямой М1М2 необходимо ур-е пучка прямых, проходящих ч/з точку М1: y-y1=k(x-x1). Т.к. точка M2
(x2
;y2
) лежит на данной прямой, то чтобы выделить её из пучка, подставим в ур-е пучка прямых координаты М2 и найдём угловой коэффициент: k=y2
-y1
/x2
-x1
.
Теперь ур-е прямой, проходящеё через 2 заданные точки, примет вид: y-y1=(x-x1) *y2-y1/x2-x1Þy-y1/y2-y1=x-x1/x2-x1.
(др. способ: после ур-я углового коэф-та вывожу: tga=M2*N/M1*N, M2N=y2-y1; M1N=x2-x1Þtga=K=y2-y1/x2-x1. Подставим это ур-е в ур-е пучка прямых: y-y1=(x-x1)*y2-y1/
/x2-x1 |¸( y2-y1)Þ y-y1/y2-y1=x-x1/x2-x1. )
6 (37). Уравнение прямой в отрезках.
Прямая задана отрезками, которые она отсекает на осях координат. Найду ур-е прямой по заданным отрезкам а¹0 и b¹0, отсекаемым на осях координат. Используя ур-е прямой, проходящей через точки А(а;0) и В(0;b) - y-y1/y2-y1=x-x1/x2-x1—ур-е прямой в отрезках примет вид:y
-0/
b
-0=
x
-
a
/0-
a
или: -ay= b(x-a), -ay-bx+ab=0 |¸ab; -y/b-x/a+1=0 |¸(-1);
x
/
a
+
y
/
b
=1.
А-отрезок, отсекаемый на оси Оx; В-отрезок на оси Оy. Тогда прямую можно определить как прямую, заданную двумя точкамиÞA(a;b) на осиOx и B(0:b) на оси Oy. Подставив координаты этих точек в ур-е прямой, проходящей через две заданные точки, получим ур-е прямой в отрезках.
7 (38). Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Угловой коэффициент прямой- одна из характеристик расположения прямой на плоскости; её наклон относительно оси Оx (за угол наклона принимается Ða, отсчитываемый от оси Оx против движения часовой стрелки до этой прямой); tgугла наклона этой прямой к оси Оx. Если k>0, то a -острый; если a=0, то k=0, прямая параллельна оси Оx; если a=90°, то прямая параллельна оси Оy, k-не существует. Пусть положение прямой в прямоугольной системе координат задано величиной отрезка, отсекаемого этой прямой на оси Оyи k этой прямой. Возьмём произвольную точку М (c;g). Тогда tgугла a наклона прямой найдём из прямоугольного треугольника МВN: tga = MN/NB= y-b/x. Введём угловой коэффициент прямой k=tga; получим k=y-b/x. y
=
kx
+
b
- ур-е прямой с угловым коэффициентом.
В зависимости от величин kи b возможны следующие варианты расположения прямой: 1) при в>0, прямая пересекает ось Оx выше начала координат; при в<0, прямая Ç Оx ниже начала координат. 2)при k>0, прямая образует острый угол с Оx; при k<0,-тупой угол; при k=0-параллельна оси Оx; при k=µ-перпендикулярна Оx.
8 (39). Уравнение прямой, проходящей через данную точку М (
x
,
y
) с данным угловым коэффициентом
k
.
9 (40). Нормальное уравнение плоскости.
Нормальное ур-е плоскости
: x
(
Cos
a
) +
y
(
Cos
b
)+
z
(
Cos
g
)+
r
=0
, где Cosa, Cosb, Cosg-направляющие Cos–сы нормального вектора; r-расстояние от начала координат до плоскости. Общее ур-е приводится к нормальному виду путём умножения на нормирующий множитель.
10 (41). Условие параллельности и перпендикулярности прямых.
1)Если прямые параллельны, то они образуют с осью OX одинаковые углы. Поэтому угловые коэф-ты k1 и k2 этих прямых равны. Обратно, если k
1=
k
2,
то углы наклона прямых к оси OX одинаковы, откуда следует, что данные прямые параллельны. Условием параллельности 2-х прямых яв-ся равенство их угловых коэффициентов.
2)Формула tga=k2-k1/1+k1k2 определяет угол a между пересекающимися прямыми через tga. Если a=90, то эта формула оказывается неприменимой, т.к. tg=90 не существует. Если прямые взаимно перпендикулярны, то j2=j1+90, откуда tgj2= tg (j1+90)= -Сtgj1. tgj2= - 1/ tgj1. Заменяя tgj1 и Сtgj2 через k1 и k2, находим: k2= 1/ k1 или 1+ k1k2=0. Обратно, пусть k2= 1/ k1, это значит, что tgj2= -1/tgj1 откуда получаем j2=j1+90. Следовательно, угол между двумя данными прямыми равен 90, т.е. прямые взаимно перпендикулярны. Условие перпендикулярности 2-х прямых состоит в том, что угловые коэф-ты этих прямых обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку:
k
2= -1/
k
1.
11 (42). Угол между прямыми.
Угол a между 2-мя параллельными прямыми равен 0, тогда tga=0; с другой стороны, из условия параллельности, т.е. из равенства k1= k2, следует, что k1- k2=0 и по формуле tga=k2-k1/1+k1k2-угол между 2-мя пересекающимися прямыми-получаем: k1-k2/1+k1k2=0.
12 (43). Плоскость в пространстве. Виды уравнений плоскости.
Существуют следующие виды ур-ий плоскости: 1) Общее ур-е плоскости
: Ax+By+Cz+D=0, где `n=(A,B,C)- нормальный вектор плоскости. 2) ур-е плоскости, проходящей через точку
М1(x1;y1;z1) перпендикулярно вектору
`n=(A,B,C): A(x-x1)+B(y-y1)+C(z-z1)=0. 3)Ур-е плоскости в отрезках
: x/a+y/b+z/c=1, где a,b,c-величины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях координат. 4)Нормальное ур-е плоскости
: x
(
Cos
a
) +
y
(
Cos
b
)+
z
(
Cos
g
)+
r
=0
, где Cosa, Cosb, Cosg-направляющие Cos–сы нормального вектора; r-расстояние от начала координат до плоскости. Общее ур-е приводится к нормальному виду путём умножения на нормирующий множитель. 5)Ур-е плоскости, проходящей через три заданные точки
: М1(x1;y1;z1), М2(x2;y2;z2), М3(x3;y3;z3).
|x-x1 y-y1 z-z1|
|x2-x1 y2-y1 z2-z1| =0.
|x3-x1 y3-y1 z3-z1|
13 (44). Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей.
14 (45). Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой в пространстве.
Взаимное ур-е 2-х прямых в пространстве: а) пусть прямые заданы своими канонич.ур-ями: x-x1/L1=y-y1/m1=z-z1/n1,
x-x2/L2=y-y2/m2=z-z2/n2; где `q 1(L1;m1;n1), `q2 (L2;m2;n2)- направляющие векторы. Тогда прямые параллельны, если параллельны их направляющие векторы:`q1
úú`q2
ÞL1/L2=m1/m2=n1/n2. б) пусть прямые заданы аналогично случаю а). Две прямые ^ тогда и только тогда, когда их направляющие векторы перпендикулярны (`q1^`q2).
L1L2+m1m2+n1n2=0. Существуют следующие виды ур-ий прямой в пространстве: 1)Общее ур-е прямой
: прямая задаётся как линия пересечения 2-х плоскостей.
{A1x+B1y+C1z+D1=0
{A2x+B2y+C2z+D2=0, где А1, В1,С1-непропорциональные коэффициентам А2, В2, С2.
2)Ур-е прямой, проходящей через две точки
(выводится аналогично ур-ю прямой на плоскости):
x-x2/x2-x1=y-y2/y2-y1=z-z2/z2-z1.
3)Каноническое уравнение прямой в пространстве
(ур-е прямой, проходящей ч/з заданную точку М0 (x0;y0;z0), параллельно направляющему вектору `q (l;m;n)):
x-x0
/l=y-y0
/m=z-z0
/n.
4)Параметрическое ур-е прямой
: прямая задаётся при помощи точки, лежащей на прямой, и направляющего вектора. М0
(x0;y0;z0), `q (l;m;n).íx=x0+lt
íy=y0+mt
íz=z0+nt, t-параметр.
5)Угол между 2-мя прямыми в пространстве
– это, практически, угол между их направляющими векторами:
Cosj=L1L2+m1m2+n1n2/Ö L1
2
+m1
2
+n1
2
*Ö L2
2
+m2
2
+n2
2
.
15 (46). Взаимное расположение прямой и плоскости.
1)Угол между прямой и плоскостью
вычисляется по формуле: Cosj=|Al+Bm+Cn|¸ÖA2
+B2
+C2
*Öl2
+m2
+n2
. Где l, m, n- координаты направляющего вектора прямой; A, B, C- координаты `n. В этом случае прямая может быть задана каноническим или параметрическим ур-ем прямой, а плоскость – общим. 2)Прямая и плоскость в пространстве параллельны
: тогда и только тогда, когда скалярное произведение направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости равно 0. `n(A,B,C)`q (l;m;n)Þ Ax+By+Cz+D=0 (общееур-еплоскости); x-x0
/l=y-y0
/m=z-z0
/n. Т.к. `n*`q=0 ÞAl+Bm+Cn=0. 3)прямая и плоскость в пространстве перпендикулярны
: тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости коллинеарные (параллельны). Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно 0 или координаты пропорциональны. Т.к. `n*`q=0, А/l=B/m=C/n. 4)условия, при которых прямая принадлежит плоскости
: а)скалярное произведение`n*`q=0, т.е. Al+Bm+Cn=0; б) при подстановке координат точки, лежащей на прямой, в общее ур-е плоскости получается верное равенствоÞAx0
+By0
+Cz0
+D=0
{x=x0+lt,
{y=y0+mt,
{z=z0+nt (параметрич. ур-е прямой).
5)точка пересечения прямой и плоскости: для того, чтобы найти координаты точки пересечения прямой и плоскости в пространстве, необходимо совместно решить систему, составленную из ур-ий: x-x0/l=y-y0/m=z-z0/n (канонич. ур-е прямой), Ax+By+Cz+D=0 (общее ур-е плоскости). Для того,чтобы решить такую систему необходимо перейти от канонич. ур-я к параметрическому: {x=x0+lt,
{y=y0+mt,
{z=z0+nt (параметрич. ур-е прямой)
{Ax+By+Cz+D=0.
16 (47). Кривые второго порядка. Окружность.
Кривой 2-го порядка
называется линия, определяемая уравнением 2-ой степени относительно текущих декартовых координат. В общем виде ур-е принимает вид: Ax2
+2Bxy+Cy2
+2Dx+2Ey+F=0, где A, 2B, C, 2D, 2E, F- действительные числа. Кроме того, по крайней мере, одно из этих чисел ¹0. Окружность-множество точек, равно удалённых от данной точки (центра). Если обозначить через R радиус окр., а через С(x0,y0) –центр окружности, то исходя из этого определения :
Возьмём на окр. произвольную точку М (x,y). По определению, расстояние СМ= R. Выражу СМ ч/з координаты заданных точек: СМ =Ö (x-x0)2
+(y-y0)2
= RÞR
2
=(
x
-
x
0)2
+(
y
-
y
0)2
-ур-е окр. С центром в точке С(x0,y0). Это ур-е называется нормальным ур-ем окружности. Ax2
+2Bxy+Cy2
+2Dx+2Ey+F=0-ур-е второй степени с 2-мя переменными в общем виде. Ax2
++Cy2
=d-кривая второго порядка, где А,В,С не равны 0 одновременно, т.е. А2
+В2
+С2
¹0. x2
+y2
-2x0
x-2y0
y+x0
2
+y0
2
-R2
=0; B=0, A/1=C/1ÞA=C¹0 (т.к. A2
+B2
+C2
¹0, B=0). Получаем ур-е: Ax
2
+
Ay
2
+
Dx
+
Ey
+
F
=0-
общее ур-е оркужности.
Поделим обе части этого ур-я на А¹0 и, дополнив члены, содержащие x,y, до полного квадрата, получаем: (x+(D/2A))2
+(y+(E/2A))2
=(D2
+E2
-4AF)/4A2
. Cравнивая это ур-е с нормальным ур-ем окр., можно сделать вывод, что ур-е: Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0-ур-е действительной окружности, если:1)А=С; 2)В=0; 3) D2
+E2
-4AF>0. При выполнении этих условий центр окр. расположен в точке О(-D/2A;-E/2A), а её радиус R=ÖD2
+E2
-4AF/2A.
17 (48). Кривые второго порядка. Эллипс.
Кривой 2-го порядка
называется линия, определяемая уравнением 2-ой степени относительно текущих декартовых координат. В общем виде ур-е принимает вид: Ax2
+2Bxy+Cy2
+2Dx+2Ey+F=0, где A, 2B, C, 2D, 2E, F- действительные числа. Кроме того, по крайней мере одно из этих чисел ¹0. Эллипс
(кривая эллиптического типа) - кривая 2-го порядка, где коэффициенты А и С имеют одинаковые знаки.
18 (49). Кривые второго порядка. Гипербола.
Кривой 2-го порядка называется линия, определяемая уравнением 2-ой степени относительно текущих декартовых координат. В общем виде ур-е принимает вид: Ax2
+2Bxy+Cy2
+2Dx+2Ey+F=0, где A, 2B, C, 2D, 2E, F- действительные числа. Кроме того, по крайней мере одно из этих чисел ¹0. Кривая 2-го порядка называется гиперболой (или кривой гиперболического типа), если коэффициенты А и С имеют противоположные знаки, т.е. АС<0. Кривые 2го порядка описываются с помощью общего ур-я:
Ax2
+2Bxy+Cy2
+2Dx+2Ey+F=0, где
а) Каноническое ур-епараболы: y2=2px или y=ax2
19 (50). Кривые второго порядка. Парабола.
Кривой 2-го порядка
называется линия, определяемая уравнением 2-ой степени относительно текущих декартовых координат. В общем виде ур-е принимает вид: Ax2
+2Bxy+Cy2
+2Dx+2Ey+F=0, где A, 2B, C, 2D, 2E, F- действительные числа. Кроме того, по крайней мере одно из этих чисел ¹0.