Об одной общей краевой задаче со смещением для нагруженного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками
Кодзодков А.Х.
Кафедра математического анализа.
Кабардино-Балкарский государственный университет
Рассмотрим линейное нагруженное уравнение третьего порядка:
(1)
в – области , ограниченной отрезками прямых соответственно при и характеристиками , уравнения (1) при ; ; – интервал , – интервал .
Здесь положено, что:
1)
или 2) .
Пусть имеет место случай (1).
Задача . Найти функцию со следующими свойствами: 1) ;
2) – регулярное решение уравнения (1) при ;
3) удовлетворяет краевым условиям
, ; (2)
,
, (3)
где , – аффиксы точек пересечения характеристик уравнения (1) при y < 0, выходящих из точки с характеристиками АС и ВС соответственно; , , .
Опираясь на однозначную разрешимость задачи Коши для уравнения (1) при y < 0 с начальными данными , , легко видеть, что если существует решение задачи , то оно представимо в виде:
. (4)
Учитывая (4) в краевом условии (3), получаем:
, (5)
где .
Следуя [1], обозначим через первообразную функции . Тогда уравнение (5) примет вид:
, (6)
, (7)
где .
Относительно коэффициентов уравнения (6) будем рассматривать аналогичные ситуации, приведенные в работе [1]:
1) , т.е. ;
2) , , т.е. ;
3), т.е. ;
4) , , т.е. .
Пусть имеет место случай (1) и функции . Решение задачи (6), (7) в этом случае имеет вид:
, (8)
где .
Дифференцируя равенство (8) и делая несложные преобразования, получаем:
(9)
где ,
, ,
,
, .
Переходя к пределу в уравнении (1) при , получаем функциональное соотношение между и , принесенное из области , на линию :
. (10)
В силу граничных условий (2) и равенства (9) получим нелокальную задачу для нагруженного неоднородного интегро-дифференциального уравнения третьего порядка с переменными коэффициентами:
, (11)
, (12)
где
.
В начале положим, что , т.е.
, , т.е.
.
В зависимости от значений корней характеристического уравнения
, (13)
соответствующего однородному уравнению (11) (), будем исследовать разрешимость задачи (11), (12).
Введем обозначение . Логически возможны три различных случая: 1) S>0, 2) S=0, 3) S<0.
Известно, что [2]: 1) если S>0, то уравнение (13) имеет только один действительный корень, а два остальных корня будут сопряженными чисто комплексными числами; 2) если S=0, то все три корня уравнения (13) действительны, причем два из них равны; 3) если S<0, то все три корня уравнения (13) действительны, причем все они различны.
Пусть S=0, т.е. .
Общее решение уравнения (11) в этом случае имеет вид:
, (14)
где ,
.
Удовлетворяя (14) граничным условиям (12), получим линейную алгебраическую систему трех уравнений относительно с определителем:
.
Положим, что . Тогда находят по формулам:
, (15)
, (16)
, (17)
где
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Учитывая (15) – (17) в (14), получаем:
,
где ,
,
,
или
, (18)
где .
Если считать функцию известной, то (18) представляет собой интегральное уравнение Фредгольма второго рода с вырожденным ядром относительно . Обозначив
,
решение уравнения (18) будем искать в виде:
. (19)
После подстановки (19) в (18) имеем выражение:
.
Если , то определяется по формуле:
. (20)
Учитывая (19), (20) в (18), получаем:
, (21)
где ,
.
В равенстве (21) учтем значение . В результате будем иметь:
, (22)
где ,
,
<,
,
,
.
Перепишем уравнение (22) в виде:
, (23)
где .
В силу условий, наложенных на заданные функции , можем заключить, что , следовательно .
Обращая интегральное уравнение Вольтерра второго рода (23), получаем:
, (24)
где – резольвента ядра . Заметим, что резольвента обладает такими же свойствами, что и ядро [3].
Заменяя в равенстве (24) функцию ее значением, получаем:
, (25)
где ,
.
Перепишем уравнение (25) в виде:
, (26)
где .
Решение уравнения (26) будем искать в виде:
, (27)
где .
Поступая аналогично предыдущему случаю, получим
, если .
Таким образом, имеем:
|
, (28)
где .
Уравнение (28) перепишем в виде:
, (29)
где .
Решение уравнения (29) ищем в виде:
, (30)
где .
Подберем теперь постоянную так, чтобы определенная формулой (30) функция была решением интегрального уравнения (29). С этой целью внесем выражение (30) для в левую часть (29). После простых вычислений получаем:
,
откуда
,
где положено, что
.
Таким образом, имеем:
. (31)
Полагая в равенстве , находим
,
если , т.е.
.
Пусть теперь имеет место случай 2), причем :
.
В этом случае уравнение (6) принимает вид:
, (32)
где .
Учитывая условие (7), из (32) получаем соотношение , . Подставляя это значение в (32), находим
. (33)
Подставляя (33) в (10), получаем нагруженное уравнение:
, (34)
где ,
,
,
с внутренне-краевыми условиями (12).
Рассмотрим частный случай, когда , т.е.
=; , т.е.
; , т.е.
.
Тогда общее решение однородного уравнения
имеет вид [4]:
где .
Пусть . Методом вариации постоянных находим общее решение неоднородного уравнения (34) в виде:
, (35)
где ,
.
Удовлетворяя (35) условиям (12), получаем:
,
,
где
,
,
, причем выполняется условие
, т.е. .
Равенство (35) перепишем в виде:
, (36)
где , .
Из (36) при , имеем
,
если выполняется условие , т.е.
.
Пусть имеет место случай 3), причем , . Тогда уравнение (6) принимает вид [1]:
. (37)
Полагая в равенстве (37) и, учитывая условия , получим:
.
Следовательно, для имеем представление
, (38)
где .
Если выполняется условие 4) и функции , причем , то имеем равенство
. (39)
Полагая в равенстве (39) и, учитывая условие , находим
.
Таким образом, имеем, что
. (40)
Полагая в равенствах (38), (40) , найдем , а затем, подставляя их в равенство (10), однозначно найдем неизвестную функцию .
Случай исследуется аналогично.
После определения функций решение задачи в области задается формулой (4), а в области приходим к задаче (1), (2), .
Решение этой задачи дается формулой [5]:
, (41)
где
.
Отсюда, полагая в равенстве (41) , получаем систему интегральных уравнений типа Вольтерра второго рода:
(42)
где ,
.
В силу свойств функции и ядер системы (42), нетрудно убедиться, что система уравнений (42) допускает единственное решение в пространстве [3].
Список литературы
Наджафов Х.М. Об одной общей краевой задаче со смещением для уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Известия КБНЦ РАН. Нальчик, №1(8), 2002.
Фадеев Д.К. Лекции по алгебре. М.1984.
Мюнтц Г. Интегральные уравнения. Л.-М., Т.1, 1934.
Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1971.
Джураев Т.Б. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов. Ташкент: Фан, 1979.