: к
/
=.
8. Рівняння прямої, що проходить через дану точку (х1
,у1
)
:
у-у1
=к(х-х1
)
9. Рівняння прямої, що проходить через дві точки (х1
,у1
)
і (х2
,у2
)
:
10. Рівняння прямої, що відтинає відрізки а
і в
на осях координат:
11. Загальне рівняння прямої:
Ах+Ву+С=0, (А2
+В2
¹
0).
12. Відстань від точки (х1
,у1
)
до прямої Ах+Ву+С=0:
d
=
13. Рівняння кола з центром (х0
,у0
)
і радіусом R
:
(х-х0
)2
+(у-у0
)2
=
R2
14. Канонічне рівняння еліпса з півосями а
і в
:
(1)
Фокуси еліпса F(c;0)
i F/
(-c;0)
, де с2
=а2
-в2
15. Фокальні радіуси точки (х,у)
еліпса (1):
r=a-Ex; r/
=a+Ex,
де Е=
- ексцентриситет еліпса.
16. Канонічне рівняння гіперболи з півосями а
і в
:
(2)
2
нерівностями a
£
x
£
b, y1
(x)
£
y
£
y2
(x), z1
(x, y)
£
z
£
z2
(x, y)
де yi
(x)
, zі
(x, y), (і=1, 2)
– неперервні функції, то потрійний інтеграл в прямокутних координатах від неперервної функції f(x, y z)
можна обчислити за формулою:
.
Для заміток.
І. Аналітична геометрія на площині.
1. Паралельне перенесення системи координат:
х
'
=х-а, у
'
=у-в,
де О
'
(а;в)
- новий початок, (х;у)
- старі координати точки, [
х
'
;у
'
]
- її нові координати.
2. Поворот системи координат (при нерухомому початку):
х=
х
'
cos
a
-
у
'
sin
a
; y=
x
'
sin
a
+
y
'
cоs
a
,
де (х,у)
- старі координати точки, [х'
,у'
]
- її нові координати, a
- кут повороту.
3. Відстань між точками (х1
,у1
)
і (х2
,у2
)
:
d=
4. Координати точки, що ділить відрізок з кінцями (х1
,у1
)
і (х2
,у2
)
в даному відношенні l:
x=
y=
.
При l=1, маємо координати середини відрізка:
х
=у
=.
5. Площа трикутника з вершинами (х1
,у1
), (х2
,у2
)
і (х3
,у3
)
:
S
=.
6. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом:
у=кх+в,
де к=
tg
j
(кутовий коефіцієнт) - нахил прямої до осі Ох
,
в - довжина відрізка, що відтинає пряма на осі Оу
.
7. tg
q
=
- тангенс кута між прямими з кутовими коефіцієнтами к
і к/
.
Умова паралельності прямих: к/
=к
.
1
24. Параметричні рівняння еліпса з півосями а
і в
:
x=a cos t, y=b sin t.
25. Параметричні рівняння циклоїди:
x=a(t-sin t), y=a(1-cos t)
.
II.
Диференціальне числення функцій
однієї змінної.
1. Основні теореми про границі:
а)
б)
Зокрема,
в)
2. Чудові границі:
а) б)
3. Зв'язок між десятковими та натуральними логарифмами:
lg x=
М ln x,
де М=
lg e=0,43429…
4. Приріст функції у=
f(x),
що відповідає приросту
аргументу х
:
5. Умова неперервності функції у=
f(x)
:
Основна властивість неперервної функції:
6. Похідна
Геометрично y /
=
f /
(x)
- кутовий коефіцієнт дотичної до
4
XI. Подвійні та потрійні інтеграли.
1. Подвійним інтегралом від функції f(x, y)
, розповсюдженим на область S
, називається число:
, (1)
де (хі
, уі
) є
D
Si
(
і=1, 2,…
n)
і d
– найбільший діаметр комірок D
Si
.
Якщо f(x, y)
³
0
, то геометрично інтеграл (1) являє собою об’єм прямого циліндроїда, побудованого на основі S
і обмеженого зверху поверхнею z=f(x, y)
.
2. Якщо область інтегрування S
стандартна відносно осі Оу
і визначається нерівностями a
£
x
£
b
, y1
(x)
£
y
£
y2
(x)
,
де y1
(x),y2
(x)
– неперервні функції, то подвійний інтеграл в прямокутних декартових координатах від неперервної фуункції f(x, y)
виражається формулою:
.
3. Подвійний інтеграл в полярних координатах j
і r
,
де x=r cos
j
, y=rsin
j
має вигляд:
Якщо область інтегрування S
визначається нерівностями:a
£
j
£
b
, r1
(
j
)
£
r
£
r2
(
j
),
то
4. Якщо r
=
r
(х, у)
– поверхнева густина пластини S
, то її
маса є (2)
25
(фізичний зміст подвійного інтегралу). Зокрема, при r
=1
отримуємо формулу площі пластинки
5. Статистичні моменти пластинки S
відносно координатних осей Ох,Оу
виражаються інтегралами:
,
де r
=
r
(х, у)
– поверхнева густина пластинки S.
6. Координати центра мас пластинки S
визначаються за
формулами: , , (3)
де m
– маса пластинки.
Для однорідної пластинки в формулах (2), (3) приймаємо r
=1
.
7. Моменти інерції пластинки S
відносно координатних осей Ох
і Оу
виражається інтегралами:
, ,
де r
=
r
(х, у)
– поверхнева густина пластинки.
8. Потрійним інтегралом від функції f(x, y z),
розповсюдженим на область V
, називається число:
, (4)
де (
xi
, yi
, zi
) є
D
Vi
(i=1, 2, 3,…n)
, d
– найбільший діаметр комірок D
Vi
.
Якщо f(x, y z)
є густиною в точці (x, y z),
то потрійний інтеграл (4) являє собою масу, що заповнює об¢єм V
.
9. Об¢єм тіла V
дорівнює: .
10. Якщо область інтегрування V
визначається
26
Фокуси гіперболи F(c;0)
і F/
(-c;0)
, де с2
=а2
+в2
17. Фокальні радіуси точки (х,у)
гіперболи (2):
r=
±
(Ex-a), r/
=
±
(Ex+a),
де Е=
- ексцентриситет гіперболи.
18. Асимптоти гіперболи (2):
у=
.
19. Графік оберненої пропорційності
ху=с (с
¹
0)
- рівностороння гіпербола з асимптотами х=0, у=0.
20. Канонічне рівняння параболи з параметром р
:
у2
=2рх
Фокус параболи: F(p/2, 0)
:рівняння директриси: х=-(р/2)
; фокальний радіус точки (х,у)
параболи: r=x+(p/2)
.
21. Графік квадратного тричлена
у=Ах2
+Вх+С
- вертикальна парабола з вершиною
22. Полярні координати точки з прямокутними координатами х
і у
:
r
tg
j
=
Прямокутні координати точки з полярними координатами
r
і j
.
x=
r
cos
j
, y=
r
sin
j
.
23. Параметричні рівняння кола радіуса R
з центром в початку координат:
x=R cos t, y=R sin t.
(t
- параметр)
3
f
¢
/
(x0
)=0
або f
¢
/
(x0
)
не існує.
б) Достатні умови екструмуму функції f(x)
в точці x0
:
1) f
¢
/
(x0
)=0, f
¢
/
(x0
-h1
)f
¢
/
(x0
+h2
)<0
при довільних досить малихh1
>0
і h2
>0
, або
2) f
¢
/
(x0
)=0, f
¢¢
/
(x0
)
¹
0
12. - Графік функції y=f(x)
вгнутий (або випуклий вниз) якщо f
¢¢
/
(x)>0
i випуклий (випуклий вверх), якщо f
¢¢
/
(x)<0.
- Необхідна умова точки перегинy графіка функції
y=f(x)
при x=x0
: f
¢¢
/
(x0
)=0
або f
¢¢
/
(x0
)
не існує.
- Достатня умова точки перегину при х=х0
:
f
¢¢
(x0
)=0, f
¢¢
/
(x0
-h1
)f
''
(x0
+h2
)<0
при будь-яких досить малих h1
>0, h2
>0.
13. Якщо функція f(x)
неперервна на відрізку [
a
,
b
]
і f(
a
)f(
b
)<0,
то корінь x
рівняння f(x)=0
наближено можна обчислити за формулами:
а) (метод хорд)
б) , де f
¢
(
a
)
¹
0; f(
a
)-f
¢
(
a
)>0
(метод дотичних).
14. Диференціал незалежної змінної х
: dx=
∆
x
. Диференціал функції у=
f(x):dy=y
¢
dx
. Зв’язок приросту ∆
y
функції з диференціалом dy
функції:
∆
y=dy+
a
∆
x
, де a
→0
при ∆
х→0
.
Таблиця диференціалів функцій
.
1) dun
=nun-1
du
; 7) d(ctg u)=-
2) dau
=au
ln a du (a>0); deu
=eu
du
; 8) d(arcsin u)
=
3)d(loga
u)=
; 9) d(arccos u)=
-
6
| № п/п
|
Характер коренів
k1 i k2 характеристичного рівняння |
Вигляд загального розв
¢ язку |
| 1
|
Корені k1
i k2 дійсні і різні |
|
| 2
|
Корені рівні k1
= k2 |
|
| 3
|
Корені комплексні k1
= a +і b k2 = a -і b |
9. Таблиця 2
.
Характер частинного розв¢язку z-неоднорідного рівняння у
¢¢
+ру
¢
+
qy=f(x)
(p
i q
- сталі) в залежності від правої частини f(x).
| № п/п
|
Права частина
f(x) |
Випадки
|
Частинний розв
¢ язок |
1 |
f
|
1) m2
2) m2
a) p2
b) p2
|
z=Aemx
--------- z=Axemx
z=Ax2
|
| 2 | f(x)=Mcos
w x+Nsin w x (M,N, w - сталі, w ¹ 0 ) |
1) p2
2) p=0, q=
|
z=Acos
z=x(Acos
|
| 3 | f(x)=ax2
(a,b,c
|
1)
2) q=0, p
|
z=Ax2
z=x(Ax2
|
A, B, C
– сталі невизначенні коефіцієнти.
Х.Криволінійні інтеграли.
1. Криволінійний інтеграл першого роду від неперервної функції f(x, y)
, взятий по кусково гладкій кривій К
:x=x(t)
, y=y(t) (t
є
[
a
,
b
])
, дорівнює
(1)
Якщо крива К
задана рівнянням у=у(х) (
a
£
x
£
b
)
, то
23
Аналогічно визначається криволінійний інтеграл першого роду для випадку просторової кривої К
.
Якщо f(x, y
)
є лінійна густина лінії К
, то інтеграл (1) являє собою масу лінії К
.
2.Криволінійний інтеграл другого роду від пари неперервних функцій Х(х, у), У(х, у)
, взятий по кусково гладкому шляху К
:x=x(t), y=y(t) (t
є
[
a
,
b
])
, визначається за формулою:
(2)
Якщо шлях К
задано рівнянням у=у(х) (х є
[
a
,
b
]
)
, то
.
Фналогічно визначається криволінійний інтеграл другого роду для просторової кривої К
.
Фізично інтеграл (2) являє собою роботу змінної сили
F={X(x, y), Y(x, y)}
вздовж шляху К
.
3. Якщо виконується умова Х(х, у)
dx+Y(x, y)dy=dU(x, y)
, то інтеграл (2) незалежить від шляху інтегрування К
і
, (3)
де (х1
,у1
)
– початкова точка шляху і (х2
,у2
) – кінцева точка шляху.
Фізично інтеграл (3) являє собою роботу сили, що має потенціал U(x, y)
.
24
графіка функції у=
f(x)
в точці з абсцисою х
.
Правила і формули диференціювання:
а) C
¢
=0;
б) (U+V-W)
¢
=U
¢
+V
¢
-W
¢
;
в) (CU)
¢
=CU
¢
;
г) (UV)
¢
=U
¢
V+V
¢
U;
д)
е)
є) ; и) (х
n
)
¢
=
n xn-1
, x
¢
=1;
і) (
sin x
)
¢
=cos x;
ї) (
cos x
)
¢
=-sin x;
й) (
tg x
)
¢
=sec2
x;
к) (
с
tg
х
)
¢
=-cosec2
x;
л)м) (а
x
)
¢
=ax
ln a, (ex
)
¢
=ex
.
н) (а
rcsin x
)
¢
=
o) (arccos x)
¢
=
;
п) (
arctg x
)
¢
=
р) (arcctg x)
¢
=
7. Теорема Лагранжа про кінцеві прирости диференційовної функції:
f(x2
)-f(x1
)=(x2
-x1
)f
¢
/
(
x
),
де x
є (х1
,х2
).
8. Функія у=
f(x)
зростає, якщо f
¢
/
(x)>0
,і спадає, якщо f
¢
(x)<0
.
9. Правило Лопіталя для невизначеностей виду
або :
якщо границя з права існує.
10. Локальна формула Тейлора:
f(x)=f(x0
)+f
¢
/
(x0
)(x-x0
)+…+
де f(n)
(x)
існує в деякому повному околі точки х0
.
11.а) Необхідна умова екстремуму функції f(x)
в точці x0
:
5
6) .
7)
8)
9) .
10) .
11) .
12) де a
¹
0
.
13)
14)
3. Основні методи інтегрування.
а) метод розкладу:
, де f(x)=f1
(x)+f2
(x)
б) метод підстановки: якщо x=
j
(t)
, то
в) метод інтегрування частинами:
4. Формула Ньютона-Ле
- неперервна і F
¢
(x)=f(x)
, то
.
5. Визначений інтеграл, як границя інтегральної суми:
8
де , (
n=1, 2,…
)
.
IX.
Диференціальні рівняння.
1. Диференціальні рівняння з відокремленими змінними.
X(x)Y(y)dx+X1
(x)Y1
(y)dy=0
має загальний інтеграл: (1)
Особливі розв¢язки, що не входять в інтеграл (1), визначаються з рівнянь: Х1
(х)=0
і У1
(у)=0.
2. Однорідні диференціальні рівняння першого порядку:
P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0
,
де P(x, y)
і Q(x, y)
– щднорідні неперервні функції одинакового степеня, розв¢язуються за допомогою підстановки y=u
*
x
(u
– нова функція).
3. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку:
a(x)y
¢
+b(x)y+c(x)=0
можна розв¢язати за допомогою підстановки y=u
*
v
,
де u
– не нульовий розв¢язок однорідного рівняння
a(x)y
¢
+b(x)y=0
, а v
– нова функція.
4. Інтегровані випадки диференціального рівняння другого порядку:
а) якщо y
¢¢
=f(x)
, то загальний розв¢язок:
;
б) якщо y
¢¢
=f(у)
, то загальний інтеграл:
;
в) якщо y
¢¢
=f(у
¢
)
, то загальний інтеграл рівняння можна
21
знайти з співвідношення: , де у
¢
=р
.
5. Випадки пониження порядку для диференціального рівняння другого порядку:
а) якщо у
¢¢
=
f(x, y
¢
)
, то приймаючи у
¢
=р(х)
, отримуємо:
;
б) якщо у
¢¢
=
f(у, y
¢
)
, то приймаючи у
¢
=р(у)
, отримуємо:
.
6. Загальний розв¢язок лінійного однорідного диференці-ального рівняння другого порядку:
у
¢¢
+р(х)у
¢
+
q(x)y=0
має вигляд
у=С1
у1
+С2
у2
,
де у1
і у2
– лінійно незалежні частинні розв¢язки.
7. Загальний розв¢язок лінійного неоднорідного диференці-ального рівняння другого порядку:
у
¢¢
+р(х)у
¢
+
q(x)y=f(x)
має вигляд ,
де - загальний розв¢язок відповідного неоднорідного рівняння; z
– частинний розв¢язок даного неоднорідного рівняння.
8. Таблиця 1
.
Загальний вигляд розв¢язків однорідного рівняння у
¢¢
+ру
¢
+
qy=0
(p
i q
- сталі) в залежності від коренів характеристичного рівняння k2
+pk+q=0
.
22
(a>0,a
¹
1); d(ln u)=
4) d(sin u)=cos u du
; 10) d(arctg u)=
;
5) d(cos u)= -sin u du
; 11) d(arcctg u)=
6) d(tg u)=
12) df(u)=f
¢
(u)du
.
15.Малий приріст диференційованої функції:
f(x+
∆
x)-f(x)
»
f
¢
(x)
∆
x
16. Диференціал другого порядку функції у=
f(x)
, де х
- незалежна змінна (
d2
x
)=0
:
d2
y=у
''
dx2
.
III. Інтегральне числення.
1. Якщо dy=f(x)dx
, то y=
(незвичайний інтеграл).
2. Основні властивості незвичайного інтеграла:
а)
б) в) (А¹0)
г)
Таблиця найпростіших невизначених інтегралів
.
1) (
m
¹
-1
)
.
2) , (при х
<
0
i при x
>0
).
3) ;
4) (a
>0, a
¹
1
)
.
5) .
7
де h=(b-a)/n, x0
=a, xn
=b, y=f(x), yi
=f(x0
+ih), (i=0,1,2,…,n)
.
11. Формула Сімпсона:
де h=(b-a)/2.
12. Невласний інтеграл:
13.Площа криволінійної трапеції обмеженої неперервною лінією у=
f(x) (f(x)
³
0)
, віссю Ох
і двома вертикалями х=а
, х=
b (a<b)
: .
14. Площа сектора обмеженого неперервною лінією r
=
f(
j
)
(r
i j
- полярні координати) і двома промінями j
=
a
,
j
=
b
(
a
<
b
):
.
15. Довжина дуги гладкої кривої y=f(x)
в прямокутних координатах х
і у
від точки х=а
до точки х=
b (a<b)
:
.
16. Довжина дуги гладкої кривої r
=f(
j
)
в полярних координатах j
і r
від точки j
=
a
до точки j
=
b
(
a
<
b
)
:
,
17. Довжина дуги гладкої кривої х=
j
(t)
y
=
y
(t)
, задано параметрично(t0
<T)
:
18.Об’єм тіла з відомим поперечним перерізом S(x)
:
10
9. Ряд Маклорена.
10. Розклад в степеневі ряди функцій:
а) , при ê
x
ú
< 1
;
б) ln(1+x) = , при –1
<x
£
1
;
в) , при ê
x
ú
£
1
;
г) , при ê
x
ú
<
+
¥
;
д) ,
при ê
x
ú
<
+
¥
;
е) , при ê
x
ú
<
+
¥
;
ж) ,
при ê
x
ú
< 1
.
11. Ряд Тейлора
.
12. Ряди в комплексній області: .
13. Абсолютна збіжність рядів з коиплексними членами. Якщо ряд збігається, то ряд
19
також збігається (абсолютно).
14. Формули Ейлера:
, .
15. Тригонометричний ряд Фур
¢
є
кусково-гладкої функції f(x)
періоду 2
l
має вигляд:
, (1)
де , (
n=0, 1, 2,…
)
;
, (
n=1, 2,…
)
.
(коефіцієнти Фур¢є функції f(x)
). Для функції f(x)
періоду 2
p
маємо ,
де , (
n=0, 1, 2,…
)
.
В точках розриву функцій f(x)
сума ряду (1) дорівнює
16. Якщо 2l
– періодична функція f(x)
парна, то
,
де , (
n=0,1, 2,…
)
.
Якщо 2l
– періодична функція f(x)
непарна, то
,
20
де і
6. Основні властивості визначеного інтегралу (розглядувані функції неперервні):
а) ; б)
в) г)
д)
е)
ж)
7. Теорема про середнє: якщо f(x)
- неперервна на [a,b]
, то
, де а
<c<b
.
8. Формула інтегрування частинами у визначеному інтегралі:
9. Формула заміни змінної у визначеному інтегралі:
де а=
j
(
a
),
b
=
j
(
b
)
.
10. Формула трапецій: ,
9
z=r(cos
j
+isin
j
)
, де r=
ê
z
ú
;
j
=Arg z
5. Теореми про модуль та аргумент:
а) ê
z1
+z2
÷
£
ê
z1
ú
+
ê
z2
ú
; б) ê
z1
z2
÷
£
ê
z1
ú
ê
z2
ú
,
Arg z1
z2
=Arg z1
+Arg z2
;
в) Arg =Arg z1
-Arg z2
; (z2
¹
0)
;
г) ê
zn
÷
=
ê
z
ú
n
; Arg zn
=n Arg z
(n
- ціле).
6. Корінь з комплексного числа:
, (k
=0,1,2,…,
n-1
)
7. Показникова формула комплексного числа:
z = r ei
j
,
деz =
ê
z
ú
,
j
= Arg z
.
8. Визначник другого порядку:
.
9. Розв’язок системи знаходяться за формулами: х=
D
х/
D
; у=
D
у/
D
(правило Крамера), де
.
10. Розв’язок однорідної системи: визначається за формулами: х=
D
1
t, y=-
D
2
t, z=
D
3
t;
(-
¥
<t<
¥
),
де -
мінори матриці .
12
3. Повний диференціал функції z = f(x, y)
від незалежних змінних х, у
:
де dx=
D
x, dy=
D
y
.
Якщо U = f(x, y, z)
, то .
4. Малий приріст диференційованої функції:
5. Похідна функції U
= f(x, y)
по напряму l
, заданому одиничним вектором {cos
a
, cos
b
}
дорівнює:
.
Аналогічно, якщо U = f(x, y, z)
і{cos
a
, cos
b
, cos
g
}
– одиничний вектор напряму l,
то
6. Точки можливого екстремуму диференціальної функції U = f(x, y, z)
визначаються з рівнянь:
f
¢
х
(
x, y, z
)=0;
f
¢
y
(
x, y, z
)=0;
f
¢
z
(
x, y, z
)=0
7. Градієнтом скалярного поля U = f(x, y, z)
є вектор
Звідси .
8. Якщо P(x, y)dx + Q(x, y)dy
є повним диференціалом в області G
, то
17
((
x, y)
є
G)
.
(ознака повного диференціалу.).
VIII.
Ряди.
1.Основне означення: .
2. Необхідна ознака збіжності ряду:
якщо ряд збігається, то .
3. Геометрична прогресія: , якщо ê
q
ú
< 1
.
4. Гармонічний ряд 1 + 1/2 + 1/3 + …
(розбігається).
5. Ознака Даламбера
. Нехай для ряду (
Un
>0
)
існує
Тоді: а) Якщо l < 1
, то ряд збігається;
б) Якщо l > 1
, то ряд розбігається, Un
непрямує до 0
.
6. Абсолютна збіжність
. Якщо ряд збігається, то ряд також збігається (абсолютно).
7. Ознака Лейбніца
. Якщо і при , то знакозмінний ряд V1
-V2
+V3
-V4
+…
- збігається.
8. Радіус збіжності степеневого ряду а0
+а1
х+а2
х2
+…
визначається за формулою:, якщо остання має зміст.
18
.
19. Об’єм тіла обертання:
а) навколо осі Ох
: (
a<b
)
б) навколо осі Оу
: (
c<d
)
20. Робота змінної сили F=F(x)
на ділянці [a,b]
:
ІV. Комплексні числа, визначники та системи рівнянь.
1. Комплексне число z=x+iy
, де х=
Re z, y=Im z
- дійсні числа, і2
=-1.
Модуль комплексного числа:
Рівність комплексних чисел
:
z1
=z2
Û
Re z1
=Re z2
, Im z1
=Im z2
2. Спряжене число для комплексного числа z=x+iy:
3. Арифметичні дії над комплексними числами z1
=x1
+iy1
, z2
=x2
+iy2
:
a)
б)
в) (
z2
¹
0
)
Зокрема Re z =1/2 (z+), Im z= (z-)/2і
, ú
z
ê
2
=z
.
4. Тригонометрична форма комплексного числа:
11
V.
Елементи векторної алгебри.
1. Сумою векторів , ,
є вектор .
2. Різницею векторів і є вектор , де
- - вектор, протилежний вектору .
3. Добутком вектора на скаляр є вектор такий що , де і , причому напрям вектора співпадає з напрямком вектора , якщо k > 0
, і протилежний до нього, якщо k < 0
.
4. Вектор і колінеарні, якщо (k
- скаляр).
Вектори , , компланарні, якщо ,(k,l
-скаляри)
5. Скалярним добутком векторів і є число
, де j
=
<(
,
)
.
Вектори і ортогональні, якщо * = 0
.
Якщо і , то .
6. Векторним добутком векторів і є вектор ,
де , , (
j
=
<(a,b)
)
,
причому а, b, с
- права трійк.
Якщо і , то , де
i, j, k
- одиничні вектори (орти), напрямлені згідно з відповідними осями координатами.
7. Мішаний добуток являє собою об’єм (зі знаком) паралелепіпеда, побудованого на векторах а, b, с
.
Якщо , , , то
14
.
VI.
Аналітична геометрія в просторі.
1. Декартові прямокутні координати точки М(х, у,
z
)
простору Оху
z
є:
x=rx
, y=ry
, z=rz
, деr=
- радіус-вектор точки М
.
2. Довжина та напрям вектора а=
{ax
,ay
,az
}
визначаються формулами: ;
cos
a
=ax
/a; cos
b
=ay
/a; cos
g
=az
/a,
(cos2
a
+cos2
b
+cos2
g
=1),
де cos
a
, cos
b
, cos
g
- напрямні косинуси вектора а
.
3. Відстань між двома точками M1
(x1
,y1
,z1
)
i M2
(x2
,y2
,z2
)
:
.
4. Рівняння площини з нормальним вектором N={A,B,C}
¹
0
, що проходить через точку M0
(x0
,y0
,z0
)
є N
*
(r-r0
)=0,
…(1)
де r
- радіус-вектор текучої точки площини M(x,y,z)
і r0
- радіус-вектор точки М0
.
В координатах рівняння (1) має вид:
А(х-х0
)+В(у-у0
)+С(
z-z0
)=0
абоAx+By+Cz+D=0
(2)
де D= -Ax0
-By0
-Cz0
(згальне рівняння площини).
5. Відстань від точки M1
(x1
,y1
,z1
)
до площини (2) дорівнює:
6. Векторне рівняння прямої лінії в просторі:
r=r0
+st
(3)
15
де r{x,y,z}
- текучий радіус-вектор прямої; r0
{x0
,y0
,z0
}
- радіус-вектор фіксованої точки прямої, s{m,n,p}
¹
0
- напрямний вектор прямої і t
- параметр (-
¥
<t<+
¥
)
.
В координатній формі рівняння прямої (3) має вигляд:
.
7. Пряма лінія як перетин площин визначається рівняннями: (4)
Напрямним вектором прямої (4) є S=N
*
N
¢
, де N={A,B,C}
, N
¢
={A
¢
,B
¢
,C
¢
}
.
8. Рівняння сфери радіуса R
з центром (
x0
,y0
,z0
)
:
.
9. Рівняння трьохосьового еліпса з півосями a,b,c
:
.
10. Рівняння параболоїда обертання навколо осі О
z
:
x2
+y2
=2pz
.
VII.
Диференціальне числення функції
декількох змінних.
1. Умова некперервності функції z=f(x,y)
:
,
або
Аналогічно визначається неперервність функції f
(
x, y, z
)
.
2. Частинні похідні функції z = f(x, y)
по змінних х, у
:
16
11. Визначник третього порядку:
де - алгебраїчні
доповнення відповідних елементів визначника.
12. Розв’язок системи визначається за формулою Крамера х=
D
х/
D
; у=
D
у/
D
; z=
D
z/
D
,
де
.
13. Розв’язок однорідної системи , якщо
знаходяться з підсистеми: .
13