Пусть ¦(x
) , g
(x
) , x
ÎR1
–суммируемые на [-p, p] , 2p- периодические, комплекснозначные функции. Через f
*
g(x)
будем обозначать свертку
f
*
g(x)
=dt
Из теоремы Фубини легко следует, что свертка суммируемых функций также суммируема на [-p,p] и
cn
( f*g ) = cn
( f )× cn
( g ) , n = 0, ±1 , ±2 , ... ( 1 )
где { cn
( f )} -- коэффициенты Фурье функции f ( x ) :
cn
= -i n t
dt
, n = 0, ±1, ±2,¼
Пусть ¦ Î L1
(-p, p ) . Рассмотрим при 0 £ r < 1 функцию
¦r
( x ) = n
( f ) r|
n
|
ei n x
, x Î [ -p, p ] , ( 2 )
где ряд в правой части равенства (2) сходится равномерно по х для любого фиксированного r , 0 £ r < 1 . Коэффициенты Фурье функции ¦r
(х) равны
cn
( fr
) = cn
× r|
n
|
, n = 0 , ±1, ±2, ¼ , а это согласно (1) значит, что ¦r
( x ) можно представить в виде свертки :
¦r
( x ) = , ( 3 )
где
, t Î [ -p, p ] . ( 4 )
Функция двух переменных Рr
(t) , 0 £ r <1 , t Î [ -p, p ] , называется ядром Пуассона , а интеграл (3) -- интегралом Пуассона .
Следовательно,
Pr
( t ) = , 0 £ r < 1 , t Î [ -p, p] . ( 5 )
Если ¦Î L1
( -p, p ) - действительная функция , то , учитывая , что
c-n
( f ) = `cn
( f ) , n = 0, ±1, ±2,¼, из соотношения (2) мы получим :
fr
( x ) =
= , ( 6 )
где
F ( z ) = c0
( f ) + 2 ( z = reix
) ( 7 )
- аналитическая в единичном круге функция . Равенство (6) показывает, что для любой действительной функции ¦Î L1
( -p, p ) интегралом Пуассона (3) определяется гармоническая в единичном круге функция
u ( z ) = ¦r
(eix
) , z = reix
, 0 £ r <1 , x Î [ -p, p ] .
При этом гармонически сопряженная с u (z) функция v (z) c v (0) = 0 задается формулой
v (z) = Im F (z) = . ( 8 )
Утверждение1.
Пусть u (z) - гармоническая ( или аналитическая ) в круге | z | < 1+e ( e>0 ) функция и ¦ (x) = u (eix
) , xÎ[ -p, p ] . Тогда
u (z) = ( z = reix
, | z | < 1 ) ( 10 ).
Так как ядро Пуассона Pr
(t) - действительная функция, то равенство (10) достаточно проверить в случае, когда u (z) - аналитическая функция:
=, | z | < 1+ e .
Но тогда
и равенство (10) сразу следует из (2) и (3).
Прежде чем перейти к изучению поведения функции ¦r
(x
) при r®1 , отметим некоторые свойства ядра Пуассона:
а) ;
б) ;
в) для любого d>0
Соотношен
Теорема 1.
Для произвольной (комплекснозначной) функции ( -p, p ) , 1 £ p < ¥ , имеет место равенство
;
если же ¦ (x) непрерывна на [ -p, p ] и ¦ (-p) = ¦ (p) , то
.
Доказательство.
В силу (3) и свойства б) ядра Пуассона
( 12 )
Для любой функции , пользуясь неравенством Гельдера и положительностью ядра Пуассона , находим
.
Следовательно,
.
Для данного e > 0 найдем d = d (e) такое, что . Тогда для r , достаточно близких к единице, мы получим оценку
.
Аналогично второе неравенство вытекает из неравенства
.
Теорема 1 доказана.
Дадим определения понятий "максимальная функция" и "оператор слабого типа", которые понадобятся нам в ходе доказательства следующей теоремы.
Определение1.
Пусть функция суммируема на любом интервале (-А, А), А > 0 . Максимальной функцией для функции называется функция
где супремум берется по всем интервалам I , содержащим точку х.
Определение 2.
Оператор называется оператором слабого типа (р,р) , если для любого y > 0
.
Теорема 2 (Фату).
Пусть - комплекснозначная функция из . Тогда
для п.в. .
Доказательство.
Покажем, что для и
, ( 13 )
где С - абсолютная константа , а M ( f, x )
- максимальная функция для f (x)
[1]
. Для этой цели используем легко выводимую из (5) оценку
(К -
абсолютная константа).
Пусть - такое число, что
.
Тогда для
.
Неравенство (13) доказано. Используя затем слабый тип (1,1) оператора , найдем такую последовательность функций ,что
,
( 14 )
для п.в. .
Согласно (13) при xÎ (-2p,2p)
Учитывая , что по теореме 1 для каждого xÎ [-p, p] и (14)
Из последней оценки получим
при n®¥.
Теорема 2 доказана.
Замечание.
Используя вместо (13) более сильное неравенство (59), которое мы докажем позже, можно показать, что для п.в. xÎ [-p, p] , когда точка reit
стремится к eix
по некасательному к окружности пути.
[1] Мы считаем , что f (x)
продолжена с сохранением периодичности на отрезок [-2p,2p] (т.е. f (x) = f (y)
, если x,y
Î [-2p,2p] и x-y=2
p
) и f (x) = 0
, если |x
| > 2p .