Алексей Лохов
Руководитель: В.И.Шелест
10 класс школы-колледжа 130, г. Новосибирск
1998
Введение
Пузырьки газа в жидкости могут расти двумя способами: за счет диффузионного потока через ограничивающую его поверхность, за счет притока частиц к границе из-за конвективных потоков.
В общем случае это означает, что
,
где V- объем пузырька, nг - концентрация газа в пузырьке, nж - средняя концентрация газа в жидкости, j - средняя плотность конвективного потока газа, S - площадь поверхности пузырька и D - коэффициент диффузии газа в жидкости. Мы считаем, что nж>>nг . Если все процессы протекают равномерно, то
,
R - радиус растущего пузырька. Здесь градиент концентраций взят R -1 из соображений размерности, т.к. R - единственный параметр в задаче с размерностью длины. Если преобладающим механизмом роста пузырька будет диффузионный (при), то:
,
откуда выражаем R :
Видно, что .
Если преобладающим механизмом роста пузырька будет потоковый (при), то:
(*),
откуда, на первый взгляд, R t. Мы попытаемся выяснить, действительно ли это так.
Расчет потока
Попробуем посчитать суммарный поток частиц J внутрь пузырька. Рассмотрим движение раствора вокруг пузырька (см.рис1.) Как видно из рисунка, жидкость тормозится за счет вязкости в гидродинамическом пограничном слое толщины l. Диффузия же газа происходит через диффузионный слой обеднения толщины Этот слой характеризует то, что частицы растворенного газа успевают продиффундировать через него быстрее, чем поток пронесет их вдоль пузырька.
Выведем толщину l гидродинамического пограничного слоя. Пусть пузырек обтекается на длине жидкостью плотности , вязкости , движущейся с постоянной скоростью v. Пусть площадь соприкосновения жидкости и пузыря S. Тогда запишем условие торможения жидкости за счет силы вязкости, для чего приравняем силу вязкости выражению, где Sl -масса соприкасающейся жидкости, а -ее ускорение на длине :
где R характерная длина обтекаемого объекта, - число Рейнольдса. Тогда
.
Расчет толщины слоя обеднения существенно зависит от соотношения между и l. Известно, что среднеквадратичное смещение частицы определяется формулой
.
Время обтекания пузыря при < l будет равно
(0),
где -скорость потока на расстоянии от поверхности, а R-радиус пузыря. Отсюда находим выражение на :
.
Подставляя значение l , получаем :
.
Запишем условие, ч
(1)
Аналогичный расчет при > l дает (подставляя в выражении (0) v = v' ):
При условии, что
.
Запишем поток J при > l :
.
Видно, что .
Запишем поток J при < l:
(**).
Отсюда также следует, что .
Попробуем понять, какой же режим осуществляется на самом деле: < l или > l , для чего подставим характерные числовые параметры. Для раствора CO2 в воде при нормальных условиях были найдены следующие значения параметров (справочник "Физические величины", авторы А.П.Бабичев, Н.А.Бабушкина и др.): . Подставляя эти параметры в уравнение (1) получаем, что
.
Это означает, что для системы CO2 - вода реализуется случай < l. Нами не были найдены газы, растворы которых в воде при нормальных условиях создавали бы условия для реализации того режима, когда > l.
Итоги
В данной работе показано, что размер пузырька, растущего в растворе газа в жидкости меняется по нелинейным законам:
R t1/2 - диффузионное приближение,
R t2/3 - потоковое приближение.
Приложение
Покажем, что можно пренебречь изменением концентрации газа в жидкости при обтекании жидкостью пузырька. Для нахождения этого распределения решим следующую одномерную задачу: найдем распределение концентрации с газа в жидкости, движущейся со скоростью v между двумя большими плоскими проницаемыми для газа пластинами. Начальная концентрация - c0 (см. рис 2). Также учтем возможность диффузии частиц через стенки трубы: пусть сверху находится раствор концентрации c1 , снизу - концентрации c2 , причем примем для определенности
c2>c>c1 . Будем также считать, что диффузия происходит только через стенки, т.е. нет диффузии в самом потоке по оси y. Введем следующие обозначения: aтолщина стенки, через которую происходит диффузия, b - толщина потока, L - поперечная ширина потока, D - коэффициент диффузии и . Тогда запишем баланс частиц:
.
Упрощая, получаем:
.
Решением этого уравнения является функция
, (2)
Найдем полный поток J при > l (см. рис 3) (случай < l рассматривается аналогично):
(3)
Теперь запишем значение площади контакта S для пузырька:
,
Подставляя найденные значения параметров в уравнения (2) и (3), получаем значение потока
Вспомним, что c1 =c0 =nж , c2 = nг , nг <<nж , :
Если , то .
Если , то .
Видно, что результаты различаются всего в 2 раза. Подставив этот результат в уравнение (*), мы получим приближенное уравнение роста пузырька в конвективном потоке.