ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
- раздел векторного исчисления в котором изучаются простейшие операции над (свободными) векторами. К числу операций относятся линейные операции над векторами: операция сложения векторов и умножения вектора на число.
Суммой a
+
b
векторов a
иb
называют вектор , проведенный из начала a
к концу b
, если конец a
и начало b
совмещены. Операция сложения векторов обладает свойствами:
a
+b=b+a (коммутативность)
(а+b)*с=а*(b+с) (ассоциативность)
a + 0=a (наличие нулевого элемента )
a+(-a)=0 (наличие противоположного элемента),
где 0
- нулевой вектор, -a
есть вектор, противоположный вектору а
. Разностью a-b
векторов a
и b
называют вектор x
такой, что x+b=a.
Произведением l
x
вектора а
на число l
в случае l
¹
0
, а
¹
О
называют вектор, модуль которого равен |
l
||
a
|
и который направлен в ту же сторону, что и вектор a
, еслиl
>0,
и в противоположную, если l
<0
. Если l
=0
или (и) a =0,
то l
a
=0
. Операция умножения вектора на число обладает свойствами:
l
*(
a
+
b
)=
l
*
a
+
l
*
b
(дистрибутивность относительно сложения векторов)
(
l
+u)*
a
=
l
*
a
+
u
*
a
(дистрибутивность относительно сложения чисел)
l
*(
u
*
a
)=(
l
*
u
)*
a
(ассоциативность)
1*a=a (умножение на единицу)
Множество всех векторов пространства с введенными в нем операциями сложения и умножения на число образует векторное пространство
(линейное пространство).
В Векторной алгебре важное значение имеет понятие линейной зависимости векторов. Векторы а,
b
, … , с
называются линейно зависимыми векторами, если существуют числа a
,
b
,…,
g
из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие, что справедливо равенство:
a
a
+
b
b
+…
g
c
=0. (1)
Для линейной зависимости двух векторов необходима и достаточна их коллинеарность, для линейной зависимости трех векторов необходима и достаточна их компланарность. Если один из векторов а, b, ...,c
нулевой, то они линейно зависимы. Векторы a,b, ..,с
называются линейно независимыми, если из равенства (1) следует, что числа a
,
b
,…,
g
равны нулю. На плоскости существует не более двух, а в трехмерном пространстве не более трех линейно независимых векторов.
Совокупность трех (двух) линейно независимых векторов e
1
,
e
2
,
e
3
трехмерного пространства (плоскости), взятых в определенном порядке, образует базис. Любой вектор а единственным образом представляется в виде суммы:
a
=
a
1
e
1
+
a
2
e
2
+
a
3
e
3
.
Числа a
1
,
a
2
,
a
3
называют координатами (компонентами) вектора а
в данном базисе и пишут a={
a
1
,
a
2
,
a
3
}
.
Два вектора a={
a
1
,
a
2
,
a
3
}
и b={
b
1
,
b
2
,
b
3
}
равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты в одном и том же базисе. Необходимым и достаточным условием коллинеарности векторов a={
a
1
,
a
2
,
a
3
}
и b={
b
1
,
b
2
,
b
3
}
,b¹0, является пропорциональность их соответствующих координат: a
1
=
l
b
1
,
a
2
=
l
b
2
,
a
3
=
l
b
3
.
Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов a={
a
1
,
a
2
,
a
3
}
, b={
b
1
,
b
2
,
b
3
}
и c={
c
1
,
c
2
,
c
3
}
является равенство :
|
a
1
a
2
a
3
|
|
b
1
b
2
b
3
| = 0
|
c
1
c
2
c
3
|
Лин
a
1
,
a
2
,
a
3
}
и b={
b
1
,
b
2
,
b
3
}
равны суммам соответствующих координат: a+
b
={a1
+b1
,a2
+b2
,a3
+b3
}
. Координаты произведения вектора а
на число l
равны произведениям координат а на l
:
l
а= {
l
а1
,
l
a2
,
l
a3
}.
Скалярным произведением (а, b)
ненулевых векторов а
и b
называют произведение их модулей на косинус угла j
между ними:
(а, b) = | а |*|
b
| cos
j
.
За j
принимается угол между векторами, не превосходящий p
. Если а=0
или b=0
, то скалярное произведение полагают равным нулю. Скалярное произведение обладает свойствами:
(a, b)= (b, а) (коммутативность),
(a,b+с)= (a,b) + (а,с) (дистрибутивность относительно сложения векторов),
l
(a,b)=(
l
a
,b) =(a,
l
6) (сочетательность относительно умножения на число),
(a,b)=0, лишь если а=0 или (и) b=0 или a
^
b.
Для вычисления скалярных произведений векторов часто пользуются декартовыми прямоугольными координатами, т.е. координатами векторов в базисе, состоящем из единичных взаимно перпендикулярных векторов (ортов) i, j, k
( ортонормированный базис). Скалярное произведение векторов :
a={
a
1
,
a
2
,
a
3
}
и b={
b
1
,
b
2
,
b
3
}
заданных в ортонормированном базисе, вычисляется по формуле:
(
a
,
b
)=
a
1
b
1
+
a
2
b
2
+
a
3
b
3
Косинус угла j
между ненулевыми векторами a={
a
1
,
a
2
,
a
3
}
и b={
b
1
,
b
2
,
b
3
}
может быть вычислен по формуле:
где и
Косинусы углов вектора a={
a
1
,
a
2
,
a
3
}
с векторами базиса i
, j, k
называют. направляющими косинусами вектора а:
, , .
Направляющие косинусы обладают следующим свойством:
co
s
2
a
+
cos
2
b
+
cos
2
g
=1
Осью называется прямая с лежащим на ней единичным вектором е-ортом, задающим положительное направление на прямой. Проекцией Пр. е
а
вектора a
на ось называют направленный отрезок на оси, алгебраическое значение которого равно скалярному произведению вектора а
на вектор е
. Проекции обладают свойствами:
Пр. е
(
a
+
b
)= Пр. е
a
+ Пр. е
b
(аддитивность),
Пр. е
a
= Пр. е
l
a
(однородность).
Каждая координата вектора в ортонормированном базисе равна проекции этого вектора на ось, определяемую соответствующим вектором базиса.
В пространстве различают правые и левые тройки векторов. Тройка некомпланарных векторов а, b, с
называется правой, если наблюдателю из их общего начала обход концов векторов a, b, с
в указанном порядке кажется совершающимся по часовой стрелке. В противном случае a,b,c
- левая тройка. Правая (левая) тройка векторов располагается так, как могут быть расположены соответственно большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой (левой) руки(см. рис). Все правые (или левые) тройки векторов называются одинаково ориентированными.
b
b
c
c
a
a
правило левой руки правило правой руки
Ниже тройку векторов
i
,
j
,
k
следует считать правой .
Пусть на плоскости задано направление положительного вращения (от i
к j
). Псевдоскалярным произведением a
Vb
ненулевых векторов a
и b
называют произведение их модулей на синус угла j
положительного вращения от a
к k
:
aVb
=|
a
||
b
|*
sin
j
Псевдоскалярное произведение нулевых векторов полагают равным нулю. Псевдоскалярное произведение обладает свойствами:
aVb=-bVa (антикоммутативность),
aV (b+c)=aVb+aVc (дистрибутивность относительно сложения векторов),
l
(aVb)=
l
aVb (сочетательность относительно умножения на число),
aVb=0, лишь если а=0 или (и) b=0 или а и b коллинеарны.
Если в ортонормированном базисе векторы а и и имеют координаты {a1
,
a
2
} {
b
1
,
b
2
},
то :
aVb=a1
b1
-a2
b2.