47)Экстремум
ф-ииОпределение.
Функция f(x)
имеет в точке
х1
максимум, если
ее значение
в этой точке
больше значений
во всех точках
некоторого
интервала,
содержащего
точку х1.
Функция f(x)
имеет в точке
х2
минимум, если
f(x2
+x)
> f(x2)
при любом х
(х
может быть и
отрицательным).Очевидно,
что функция,
определенная
на отрезке
может иметь
максимум и
минимум только
в точках, находящихся
внутри этого
отрезка. Нельзя
также путать
максимум и
минимум функции
с ее наибольшим
и наименьшим
значением на
отрезке – это
понятия принципиально
различные.Определение.
Точки максимума
и минимума
функции называются
точками
экстремума.
Теорема.
(необходимое
условие существования
экстремума)
Если
функция f(x)
дифференцируема
в точке х = х1
и точка х1
является точкой
экстремума,
то производная
функции обращается
в нуль в этой
точке.Доказательство.
Предположим,
что функция
f(x)
имеет в точке
х = х1
максимум.Тогда
при достаточно
малых положительных
х>0
верно неравенство:,
т.е.Тогда
По
определению:
Т.е. если
х0,
но х0,
то f(x1)
0.А возможно
это только в
том случае,
если при х0
f(x1)
= 0.Для случая,
если функция
f(x)
имеет в точке
х2
минимум теорема
доказывается
аналогично.Теорема
доказана.
Следствие.
Обратное
утверждение
неверно. Если
производная
функции в
некоторой
точке равна
нулю, то это
еще не значит,
что в этой точке
функция имеет
экстремум.
Красноречивый
пример этого
– функция у
= х3,
производная
которой в точке
х = 0 равна нулю,
однако в этой
точке функция
имеет только
перегиб, а не
максимум или
минимум.Определение.
Критическими
точками
функции называются
точки, в которых
производная
функции не
существует
или равна
нулю.Рассмотренная
выше теорема
дает нам необходимые
условия существования
экстремума,
но этого
недостаточно.Пример:
f(x)
= x
Пример:
f(x)
=
В
точке х = 0 функция
имеет минимум,
но В точке
х = 0 функция не
имеет ни
не
имеет производной.
максимума,
ни минимума,
ни производной.
Вообще
говоря, функция
f(x)
может иметь
экстремум в
точках, где
производная
не существует
или равна
нулю.Теорема.
(Достаточные
условия существования
экстремума)
Пусть
функция f(x)
непрерывна
в интервале
(a,
b),
который содержит
критическую
точку х1,
и дифференцируема
во всех точках
этого интервала
(кроме, может
быть, самой
точки х1)Если
при переходе
через точку
х1
слева направо
производная
функции f(x)
меняет знак
с “+” на “-“, то
в точке х = х1
функция f(x)
имеет максимум,
а если производная
меняет знак
с “-“ на “+”- то
функция имеет
минимум.Доказательство.
Пусть
По
теореме Лагранжа:
f(x)
– f(x1)
= f()(x
– x1),
где x
<
< x1.Тогда:
1) Если х < x1,
то
< x1;
f()>0;f()(x
– x1) x1f() 0, и кроме того
по условию
,
следовательно,
.Пусть
x
< x0
тогда x
< c
< c1
< x0
и x
– x0
< 0, c
– x0
то.Аналогично
доказывается,
что если f(x)
> 0 на интервале
(a,
b),
то кривая y=f(x)
вогнута на
интервале
(a,
b).Теорема
доказана.Определение.
Точка, отделяющая
выпуклую часть
кривой от
вогнутой,
называется
точкой
перегиба.Очевидно,
что в точке
перегиба
касательная
пересекает
кривую. Теорема
2. Пусть
кривая определяется
уравнением
y
= f(x).
Если вторая
производная
f(a)
= 0 или f(a)
не существует
и при переходе
через точку
х = а f(x)
меняет знак,
то точка кривой
с абсциссой
х = а является
точкой
перегиба.Доказательство.
1) Пусть f(x)
(x)
> 0 при x
> a.
Тогда при x
a
кривая вогнута,
т.е. точка х = а
– точка перегиба.Пусть
f(x)
> 0 при x
< b
и f(x)
< 0 при x
< b.
Тогда при x
< b
кривая обращена
выпуклостью
вниз, а при x
> b
– выпуклостью
вверх. Тогда
x
= b
– точка перегиба.Теорема
доказана. |