Основные понятия мат анализа.
Матем
-наука о простых формах и количеств отношений окружающего нас мира. Переменой величиной
наз величина d ринимает различн числовые значения. величина значения d не меняется наз постоянной величиной. Совокупность всех числовых значений переменой величины наз областью изменения этой переменной
. Окрестность
-
х0
наз производный интервал (a;b) содержащий эту -. If каждому значению переменной х э неd области соответствует 1 определенное значение др переменой у, то у есть f(х)=у
. способы задания f
. 1)таблица 2)графический совокупность - M(х;у) не лежащих на прямой // оу, определяет зависимость у=f(х) 3)аналитический. Аналитическим выражением
наз символическое обознач совокупности известных матем операций d производятся в определ последовательности над числами и буквами обозначающиеем постоянные и переменные величины. if f зависимость у=f(х) такова, что f обозначается аналитич выражением, то f задана аналитически
. F
f(х) наз периодической
if $t: "х f(х+t)=f(x). Четная, нечетная, монотонная f. Элементарные f.
1)постоянная у=с, с-действительное число; 2)степенная у=х^а, а-д.ч. 3)показательная у= f^х a>xa≠1 4)логорифмическая у=logaxa>xa≠1, 5)тригонометрические 6)обратные тригонометрические. Предел функции.
(Коши) число а наз lim f f(х) в - х0б if для " Е>0 $ б>0, такое что для всех х0 х э Ω, х ≠ 0 и удовлетвор |х-х0|<б верно |f(х)-А|<Е. (Гейне) число А наз lim f f(х), if " последовательности хn (хnÎW, хn¹х0), сходящейся к · х0, соответствующая последовательность значений f сходится к числу А. Оба определения эквивалентна, т.е. if f f(х) имеет предел А в смысле определения I, то она имеет тот же предел А в смысле определения II, и наоборот. Замечание. if f(х)-в при х-а, так что х<а, то lim f(х)=в (х-а-0). Опр. If lim спр or сл =, то это будет lim в смысле данного выше опр. Для сущ
lim f приемного отделения х-а не требуется чтобы f была опр в - а. БМВ
. F α(х) наз бмс х-а if α(х)=0 if для "Е $ б: |x-α|<б- |α(х)|<Е. св-ва 1) if α(х) и β(х)-бм f при х-х0, то их Σ α(х)+β(х) и произвед=бм f при х-х0 2)f(х)-ограниченая f α(х)*β(х)=бм f при х-х0 3)α(х)-бм при х-х0, f(х) имеет в - х0 конечный предел, lim f(х)=А, то f α(х)*f(х) и α(х)/f(х)=бм при х-х0 4)if α(х) бм при х-а но не обращ в 0, то у=1/α(х)=∞. Основные Т о пределах.
1)
lim Σ конечного числа f= Σ их lim, if они сущ. Д
. (х-а) α1,α2-бм lim u1=a1, limu2=a2, u=u1+u2, u1=a1+α1, u2=a2+α2; lim u=lim(u1+u2)=lim (a1+a2 +α1+α2) =a1+a2 2)
lim произведения конечного числа f= произведению lim, if они сущ. Lim аналогично. Следствие:
const множитель можно выносить за знак lim. 3)
lim частного= частному lim, if знаменатель ≠ 0. Д
.(х-а) lim (u(x)/v(x))=(limu(x))/(;imv(x), limv(x)≠0, Limu=a1,limv=a2≠0;u=a1+α, v=a2+β;α,β-бм;u/v=(a1+α)/(a2+β)=a1/a2+(a1+α)/(a2+β)–a1/a2= a1/a2 + (α*a2-β*a1)/(a2(a2+β)), u/v=a1/a2+γ, lim(u/v)=a1/a2 4)
if для соответствующих значений 3 fu(x), z(x), v(x) выполняется неравенство u≤z≤v и lim u(x)=limv(x)=b-limz(x)=bД
. u-b≤z-b≤v-b"E$ б1 |x-a|<б1-|u(x)-b|<E, $ б2 |x-a|<б2-|v(x)-b|<E б=min(б1,б2), -E<u-b<E –E<u-b≤z-b≤v-b<E, -E<v-b<E –E<z-b<E |z-b|<E5)
ify≥0, limy=b-b≥0 Д
. b<0 |y-b|≥|b| E=|b|, $ < |y-b|<E=|b| пришли к противоречию. Замечание:
if у>, то Т тоже выполняется в той же формулировке (b≥0). 6)
ifv≥u в неd окрестности - а lim v≥limuД
. v-u≥a-lim (v-u) ≥0-limv-limu≥0-limv≥limuСравнение бмв
. (x-a)О
. iflim(α/β)≠0, lim(β/α)≠0, то α и β наз бмв одного порядка (zbx^2 и 2x^2). O
iflimβ/α=0, то β-бм - высокого порядка чем α.О
бмв β наз бм nго
порядка относительно α, if lim β/αn
=A≠0. О.
if lim β/α=1, то α,β –эквивалентные бмв. Т.
If α, β-экивалентные бмв, то α-β-бмв - более высшего порядка, чем α и β. Д
. lim ((α-β)/α)=lim(1-β/α)=1-1=0 1
Зам lim.
SΔMOA
<Sсект
MCA
<SΔCOA
; SΔMOA
=½OA*MB= ½ sinx; Sсект
MCA
= ½ x*1= ½ x; SΔ
COA
= ½ OA*AC= ½ tgx; sinx<x<tgx |:x; 1<x/sinx<1/cosx; 1>sinx/x>cosx; sinx/x-1; sin(-x)/-x=sinx/x; cos (-x)=cosx2 зам lim.
Т .
переменная величина (1+ 1/n)n
, при n-∞ имеет lim заключенный между числами 2 и 3. (1-1/n)n
=1+n*1/n+n(n-1)/2n2
+n(n-1)(n-1)/(2*3*n3
)…=1+1+½(1-1/n){<1}+ 1/(1*2*3) (1-1/n{<1})(1-2/n{<1})+…+1/(1*2*…n)*(1-1/n{<1})*(1-2/n{<1})…(1-(n-1)/n). При переходе от n к n+1 добавляется 1 слагаемое, каждое слагаемое возрастает. Это выражение является - последовательностью. Полагаем, что она ограничена. {2<}(1+1/n)n
<1+1+1/ (1*2)+1/(1*2*3){1/22
}+…+(1/(1*2*3…n)<1+2+½+1/22
+1/2n
-1
=1+(2-(½ )n
-1
)<3 -и огран последов. Непрерывность f.
у=f(х) х=х0+Δх. Δf=f(х)-f(х0)=f(х0+Δх)-f(х0); f(х)=f(х0)+ Δf. О.
f f(х) наз непрерывной в - х0, if она опр в этой - и в неd ее окрестности и lim Δf=0(Δх-0).( Δх-0) lim (f(х0+ Δх)-f(х0))=0, lim f(х0+ Δх)=f(х0). х-х0 lim f(х)=f(х0)- lim f в -=значению в этой -. Zb у=х2
докажем, что f непрерывна в -х0. Δf=(х0+ Δх)2
-х02
=х02
+2х0Δх+(Δх)2
-х02
=2х0Δх+(Δх)2
. lim Δf{x-0}=l (2x0Δx+(Δx)2
)=0. Т.
If f f1 и f2 непрерывны в - х0, то их Σ тоже непрерывна в - х0. Д
. φ(х)=f1(х)+f2(х). {x-x0}lim φ(x)=lim(f1(x)+f2(x))=Limf1(x)+limf2(x)=f1(x0)+f2(x0)=φ(x0). Следствие:
Т справедлива для " конечного числа слагаемых. Т1
. произведение 2 непрерывных f будет есть непрерывная f. 2.
частное 2 непрерывных f будет непрерывной f, if знаменатель не обращается в 0. 3.
if f u=f(х)непрерывна в - х0 и f f(u) непрерывна в -u0=φ(х), то сложная f f(φ(u))непрерывна в - х0. Т.
Всякая элементарная f непрерывна в каждой - в d она определена (sin,log…). О.
if f f(х) непрерывна в каждой - неd интервала (a;b), то говорят что она непрерывна на этом интервале. О.
if f определена при х=а и lim f(х)=f(а) {x-a+}, то говорят что f непрерывна в - а справа, аналогично слева. О.
if f(х) непрерывна в каждой - интервала (a;b), в - а непрерывна справа, f в - в слева(а<в ), то говорят, что f f непрерывна на отрезке (a;b). О.
if в - х0 не выполняется АО крайней мере 1 из условий непрерывной, т.е. if при х=х0 f неопределенна или не существует lim f(х){x-x0} or он ≠ значению f в -, то говорят, что f разрывна в - х0. - х0 в э том случае - разрыва f. Классификация
-
разрыва.
1) if $ lim f(х), но f неопределенна в этой -, либо нарушено условие lim f(х)≠f(x0){x-x0}, тогда х0 наз - устранимого разрыва 2) не$ lim f(х){x-x0}, но $ lim справа и слева, limf(x){x-x0+}≠limf(x){x-x0-}-f имеет разрыв 1 рода.3)if хотя бы 1 lim не$ or =∞, то говорят, что f имеет разрыв 2 рода. Свойства непрерывной f.
Т
if f f(х) непрерывна на неd отрезке [а;в], то на этом отрезке найдется по крайней мере 1 - х, такая, что значение f в этой - будет удовлетворять соотношению: f(х1)≥f(х), где х-" др - отрезка. Значение f(х1) наз наибольшим значением f f(х) на [a;b]. Т.
Пусть f f(х) непрерывна на [a;b] и на концах этого отр принимает значение разных знаков, тогда между - а и в найдется по крайнем мере 1 - с, такая что она будет =0. Т.
Пусть f f(х) определена и непрерывна на [a;b], if на концах этого отрезка f принимает ≠ значении А и В (A<B), то для " числа μ "MA≤M≤B$c: f(c)=μ. Следствие:
if f у=f(х) непрерывна на неd интервале, она принимает по крайней мере 1 раз ",заключенное между ее наибольшим и наименьшим значениями. Производная f.
.
Пусть f f=f(х) опред в неd внутренней - интервала (а;в). Зададим аргументу х в - х0 произвольное приращение Δх такое, что -x0+ Δх также находится на (а;в). Тогда f у=f(х) получит приращение Δу=f(х0+Δх)-f(х0), d, является f приращения аргумента Δх при фиксированном х0. О. lim Δу/Δх при Δх-0 (if существует) наз производной f у=f(х) в - х0 и обознач {Δx-0}lim Δу/Δх=lim (f(х0+Δх)-f(х0))/хΔ. Операция нах производной наз дифференцирование. Геометрический смысл производной.
If М1-М0 секущая-занять предельное значение. Прямая занимающая предельное положение наз касательной. Tgφ=Δf/Δxtgα={Mn-M0}limtgφ={Δx-0}limΔf/Δx=f `(x). Значение произв в - = tg < накл касательной к оси ох. F f(х) наз дифференцируемой в - х, if Δf предоставлена в виде Δf=АΔх+α(Δх)*Δх, где А-число, α(х)-бмв при Δх-0. Т.
Дифференцируемость f в - эквивалентно существованию производной {Δx-0} lim Δf/Δx=lim (AΔx+α(Δx)Δx)/Δx=0(Δx)=lim (A+α(Δx))=A; Δf/Δx=f `(x)+α(Δx). Т.
If дифференцируема в -, то она непрерывна в этой -. Д
. f `(x)={Δx-0}limΔf/Δx, Δf=f `(x)Δx+α(Δx)Δx, lim Δf=lim (f `(x)Δx{бмв}+α(Δx)Δx{бмв})=0 обратное неверно. Основные Т о производных.
Т.
Производная Σ конечного числа f = Σих произведений, if последние сществуют. Д.
f(x)= u(x)+v(x), f(x+Δx)=f(x)+Δf, u(x+Δx)=u(x)+Δu; v(x+Δx)=v(x)+Δv; Δf=Δu+Δv; f(x+Δx)-f(x)=u(x+Δx)+v(x+Δx)-u(x)-v(x); f `={Δx-0} lim Δf/Δx=lim (Δu+Δv)/Δx=lim Δu/Δx+lim Δv/Δx=u`+v`. Т
. If f=uv-f `=u`v+v`u, ifu` и v` существуют. F(x+Δx)=u(x+Δx)v(x+Δx)=(u(x)+Δu)(v(x)+Δv)=u(x)v(x)+ u(x)Δv+Δuv(x)+ΔuΔv; Δf=u(x)v(x)+u(x)Δv+Δuv(x); f `(x)={Δx-0}lim (u(x)v(x)+u(x)Δv+Δuv(x))/Δx=lim (u(x)Δv)/Δx + limv(x)*Δu/Δx+limΔv*Δu/Δx=u(x)v`(x)+v(x)u`(x) Т.
f= v(x)*u/v≠0 f `=(u`(x)-≠0 f `=(u`(x)-v`(x))/v2
. Δf=u(Δx+x)/v(x+Δx) – u(x)/v(x)=u(x+Δx)/v(x+Δx)=u(x+Δx)/v(x+Δx)=(Δu+u(x))/(Δv+v(x)) – u(x)/v(x)=(v(x)Δu-u(x)Δv))/((Δv-v(x))v(x)). F `={Δx-0}lim [(v(x)Δu-u(x)Δv)/Δx]/(v(x)(Δv+v(x)))=lim [v(x)*Δu/Δx – u(x)*Δv/Δx]/(v(x)(Δv+v(x)))=(vu`-uv`)/v2
Дифференциал.
F у=f(х) наз дифференцируемой в - х0, if ее приращение Δу=f(х0+ Δх0)-f(х0)в этой - можно представить в виде Δу=А(х0)Δх-α(Δх), где А(х0) не зависит от Δх и α(Δх) f от Δх, такая что α(Δх)/Δх-0, при Δх-0. приращение f состоит из 2 частей: А(х0)Δх – главная часть приращения, линейно зависимая от приращение Δх аргумента, и α(Δх)-нелинейная f от аргумента Δх, d является бм высшего порядка малости по сравнению с Δх при Δх-0, т.е. α(Δх)=0(Δх). Для того чтобы f f(х) была дифференцируемой в - х0, необходимо и достаточно, чтобы она имела конечную производную в этой -, тогда А(х0)=f `(х0). Обозначается df(x0)=f `(x0)Δx. Дифференциал f у=f(х) обозначается dy. F`(x)=dy/dx, ory`=dy/dx. Производная и дифференциалы разл порядков
. О.
пусть f дифференцируемая на интервале (а;в). Производную f `(x) наз производной 1 порядка, или 1 производной f f(х). if f f `(x) дифференцируема на (а;в), то ее производную наз 2 производной, или производной 2 порядка f f(х) и обозначается f ``(x) orf(2)
(x), fxx
``(x), т.е. f ``(x)=(f`(x))`. Производная n-го порядка: f^(n)(x)=(f^(n-1)(х))`, if на интервале (а;в) существует дифференцируемая функция f^(n-1)(х). по определению полагают f(0)
(х)=f(х), т.е. f f(х) наз нулевой производной. Физ смысл: if s=s(t)-закон прямолин движения маериальн -, то s``(t) есть ускорение этой - в момент времени t. Т. Ролля.
If f f(х) непрерывна на отрезке [а;в] дифференцируется на интервале (а;в) и f(а)=f(в)=0, то внутри [а;в] $- с, в d производная=0.Д
т.к. f f(х) непрерывна на отрезке [а;в], то она имеет на [а;в] наибольшее значение M и наименьшее значение m. If M=m, то f(х)=constf `(x)=0 "x. If M≠m, то по крайнем мере 1 из этих чисел =0. пусть для определения M>0 и f принимая max знач при х=с. f(c)=M; c≠a; c≠b, т.к. f(а)=0 и f(в)=0; F(c+Δx)-f(c)<0; (f(x+ Δx) –f(c)){<0, ifΔx>0}/Δx{>0, if Δx<0} Δx-0. f `(c)≤0 f `(c)≥0-f `(c)=0. геометрическое истолкование. If непрерывная прямая имеющая в каждой - касательную пересекающую ох, - с абциссами а и в, то на этой прямой существует по крайней мере 1 -, касс и d //ох. Замечание
: 1) док Т для f, d на концах отрезка не обр в 0, но принимает = значения. 2) if f f такова, что f ` $ не во всяких - отрезка, то утверждение Т может быть неверно. Т. Лагранжа
. If f непрерывна на [а;в] и дифференцируема на (а;в), то внутри отрезка $ по крайней мере 1 - с, такая что f(в)-f(а)=f `с(в-а); а=(f(в)-f(а))/в-а; F(х)=f(х)-f(а)-а(х-а). F(х) непрерывна на [а;в] дифференцируема на (а;в) и обр в 0 на концах отрезка. F(в)=f(в)-f(а)=(f(в)-f(а))(в-а)/(в-а)=0=F(х) выполн усл N Ролля. $ с: F`(с)=0; F`=f `(х)-Q; f `(x)- Q=0; f `(c)=(f(b)-f(a))/(b-a). рассмотрим хорду АВ: tgα=l=q (a;f(a)) y-f(a)=Q(x-a) AB: y=f(a)+Q(x-a). if во всех - внутри [а;в] сущ касс, то $ с на дуге, касательная в d // хорде. Для хорд угловой коэффиц = Q. Т. Коши.
If f(х) и φ(х) 2 f непрерывные на [а;в] и дифференцируемы, причем f ` нигде внутри отр не обращ в 0, то внутри отрезка [а;в] $ с: (f(в)-f(а))/(φ(в)-φ(а))=f `(c)/φ`(c); Q= (f(в)-f(а))/(φ(в)-φ(а))≠0, т.к. иначе f φ(х) удовлет бы усл Ролля. F`(c)=0. F(x)=f(x)-f `(a)-Q(φ(x)- φ(x)); F(a)=F(b)=0; F(x)-удовлетв всем условиям N Ролля-$ с из (а;в): F`(с) =0 F`(x)=f `(x)-Qiφ(x); f `
.
Пусть f f(х) и φ(х) на [а;в] удовлетв условию Т Коши, обращаются в 0 в - а; f(а)=φ(а)=0. Тогда $ lim f `(x)/φ`(x){x-a+}-$limf(x)/φ(x) {x-a}, применяем Т Коши: (f(х)-f(а))/(φ(х)-φ(а))=f `(ξ)/φ(ξ); f(x)/φ(x)=f `(ξ)/φ`(ξ) ξc(a;x). {x-a+}limf(x)/φ(x)=limf `(ξ)/φ`(ξ)={ξ-a+}limf `(ξ)/φ`(ξ)={x-a+}limf `(x)/φ`(x). If на месте неd [с;а] тоож выполн условия Т для f и φ, то Т верна для х-а (для х-а- аналогично). Т
имеет место if f и φ неопределеныпри х=а, но {x-a}lim f(х)=0 lim φ(х)=0. можно определ f f и φ в - f, так чтобы они стали непрерывны в - а1. f(а)=0 φ(а)=0 (по опр). Формула Тейлора
. Предположим f f(х) имеет все производные до n+1 порядка включительно в неd промежутке, содержащим -а. найдем многочлен Рn(х) в х 5 n, знач d в -а и значение производных дл n порядка = значениям соответствующих производных от f f(х), т.е. Рn(а)=f(а)…Рnn
(a)=fn
(a) Pn(x)=C0+C1(x-a)+C2(x-a)2
+Cn(x-a)n
; Pn`(x)=C1+2C1(x-a)+…nCn(x-a)n
-1
Pn(
n
)
(x)=n!Cn; f(a)=Pn(a)=C0; f `(a)=Pn`(a)=C1; f ``(a)=Pn``(a)=2C2; fn
(a)=Pn(
n
)
(a)=n!Cn; Ck=f(
k
)
(a)/k! K=0,1…n; PN(x)=f(a)+f `(a)(x-a)+(x-a)2
*f ``(a)/2! + …+(x-a)n
*f(n)
(a)/n!; Rn(x)=f(x)-Pn(x); f(x)=Pn(x)+Rn(x) Необходимое
сущ
экстремума
. If диф f у=f(х) имеетв-х1 max or min, то f `(x1)=0 Д
. предположимдляопр-ти, что max тогда f(x1+ Δx)<f(x1) Δx-0; (f(x1+Δx)-f(x1))/2 {<0 , Δx>0; >0, Δx<0} -f `(x)≥0{≤0}-f``(x1)=0. для min также, толькоспротивзнаками. Обратное не верно. If f `(х1)=0, не значит, что в этой -будет экстремум. - в d не$ or =0, такие - наз критическими. Достаточное условие сущ экстремума.
Пусть f(х) непрерывна в неd интервале, содержащим - х1, и дифференциуема во всех - этого интервала (кроме - х1). If при переходе слева направо через - х1 производная меняет знак с + на -, то х1--max, Ifc – на +, -min. Д.
пусть производная меняет знак с + на -, тогда для х достаточно близких к х1 f `(x)>0, x<x1 и f `(x)<0, x>x1. применим Т Лагранжа: f(x)-f(x1)=f `(c)(x-x1) 1)x<x1-c<x1, f `(c)=0,f `(c{>0}) (x-x1{>0}); f(x)-f(x1)<0 f(x)<f(x1) 2)x>x1-c>x1, f `(c)<0; f `(c{<0}0(x-x1{>0}) f(x)-f(x1)<0 f(x)<f(x1)-- х1 - - мах. Для -min аналогично. if непрерывность не выполняется Т не верна.Выпуклость и вогнутость.
О.
говорят. Что кривая обращена выпуклостью вверх на интервале [а;в] if все - кривой лежат ниже " ее касательной на этом интервале. Т.
If во всех - интервала [а;в] f ``(x)<0, то кривая у=f(х) выпукла вверх. У=f(х), неу=f(х0)+f `(х0)(х-х0), у-неу=f(х)-f(х0)-f ‘(х0)(х-х0)=f ‘(с)(х-х0)-f ‘(х0)(х-х0)=(f ‘(с)-f ‘(х0))(х-х0)=f ‘‘(с1)(с-х0)(х-х0) с1 э (х0;с) находится между 1)х>х0-x0<c1<c<x-x-x0>0, c-x0>0 f ``(c1)<0-y-ney<0 2)x<x0-x<c1<x0-x-x0<0, c-[0<0, f ``(c1)<0-y-ney<0-ney>y. "- кривой лежит ниже касательной этой кривой, " х и х0 из интервала [a;b] - кривая выпукла в вверх. Т
. Пусть кривая определена Ур у=f(х), if f ``(a)=0 orf ``(a) ne$ и при переходе через - а меняется знак, то а -
перегиба. Асимптоты.
Прямая l наз F кривой, if расстояние Δ от переменой - M кривой до этой прямой при удалении - M в бесконечность-0 1. вертикальная А.
для того, чтобы прямая х=а являлась верт А гр f у=f(х) чтобы обращался в беск хотя бы 1 из lim: {x-a+0}lim f(х)=∞ {x-a-0}limf(x)=∞ 2. наклонная А. для того чтобы y=kx+b была накл А надо чтобы сущ оба lim: k={x-∞}lim (f(x))/x; b={x-∞} lim(f(x)-kx). If lim сущ только при х-∞+(х-∞-) то А будет правосторон (левосторон). if k=0, то А -горизонтальная Производная сложной
f
.
предположим в ур z=F(u,v) u и vf независимых переменных х и у. u=φ(x,y) v=ψ(x,y), z-сложная f, пусть f Пб ψ,φ имеют непрерывные частные производные по своим производным. зададим Δх,сохран у неизменным.Тогда Δx
u,Δx
v;Δz=∂F/∂u*Δx
u+ ∂F/∂v*Δx
v+γ1Δx
u+γ2Δx
v |:ΔxΔz/Δx=∂F/∂u*Δx
u/Δx+∂F/∂u*Δx
v/Δx+γ1{-0}+γ2{-0}; ∂z/∂x={Δx-0}limΔz/Δx=∂F/∂u*∂u/∂x+∂F/∂v*∂v/∂x; zbz=ln(u2
+v) u= e^(x+y2
) v=x2
+y; ∂z/∂u=2u/(u2
+v); ∂z/∂v=1/(u2
+v); ∂u/∂x=e^(x+y2
) ∂v/∂x=2x ∂z/∂x= e^(x+y2
)*2u/(u2
+v)+2x/(u2
+v). Выражение полного дифференциала 1 порядк имеют тот же вид, являются ли u и v независимыми переменными от f независимых переменных (с формами дифференциала инварианта). Производная неявной функции
Т.
пусть непрерывная f у(х) задана неявно уравнением F(х,у)=0, где F, F‘х, F‘у непрерывные f в неd области Д содержащей - (х,у), координаты d удовлетворяют этому уравнению. Кроме того F‘у≠0. y`x=- F`x/F`y. Частные производные различных порядков.
Z=f(x;y)s ∂z/∂x=∂/∂x*(∂z/∂x); ∂2
z/∂x∂y=∂/∂y*(∂z/∂x) ∂2
z/∂y∂x=∂/∂x*(∂z/∂y); f=x2
y+y3
; ∂f/∂x =2xy ∂2
f/∂x2
=∂/∂x*(2xy)=2y; ∂f/∂y=x2
+3y2
∂2
f/∂y2
=6y; ∂2
f/∂x∂y=∂/∂y*(2xy)=2x; ∂2
f/∂y∂x=∂/∂x*(x2
+3y2
)=2. T
.
if f f(х,у) и ее частные производные f `x, f `y, f ``xy, f ``yx, определены и непрерывны в - и неd ее окрестности, то в этой - ∂2
f/∂x∂y=∂2
f/∂y∂x. Производная по направлению.
Проведем из - M вектор S{в} направляющая косинус dSo
{в}(cosa,λ,β). Рассмотрим на векторе S на расстоянии ΔS от его начала - М1(х+Δх,у+Δу, z+Δz). Пусть f u непрерывна и имеет непрерывные частные производные в Д. Δu=∂u/∂x*Δx+∂u/∂y*Δy+∂u/∂z*Δz+E1Δx+E2Δy+E3Δz{Ei-бмв}; Δu/ΔS=∂u/∂x*Δx/Δs+ ∂u/∂y* Δy/Δs+∂u/∂z*Δz/Δs+E1*Δx/Δs+E2*Δx/Δs+E3*Δx/Δs координаты вектора / на длину Δx/ΔS=cosx; Δy/ΔS=cosβ; Δz/ΔS= cosλ; Δu/ΔS=∂u/∂x*cosα+∂u/∂y*cosβ+ ∂z/∂x*cosλ+E1cosα+E2cosβ+E3cosλ; {ΔS-0}limΔu/ΔxS=∂u/∂x*cosα+∂u/∂y*cosβ+∂z/∂x*cosλ=∂u/∂S{производная по направлению} Градиент.
Gradu=∂u/∂x*i+ ∂u/∂y*j+∂u/∂z*kТ
. Производная ∂u/∂S по направлению неd вектора S=проекции вектора-градиент u на вектор S. Д.
рассмотрим единичный вектор S0
; (gradu, S0
)=∂u/∂x*cosα+∂u/∂y*cosβ+∂z/∂x*cosλ=∂u/∂S=проекцииS
0
gradu, if ввести угол меду векторами φ ∂u/∂S=|gradu|cos φ. Св-ва.:
1)производная в данной- по направлению S{в} имеет наиб значение, if по направлению вектора S совпад с направ grad. Это наибольш знач =|gradu |2)производная по направл ветора перпендик grad=0 Матрица.
Матрицей размера тХп
называют прямоугольную таблицу, содержащую т
строк и п
столбцов. Элементы таких таблиц могут иметь произвольную природу, но в этой главе мы будем считать, что элементами матриц являются действительные числа. Строки и столбцы матрицы последовательно нумеруются, и элемент матрицы, расположенный на пересечении i-ой строки и j-го столбца, обозначается символом а.
Сами матрицы обычно обозначают заглавными буквами латинского алфавита. Если число строк матрицы совпадает с числом столбцов (т = п),
то матрицу называют квадратной
и говорят, что квадратная матрица имеет порядок п
Элементы а11
, а22
, ..., ат
m
называются диагональными
и образуют главную диагональ
квадратной матрицы. Квадратная матрица
называется треугольной,
если равны нулю все ее элементы, расположенные ниже (выше) главной диагонали. Квадратная матрица называется диагональной,
если равны нулю все ее элементы, расположенные вне главной диагонали. Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной
и обозначается буквой Е. Матричная форма записи.
AX=B. Определитель
. О.
Определитель-квадратной матрицы 2 порядка наз число а11*а22-а12*а21. опр n порядка-а11*А11+а12*А12+..а1nА1n, где F-минор. Св-ва:
1) |АТ
|=|А| 2)if поменять местами 2 строки поменяется только знак 3)опр у d 2 строки =, опр=0 4)общий множитель строки можно вынести за знак определителя. 5)if эл строки =0, опр=0 6)if эл строки пропорциональны эл др строки, опр=0 7)if эл к-л стр представлены в виде 2 слагаемых, то определ может быть в виде суммы 2 соответствущ опр 8)опр не измен if к жл к-л строки прибавить соотв эл любой др строки, умноженное на 1 число 9)опр треугольн матр=произвед эл, располож на гл диагонали 10)опр произвед 2 кв матр =произвед их опред: |АВ|=|А||В|=|ВА|. Обратная матрица.
Матрица А-1
наз обратной if вып равенство: А-1
А=АА-1
=Е, Е-единичная матрица. Т.
Обр матр существует когда она невырождена, т.е ≠0 Д.
предположим А имеет обратную матр, но опр F=0, тогда |А-1
А|=|Е|=1, f с др стороны |A-1
A|=|A-1
||A|=|A-1
|*0=0, мы пришли к противоречию. Ранг матрицы
наз число = наибольшему из порядков отличных от нуля миноров этой матрицы. Обозначается r(A) Т ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы. Ранг матрицы числу ненулевых строк матрицы после ее привдения к треугольному или трапецивидному виду. Т(Кронекер-капелли) система линейных уравнений совместа тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы = рангу расширенной матрицы системы, т.е. r(A)=r(неA) Критерий существования нетривиальных решении.
1)однородная система линейных уравнений имеет единственное решение V ранг матрицы системы = числу неизвестных r(A)=n; 2)однородная система имеет хотя бы 1 нетривиальное значение. Линейные операции над векторами
.
1)произведением вектора а на число t наз вектор ta, направление d совпадает с направлением вектора а, if t>0, и противоположное if t<0 Т. Не0 векторы а и в коллинеарны V, if сущ число t, такое что а=tв Д.
if векторы а и в коллинеарны, то имея общую - они будут иметь и общую линию действия-t=|а|/|в| or -|а|/|в| в зависимости сонаправлены векторы or нет. Единственность t очевидна: при умножении вектора в на разн числа получаются разл векторы. О.
суммой а+в векторов наз диагональ треугольника or пар-мма. Св-ва 1)a+b=b+a 2)(a+b)+c= a+(b+c) 3)a+0=a 4) a+(-a)=0 5)1*a=a 6)λ(μ*a)=(λ*μ)*a; 7) (λ+μ)*a=λ*a+μ*a 8) λ(a+b)=λa+ λb. В математике принято называть линейным (или векторным пространством
всякое множество, если1) на элементах множества определены две операции: одн; из них, называемая суммой
элементов, любым двум элемеитам мно жества ставит в соответствие по некоторому правилу третий элемен' этого множества, а вторая, называемая произведением на число,
каж дому элементу множества и всякому числу ставит в соответстви( определенный элемент множества;2) эти операции обладают всеми восьмью свойствами, пере численными выше.Линейная независимость и линейная зависимость векторов.
О
. векторы а1, а2, аn наз линейно независимыми if 0 =только их травиальная линейная комбинация О. векторы а1, а2, аn наз линейно зависимыми if сущ хотя бы 1 нетривиальная линейная комбинация этих векторов = 0. Т.
Векторы а1, а2, аn будут линейно зависимыми if среди них имеется хотя бы 1 нулевой вектор. Д.
Действительно, считая равными нулю коэффициенты линейной комбинации этих векторов перед ненулевыми векторами и отличными от нуля перед нулевыми векторами, получим равную нулю нетривиальную линейную комбинацию этих векторов. Т
if среди векторов а1, а2, ..., ап имеется хотя бы 2 линейно-зависимых вектора, то тогда и все эти векторы будут линейно зависимыми. Д.
Выделим среди рассматриваемых векторов линейно зависимыевекторы и составим из них равную нулю нетривиальную линейнуюкомбинацию. Если к ней присоединить любую тривиальную комбинацию оставшихся векторов, то получим равную нулю нетривиальную линейную комбинацию уже всех векторов. Поэтому они линейно зависимы Т.
векторы а1, а2, аn линейно зависимы V 1 из них может быть разложен по оставшимся векторам. Единственность разложения вектора по базису.
Д.
Предположим что это не так и возможны 2 разных разложения вектора а по базису ē1,ē2, ēn. Пусть ā=а1 ē1+…+an* ēn ā=b1 ē1+…+bn* ēn -(a1-b1) ē1+…+(an-bn)ēn=0 Векторы базиса по определению линейно независимы, поэтому нулю может равняться только их тривиальная линейная комбинация, то есть все её коэффициенты должны быть нулями. Это возможно только в том случае, если a1=b1…an=bn. Значит неверно предположение о том, что разложение вектора по базису не единственно.Углом между двумя векторами
будем называть тот угол между ними, который не превосходит П.Прямую линию с заданным на ней направлением называют осью. Обычно ось задается вектором, с линией действия и направлением которого она совпадает. Ось, задаваемую вектором а, будем называть осью а.Пусть произвольно заданы вектор АВ и ось b. Обозначим буквами А`и В' основания перпендикуляров, опущенных на ось bсоответственно из точек А и В. Проекцией вектора АВ
на ось b(символическое обозначение прb
АВ) называют число, равное |А'В'|, если направления вектора А'В' и оси bсовпадают и равное - |А'В'|, если эти направления противоположны.Проекцию вектора а на ось, определяемую вектором b, будем называть проекцией вектора а на вектор b. Cв-ва: 1. прв
а - а •соs α, где α - угол между векторами а и b;2. прв
а не зависит от b;3. декартовы координаты вектора равны проекциям этого вектора на соответствующие базисные вектора i, j, k. Скалярное произведение векторов
. Наз число= произвед длин эти векторов на cоs угла между ними