И.А. Латыпов, Омский государственный университет, кафедра математического анализа,
Кватернионную сферу S4n-1 естественно рассматривать как однородное пространство группы Sp(n), действие задается левыми сдвигами. В связи с этим возникает задача описания замкнутых Sp(n)-инвариантных подпространств L p при и пространства непрерывных функций на сфере S4n-1, решенная в данной работе.
1. Предварительные сведения из теории алгебр Ли.
Группу Sp(n,C) зададим как множество матриц, удовлетворяющих условию StJS=J, где , 1n - единичная матрица размером . Дифференцированием получим соотношение XtJ+JX=0 для элементов алгебры Ли sp(n,C), а в блочном виде B=Bt, C=Ct. Выберем базис :
Подалгебра диагональных матриц будет картановской, - корневая система, где . Неприводимое представление алгебры Ли характеризуется своим старшим весом, лежащим в доминантной камере Вейля и имеющим целочисленные координаты. Размерность неприводимого представления, соответствующего старшему весу , вычисляется по формуле
где - полусумма положительных корней. Порядок будем считать лексикографическим. Более подробную информацию об алгебрах Ли можно найти в [2].
2. Представления алгебры Ли sp(n,C) в пространствах H(p,q).
Введем обозначения: Ok- пространство однородных полиномов степени однородности k, O(p,q) - пространство однородных полиномов степени однородности p и q по переменным z и соответственно (однородность понимается в вещественном смысле), Hk - пространство гармонических полиномов из Ok, H(p,q) - пространство гармонических полиномов из O(p,q).
Рассмотрим сначала алгебру u(n). Выберем ее базис над R в виде
Пусть - представление группы U(n) в Ok левыми сдвигами, . Дифференцированием функции s(exp(-tX)z) по t при t=0 получаем представление алгебры Ли u(n): где , , умножение - скалярное.
Задавая в u(n)C базис , получаем
Применим полученные формулы для представления алгебры sp(n,C)=sp(n)C:
где wi=zn+i.
H(p,q) - неприводимые компоненты представления u(n) и u(n)C, см. [4]. Значит, неприводимыми компонентами представления sp(n) и sp(n,C) будут некоторые подпространства H(p,q). Введем операторы ,
Проверка на базисных элементах дает
Предложение 1. Операторы L1 и L2 являются сплетающими для некоторых пар неприводимых представлений.
Найдем теперь старшие векторы из H(p,q), соответствующие неприводимым представлениям sp(n,C), они должны зануляться положительными операторами Dbij для всех i и j и Daij при i>j. Прямой проверкой получается
Предложение 2. При n>1 многочлен - старший вектор неприводимого представления sp(n,C) со старшим весом
Теорема 1. При n=1 H(p,q) неприводимо, а при n>1 .
Доказательство . Размерность H(p,q) равна
идею доказательства см. в [1].
Если n=1, вектор порождает неприводимое подпространство в H(p,q). Поскольку Da11S=(p+q)S, этот вектор соответствует старшему весу . Тогда 2x1 - единственный положительный корень, то есть H(p,q) неприводимо.
Пусть n>1. Осталось теперь показать, что
Эту формулу можно доказать по индукции, индуктивный переход делается от пары (p,q) к паре (p+1,q-1), а , что доказывает теорему.
Обозначим через инвариантную относительно вращений положительную борелевскую меру на S4n-1, для которой .
Следствие 1. Пространство является прямой суммой попарно ортогональных пространств P(p,q,r).
Следствие 2. Справедливы утверждения: a) В P(p1,q1,r1) и P(p2,q2,r2) при n>1 реализуются эквивалентные представления тогда и только тогда, когда p1+q1=p2+q2 и r1=r2.
b) При n=1 в H(p1,q2) и H(p2,q2) реализуются эквивалентные представления тогда и только тогда, когда p1+q1=p2+q2.
Пусть Ws,r и Ws - пространства линейных комбинаций векторов и соответственно с комплексными коэффициентами, . Введем также пространства и при n>1.
Следствие 3. Ws,r и Ws - пространства старших векторов неприводимых представлений со старшим весом и s соответственно. Сплетающие операторы неприводимых представлений можно выразить как многочлены от операторов L1 и L2.
Более подробные сведения из теории представлений можно найти, например, в
3. Инвариантные пространства функций на S4n-1.
Пространство Y на сфере S4n-1 назовем инвариантным, если для всех f из Y и всех g из Sp(n) f*g лежит в Y. Неприводимость представления группы Ли Sp(n) эквивалентна неприводимости представления комплексификации ее алгебры Ли sp(n,C), поэтому пространства P(p,q,r) и H(p,q) при n=1 инвариантны.
Если Y - инвариантное замкнутое подпространство , то также инвариантно и ортогональная проекция коммутирует с Sp(n). Это верно также для ортогональных проекций и .
Когда в пространствах V и W реализуются неприводимые представления, пространство сплетающих операторов из V в W либо одномерно (если представления эквивалентны), либо пусто. Отсюда, из следствия 2 теоремы 1 и предложения 1 вытекает
Предложение 3. Пусть n>1 и линейное отображение коммутирует с Sp(n). Тогда
1) если или , то T=0.
2) если r1=r2 и p1+q1=p2+q2, то найдется константа C, такая что при T=CL2p1-p2, при T=CL1p2-p1.
Обозначим через неприводимое инвариантное пространство со старшим вектором , а через -замыкание пространства Y.
Теорема 2. Если Y - замкнутое инвариантное подпространство , то , .
Доказательство. Пусть n>1 и тройка (p,q,r) такая, что . Так как Y инвариантно и коммутирует с Sp(n), то - нетривиальное инвариантное подпространство P(p,q,r). Значит, Пусть и Y1 - ортогональное дополнение к Y0 в Y. Тогда Y0 инвариантно как ядро оператора, коммутирующего с Sp(n), значит Y1 также инвариантно. Более того, - изоморфизм, обратный к которому обозначим
Выберем другую тройку (p',q',r') и рассмотрим отображение Оно коммутирует с Sp(n) и переводит P(p,q,r) в P(p',q',r'). Значит, по предложению 3, для всех (p',q',r'), таких что
Тогда Y1 - подпространство . Рассмотрим и содержащее его минимальное инвариантное пространство, оно совпадает с Y1.
Пользуясь теоремой 1, получаем нужный результат. Случай n=1 доказывается аналогично.
Пусть далее X обозначает одно из пространств , и C(S4n-1). Как следствие теоремы об общем виде линейного ограниченного функционала на получается
Предложение 4. При n>1 для всех троек (p,q,r) и всех точек z на S4n-1 найдется полином Kz из P(p,q,r) такой, что для любой функции f из
Для всех пар (p,q) и всех точек z на S3 найдется полином Kz из H(p,q) такой, что для любой функции f из
Следствие. Операторы и продолжаются до непрерывных операторов на
Далее потребуются следующие две леммы, которые приводятся без доказательства.
Лемма 1. Если Y - замкнутое инвариантное подпространство X, то плотно в Y.
Лемма 2. Если Y инвариантное подпространство C(S4n-1), непрерывная функция g не лежит в равномерном замыкании Y, то g не лежит и в L2-замыкании Y.
Докажем основной результат данной работы.
Теорема 3. Если Y - инвариантное подпространство X и - из теоремы 2, то .
Доказательство. По следствию из предложения 4 и определены на . Пусть - L2-замыкание Так как -замкнуто, то плотно в Y по лемме 1 и равномерно замкнуто. По лемме 2 Так как и X-непрерывны и L2-непрерывны, то и
Поэтому по теореме 2 Так как лежит в C(S4n-1), то, применяя лемму 2, получаем: = равномерное замыкание
Отсюда и из того, что X-плотно в Y и вытекает утверждение теоремы.
В заключение несколько слов об инвариантных алгебрах на кватернионных сферах. Унитарно-инвариантные алгебры были описаны в [4], их пространства максимальных идеалов были найдены в работе [5]. В симплектическом случае дело существенно усложняется из-за кратности представлений в пространствах однородных полиномов. Однозначного разложения на неприводимые компоненты не получается, и, как следствие, мера Хаара не будет мультипликативной. Уже при n=1 возникает большое число инвариантных алгебр, не инвариантных относительно действия унитарной группы.
Список литературы
Виленкин Н. Я. Специальные функции и теория представлений групп. М.: Наука, 1965.
Гото М., Гроссханс Ф. Полупростые алгебры Ли. М.: Мир, 1981.
Наймарк М. А. Теория представлений групп. М.: Наука, 1976.
Рудин У. Теория функций в единичном шаре из Cn. М.: Мир, 1984.
Kane J. Maximal ideal spaces of U-algebras // Illinois J. Math. V.27. 1983. N.1. P.1-13.