ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ.
Пусть задана система векторов а1
, а2
, а3
,…,ал
(1) одной размерности.
Определение:
система векторов (1) называется линейно-независимой, если равенство a1
а1
+a2
а2
+…+aл
ал
=0 (2) выполняется лишь в том случае, когда все числа a1
, a2
,…, aл
=0 и ÎR
Определение:
система векторов (1) называется линейно-зависимой, если равенство (2) выполнимо хотя бы при одном ai
¹0 (i=1,…,k)
Свойства
1. Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима
2. Если система векторов содержит линейно-зависимую подсистему векторов, то она будет линейно-зависимой.
3. Если система векторов линейно-независима, то и любая ее подсистема будет линейно независимой.
4. Если система векторов содержит хотя бы один вектор, являющийся линейной комбинацией других векторов, то эта система векторов будет линейно зависимой.
Определение:
два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых.
Определение:
три вектора называются компланарными, если они лежат в параллельных плоскостях.
Теорема:
Если заданы два вектора a и b, причем а¹0 и эти векторы коллинеарны, то найдется такое действительное число g, что b=ga.
Теорема:
Для того что бы два вектора были линейно-зависимы необходимо и достаточно, что бы они были коллениарны.
Доказательство:
достаточность. Т.к. векторы коллинеарны, то b=ga. Будем считать, что а,b¹0 (если нет, то система линейно-зависима по 1 свойству). 1b-ga=0. Т.к. коэфф. При b¹0, то система линейно зависима по определению. Необходимость. Пусть а и b линейно-зависимы. aа+bb=0, a¹0. а= -b/a*b. а и b коллинеарны по определению умножения вектора на число.
Теорема:
для того, чтобы три вектора были линекно-зависимы необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны. Необходимость.
Дано: a, b, c – линейно-зависимы. Доказать: a, b, c – компланарны. Доказательство:
т.к. векторы линейно-зависимы, то aа+bb+gc=0, g¹0. с= - a/g*а - b/g*b. с-диагональ параллелограмма, поэтому a, b, c лежат в одной плоскости.
БАЗИС СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ. РАЗЛИЧНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ.
1. Определение:
пусть задана некоторая система векторов. Базисом этой системы называется мах. совокупность линейно-независимых векторов системы.
В множестве векторов на прямой базис состоит из одного ненулевого вектора.
В качестве базиса множества векторов на плоскости можно взять произвольную пару.
В множестве векторов в трехмерном пространстве базис состоит из трех некомпланарных векторов.
2. Прямоугольная (декартова) система координат на плоскости определяется заданием двух взаимно перпендикулярных прямых с общим началом и одинаковой масштабной ед. на осях.
Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве определяется заданием трех взаимно перпендикулярных прямых с общей точкойпересечения и одинаковой масштабной ед. на осях.
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.
Определение:
скалярным произведением двух векторов называется произведение длин двух векторов на косинус угла между ними.
(а,b)=|a| |b| cos u, u<90, пр-е полож.; u=90, пр-е =0; u>90, пр-е отриц.
Свойства:
1. (а,b)= (b,а)
2. (aа,b)= a (а,b)
3. (а+b,с)= (а,с)+ (b,с)
4. (а,а)=|a|2
– скал.квадрат.
Определение:
два вектора называются ортоганальными, когда скалярное пр-е равно 0.
Определение:
вектор называется нормированным, если его скал.кв.равен 1.
Определение:
базис множества векторов называется ортонормированным, если все векторы базиса взаимно-ортагональны и каждый вектор нормирован.
Теорема:
Если векторы а и b заданы координатами в ортонормированном базисе, то их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат.
Найдем формулу угла между векторами по определению скалярного произведения. cos u=a,b/|a||b|=x1
x2
+y1
y2
+z1
z2
/sqrt(x1
2
+y1
2
+z1
2
)*sqrt(x2
2
+y2
2
+z2
2
)
ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.
Определение:
векторным произведением двух векторов a и b обозначаемым [a,b] называется вектор с удовлетворяющий след. требованиям: 1. |c|=|a||b|sin u. 2. (с,а)=0 и (с,b)=0. 3. а, b, с образуют правую тройку.
Свойства:
1. [a,b]= - [b,a]
2. [aа,b]= a[а,b]
3. [a+b,c]=[a,c]+[b,c]
4. [a,a]=0
Теорема:
Длина векторного произведения векторов равна площади параллелограмма построенного на этих векторах.
Доказательство:
справедливость теоремы вытекает из первого требования определения векторного произведения.
Теорема:
Пусть векторы а и b заданы координатами в ортонормированном базисе, тогда векторное произведение равно определителю третьего порядка в первой строке которого наход-ся базисны векторы, во второй – координаты первого вектора, в третьей – координаты второго.
Определение:
ортой вектора а называется вектор ед. длины имеющий одинаковое направление с вектором а. ea
=a/|a|
РАЗЛИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ.
1.Общее ур-е пр. 2. Ур-е пр. в отрезках. 3. Каноническое ур-е пр. 4. Ур-е пр. ч/з две точки. 5. Ур-е пр. с углов. коэфф. 6. Нормальное ур-е прямой. Расст. от точки до прямой. 7. Параметрическое ур-е пр. 8. Пучок пр. 9.Угол между пр.
1. Ах+By+C=0 (1), где A, B одновр.не равны нулю.
Теорема:
n(A,B) ортоганален прямой заданной ур-ем (1).
Доказательство:
подставим коорд. т.М0
в ур-е (1) и получим Ах0
+By0
+C=0 (1’). Вычтем (1)-(1’) получим А(х-х0
)+B(y-y0
)=0, n(A,B), М0
М(х-х0
, y-y0
). Слева в полученном равенстве записано скалярное произведение векторов, оно равно 0, значит n и M0
M ортоганальны. Т.о. n ортоганлен прямой. Вектор n(A,B) называется нормальным вектором прямой.
Замечание:
пусть ур-я А1
х+B1
y+C1
=0 и А2
х+B2
y+C2
=0 определяют одну и ту же прямую, тогда найдется такое действительное число t, что А1
=t*А2
и т.д.
Определение:
если хотя бы один из коэффициентов в ур-ии (1) =0, то ур-е называется неполным.
1. С=0, Ах+By=0 – проходит ч/з (0,0)
2. С=0, А=0, By=0, значит у=0
3. С=0, B=0, Ах=0, значит х=0
4. А=0, By+C=0, паралл. ОХ
5. B=0, Ах+C=0, паралл. OY
2. x/a+y/b=1.
Геом.смысл:
прямая отсекает на осях координат отрезки а и b
3. x-x1
/e=y-y1
/m
Пусть на прямой задана точка и напр. вектор прямой (паралл.пр.). Возьмем на прямой произв. точки. q и M1
М(х-х1
; y-y1
)
4. x-x1
/x2
-x1
=y-y1
/y2
-y1
Пусть на прямой даны две точки М1
(x1
;y1
) и М2
(x2
;y2
). Т.к. на прямой заданы две точки, то задан направляющий вектор q(x2
-x1
; y2
-y1
)
5. y=kb+b.
u – угол наклона прямой. Tg угла наклона называется угловым коэффициентом прямой k=tg u
Пусть прямая задана в каноническом виде. Найдем угловой коэффициент прямой tg u = m/e. Тогда видим x-x1
/e/e=y-y1
/m/e. y-y1
=k(x-x1
) при y1
-kx1
=b, y=kx+b
6. xcosq+ysinq-P=0
q - угол между вектором ОР и положительным напр. оси ОХ.
Задача:
записать ур-е прямой , если изветны Р и q
Решение:
Выделим на прямой ОР вектор ед. длины n. |n|=1, n(cosq, sinq). Пусть М(x,y) – произв.точка прямой. Рассмотрим два вектора n и ОМ. Найдем двумя способвами их скал.произведение. 1. ОМ*n=|OM||n|cosMOP=Р. 2. ОМ*n=cosqx+sinqy. Приравняем правые части.
Задача:
прямая задана общим ур-ем. Перейти к норм. виду.
Ах+By+C=0
xcosq+ysinq-P=0
т.к. уравнения определяют одну прямую, то сущ. коэфф. пропорциональности.
Cos2
q=(A*t)2
Sin2
q=(B*t)2
-p=C*t
cos2
q+sin2
q=t2
(A2
+B2
), t2
=1/A2
+B2
, t=±sqrt(1/ A2
+B2
). Sign t= - sign C
Что бы найти нормальное уравнение прямой нужно общее ур-е умножить на t.
Аtх+Bty+Ct=0, t-нормирующий множитель.
7. Система: x=et+x1
и y=mt+y1
НОРМАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ. Расстояние от точки до прямой.
1. xcosq+ysinq-P=0
q - угол между вектором ОР и положительным напр. оси ОХ.
Задача:
записать ур-е прямой , если изветны Р и q
Решение:
Выделим на прямой ОР вектор ед. длины n. |n|=1, n(cosq, sinq). Пусть М(x,y) – произв.точка прямой. Рассмотрим два вектора n и ОМ. Найдем двумя способвами их скал.произведение. 1. ОМ*n=|OM||n|cosMOP=Р. 2. ОМ*n=cosqx+sinqy. Приравняем правые части.
Задача:
прямая задана общим ур-ем. Перейти к норм. виду.
Ах+By+C=0
xcosq+ysinq-P=0
т.к. уравнения определяют одну прямую, то сущ. коэфф. пропорциональности.
Cos2
q=(A*t)2
Sin2
q=(B*t)2
-p=C*t
cos2
q+sin2
q=t2
(A2
+B2
), t2
=1/A2
+B2
, t=±sqrt(1/ A2
+B2
). Sign t= - sign C
Что бы найти нормальное уравнение прямой нужно общее ур-е умножить на t.
Аtх+Bty+Ct=0, t-нормирующий множитель.
2. Обозначим d – расстояние от точки до прямой, а ч/з б – отклонение точки от прямой. б=d, если нач.коорд. и точка по разные стороны; = - d, если нач.коорд. и точка по одну сторону.
Теорема:
Пусть задано нормальное уравнение прямой xcosq+ysinq-P=0 и М1
(x1
;y1
), тогда отклонение точки М1
= x1
cosq+y1
sinq-P=0
Задача:
найти расстояние от точки М0
(x0
;y0
) до прямой Ах+By+C=0. Т.к. d=|б|, то формула расстояний принимает вид d=| x0
cosq+y0
sinq-P|. d=|Ах0
+By0
+C|/sqrt(A2
+B2
)
ГИПЕРБОЛА.
Определение:
ГМТ на плоскости модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная
Каноническое уравнение:
Будем считать, что фокусы гиперболы находятся на ОХ на одинаковом расстоянии от начала координат. |F1
F2
|=2c, М – произвольная точка гиперболы. r1
, r2 – расстояния от М до фокусов; |r2
-r1
|=2a; a<c;
,
x2
c2
-2a2
xc+a2
=a2
(x2
-2xc+c2
+y2
)
x2
(c2
-a2
)-a2
y2
=a2
(c2
-a2
)
c2
-a2
=b2
x2
b2
-a2
y2
=a2
b2
- каноническое ур-е гиперболы
ПАРАБОЛА.
Определение:
ГМТ на плоскости расстояние от которых до фиксированной точки на плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до фиксированной прямой этой плоскости называемой директрисой.
Каноническое уравнение:
Пусть фокус параболы находится на оси ОХ, а директриса расположение перпендикулярно оси ОХ, причем они находятся на одинаковом расстоянии от начала координат.
|DF|=p, М – произвольная точка параболы; К – точка на директрисе; МF=r; MK=d;
r=sqrt((x-p/2)2
+y2
); d=p/2+x
Приравниваем и получаем:
y2
=2px - каноническое уравнение параболы
ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ И ДИРЕКТРИСА ЭЛЛИПСА И ГИПЕРБОЛЫ.
1. Определение:
эксцентриситет – величина равная отношению с к а.
е=с/а
е эллипсв <1 (т.к. а>c)
е гиперболы >1 (т.к. с>a)
Определение:
окружность – эллипс у ко
Выразим эксцентриситеты через а и b:
е эллипса является мерой его “вытянутости”
е гиперболы характеризует угол раствора между асимптотами
2. Директрисой D эллипса (гиперболы), соответствующей фокусу F, называется прямая расположенная в полуплоскости a перпендикулярно большой оси эллипса и отстоящий от его центра на расстоянии а/е>a (а/е<a)
D1
: x= - a/e
D2
: x= a/e
р=а(1-е2
)/е – для эллипса
р=а(е2
-1)/е – для гиперболы
ТЕОРЕМА ОБ ОТНОШЕНИИ РАССТОЯНИЙ. 2-ОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ПАРАБОЛЫ.
Теорема:
Отношение расстояния любой точки эллипса (гиперболы) до фокуса к расстоянию от нее до соответствующей директрисы есть величина постоянная равная е эллипса (гиперболы).
Доказательство:
для эллипса.
r1
/d1
=e
x£|a|, xe+a>0
r1
=xe+a
d1
– расстояние от М(x,y) до прямой D1
xcos180+ysin180-p=0
x=-p
x=-a/e
бм
=-x-a/e
d1
=-бм
(минус, т.к. прямая и точка по одну стороно о начала коорд.)
Определение:
ГМТ на плоскости, отношение расстояния от которых до фокуса, к расстоянию до соответствующей директрисы есть величина постоянная и представляет собой эллипс, если <1, гиперболу, если >1, параболу, если =1.
ПОЛЯРНОЕ УРАВНЕНИЕ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ПАРАБОЛЫ.
Пусть задан эллипс, парабола или правая ветвь гиперболы.
Пусть задан фокус этих кривых. Поместим полюс полярной системы в фокус кривой, а полярную ось совместим с осью симметрии, на которой находится фокус.
r= r
d=p+rcosj
e=r/p+rcosj
- полярное уравнение эллипса, параболы и правой ветви гиперболы.
КАСАТЕЛЬНАЯ К КРИВОЙ 2-ГО ПОРЯДКА.
Пусть задан эллипс в каноническом виде. Найдем уравнение касательной к нему, проходящей через М0
(x0
;y0
) – точка касания, она принадлежит эллипсу значит справедливо:
у-у0
=y’(x0
)(x-x0
)
Рассмотрим касательную к кривой следовательно
ya2
y0
-a2
y0
2
+b2
x0
x-b2
x0
2
=0
- уравнение касательной к эллипсу.
- уравнение касательной к гиперболе.
- уравнение касательной к параболе.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ.
Преобразование на плоскости есть применение преобразований параллельного переноса и поворота.
Пусть две прямоугольные системы координат имеют общее начало. Рассмотрим все возможные скалярные произведения базисных векторов двумя способами:
(е1
;е1
’)=cos u
(е1
;е2
’)=cos (90+u)= -sin u
(е2
;е1
’)=cos (90-u)=sin u
(е2
;е2
’)=cos u
Базис рассматривается ортонормированный:
(е1
;е1
’)=(е1
, a11
е1
+a12
е2
)= a11
(е1
;е2
’)= (е1
, a21
е1
+a22
е2
)= a21
(е2
;е1
’)= a12
(е2
;е2
’)= a22
Приравниваем:
a11
=cos u
a21
= - sin u
a12
=sin u
a22
=cos u
Получаем:
x=a+x’cos u – y’sin u
y=b+x’sin u – y’cos u - формулы поворота системы координат на угол u.
------------
x=a+x’
y=b+y’ - формулы параллельного переноса
ИНВАРИАНТЫ УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА.
Определение:
Инвариантой ур-я (1) линии второго порядка относительно преобразования системы координат, называется функция зависящая от коэффициентов ур-я (1) и не меняющая своего значения при преобразовании системы координат.
Теорема:
инвариантами уравнения (1) линии второго порядка относительно преобразования системы координат являются следующие величины: I1
; I2
; I3
Вывод:
при преобразовании системы координат 3 величины остаются неизменными, поэтому они характеризуют линию.
Определение:
I2
>0 – элиптический тип
I2
<0 – гиперболический тип
I2
=0 – параболический тип
ЦЕНТР ЛИНИИ 2-ГО ПОРЯДКА.
Пусть задана на плоскости линия уравнением (1).
Параллельный перенос:
Параллельно перенесем систему XOY на вектор OO’ т.о. что бы в системе X’O’Y’ коэфф. при x’ и y’ преобразованного уравнения кривой оказались равными нулю. После этого:
a11
x’2
+2a12
x’y’+a22
y’2
+a’33
=0 (2)
точка О’ находится из условия: a13
’=0 и a23
’=0.
Получается система a11
x0
+a12
y0
+a13
=0 и a12
x0
+a22
y0
+a23
=0
Покажем, что новое начало координат (если система разрешима) является центром симметрии кривой: f(x’;y’)=0, f(-x’;-y’)= f(x’;y’)
Но точка О’ существует если знаменатели у x0
и y0
отличны от нуля.
Точка O’ – единственная точка.
Центр симметрии кривой существует если I2
¹0 т.е. центр симметрии имеют линии элиптического и гиперболического типа
Поворот:
Пусть система XOY повернута на угол u. В новой системе координат уравнение не содержит члена с x’y’ т.е. мы делаем коэфф. а12
=0. a12
’= -0,5(a11
-a22
)sin2u+a12
cos2u=0 (разделим на sin2u), получим:
, после такого преобразования уравнение принимает вид
a11
’x’2
+a22
’y’2
+2a13
’x’+2a23
’y’+a33
’=0 (3)
ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ ЭЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА.
Теорема:
Пусть задана линия элиптического типа т.е. I2
>0 и пусть I1
>0следовательно уравнение (1) определяет: 1. I3
<0 – эллипс; 2. I3
=0 – точка; 3. I3
>0 – ур-е (1) не определяет. Если I3
=0 говорят, что эллипс вырождается в точку. Если I3
>0 говорят, что задается мнимый эллипс. Пусть после ПП и поворота ур-е (1) принимает вид (*).
Доказательство:
1. пусть I2
>0, I1
>0, I3
<0, тогда
а11
’’x’’2
+a22
’’ y’’2
= -I3
/I2
I2
=a11
’’a22
’’ > 0
I1
= a11
’’+a22
’’ > 0
a11
’’ > 0; a22
’’ > 0
Итак, под корнями стоят положительные числа, следовательно, уравнение эллипса.
2. I3
>0 в данном случае под корнем стоят отрицательные числа, следовательно уравнение не определяет действительного геометрического образа.
3. I3
=0 в данном случае т(0,0) – случай вырождения эллипса.
ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА.
Теорема:
Пусть уравнение (1) определяет линию гиперболического типа. Т.е. I2
<0, I3
¹0 - ур-е (1) определяет гиперболу; I3
=0 – пару пересекающихся прямых.
Доказательство:
I2
<0; I2
= a11
’’a22
’’ < 0. Пусть a11
’’>0; a22
’’<0
Пусть
I3
>0
В данном случае мы имеем гиперболу с действительной осью ОХ.
Пусть
I3
<0
-(-а11
’’)x’’2
+a22
’’ y’’2
= -I3
/I2
В этом случае мы имеем гиперболу с действительной осью ОY
Пусть
I3
=0
а11
’’x’’2
-(-a22
’’)y’’2
=0
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ НАПРАВЛЕНИЯ КРИВЫХ 2-ГО ПОРЯДКА.
Пусть крива второго порядка задана уравнением (1). Рассмотрим квадратную часть этого уравнения: u(x,y)= a11
x2
+2a12
xy+a22
y2
Определение:
ненулевой вектор (a, b) координаты которого обращают в ноль квадратичную часть называется вектором асимптотического направления заданной кривой.
(a, b) – вектор асимптотического направления.
a11
a2
+2a12
ab+a22
b2
=0 (*)
Рассмотрим (a’, b’) параллельный (a, b): следовательно . Дробь a/b характеризует вектор асимптотического направления.
Задача:
выяснить какие асимптотические направления имеют кривые 2-го порядка.
Решение:
положим, что b¹0 и поделим на b2
, получим: a11
(a/b)2
+2a12
a/b+a22
=0 из этого квадратного уравнения найдем a/b.
т.к. у линий гиперболического и параболического типов I2
£0, то они имеют асимптотические направления. Т.к. у эллипса I2
>0 следовательно таких у него нет (говорят он имеет мнимые асимптотические направления).
Найдем асимптотические направления у гиперболы:
(a, b)1
=(a,b)
(a, b)2
=(-a,b)
Векторы асимптотического направления являются направляющими векторами для асимптот.
Итак: гипербола имеет два асимптотических направления, которые определяются асимптотами гиперболы.
Найдем асимптотические направления у параболы:
y2
=2px
y2
-2px=0
u(x,y)= y2
+0, y=0
(a, b)=(0,0)
Итак: вектор асимптотического направления параболы лежит на оси симметрии параболы, т.е. прямая асимптотического направления пересекает параболу в одной точке, след. асимптотой не является. Парабола имеет одно асимптотическое направление, но асимптот не имеет.
РАЗЛИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ.
Пусть задано трехмерное пространство.
Теорема:
Плоскость в афинной системе координат задается уравнением первой степени от трех переменных: Ax+By+Cz+D=0, где A,B,C¹0 одновреенно. Справедлива и обратная теорема.
Теорема:
Вектор n(A, B, C) ортоганален плоскости, задаваемой общим уравнением.
Вектор n – нормальный вектор плоскости.
2. Уравнение плоскости в отрезках:
3. Уравнение плоскости, определенной нормальным вектором и точкой.
Пусть n(A,B,C) и М(x0
;y0
;z0
). Запишем ур-е пл-ти:
Ax+By+Cz+D=0
Ax0
+By0
+Cz0
=-D
A(x-x0
)+B(y-y0
)+C(z-z0
)=0
5. Уравнение плоскости ч/з 3 точки.
Пусть известны три точки не принадл. одной прямой.
М1
(x1
;y1
;z1
); М2
(x2
;y2
;z2
); М3
(x3
;y3
;z3
)
Пусть М(x;y;z) – произвольная точка плоскости. Т.к. точки принадл. одной плоскости то векторы компланарны.
М1
Мx-x1
y-y1
z-z1
М1
М2
x2
-x1
y2
-y1
z2
-z1
=0
М1
М3
x3
-x1
y3
-y1
z3
-z1
6. Параметрическое ур-е плоскости.
Пусть плоскость определена точкой и парой некомпланарных векторов. V(V1
;V2
;V3
); U(U1
;U2
;U3
); M0
(x0
;y0
;z0
), тогда плостость имеет вид: система: x=x0
+V1
t+U1
s и y=y0
+V2
t+U2
s и z=z0
+V3
t+U3
s
РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ.
Ax+By+Cz+D=0; M0
(x0
;y0
;z0
)
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ.
Угол между плоскостями:
пусть заданы две плоскости: A1
x+B1
y+C1
z+D1
=0; A2
x+B2
y+C2
z+D2
=0, поэтому n1
(A1
;B1
;C1
); n2
(A2
;B2
;C2
). Отыскание угла между плоскостями сводится к отысканию его между нормальными векторами.