Русская гимназия
КОНСПЕКТ
на тему:
Функция
Выполнил
ученик 10“Ф” класса Бурмистров Сергей
Руководитель
учитель Математики
Юлина О.А.
Нижний Новгород
1997 год
Функция и её свойства
Функция-
зависимость переменной у
от переменной x
,
если каждому значению х
соответствует единственное значение у
.
Переменная х-
независимая переменная или аргумент.
Переменная у-
зависимая переменная
Значение функции-
значение у
, соответствующее заданному значению х
.
Область определения функции-
все значения, которые принимает независимая переменная.
Область значений функции (множество значений)-
все значения, которые принимает функция.
Функция является четной-
если для любого х
из области определения функции выполняется равенство f(x)=f(-x)
Функция является нечетной-
если для любого х
из области определения функции выполняется равенство f(-x)=-f(x)
Возрастающая функция-
если для любых х1
и х2
,
таких, что х1
<
х2
, выполняется неравенство f(
х1
)<f(
х2
)
Убывающая функция-
если для любых х1
и х2
,
таких, что х1
<
х2
, выполняется неравенство f(
х1
)>f(
х2
)
Способы задания функции
¨ Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью формулы у
=f(x)
, где f(x)-
íåêîòîðîå âыðàæåíèå с переменной х
. В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически.
¨ На практике часто используется табличный
способ задания функции. При этом способе приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся в таблице значений аргумента. Примерами табличного задания функции являются таблица квадратов, таблица кубов.
Виды функций и их свойства
1) Постоянная функция-
функция, заданная формулой у=
b
,
где b-
некоторое число. Графиком постоянной функции у=b является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0;b) на оси ординат
2) Прямая пропорциональность-
функция, заданная формулой у=
kx
,
где к¹0. Число k
называется коэффициентом пропорциональности
.
Cвойства функции y=kx
:
1. Область определения функции- множество всех действительных чисел
2. y=kx
- нечетная функция
3. При k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой
3)Линейная функция-
функция, которая задана формулой y=kx+b
, где k
иb
-
действительные числа. Если в частности, k=0
, то получаем постоянную функцию y=b
; если b=0
, то получаем прямую пропорциональность y=kx
.
Свойства функции y=kx+b
:
1. Область определения- множество всех действительных чисел
2. Функция y=kx+b
общего вида, т.е. ни чётна, ни нечётна.
3. При k>0функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой
Графиком функции является прямая
.
4)Обратная пропорциональность-
функция, заданная формулой y=k
/х,
где k¹0 Число k
называют коэффициентом обратной пропорциональности.
Свойства функции y=k
/
x:
1. Область определения- множество всех действительных чисел кроме нуля
2. y=k
/
x
-
нечетная функция
3. Если k>0, то функция убывает на промежутке (0;+¥) и на промежутке (-¥;0). Если k<0, то функция возрастает на промежутке (-¥;0) и на промежутке (0;+¥).
Графиком функции является гипербола
.
5)Функция
y=x2
Свойства функции y=x2
:
1. Область определения- вся числовая прямая
2. y=x2
-
четная функция
3
4. На промежутке (-¥;0] функция убывает
Графиком функции является парабола
.
6)Функция
y=x3
Свойства функции y=x3
:
1. Область определения- вся числовая прямая
2. y=x3
-
нечетная функция
3. Функция возрастает на всей числовой прямой
Графиком функции является кубическая парабола
7)Степенная функция с натуральным показателем-
функция, заданная формулой y=xn
, где n
- натуральное число. При n=1 получаем функцию y=x, ее свойства рассмотрены в п.2. При n=2;3 получаем функции y=x2
; y=x3
. Их свойства рассмотрены выше.
Пусть n- произвольное четное число, большее двух: 4,6,8... В этом случае функция y=xn
обладает теми же свойствами, что и функция y=x2
. График функции напоминает параболу y=x2
, только ветви графика при |х|>1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при |х|<1 тем “теснее прижимаются” к оси Х, чем больше n.
Пусть n- произвольное нечетное число, большее трех: 5,7,9... В этом случае функция y=xn
обладает теми же свойствами, что и функция y=x3
. График функции напоминает кубическую параболу.
8)Степенная функция с целым отрицательным показателем-
функция, заданная формулой y=x-n
,
где n
- натуральное число. При n=1 получаем y=1/х, свойства этой функции рассмотрены в п.4.
Пусть n- нечетное число, большее единицы: 3,5,7... В этом случае функция y=x-n
обладает в основном теми же свойствами, что и функция y=1/х.
Пусть n- четное число, например n=2.
Свойства функции y=x-2
:
1. Функция определена при всех x¹0
2. y=x-2
-
четная функция
3. Функция убывает на (0;+¥) и возрастает на (-¥;0).
Теми же свойствами обладают любые функции при четном n, большем двух.
9)Функция
y=
Ö
х
Свойства функции y=
Ö
х
:
1. Область определения - луч [0;+¥).
2. Функция y=
Ö
х
- общего вида
3. Функция возрастает на луче [0;+¥).
10)Функция
y=
3
Ö
х
Свойства функции y=
3
Ö
х
:
1. Область определения- вся числовая прямая
2. Функция y=
3
Ö
х
нечетна.
3. Функция возрастает на всей числовой прямой.
11)Функция
y=n
Ö
х
При четном n функция обладает теми же свойствами, что и функция y=
Ö
х
. При нечетном n функция y=n
Ö
х
обладает теми же свойствами, что и функция y=
3
Ö
х.
12)Степенная функция с положительным дробным показателем-
функция, заданная формулой y=xr
, где r
- положительная несократимая дробь.
Свойства функции y=xr
:
1. Область определения- луч [0;+¥).
2. Функция общего вида
3. Функция возрастает на [0;+¥).
На рисунке изображен график функции y=x5
/2
. Он заключен между графиками функций y=x2
и y=x3
, заданных на промежутке [0;+¥).Подобный вид имеет любой график функции вида y=xr
, где r>1.
На рисунке изображен график функции y=x2
/3
. Подобный вид имеет график любой степенной функции y=xr
, где 0<r<1
13)Степенная функция с отрицательным дробным показателем-
функция, заданная формулой y=x-r
, где r
- положительная несократимая дробь.
Свойства функции y=x-r
:
1. Обл. определения -промежуток (0;+¥)
2. Функция общего вида
3. Функция убывает на (0;+¥)
14)Обратная функция
Если функция y=f(x)
такова, что для любого ее значения yo
уравнениеf(x)=yo
имеет относительно х
единственный корень, то говорят, что функция f
обратима.
Если функция y=f(x) определена и возрастает (убывает) на промежутке Х и областью ее значений является промежуток Y, то у нее существует обратная функция, причем обратная функция определена и возрастает(убывает) на Y.
Таким образом, чтобы построить график функции, обратной к функции y=f(x), надо график функции y=f(x) подвергнуть преобразованию симметрии относительно прямой y=x.
15)Сложная функция-
функция, аргументом которой является другая любая функция.
Возьмем, к примеру, функцию y=x+4. Подставим в аргумент функцию y=x+2. Получается: y(x+2)=x+2+4=x+6. Это и будет являться сложной функцией.