МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ
ТАВРИЧЕСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
им. В.И. ВЕРНАДСКОГО
ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ
КАФЕДРА АЛГЕБРЫ И ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
*-АЛГЕБРЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ
Дипломная работа специалиста
студент 5 курса специальности математика _________________________________ НАУЧНЫЕ РУКОВОДИТЕЛИ: ассистент каф. алгебры и функционального анализа _________________________________ профессор, доктор физико-математических наук _________________________________ РЕШЕНИЕ О ДОПУСКЕ К ЗАЩИТЕ: зав. кафедрой, профессор, д.ф.м.н. _________________________________ |
СИМФЕРОПОЛЬ
2003
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
……………………………………………………………………………..4
Глава
I
. Основные понятия и определения
…………………………………….6
§ 1.
* - алгебры
……………………………………………………………………...6
1.1. Определение * - алгебры……………………………………………………….6
1.2. Примеры…………………………………………………………………………7
1.3. Алгебры с единицей…………………………………………………………….7
1.4. Простейшие свойства * - алгебр……………………………………………….9
1.5. Гомоморфизм и изоморфизм алгебр…………………………………………11
§ 2. Представления
……………………………………………………………….13
2.1. Определение и простейшие свойства представлений……………………….13
2.2. Прямая сумма представлений ………………………………………………..15
2.3. Неприводимые представления………………………………………………..16
2.4. Конечномерные представления……………………………………………….19
2.5. Интегрирование и дезинтегрирование представлений ……………………..20
§ 3. Тензорные произведения
……………………………………………………26
3.1. Тензорные произведения пространств……………………………………….26
3.2. Тензорные произведения операторов………………………………………..28
Глава
II
. Задача о двух ортопроекторах
………………………………………..31
§ 1. Два ортопроектора в унитарном пространстве
…………………………..31
1.1. Постановка задачи……………………………………………………………..31
1.2. Одномерные *-представления *-алгебры P
2
……………………………….31
1.3. Двумерные *-представления *-алгебры P
2
……………………………….32
1.4. n-мерные *-представления *-алгебры P
2
…………………………………35
1.5. Спектральная теорема…………………………………………………………37
§ 2. Два ортопроектора в сепарабельном гильбертовом пространстве
……39
2.1. Неприводимые *-представления *-алгебры P
2
…………………………...39
2.2. Спектральная теорема…………………………………………………………41
Глава
III
. Спектр суммы двух ортопроекторов
……………………………...45
§ 1. Спектр суммы двух ортопроекторов в унитарном пространстве
……...45
1.1. Спектр ортопроектора в гильбертовом пространстве……………………….45
1.2. Постановка задачи……………………………………………………………..45
1.3. Спектр в одномерном пространстве………………………………………….45
1.4. Спектр в двумерном пространстве……………………………………….…..46
1.5. Спектр в n-мерном пространстве……………………………………………..47
1.6. Линейная комбинация ортопроекторов………………………………………49
§ 2. Спектр суммы двух ортопроекторов в сепарабельном
гильбертовом пространстве
…………………………………………………….52
2.1. Спектр оператора А = Р1
+Р2
…………………………………………………52
2.2. Спектр линейной комбинации А = а
Р1
+ b
Р2
(0<а<
b
)
……………………..53
Заключение
………………………………………………………………………..55
Литература
………………………………………………………………………..56
ВВЕДЕНИЕ
Пусть Н
– гильбертово пространство, L
(Н)
– множество непрерывных линейных операторов в Н
. Рассмотрим подмножество А
в L
(Н)
, сохраняющееся при сложении, умножении, умножении на скаляры и сопряжении. Тогда А
– операторная *-алгебра. Если дана абстрактная *-алгебра А
, то одна из основных задач теории линейных представлений (*-гомоморфизмов А
в L
(Н)
) – перечислить все ее неприводимые представления (с точностью до эквивалентности).
Теория унитарных представлений групп восходит к XIX веку и связана с именами Г.Фробениуса, И.Шура, В.Бернсайда, Ф.Э. Молина и др. В связи с предложениями к квантовой физике теория унитарных представлений топологических групп, групп Ли, С
*-алгебр была разработана И.М.Гельфандом, М.А. Наймарком, И.Сигалом, Ж.Диксмье, А.А. Кирилловым и др. в 60-70-х годах XX века. В дальнейшем интенсивно развивается теория представлений *-алгебр, заданных образующими и соотношениями.
Дипломная работа посвящена развитию теории представлений (конечномерных и бесконечномерных) *-алгебр, порожденных двумя проекторами.
Глава I в краткой форме содержит необходимые для дальнейшего сведения из теории представлений и функционального анализа. В §1 дано определение *-алгебры и приведены простейшие свойства этих алгебр. В §2 излагаются основные свойства представлений, вводятся следующие понятия: неприводимость, эквивалентность, прямая сумма, интегрирование и дезинтегрирование представлений. В §3 определяются тензорные произведения пространств, тензорные произведения операторов и др. (см. [2], [3], [4], [8], [9])
В Главе II изучаются представления *-алгебры P
2
P
2
= С
<
p
1
,
p
2
|
p
1
2
=
p
1
* =
p
1
,
p
2
2
=
p
2
* =
p
2
>
,
порожденной двумя самосопряженными идемпотентами, то есть проекторами (см., например, [12]). Найдены все неприводимые *-представления *-алгебры P
2
, с точностью до эквивалентности., доказаны соответствующие спектральные теоремы.
В §1 рассматриваются только конечномерные *-представления π в унитарном пространстве Н
. Описаны все неприводимые и неэквивалентные *-представления *-алгебры P
2
. Неприводимые *-представления P
2
одномерны и двумерны:
4 одномерных: π0,0
(
p
1
) = 0,
π0,0
(
p
2
) = 0;
π0,1
(
p
1
) = 0,
π0,1
(
p
2
) = 1;
π1,0
(
p
1
) = 1,
π1,0
(
p
2
) = 0;
π1,1
(
p
1
) = 1,
π1,1
(
p
2
) = 1.
И двумерные: , τ
(0, 1).
Доказана спектральная теорема о разложении пространства Н
в ортогональную сумму инвариантных относительно π подпространств Н
, а также получено разложение π на неприводимые *-представления. Результаты §1 относятся к математическому фольклору.
В §2 получены основные результаты работы. Для пары проекторов в сепарабельном гильбертовом пространстве Н
приведено описание всех неприводимых представлений, доказана спектральная теорема.
В Главе III спектральная теорема для пары проекторов Р1,
Р2
,
применяется к изучению сумм Р1
+Р2
, аР1
+
b
Р2
(0 <
a
<
b
).
Получены необходимое и достаточное условие на самосопряженный оператор А
для того чтобы А
= Р1
+Р2
или А
= аР1
+
b
Р2
, 0 <
a
<
b
,
(этот частный случай задачи Г.Вейля (1912 г.) о спектре суммы пары самосопряженных операторов).
Глава
I
. Основные понятия и определения
§ 1. - алгебры
1.1.
Определение - алгебры.
Определение 1.1.
Совокупность А
элементов x
,
y
,
… называется алгеб- рой, если:
1) А
есть линейное пространство;
2) в А
введена операция умножения (вообще некоммутативного), удовлет- воряющая следующим условиям:
α
(x y) = (
α
x) y,
x (
α
y) =
α
(x y),
(x y) z = x (y z),
(x + y) = xz +xy,
x
(
y
+
z
) =
xy
+
xz
для любых x
,
y
,
z
А
и любых чисел α.
Два элемента x
,
y
алгебры А
называются перестановочными, если xy
=
yx
. Алгебра А
называется коммутативной, если все ее элементы попарно пере- становочны.
Определение 1.2.
Пусть А
– алгебра над полем С
комплексных чисел. Инволюцией в А
называется такое отображение x
→
x
*
алгебры А
в А
, что
(i)
(x*)* = x;
(ii)
(x + y)* = x* + y*;
(iii)
(
α
x)* = x*;
(iv) (
x
y
)* =
y
*
x
*
для любых x
,
y
С
.
Алгебра над С
, снабженная инволюцией, называется инволютивной алгеброй или *- алгеброй. Элемент х*
называют сопряженным к х
. Подмножество А
, сохраняющееся при инволюции, называется само- сопряженным.
Из свойства (
i
)
следует, что инволюция в А
необходимо является биекцией А
на А
.
1.2. Примеры
1) На А
= С
отображение z
→
(комплексное число, сопряженное к z
) есть инволюция, превращающая С
в коммутативную *- алгебру.
2) Пусть Т
– локально компактное пространство, А
= С(Т)
– алгебра непре- рывных комплексных функций на Т
, стремящихся к нулю на бесконечности (то есть для любого ε > 0
множество {tT
: |f
(
t
)
| ε} компактно, f
(
t
)
А
. Снабжая А
отображением f
→
получаем коммутативную *- алгебру. Если Т
сводится к одной точке, то возвращаемся к примеру 1).
3) Пусть Н
– гильбертово пространство. А =
L
(
H
)
– алгебра ограниченных линейных операторов в Н
. Зададим инволюцию как переход к сопряженному оператору. Тогда А
- *- алгебра.
4) Обозначим через К(Н)
совокупность всех компактных операторов в гильбертовом пространстве Н
; операции сложения, умножения на число и умножения определим как соответствующие действия с операторами. Тогда К(Н)
будет *- алгеброй, если ввести инволюцию А
→А*
(АК(Н))
. Алгебра К(Н)
в случае бесконечного Н
есть алгебра без единицы. Действительно, если единичный оператор I
принадлежит К(Н)
, то он переводит открытый единичный шар S
H
в себя. Значит I
не может быть компактным оператором.
5) Обозначим через W
совокупность всех абсолютно сходящихся рядов .
Алгебра W
есть *- алгебра, если положить . ()
1.3. Алгебры с единицей
Определение 1.3
. Алгебра А
называется алгеброй с единицей, если А
содержит элемент е
, удовлетворяющий условию
ех = хе = х
для всех х
А
(1.1.)
Элемент е
называют единицей алгебры А
.
Теорема 1.1.
Алгебра А
не может иметь больше одной единицы.
Доказательство. Действительно, если е΄
- также единица в А
, то
е΄х = хе΄ = х
, для всех х
А
(1.2.)
Полагая в (1.1.) х = е΄
, а в (1.2.) х = е
, получим:
ее΄ = е΄е = е΄
и е΄е = ее΄ =е
, следовательно е΄ = е
.
Теорема 1.2.
Всякую алгебру А
без единицы можно рассматривать как подалгебру некоторой алгебры А΄
с единицей.
Доказательство. Искомая алгебра должна содержать все суммы х΄=αе + х
, х
А
; с другой стороны, совокупность всех таких сумм образует алгебру А΄
, в которой основные операции определяются формулами:
β(αе + х) = βαе + βх, (α1
е + х1
) + (α2
е + х2
) = (α1
+ α2
)е + (х1
+ х2
),
(α1
е + х1
)(α2
е+ х2
)=α1
α2
е +α1
х2
+α2
х1
+ х1
х2
(1.3.)
Каждый элемент х΄
из А΄
представляется единственным образом в виде
х΄ = αе + х, х
А
, так как по условию А
не содержит единицы. Поэтому А΄
можно реализовать как совокупность всех формальных сумм х΄ = αе + х, х
А
, в которой основные операции определяются формулами (1.3.); сама алгебра А
получится при α = 0
.
Алгебру А΄
можно также реализовать как совокупность всех пар (α, х), х
А
, в которой основные операции определяются по формулам:
β (α, х) = (βα, βх), (α1
,х1
) + (α2
, х2
) = (α1
+ α2
, х1
+ х2
),
(α1
,х1
)(α2
, х2
) = (α1
α2
, α1
х2
+ α2
х1
+ х1
х2
),
(1.4.)
аналогично тому, как определяются комплексные числа. Саму алгебру А
можно тогда рассматривать как совокупность всех пар (0, х), х
А
и не делать различия между х
и (0, х).
Полагая е = (0, х)
, мы получим:
(α, х) = α(1, 0) + (0, х) = αе + х,
так что вторая реализация алгебры А΄
равносильна первой.
Переход от А
к А΄
называется присоединением единицы.
Определение 1.4.
Элемент y
называется левым обратным элемента х
, если xy
=
e
. Элемент z
называется правым обратным элемента х
, если xz
=
e
.
Если элемент х
имеет и левый, и правый обратные, то все левые и правые обратные элемента х
совпадают. Действительно, умножая обе части равенства yx
=
e
справа на z
, получим
z = (yx)z = y(xz) = ye
,
В этом случае говорят, что существует обратный х-1
элемента х
.
1.4. Простейшие свойства - алгебр
Определение 1.5.
Элемент х
*-алгебры А
называется эрмитовым или самосопряженным, если х* = х
, нормальным, если хх* = х*х
. Идемпотентный эрмитов элемент называется проектором. Элемент алгебры называется идемпотентным, если все его (натуральные) степени совпадают.
Каждый эрмитов элемент нормален. Множество эрмитовых элементов есть вещественное векторное подпространство А
. Если х
и y
эрмитовы, то (
xy
)*=
y
*
x
* =
yx
; следовательно, xy
эрмитов, если x
и y
перестановочны. Для каждого х
А
элементы хх*
и х*х
эрмитовы. Но, вообще говоря, эрмитов элемент не всегда представим в этом виде, как показывает пример 1 из пункта 1.2. Действительно, для любого z
C
, но если z
действительно отрицательное число, то его нельзя представить в виде
.
Теорема 1.3.
Всякий элемент х
*-алгебры А
можно представить, и притом единственным образом, в виде х = х1
+
i
х2
, где х1
, х2
– эрмитовы элементы.
Доказательство. Если такое представление имеет место, то х* = х1
+
i
х2
, следовательно:
, (1.5.)
Таким образом, это представление единственно. Обратно, элементы х1
, х2
, определенные равенством (1.5.), эрмитовы и х = х1
+
i
х2
.
Эти элементы х1
, х2
называются эрмитовыми компонентами элемента х
.
Заметим, что хх* = х1
2
+ х2
2
+
i
(х2
х1
– х1
х2
)
,
хх* = х1
2
+ х22 -
i
(х2
х1 – х1х2)
так что х
нормален тогда и только тогда, когда х1
и х2
перестановочны.
Так как е*е = е*
есть эрмитов элемент, то е* = е
, то есть единица эрмитов элемент.
Если А
- *-алгебра без единицы, а А΄
- алгебра, полученная из А
присоединением единицы, то, положив при х
А
, мы определим инволюцию в А΄
, удовлетворяющую всем требованиям определения 2. Так что А΄
станет *-алгеброй. Говорят, что А΄
есть *-алгебра, полученная из А
присоединением единицы.
Теорема 1.4.
Если х-1
существует, то (х*)-1
также существует и
(х*)-1
= (х-1
)*
Доказательство. Применяя операцию * к обеим частям соотношения
х-1
х = хх-1
= е,
получим х*
(х-1
)*= (х*)-1
х*=е.
Но это означает, что (х-1
)* есть обратный к х*
.
Подалгебра А1
алгебры А
называется *-подалгеброй, если из х
А1
следует, что х*
А1
.
Непустое пересечение *-подалгебр есть также *-подалгебра. В частности, пересечение всех *-поалгебр, содержащих данное множество S
А
, есть минимальная *-подалгебра, содержащая S
.
Коммутативная *-алгебра называется максимальной, если она не содержится ни в какой другой коммутативной *-подалгебре.
Теорема 1.5.
Если В
– максимальная коммутативная *-подалгебра, содержащая нормальный элемент х
, и если х-1
существует, то х-1
В
.
Доказательство. Так как х
т х*
перестановочны со всеми элементами из В
, то этим же свойством обладают х-1
и (х*)-1
= (х-1
)*. В силу максимальности В
отсюда следует, что х-1
В
.
Определение 1.6.
Элемент х
А -
*-алгебры называется унитарным, если хх* = х*х = е
, иначе говоря, если х
обратим и х = (х*)-1
.
В примере 1 п.1.2. унитарные элементы – комплексные числа с модулем, равным 1.
Унитарные элементы А
образуют группу по умножению – унитарную группу А
. Действительно, если x
и y
– унитарные элементы *-алгебры А
, то
((х
y
)*)-1
= (у*х*)-1
=(х*)-1
(y
*)-1
= xy
,
поэтому xy
унитарен, и так как ((х-1
)*)-1
= ((х*)-1
)-1
= х-1
, то х-1
унитарен.
1.5. Гомоморфизм и изоморфизм алгебр
Определение 1.7.
Пусть А
и В
– две *-алгебры. Назовем гомоморфизмом (*-гомоморфизмом) А
в В
такое отображение f
множества А
в В
, что
f (x + y) = f (x) + f (y),
f (αx) = α f (x),
f (xy) = f (x) f (y),
f (x*) = f (x)*
для любых х,
y
А
, α
С
. Если отображение f
биективно, то f
называют изоморфизмом (*-изоморфизмом).
Определение 1.8.
Совокупность I
элементов алгебры А
называется левым идеалом, если:
(i) I
≠ A
;
(ii) Из х,
y
I
следует x
+
y
I
;
(iii) Из х
I
, аα
А
следует αх
I
.
Если I
= А
, то I
называют несобственным идеалом.
Аналогично определяется и правый идеал. Идеал, являющийся одновременно и левым, и правым, называется двусторонним.
Всякий идеал автоматически оказывается алгеброй.
Пусть I
– двусторонний идеал в алгебре А
. Два элемента х,
y
из А
назовем эквивалентными относительно идеала I
, если х-
y
I
. Тогда вся алгебра А
разбивается на классы эквивалентных между собой элементов. Обозначим через А
совокупность всех этих классов. Введем в А1
операции сложения, умножения на число и умножения, производя эти действия над представителями классов. Так как I
– двусторонний идеал, то результат операций не зависит от выбора этих представителей.
Следовательно, А1
становится алгеброй. Эта алгебра называется фактор-алгеброй алгебры А
по идеалу I
и обозначается A
/
I
.
*-гомоморфизм алгебр описывается при помощи так называемых самосопряженных двусторонних идеалов.
Определение 1.9.
Идеал I
(левый, правый или двусторонний) называется самосопряженным, если из х
I
следует х*
I
.
Самосопряженный идеал автоматически является двусторонним. Действительно, отображение х → х*
переводит левый идеал в правый и правый идеал в левый; если поэтому отображение х → х*
переводит I
в I
, то I
есть одновременно и левый и правый идеал.
В фактор-алгебре A
/
I
по самосопряженному двустороннему идеалу I
можно определить инволюцию следующим образом. Если х-
y
I
, то х*-
y
*
I
. Поэтому при переходе от х
к х*
каждый класс вычетов х
по идеалу I
переходит в некоторый другой класс вычетов по I
. Все условия из определения 1.2. выполнены; следовательно, A
/
I
есть *-алгебра.
Если х → х΄
есть *-гомоморфизм А
на А΄
, то полный прообраз I
нуля (то есть ядро данного гомоморфизма) есть самосопряженный двусторонний идеал в А
. Фактор-алгебра A
/
I
*-изоморфна *-алгебре А΄
.
Обратно, отображение х → [х]
каждого элемента х
А
в содержащий его класс вычетов по I
есть *-гомоморфизм алгебра А
на A
/
I
.
§ 2. Представления
2.1. Определения и простейшие свойства представлений.
Определение 2.1.
Пусть А
- *-алгебра, Н
– гильбертово пространство. Представлением А
в Н
называется *-гомоморфизм *-алгебры А
в *-алгебру ограниченных линейных операторов L
(
H
)
.
Иначе говоря, представление *-алгебры А
в Н
есть такое отображение из А
в L
(
H
)
, что
π (
x
+
y
) =
π(
x
)
+ π(
y
)
, π (α
x
)
= απ(
x
)
,
π (
xy
) =
π(
x
)
π(
y
)
, π (
x
*)
= π (
x
)*
для любых х,
y
А
и α
С
.
Размерность гильбертова пространства Н
называется размеренностью π и обозначается dimπ. Пространство Н
называется пространством представления π.
Определение 2.2.
Два представления π1
и π2
инволютивной алгебры А
в Н1
и Н2
соответственно, эквивалентны (или унитарно эквивалентны), если существует унитарный оператор U
, действующий из гильбертова пространства Н1
в гильбертово пространство Н2
, переводящий π1
(х)
в π2
(х)
для любого х
А
, то есть
U
π1
(х)
= π2
(х)
U
для всех х
А.
Определение 2.3. Представление π называется циклическим, если в пространстве Н
существует вектор f
такой, что множество всех векторов π(х)
f
(для всех х
А
) плотно в Н
. Вектор f
называют циклическим (или тотализирующим) для представления π.
Определение 2.4.
Подпространство Н1
Н
называется инвариантным, относительно представления π, если π (А
)Н1
Н1
.
Если Н1
инвариантное подпространство, то все операторы π(х)
(х
А
) можно рассматривать как операторы Н1
. Сужения π(х)
на Н1
определяют подпредставления π1
*-алгебры А
в Н1
.
Теорема 2.1.
Если Н1
инвариантное подпространство Н
, то его ортогональное дополнение также инвариантно.
Доказательство. Пусть f
ортогонален к Н1
, то есть (
f
,
g
) = 0
для всех g
Н1
. Тогда для любого х
А
(π(х)
f
,
g
) = (f
, π(х)
*g
) = (f
, π(х*)
g
) =
0
, так как π(х*)
g
Н1
. Следовательно, вектор π(х)
f
также ортогонален к Н1
.
Обозначим через Р1
оператор проектирования в Н
на подпространство Н1
Н1
.
Теорема 2.2.
Н1
– инвариантное подпространство тогда и только тогда, когда все операторы представления перестановочны с оператором проектирования Р1
на Н1
.
Доказательство. Пусть Н1
– инвариантное подпространство и f
Н1
, но также π(х)
f
Н1
. Отсюда для любого вектора f
Н
π(х)
Р1
f
Н1
следовательно, Р1
π(х)
Р1
f
= π(х)
Р1
f
,
то есть Р1
π(х)
Р1
= π(х)
Р1
.
Применяя операцию инволюции к обеим частям этого равенства и подставляя затем х*
вместо х
, получаем, что также
Р1
π(х)
Р1
= Р1
π(х)
.
Следовательно, Р1
π(х) =
π(х)
Р1
; операторы Р1
и π(х)
коммутируют.
Обратно, если эти операторы перестановочны, то для f
Н1
Р1
π(х)
f =
π(х)
Р1
f =
π(х)
f
;
Следовательно, также π(х)
f
Н1
. Это означает, что Н1
– инвариантное подпространство.
Теорема 2.3.
Замкнутая линейная оболочка К
инвариантных подпрост- ранств есть также инвариантное подпространство.
Доказательство. Всякий элемент g
из К
есть предел конечных сумм вида
h
= f
1
+ … +
fn
, где f
1
, …
,fn
– векторы исходных подпространств. С другой стороны, π(х)
h
=
π(х)
f
1
+…+ π(х)
fn
есть сумма того же вида и имеет своим пределом π(х)
g
.
2.2. Прямая сумма представлений.
Пусть I
– произвольное множество. Пусть (πi
)
i
I
- семейство представлений *-алгебры А
в гильбертовом пространстве Н
i
(i
I
). Пусть
|| πi
(
х)
|| ≤ сх
где сх
– положительная константа, не зависящая от i
.
Обозначим через Н
прямую сумму пространств Н
i
, то есть Н =
Н
i
.
В силу (2.1.) можно образовать непрерывный линейный оператор π(х)
в Н
, который индуцирует πi
(х)
в каждом Н
i
. Тогда отображение х →
π(х)
есть представление А
в Н
, называемое прямой суммой представлений πi
и обозначаемое πi
или π1
…..πn
в случае конечного семейства представлений (π1
…..πn
). Если (πi
)
i
I
–
семейство представлений *-алгебры А
, совпадающих с представлением π, и если CardI
= c
, то представления πi
обозначается через с
π. Всякое представление, эквивалентное представлению этого типа, называется кратным π.
Для доказательства следующего понадобится лемма Цорна. Напомним ее.
Лемма Цорна. Если в частично упорядоченном подмножестве Х
всякое линейно упорядоченное подмножество имеет в Х
верхнюю грань, то Х
содержит максимальный элемент.
Теорема 2.4.
Всякое представление есть прямая сумма цикличных представлений.
Доказательство. Пусть f
0
≠ 0
– какой-либо вектор из Н
. Рассмотрим совокупность всех векторов π(х)
f
0
, где х пробегает всю *-алгебру А
. Замыкание этой совокупности обозначим через Н1
. Тогда Н1
– инвариантное подпространство, в котором f
0
есть циклический вектор. Другими словами, Н1
есть циклическое подпространство представления π.
Если Н1
= H
, то предложение доказано; в противном случае H
-Н1
есть отличное от {0} инвариантное подпространство. Применяя к нему тот же прием, мы выделим циклическое подпространство Н2
ортогональное Н1
.
Обозначим через М
совокупность всех систем {Н
α
}, состоящих из взаимно ортогональных циклических подпространств представления; одной из таких систем является построенная выше система {Н1
, Н2
}. Упорядоченная при помощи соотношения включения совокупность М
образует частично упорядоченное множество, удовлетворяющее условиям леммы Цорна; именно, верхней гранью линейно упорядоченного множества систем {Н
α
}
М
будет объединение этих систем. Поэтому в М
существует максимальная система {Н
α
}. Но тогда Н=
Н
α
; в противном случае в инвариантном подпространстве Н
-(Н
α
) существовало бы отличное от {0} циклическое подпространство Н0
и мы получили бы систему {Н
α
}Н0
М
, содержащую максимальную систему {Н
α
}, что невозможно.
2.3. Неприводимые представления.
Определение 2.5.
Представление называется неприводимым, если в пространстве Н
не существует инвариантного подпространства, отличного от {0} и всего Н
.
Согласно теореме 2.2. это означает, что всякий оператор проектирования, перестановочный со всеми операторами представления, равен 0 или 1.
Всякое представление в одномерном пространстве неприводимо.
Теорема 2.5.
Представление π в пространстве Н
неприводимо тогда и только тогда, когда всякий отличный от нуля вектор пространства Н
есть циклический вектор этого представления.
Доказательство. Пусть представление π неприводимо. Приf
Н
, f
≠ 0
, подпространство, натянутое на векторы π(х)
f
, х
А
, есть инвариантное подпространство; в силу неприводимости представления оно совпадает с {0} или Н
. Но первый случай невозможен, ибо тогда одномерное пространство
{αf
| α
C
} инвариантно и потому совпадает с Н
, то есть π(х)=0
в Н
. Во втором же случае f
есть циклический вектор.
Обратно, если представление π приводимо и К
– отличное от {0} и Н
инвариантное подпространство в Н
, то никакой вектор f
из К
не будет циклическим для представления π в Н
.
Теорема 2.6.
(И.Шур) Представление π неприводимо тогда и только тогда, когда коммутант π (А
) в L
(
H
)
сводится к скалярам (то есть операторам кратным единичному).
Доказательство. Пусть представление π неприводимо и пусть ограни- ченный оператор В перестановочен со всеми операторами π(х)
. Предположим сначала, что В – эрмитов оператор; обозначим через E(λ) спектральные проекторы оператора В. Тогда при любом λ оператор E(λ) перестановочен со всеми операторами π(х)
; в виду неприводимости представления E(λ) =0 или E(λ) =1, так как (E(λ) f,
f
) не убывает при возрастании λ, то отсюда следует, что существует λ0
такое, что E(λ) =0 при λ<λ0
и E(λ) =1 при λ>λ0
. Отсюда
В=λ dE(λ) = λ0
1.
Пусть теперь В – произвольный ограниченный оператор, переста- новочный со всеми операторами π(х)
. Тогда В* также перестановочен со всеми операторами π(х)
. Действительно,
В*π(х)
= (π(х*)
В)* = (Вπ(х*))* =
π(х)
В*
Поэтому эрмитовы операторы В1
=, В2
= также перестановочны со всеми операторами π
(х)
и, следовательно, кратны единице. Но тогда и оператор В = В1
+i
В2
кратен единице, то есть В – скаляр.
Обратно, пусть всякий ограниченный оператор, перестановочный со всеми операторами π(х)
, кратен единице. Тогда, в частности, всякий оператор проектирования, перестановочный со всеми операторами π(х)
кратен единице. Но оператор проектирования может быть кратным единице только тогда, когда он равен 0 или 1. Следовательно, представление неприводимо.
Определение 2.6
Всякий линейный оператор Т : Н →
Н΄
такой, что Т
π(х)=
π΄
(х)
Т
для любого х
А
, называется оператором сплетающим π и π΄
.
Пусть Т : Н →
Н΄
- оператор, сплетающий π и π΄
. Тогда Т
* : Н΄ →
Н
является оператором, сплетающим π΄
иπ, так как
Т
*π΄
(х)
= (π΄
(х)
Т
)* = (Т
π
(х*)
)* = π(х)
Т
*
Отсюда получаем, что
Т
* Т
π(х)=
Т
*π΄
(х)
Т
= π(х)
Т
*Т
(2.1.)
Поэтому |
T
|
= (T
*T
)1/2
перестановочен с π(
А
)
. Пусть Т
= U
|
T
|
- полярное разложение Т
. Тогда для любого х
А
U
π(х)
|
T
|
= U
|
T
|
π(х)
= Т
π(х)
= π΄
(х)
Т=
π΄
(х)
U
|
T
|
(2.2.)
Если KerT
={0}, то |
T
|
(Н)
всюду плотно в Н
и из (2.2.) следует
U
π(х)
= π΄
(х)
U
(2.3.)
Если, кроме того, = Н΄
, то есть если KerT
*={0}, то U
является изоморфизмом Н
и Н΄
и (2.3.) доказывает что π и π΄
эквивалентны.
Пусть π и π΄
- неприводимые представления *-алгебры А
в гильбертовых пространствах Н
и Н΄
соответственно. Допустим, что существует ненулевой сплетающий оператор Т : Н →
Н΄
. Тогда из (2.1.) и теоремы 2.6. следует, что Т
*Т
и ТТ
* - скалярны (≠0) и π, π΄
эквивалентны.
2.4. Конечномерные представления.
Теорема 2.7.
Пусть π – конечномерное представление *-алгебры А
. Тогда π = π1
…..πn
, где πi
неприводимы.
Доказательство. Если dimπ = 0 (n=0), то все доказано. Предположим, что dimπ = q
и что наше предложение доказано при dimπ<
q
. Если π неприводимо, то предложение снова доказано. В противном случае π = π΄
π΄΄
, причем dimπ΄<q
, dimπ΄΄
<q
, и достаточно применить предположение индукции.
Разложение π = π1
…..πn
не единственно. Тем не менее, мы получим некоторую теорему единственности.
Пусть ρ1
, ρ2
– два неприводимых подпредставления π. Им отвечают инвариантные подпространства Н1
и Н2
. Пусть Р1
и Р2
– проекторы Н
на Н1
и Н2
. Они коммутируют с π(А
). Поэтому ограничение Р2
на Н1
есть оператор, сплетающий ρ1
и ρ2
. Следовательно, если Н1
и Н2
не ортогональны, то из пункта 2.3. следует, что ρ1
и ρ2
эквивалентны. Это доказывает, что любое неприводимое подпредставление π эквивалентно одному из πi
. Итак, перегруп- пировав πi
, получаем, что π = ν
1
…..ν
m
, где каждоеν
i
есть кратное ρ
i
ν
i
΄
неприводимого представления ν
i
΄
, и ν
i
΄
попарно эквивалентны. Если ρ
– неприводимое представление π, то предыдущее рассуждение показывает, что соответствующее инвариантное подпространство Н΄
ортогонально всем инвариантным подпространствам Н
i
, отвечающих ν
i
, кроме одного. Поэтому Н΄
содержится в одном из Н
i
. Это доказывает, что каждое пространство Н
i
определяется однозначно: Н
i
– это подпространство Н
, порожденное пространствами подпредставлений π, эквивалентных ν
i
΄
. Таким образом, доказано предложение.
Теорема 2.8.
В разложении π = ρ1
ν
1
΄
…..ρm
ν
m
΄
представления π, (где ν
1
΄
,…, ν
m
΄
неприводимы и неэквивалентны) целые числа ρ
i
и классы представлений ν
i
΄
определяются единственным образом, как и пространства представлений.
2.5. Интегрирование и дезинтегрирование представлений.
Напомним определение борелевского пространства.
Определение 2.7.
Борелевским пространством называется множество Т
, снабженное множеством В
подмножеств Т
, обладающим следующими свойствами: Т
В
, Ø
В
, В инвариантно относительно счетного объединения, счетного пересечения и перехода к дополнению.
Определение 2.8.
Пусть Т1
, Т2
– борелевские пространства. Отображение f
:
Т1
→
Т2
называется борелевским, если полный прообраз относительно f
любого множества в Т2
есть борелевское множество в Т1
.
Дадим несколько вспомогательных определений и утверждений.
Пусть Т
– борелевское пространство и μ
– положительная мера на Т
.
Определение 2.9.
μ
– измеримое поле гильбертовых пространств на Т
есть пара ε= ((H
(t
))t
T
, Г
), где (H
(t
))t
T
– семейство гильбертовых пространств, индексы которых пробегают Т
, а Г
– множество векторных полей, удовлетворяющее следующим условиям:
(i
) Г
– векторное подпространство Н
(t
);
(ii)
существует последовательность (х1
, х2
,…) элементов Г
таких, что для любого t
T
элементы х
n
(
t
)
образуют последовательность H
(t
);
(iii)
для любого х
Г
функция t
→
||x
(
t
)
|| μ
– измерима;
(iv)
пусть х
– векторное поле; если для любого y
Г
функция t
→
(x
(
t
)
, y
(
t
)
) μ
– измерима, то х
Г
.
Пусть ε= ((H
(t
))t
T
, Г
) μ
– измеримое поле гильбертовых пространств на Т
. Векторное поле х
называется полем с интегрируемым квадратом, если х
Г
и ||x(
t)
||2
dμ(
t) < +
∞.
Если х
, y
– с интегрируемым квадратом, то х+
y
и λх
(λ
С
) – тоже и функция t
→(
x
(
t
),
y
(
t
))
интегрируема; положим
(x, y)
= (x(t), y(t)
) d
μ
(t)
Тогда векторные поля с интегрируемым квадратом образуют гильбертово пространство Н
, называемое прямым интегралом Н
(
t
)
и обозначаемое x
(
t
)
d
μ(
t
)
.
Определение 2.10.
Пусть ε= ((H
(t
))t
T
, Г
)– измеримое поле гильбер- товых пространств на Т
. Пусть для любого t
T
определен оператор S
(
t
)
L
(H
(
t
)
). Если для любого х
T
поле t
→
S
(
t
)
x
(
t
)
измеримо, то t
→
S
(
t
)
называется измеримым операторным полем.
Пусть Т
– борелевское пространство, μ
- положительная мера на Т
, t
→
Н
(
t
)
- μ
- измеримое поле гильбертовых пространств на Т
. Пусть для каждого t
T
задано представление π(
t
)
*-алгебры А
в Н
(
t
)
: говорят, что t
→
π(
t
)
есть поле представлений А
.
Определение 2.11.
Поле представлений t
→
π(
t
)
называется измеримым, если для каждого х
А
поле операторов t
→
π(
t
)х
измеримо.
Если поле представлений t
→
π(
t
)
измеримо, то для каждого х
А
можно образовать непрерывный оператор π(х)
=π(
t
) (
x
)
d
μ(
t
)
в гильбертовом прост- ранстве Н
=Н
(
t
)
dμ(
t
)
.
Теорема 2.9.
Отображение х→
π(х)
есть представление А
в Н
.
Доказательство. Для любых х,
y
А
имеем
π(х+
y
)
= π(t) (x+y) dμ(
t
) =
(π(t) (x) +
π(t) (y)
) dμ(
t
) =
π(t) (x )dμ(
t
) +
+
π(
t
) (
y
)
d
μ(
t
) =
π(х) +
π(
y
)
Аналогично π(
λх) =
λπ(х),
π(х
y
)
= π(х)
π(
y
)
, π(х*)=
π(х)*
Определение 2.12.
В предыдущих обозначениях π называется прямым интегралом π(
t
)
и обозначается π=
π(t) dμ(
t
)
.
Определение 2.13.
Операторное поле t
→φ(
t
)
I
(
t
)
L
(
H
(
t
)
)
где I
(
t
)
-единичный оператор в H
(
t
)
, называется диагональным оператором в Н
=Н
(
t
)dμ(
t
)
.
Пусть ε= ((H
(t
))t
T
, Г
) – μ
-измеримое поле гильбертовых пространств на Т
, μ
1
– мера на Т
, эквивалентная μ
(то есть каждая из мер μ
1
, μ
абсолютно непрерывна по другой), и ρ(
t)=
. Тогда отображение, которое каждому х
Н
==Н
(
t)dμ(
t)
составляет поле t→ρ(
t)
-1/2
х(
t)
Н1
=Н
(
t) dμ1
(
t)
,
есть изометрический изоморфизм Н
на Н1
, называемый каноническим.
Действительно,
||ρ(
t
)
-1/2
х(
t
)dμ1
(
t
)
||2
= ||х(
t
)
||2
ρ(
t
)
-1
dμ1
(
t
)
= ||х(
t
)
||2
dμ1
(
t
)
= ||х(
t
)
||2
Теорема 2.10.
Пусть Т
– борелевское пространство, μ
– мера на Т
, t
→
Н
(
t
)
– измеримое поле гильбертовых пространств на Т
, t
→
π(
t
)
– измеримое поле представлений А
в Н
(
t
)
,
Н
=Н
(
t
) dμ(
t
)
, π1
==
π(t )dμ(
t
)
,
Д
– алгебра диагональных операторов в Н
. Пусть μ
1
– мера на Т
, эквивалентная μ
,
Н1
=Н
(
t
) dμ1
(
t
)
, π1
=π(t) dμ
1
(
t
)
,
Д1
– алгебра диагональных операторов в Н1
. Тогда канонический изоморфизм преобразует π в π1
и Д
в Д1
.
Доказательство. Пусть ρ(
t
)=
. Канонический изоморфизм из Н
в Н1
есть изометрический изоморфизм, который переводит х
=x
(
t
)
d
μ(
t
)
Н
в
Ux
= ρ
-1/2
х(
t
)
d
μ1
(
t
)
.
Пусть α
А
. Имеем
π1
(
α)Ux
= π(t)(
α) ρ
-1/2
х(
t
)
d
μ1
(
t
)
= U
π(t)(
α) х(
t
)
d
μ(
t
)
= U
π(
α)x
,
поэтому и преобразуем π в π1
. Тогда если S
Д
, то аналогично SUx
= USx
, для любого х
Н
.
Определение 2.14.
Пусть Т
, Т1
– борелевские пространства; μ
, μ
1
– меры на Т
и Т1
соответственно; ε= ((H
(t
))t
T
, Г
), Z
1
= ((H
1
(t
1
))t
1
T
1
, Г
), - μ
-измеримое и μ
1
-измеримое поля гильбертовых пространств. Пусть η
: Т
→
Т1
– борелевский изоморфизм, переводящий μ
в μ
1
; η
-изоморфизм ε на ε1
называется семейство (V
(t
))t
T
, обладающееследующими свойствами:
(i) для любого t
T
отображение V
(
t
)
является изоморфизмом Н
(
t
)
на Н1
(η(
t
))
;
(ii) для того, чтобы поле векторов t
→
x
(
t
)
H
(
t
)
на Т
было μ
-измеримо, необходимо и достаточно, чтобы поле η(
t
)→
V
(t
)х(
t
)
Н1
(η(
t
))
на Т1
было μ
1
-измеримо.
Отображение, переводящее поле х
Н
=Н
(
t) dμ(
t)
в поле η(
t))→
V
(t
)х(
t)
Н1
= Н1
(
t) dμ
1
(
t)
, есть изоморфизм Н
на Н1
, обозначаемый V
(
t) dμ(
t)
.
Теорема 2.11.
Пусть Т
– борелевское пространство; μ
– мера на Т
, t
→
H
(
t
)
– μ
- измеримое поле гильбертовых пространств на Т
, t
→
π(
t
)
- μ
- измеримое поле представлений А
в H
(
t
)
,
Н
=Н
(
t
) dμ(
t
)
, π ==
π(t) dμ(
t
)
,
Д
– алгебра диагональных операторов в Н
. Определим аналогичным образом Т1
, μ
1
, t
1
→
H
1
(
t
1
),
t
1
→
π1
(
t
1
)
, Н1
, π1
, Д1
.
Предположим, что существует:
1. N
, N
1
– борелевские подмножества Т
и Т1
, такие что μ
(N
) = μ
(N
1
) = 0;
2. борелевский изоморфизм η
: T
N
→
T
N
1
, преобразует μ
в μ
1
;
3. η
-изоморфизм t
→
V
(t
) поля t
→
Н
(t
) (t
Z
N
) на поле t
1
→
Н1
(t
1
) (t
1
Т1
N
1
) такой, что V
(t
) преобразует π(
t
)
в π1
(η(
t
))
для каждого t
.
Тогда V
=V
(
t)dμ(
t)
преобразует Д
в Д1
и π в π1
.
Доказательство. Обозначим через I
t
, I
t
1
единичные операторы в Н
(t
) и Н1
(t
1
). Если f
L
∞
(T
, μ
) и если f
1
– функция на Т1
N
1
, получаемая из f
|(T
N
) при помощи η
, то V
преобразует f
(
t
)
I
t
dμ(
t
)
в f
1
(
t
1
)
I
t
1
dμ
1
(
t
1
)
, поэтому V
преоб- разует Д
в Д1
. С другой стороны, пусть α
А
и х
= х(
t
) dμ(
t
)
Н
.
Тогда
V
π(
α)х
= V
π(t)(
α) х(
t
)
d
μ(
t
)
= V
(η
-1
(t
1
))
π(η
-1
(t
1
))(
α) х(η
-1
(t
1
))
d
μ
1
(
t
1
)
= π1
(t
1
)(
α) V
(η
-1
(t
1
))
х(η
-1
(t
1
))
d
μ
1
(
t
1
)
= π1
(
α) V
х
Поэтому V
преобразует π в π1
.
Приведем примеры прямых интегралов.
1. Пусть имеется последовательность гильбертовых пространств и дискретная мера μ
на N
, то есть μ(
n
)
=1 для любого n
N
. Тогда
Н
(
n
)
d
μ(
n
)
= Н
(
n
)
, то есть прямой интеграл сводится к ортогональ- ной сумме.
2. Пусть Т
=[0, 1] и в каждой точке t
Т
соответствует поле комплексных чисел С
, и на Т
задана линейная мера Лебега dt
. Тогда С
dt
= L
2
(0, 1).
Изоморфизм устанавливается отображением х
= х(
t)
dt
→х(
t)
L2
(0, 1).
Разложения представления на неприводимые представления в прямой интеграл называют дезинтегрированием.
§ 3. Тензорные произведения пространств
3.1. Тензорные произведения пространств.
Пусть - конечная последовательность сепарабельных гильбертовых пространств, - некоторый ортонормированный базис в Нк
.
Образуем формальное произведение
(3.1.)
α = (α1
,…, αn
)
(n
раз), то есть рассмотрим упорядо- ченную последовательность ( ) и на формальные векторы (3.1.) натянем гильбертово пространство, счит
,…, Н
n
и обозначается Н1
,…, Н
n
= . Его векторы имеют вид:
f
= (f
α
C
), || f
||2
=< ∞ (3.2.)
Пусть g
=
, тогда скалярное произведение опреде- ляется формулой
(
f,
g)
= (3.3.)
Пусть f(
k)
=
(к
= 1,…, n) – некоторые векторы. По определению
f
= f(1)
…
f(n)
= (3.4.)
Коэффициенты f
α
= разложения (3.4.) удовлетворяют условию (3.2.), поэтому вектор (3.4.) принадлежит , при этом
|| f
|| = (3.5.)
Функция Н1
,…, Н
n
<>
линейна по каждому фрагменту, а линейная оболочка L
векторов (3.4.) плотна в - эта линейная оболочка называется алгебраическим (непополненным) тензорным произведением пространств Н1
,…, Н
n
и обозначается α.
Приведенное определение тензорного произведения зависит от выбора ортогонального базиса в каждом сомножителе . При изменении базисов получаем тензорное произведение, изоморфное с сохранением своей структуры исходному произведению.
Пусть Н1
и Н2
– гильбертовы сепарабельные пространства. Тогда конструкция тензорного произведения означает следующее. Рассматривается линейная оболочка L
формальных произведений f1
f2
, причем считается, что
(f1
+ g1
)f2
= f1
f2
+ g1
f2
(3.6.)
f1
(f2
+ g2
) = f1
f2
+ f1
g2
(3.7.)
(λ f1
)f2
=
λ (f1
f2
) (3.8.)
f1
λ (f2
) = λ (f1
f2
) (3.9.)
f1
,g1
Н1
; f2
,g2
Н2
; λ
С
.
Иными словами, линейное пространство L
факторизируется по его линейному подмножеству, натянутому на всевозможные векторы, имеющие вид разностей между правыми и левыми частями равенств (3.6.) – (3.9.).
Затем вводится скалярное произведение в L
.
(f1
f2
, g1
g2
) = (f1
g1
)(f2
g2
) (3.10.)
f1
,g1
Н1
; f2
,g2
Н2
,
а затем распространяется на другие элементы из факторизованного L
билинейным образом.
3.2. Тензорные произведения операторов.
Определим тензорное произведение ограниченных операторов.
Теорема 3.1.
Пусть , - две последовательности гильбер- товых пространств, - последовательность операторов Ак
L
(Нк
, Gк
). Определим тензорное произведение А1
…А
n
=
Ак
формулой
() f
= () = (3.11.)
(f
).
Утверждается, что ряд в правой части (3.11.) сходится слабо в и определяет оператор
L
(, ), причем
|| || = || || (3.12.)
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай n=2, так как в силу равенства Н1
,…, Н
n
= (Н1
,…, Н
n-1
)Н
n
общий случай получается по индукции.
Пусть - некоторый ортонормированный базис в Gк
(к = 1, 2) и пусть g =
G1
G2
. В качестве f
возьмем вектор из Н1
Н2
с конечным числом отличных от нуля координат f
α
.
Зафиксируем α2
, β1
Z+
и обозначим через f
(α2
)
Н1
вектор f
(α2
) = и через g
(β1
)G2
–
вектор g
(β1
) =. Получим
= =
= ≤ =
= ≤ =
=
Из этого неравенства следует слабая сходимость в G1
G2
ряда уже при произвольном c
Н1
Н2
и оценка его нормы в G1
G2
сверху через ||A1
|| ||A2
|| ||f
||. Таким образом, оператор A1
A2
: Н1
Н2
→
G1
G2
определен посредством (3.11.) корректно, ограничен и его норма не превосходит ||A1
|| ||A2
||.
Из (3.5.) и (3.11.) следует
||(A1
A2
) (f1
f2
)|| = ||A1
f1
||||A2
f2
|| (fк
Нк
, к = 1, 2)
Подбирая должным образом орты f1
, f2
последнее произведение можно сделать сколь угодно близким к ||A1
|| ||A2
||, поэтому неравенство ||(A1
A2
)|| ≤ ||A1
|| ||A2
|| не может выполняться, то есть (3.12.) при n=2 доказано.
Из (3.11.) получаем для Ак
L
(Hк
, Gк
), Вк
L
(Hк
, Gк
) (к = 1,…, n) соотношения
(Вк
) (Ак
) = (Вк
Ак
) (3.13.)
(Ак
)* = Ак
*(3.14)
(Ак
) (f1
…
f
n
) = A1
f1
…
An
fn
(3.15.)
(fк
Hк
; к = 1,…, n)
(3.15) однозначно определяет оператор Ак
.
Приведем пример. Пусть Hк
= L2
((0,1), d
(mк
)) = L2
Действительно, вектору вида (3.1.)
поставим в соответствие функцию
L2
. Такие функции образуют ортонормированный базис пространства L2
, поэтому такое соответствие порождает требуемый изоморфизм между и L2
.
Глава
II
. Задача о двух ортопроекторах
§ 1. Два ортопроектора в унитарном пространстве
1.1.
Постановка задачи.
Пусть дана *-алгебра P
2
P
2
= С
< р1
, р2
| р1
2
= р1
*
= р1
, р2
2
=р2
*
= р2
>
порожденная двумя проекторами, то есть двумя идемпотентными самосопряженными элементами.
Положим u
= 2
p
1
– 1, v
= 2
p
2
– 1, тогда u
, v
самосопряженные элементы.
u2
= (2p1
– 1)2
= 4p1
– 4p1
+ 1 = 1, v2
= 1. Таким образом u
, v
– унитарные самосопряженные элементы.
Тогда *-алгебру P
2
можно задать иначе:
P
2
= С
< p1
*
= p1
, p2
*
=p2
| p1
2
= p1
, p2
2
= p2
> = C
<u
* = u
, v
* = v
| u2
= 1, v2
=1 >
Это групповая *-алгебра, порожденная двумя унитарными самосопряженными элементами.
Требуется найти все неприводимые представления *-алгебры P
2
, с точностью до унитарной эквивалентности.
1.2. Одномерные *-представления *-алгебры
P
2
. Пусть π: P
2
→
L(
H)
- *-представление *-алгебры P
2
. Рассмотрим сначала случай, когда dim
H
= 1, то есть dim
π = 1.
P
2
= С
< р1
, р2
| р1
2
= р1
*
= р1
, р2
2
=р2
*
= р2
>
Обозначим через Рк
= π(рк
)
, к = 1,2. Поскольку рк
2
= рк
*
= рк
(к = 1, 2) и π - *-представление, то Рк
2
= Рк
* = Рк
(к =1, 2) – ортопроекторы в Н
на подпространстве Нк
= {y
H |
Рк
y
= y
} к = 1, 2.
Возможны следующие случаи:
1. Н1
= Н2
= {0}; тогда Р1
= 0, Р2
= 0.
2. Н1
= Н
(то есть dim
H
1
=1), Н2
= {0}, тогда Р1
= 1, Р2
= 0.
3. Н1
= {0}, Н2
= Н
(то есть dim
H2
=1), тогда Р1
= 0, Р2
= 1.
4. Н1
= Н2
= Н
(dim
H1
= dim
H2
=1), тогда Р1
= 1, Р2
= 1.
Так как dim
H
=1, то мы можем получить 4 одномерных неприводимых *-представлений P
2
, причем они неэквивалентны.
1.3. Двумерные *-представления *-алгебры
P
2 .
Обозначим через Нк
область значений оператора Рк
при к = 1,2. Пусть Нк
┴
- ортогональное дополнение подпространства Нк
(к = 1,2) в Н
. Тогда Н
=H1
Н1
┴
, Н
=H2
Н2
┴
Введем дополнительные обозначения :
Н0,0
= Н1
┴
∩Н2
┴
, Н0,1
= Н1
┴
∩Н2
, Н1,0
= Н1
∩Н2
┴
, Н1,1
= Н1
∩Н2
. (1.1.)
Пусть dim
H
= 2. предположим, что существуют i
и j
такие, что Hij
нетривиально, то есть dim
Hij
=1. Пусть, например, dim Н1,0
= 1 (остальные случаи аналогичны). Тогда в H
существует ненулевой вектор h
такой, что Н1,0
= л.о. {h
}, но тогда P1
h
= h
, P2
h
= 0; следовательно Н1,0
инвариантное подпространство. Значит в этом случае *-представление π не может быть неприводимым.
Будем считать, что Hij
={0} для любых i
= 0, 1 и j
=0, 1, (то есть Hij
линейно независимы) и dim
H1
= dim
H2
=1. Тогда в Н
можно найти два ортогональных базиса {e1
,
e2
} и {g1
,
g2
}, в которых матрицы операторов Р1
и Р2
имеют вид . Найдем матрицу оператора Р2
в базисе {e1
,
e2
}.
Пустьg1
= a11
e1
+ a12
e2
g2
= a21
e1
+ a22
e2
e1
= b11
g1
+ b12
g2
e2
= b21
g1
+ b22
g2
Рассмотрим векторы h1
=
eit
e1
и h2
=
eil
e2
, тогда
|| h1
||
= ||
eit
e1
|| = || e1
||
= 1, || h2
||
= ||
eil
e2
|| = || e2
||
= 1
(h1
,
h2
) = (eit
e1
, eil
e2
) = ei
(
t-
l)
(
e1
,
e2
)
= 0, то есть {h1
,
h2
} – ортонормированный базис.
Р1
h1
=ei
t
Р1
e1
= h1
,
Р1
h2
=eil
Р1
e2
= 0.
Значит в базисе {h1
,
h2
} матрица оператора Р1
также имеет вид . Тогда можно считать, что a11
,a12
>
0 (так как, например, a11
e1
=|a11
| eit
e1
=|a11
| h1
)
(e1
,
e2
)= 0, значит a11
a21
= a12
a22
= 0 или , тогда существует такое комплексное число r
, что
a22
= - r
a11
a21
= r
a12
Базис (e1
,
e2
) ортонормированный; следовательно
a11
2
+ a12
2
= 1
|a22
|2
+ |a21
|2
= 0
тогда | r
| = 1.
Р2
e1
= Р2
( b11
g1
+ b12
g2
) = b11
g1
= b11
a11
e1
+ b11
a12
e2
,
Р2
e2
= Р2
( b21
g1
+ b22
g2
) = b21
g1
= b21
a11
e1
+ b21
a12
e2
.
Найдем b11
и b21
:
e1
= b11
g1
+ b12
g2
= b11
(a11
e1
+ a12
e2
) + b12
(a21
e1
+ a22
e2
) = (b11
a11
+ b12
a12
)e1
+ (b11
a12
+ b12
a22
)e2
,
b11
a11
+ b12
a12
= 1
b11
a12
+ b12
a22
= 0 или
b11
a11
+ b12
a12
r
= 1
b11
a12
- b12
a11
r
= 0,
Тогдаb11
= a11
.
Аналогично
E2
= b21
g1
+ b22
g2
= (b21
a11
+ b22
a21
)e1
+ (b21
a12
+ b22
a22
)e2
,
b21
a11
+ b22
a21
= 0
b21
a12
+ b22
a22
= 1,
отсюда находим, что b21
= a12
.
Тогда матрица оператора Р2
в базисе {e1
,
e2
} будет иметь вид (обозначим ее также через Р2
)
Р2
= , где a11
>0, a12
>0 и a11
2
+ a12
2
=1
А) Пусть a11
2
= τ
, тогда a12
2
=1 – τ
, a11
a12
= . Так как a11
a12
>0, то τ
(0, 1).
Тогда Р2
= .
В) Положим a11
= cosφ,
тогда a12
= sinφ
и Р2
запишется следующим образом
Р2
= .
Найдем коммутант π(
P
2
)
. Пусть Т = оператор перестановочный с Р1
и Р2
, тогда
ТР1
= =
Р1
Т = =
Следовательно b = c = 0.
ТР2
= =
Р2
Т= =
Следовательно a = d. Тогда Т скалярный оператор и по лемме Шура (теорема 2.6. глава I) представление π неприводимо.
Покажем, что все эти представления неэквивалентны.
Пусть τ
, ν
(0, 1), τ
≠ ν
. Предположим, что существует унитарный оператор в Н
, устанавливающий эквивалентность. Тогда
UР1
= Р1
U, следовательно U=
, a,
b
C
UР2
(τ
) = =
Р2
(ν
) U = = .
Тогда τ
= ν
, следовательно U
= 0 и представления неэквивалентны.
Теорема 1.1.
Пусть π: P
2
→
L(
H)
- *-представление *-алгебры P
2
.
Тогда:
(
i)
Все одномерные и неэквивалентные представления имеют вид: π0,0
(
p1
)
= 0; π0,0
(
p2
)
= 0; π1,0
(
p1
)
= 1; π1,0
(
p2
)
= 0; π0,1
(
p1
)
= 0; π0,1
(
p2
)
= 1; π1,1
(
p1
)
= 1;
π1,1
(
p2
)
= 1;
(
ii)
Все двумерные неприводимые и неэквивалентные представления имеют вид: π(
p1
)
, π(
p2
)
τ
(0, 1).
Доказательство следует из сказанного выше и в пункте (ii
) можно положить π(
p2
)
= φ
(0, ).
1.4.
n – мерные
*-представления
*-алгебры
P
2
. Рассмотрим случай нечетной размерности пространства Н
. Если dimН
=2n
+1, где n
>1 натуральное, то выполняется неравенство
max (dimН1
,
dimН1
┴
) + max (dimН2
,
dimН2
┴
) > 2n
+1 (1.4.)
Тогда обязательно найдутся такие i
= 0,1 иj
= 0,1, что Н
i,
j
≠ {0}, следовательно, существует нетривиальное инвариантное подпространство относительно *-представления π, но тогда π приводимо.
Пусть теперь dimН
=2n
, n
>1 натуральное. Будем считать, что dimН1
= n
, dimН2
= n
и Н
i,
j
= {0} для любых i
= 0,1 иj
= 0,1, то есть Н
i,
j
линейно независимы. Если это не так, то снова будет выполнятся неравенство (1.4.) и *-представление π окажется приводимым. При этих условиях справедлива лемма.
Лемма 1.1.
Существует х
≠ 0, х
Н1
такой, что Р1
Р2
х
= λх
, где λ
С
.
Доказательство. Пусть , ортонормированный базисы в Н
, в которых матрицы операторов Р1
и Р2
имеют вид , где I
– единичная матрица порядка n
. Пусть базисы (е
) и (g
) связаны уравнениями
к
= 1,…, n к
= 1,…, n
Так как х
Н1
, то , gk
C
, к
= 1,…, n
. Тогда
Р1
Р2
х
= Р1
Р2
= Р1
Р2
= Р1
=
= Р1
= = () =
Таким образом получаем систему линейных однородных уравнений относительно q1
,…, qn
:
=
j
= 1,…, n
Подбирая λ
C
так, чтобы определитель этой системы обратился в нуль, получим ненулевое решение q1
,…, qn
. Это доказывает лемму.
Лемма 1.2.
Пусть элемент х
удовлетворяет условиям леммы 15. Тогда L
=л.о. {х
, Р2
х
} – инвариантное подпространство в Н
относительно Р1
и Р2
.
Доказательство. Проверим инвариантность L
. Для любых a,
b
С
имеем
Р1
(aх +
b
Р2
х
) = aх
+ λbх
= (a
+ λb
) х
L
,
Р2
(aх +
b
Р2
х
) = a
Р2
х
+ b
Р2
х
= (a
+ b
) Р2
х
L
dimL
= 2, так как Н
i,
j
= {0} (для всех i,
j
= 0,1).
Действительно, если aх +
b
Р2
х
= 0, где, например, а
≠ 0, то х
= Р2
х
, значит = 0 или 1 и х
Н1,1
; тогда Н1,1
≠{0}.
Итак, получаем предложение.
Теорема 1.2.
Если dimН
= n
, n
>2, то нет неприводимых *-пред- ставлений *-алгебры P
2
. Все неприводимые конечномерные *-представления одномерны и двумерны.
1.5. Спектральная теорема.
Пусть dimН
= n
. В этом пункте мы получим разложение на неприводимые *-подпредставления исходного *-представления π *-алгебры P
2
, а также разложение пространства Н
на инвариантные подпространства относительно π.
Теорема 3.1. (спектральная теорема).
Существует единственное разложе- ние Н
в ортогональную сумму инвариантных относительно Р1
и Р2
подпространств
Н
= Н0,0
Н0,1
Н1,0
Н1,1
((С2
Нк
)), (1.1.)
где каждому подпространству Нк
соответствует одно φк
(0, ), φк
≠ φ
i
при к
≠i
, dimНк
= nк
(к
= 1,…, m
). Пусть Рi,
j
: Н
→
Н
i,
j
, Рφк
: Н
→
С2
Нк
– ортопроекторы к
= 1,…, m
. Тогда существуют единственные разложения операторов
I = P0,0
P0,1
P1,0
P1,1
(Рφк
),
(1.2.)
P1
= P1,0
P1,1
((Iк
))
(1.3)
Р
2
= P0,1
P1,1
(Iк
))
(1.4)
где Iк
– единичный оператор на Нк
(к
= 1,…, m
).
Доказательство. Пусть dimН
i,
j
= ni
,
j
. Сразу можем записать разложение
Н
= Н0,0
Н0,1
Н1,0
Н1,1
Н΄
, где dimН΄
четное число. Используя лемму 1.2. и теорему 2.1. главы I можем написать разложение Н΄
в ортого- нальную сумму инвариантных двумерных подпространств, определяемых параметром φк
(0, ):
Н΄
= Н
φк
, (l = n - )
Собирая вместе все Н
φк
, у которых одно φк
, получим изоморфизм
Н
φк
…
Н
φк
≈ С2
Нк
, где Н
φк
nк
экземпляров, dim(Н
φк
…
Н
φк
)=2nк
dim(С2
Нк
) = dimС2
dimНк
= 2nк
. Следовательно, получаем разложение (1.1.)
Н
= Н0,0
Н0,1
Н1,0
Н1,1
((С2
Нк
))
Пусть πi,
j
– сужение π на Н
i,
j
( i,
j
= 0,1), πк
– сужение π на Н
φк
(к
= 1,…, m
), то есть πi,
j
и πк
- *-подпредставления.
Учитывая кратности подпредставлений получаем
π = n0,0
π0,0
n0,1
π0,1
n1,0
π1,0
n1,1
π1,1
(nк
πк
) (1.5.)
В силу теоремы 2.8. главы I разложения (1.1.) и (1.5.) единственные.
Из (1.1.) следует разложение единичного оператора I
(1.2.)
I
= P0,0
P0,1
P1,0
P1,1
(Р
φк
)
Тогда ортопроекторы Р1
и Р2
примут вид
P1
= P1,0
P1,1
((I
к
))
Р
2
= P0,1
P1,1
(I
к
))
Причемn1,0
π1,0
(р
1
) = P1,0
, n0,1
π0,1
(p2
)
= P0,1
, n1,1
π1,1
(р
1
) = P1,1
, n0,0
π0,0
(p2
)
= P0,0
. В силу теоремы 2.8. главы I разложения I
, Р1
и Р2
также определяются однозначно.
§ 2. Два ортопроектора в сепарабельном гильбертовом пространстве
2.1. Неприводимые
*-представления
*-алгебры
P
2
. Пусть А = Р1
- Р1
┴
= 2Р1
– I и В = Р2
– Р2
┴
= 2Р2
– I. Тогда А2
= I , В2
= I. Следовательно А и В самосопряженные унитарные операторы в Н. Положим U=АВ, тогда U-1
=ВА и А-1
UА = АUА = А2
ВА = ВА = U-1
, следовательно
UА = АU-1
или АU = U-1
А (2.1.)
Лемма 2.1.
Операторы А и В неприводимы тогда и только тогда, когда операторы А и U неприводимы.
Доказательство. Допустим, что А и В неприводимы. Пусть существует нетривиальное инвариантное подпространство L относительно операторов А и U. Тогда UL = АВLL, но тогда ВLАLL, то есть пара А, В – приводима.
Обратно, пусть А и U неприводимы. Если операторы А и В приводимы, то есть LН: АLL и ВLL, то из включения АВLАLL следует приводимость А и U, что невозможно.
Лемма 2.2.
Ортопроекторы Р1
и Р2
неприводимы тогда и только тогда, когда А и В неприводимы.
Доказательство. Пусть Р1
и Р2
приводимые операторы, когда существует нетривиальное инвариантное подпространство LН такое, что Р1
LL, Р2
LL. Рассмотрим АL = (2Р1
– I)LL, ВL = (2Р2
– I)LL, то есть А и В приводимы.
Обратно, пусть А и В приводимые операторы, тогда Р1
и Р2
также будут приводимы, так как Р1
L = LL, Р2
L = LL, для любого инвариантного относительно А и В подпространства L в Н.
Лемма 2.3.
Если ei
φ
(U), то e-
iφ
(U).
Доказательство.
1) Если ei
φ
принадлежит точечному спектру оператора U, то существует f
Н: ||f
|| = 1 и Uf
= ei
φ
f
. Тогда по (2.1.) UАf
= АU-1
f
= ei
φ
Аf
, следовательно, Аf
собственный вектор оператора U, то есть e-
iφ
принадлежит спектру U.
2) Если ei
φ
(U), то существует последовательность единичных векторов в Н || fn
|| = 1 такая, что
||Ufn
- ei
φ
fn
|| = || UАfn
- ei
φ
Afn
|| = || U-1
Аfn
- ei
φ
Afn
|| →
0 при n
→
∞ (|| Аfn
|| =1)
Тогда ei
φ
(U-1
), следовательно e-
iφ
(U).
Теорема 2.1.
Неприводимые пары А и В самосопряженных операторов лишь одномерны и двумерны.
Доказательство. Рассмотрим соотношения
А (U + U-1
) = АU + АU-1
= (U-1
+U)А
А (U - U-1
) = А (U2
– 2I + U-2
) = (U2
– 2I + U-2
)А = (U - U-1
)2
А
Таким образом А (U + U-1
) = (U-1
+U)А (2.2.)
А (U - U-1
) = (U - U-1
)2
А (2.3.)
Пара А и U неприводима (лемма 2.1.), тогда по теореме 2.6. главы I имеем
U + U-1
= c
I
(U - U-1
)2
= d2
I
где c,
d
С. По теореме преобразования спектров ei
φ
+ e-
iφ
= c,
ei
φ
- e-
iφ
= ±d.
1) Если d
= 0, то (U) состоит из одной точки ei
φ
, где φ
=0 или φ
=π, и U = I или U = -I. Так как А, U неприводимая пара, то dimН=1 и А = +I или А = -I. Поскольку существует одномерное инвариантное подпространство y оператора А: л.о. {(A+I)x
}, х
H.
2) Если d
≠ 0, то (U) дискретен и состоит из двух точек ei
φ
= и e-
iφ
=φ
(0, π)
Собственное подпространство оператора U, отвечающее собственному значению ei
φ
(или e-
iφ
), Нeiφ
= {f
H | Uf
=
ei
φ
f
} одномерно. Действительно, подпространство, натянутое на собственные векторы f
и Af
для оператора U: Uf
=
ei
φ
f
, U(Аf
) =
ei
φ
Аf
инвариантно относительно операторов U и А. U и А неприводимы, значит dimНeiφ
= dimН-
eiφ
=1
Таким образом, все неприводимые пары операторов U и А такие, что (U) = {ei
φ
, e-
iφ
} φ
(0, π) в базисе из собственных векторов оператора U имеют вид:
А = , U= , В =
Теорема 2.2.
Неприводимые пары Р1
, Р2
ортопроекторов лишь одномер- ны и двумерны.
Доказательство. Сразу следует из леммы 2.2.
2.2. Спектральная теорема.
Пусть Н
– сепарабельное гильбертово пространство, тогда справедлива следующая теорема.
Теорема 2.3. (спектральная теорема в форме операторов умножения).
Паре ортопроекторов Р1
и Р2
в сепарабельном гильбертовом пространстве Н
соответствует разложение
Н
= Н0,0
Н0,1
Н1,0
Н1,1
((С2
L2
((0,
), dρк
))) (2.4.)
где ρ
1
> ρ
2
>… ρ
к
меры на интервале (0, ), такое, что имеют место равенства
P1
= P1,0
P1,1
((I
к
)) (2.5.)
Р
2
= P0,1
P1,1
(I
к
)) (2.6.)
Iк
– единичный оператор в L2
((0,
), dρк
)
Доказательство. Пространство Н
можно представить в виде ортогональной суммы инвариантных подпространств
Н
= Н0,0
Н0,1
Н1,0
Н1,1
Н΄
, то есть отщепить все одномерные представления от исходного. Н΄
состоит из инвариантных двумерных подпространств.
Всякому положительному функционалу F в *-алгебре P
2
отвечает циклическое представление πF
*-алгебры P
2
в некотором гильбертовом пространстве Н
F
. При этом Н
F
можно реализовать как L2
(F), то есть как гильбертово пространство всех функций с интегрируемым квадратом по мере μF
на Т.
Пусть каждому вектору ξН
поставим в соответствие подпространство Н
ξ
Н
, которое получается замыканием множества векторов вида π(х)
ξ, где х
А
. Ограничения операторов из π(
А
)
на Н
ξ
является циклическим представлением. Обозначим его через πξ
,
а соответствующую меру на Т
через μξ
. Введем упорядочение в Н
, полагая ξ>η, если μξ
>
μη
(то есть μη
абсолютно непрерывна по мере μξ
).
Если ηН
ξ
, то Н
η
Н
ξ
, тогда πη
– циклическое подпредставление πξ
. Пусть Е Т и μξ
(Е) = 0, тогда μη
(Е) = 0, следовательно μξ
>
μη
, а значит ξ>η.
Множество максимальных векторов всюду плотно в Н
. Пусть существует счетное разложение Н
= Н
ηк
. Пусть {ζi
} – последовательность, в которой каждый из векторов ηi
встречается бесконечное число раз. Определим ξк
индуктивно, так, чтобы выполнялись условия:
1) ξк+1
– максимальный вектор в (Н
ξi
)┴
,
2) d (ζк
, Н
ξi
) ≤ .
Тогда разложение Н
= Н
ξк
такое что ξк
>ξк+1
и μк
>μк+1
.
Пусть представления πμ
в L2
(Т, μ) и πν
в L2
(Т, ν) эквивалентны. Пусть v:L2
(Т, μ) →L2
(Т, ν) устанавливающий их эквивалентность изоморфизм. Положим f=1, а
=v(f), тогда для любой непрерывной функции g на Т
v(g)=vπμ
(g)f = πν
(g)vf = πν
(g)a
= ga
. Так как v – изометрическое отображение, то dμ=|a
|2
dν. Таким образом мера μ абсолютно непрерывна по мере ν. Аналогично, рассматривая обратный оператор, получаем, что ν абсолютно непрерывна по μ, то есть эти меры эквивалентны. Значит существует разложение Н΄ =
(С2
L2
(Т,μк
)), где μ1
>μ2
>… и соответствующие этим мерам представления неприводимы и неэквивалентны. Это доказывает равенство (2.4.). Тогда из (2.4.) следуют формулы:
P1
= P1,0
P1,1
((I
к
))
Р
2
= P0,1
P1,1
(I
к
))
Iк
– единичный оператор в L2
((0,
), dρк
).
Теорема 2.4. (спектральная теорема в форме разложения единицы).
Паре ортопроекторов Р1
и Р2
в сепарабельном гильбертовом пространстве Н
соответствует разложение
Н
= Н0,0
Н0,1
Н1,0
Н1,1
С2
Н
(φ)dЕ(φ) (2.7.)
в прямой интеграл инвариантных относительно Р1
, Р2
подпространств и определенное на Т = (0, ) разложение dЕ(φ) единичного оператора I+
=E(0, ) в Н+
=С2
Н
(φ)dЕ(φ), такое что имеет место равенство
P1
= P1,0
P1,1
I+
(2.8.)
Р
2
= P0,1
P1,1
dЕ(φ) (2.9.)
Доказательство. Всякий самосопряженный оператор А, действующий в Н, изометрически изоморфен оператору умножения на независимую переменную в пространстве L2
(R
, dρк
), где ρк
зависит от разложения единицы оператора А. Тогда доказательство спектральной теоремы в форме разложения единицы следует непосредственно из спектральной теоремы в форме операторов умножения.
Глава
III
. Спектр суммы двух ортопроекторов
§1. Спектр суммы двух ортопроекторов в унитарном пространстве
1.1. Спектр ортопроектора в гильбертовом пространстве.
Теорема 1.1.
Пусть Н
– гильбертово пространство. Если Р – ортопроектор, то (Р) = р
(Р) = {0, 1}, где р
(Р) – точечный спектр при условии, что Р ≠ 0 и Р ≠ I.
Доказательство. Рассмотрим выражение Рх
- λх
= y
, х,
y
Н
, λ
С
. Тогда (1 - λ) Рх
= Рy
. Если λ ≠ 1, то Рх
= Рy
. Если х
≠ 1, то х
= (Рy
- y
), тогда (Р) = {0, 1}.
Так как Р ≠ 0 и Р ≠ I, то существует х
≠ 0 такой, что Рх
≠ 0. Тогда Р(Рх
) = Рх
, то есть 1
р
(Р). Существует y
≠ 0: (I - Р)y
≠ 0, тогда Р(I - Р)y
= 0 = 0 · (I - Р)y
, то есть 0
р
(Р). Итак, (Р) = р
(Р) = {0, 1}.
1.2. Постановка задачи.
Пусть заданы два ортопроектора Р1
и Р2
в унитарном пространстве Н
. Тогда мы знаем спектр каждого из них. Найдем спектр суммы Р1
+ Р2
в неприводимых представлениях.
1.3. Спектр в одномерном пространстве.
Пусть dimH
=1. Пусть, как и выше, Нк
– область значений оператора Рк
к
= 1,2. Обозначим через А = Р1
+ Р2
и найдем (А).
1) Р1
= Р2
= 0, то для любого х
Н
Ах
= 0 или Ах
= 0 · х
, то есть 0
(А).
2) Р1
= 0, Р2
= I, то для любого х
Н2
= Н
Ах
= х
, то есть 1
(А).
3) Р1
= I, Р2
= 0, то для любого х
Н1
= Н
Ах
= х
.
4) Р1
= Р2
=
I,
то для любого х
Н1
= Н2
= Н
Ах
= Р1
х
+ Р2
х
= 2х
, то есть 2
(А).
Таким образом, если dimH
=1, то (А)
{0, 1, 2}.
1.4. Спектр в двумерном пространстве.
Пусть dimH
=2. Сохраним обозначения (1.1.) Главы II.
1) х
Н0,0
, тогда Ах
= 0 и 0
(А).
2) х
Н0,1
или х
Н1,0
, тогда Ах
= х
и 1
(А).
3) х
Н1,1
, тогда Ах = 2х
, то есть 2
(А).
Если существуют i,
j
= 0,1 такие, что Н
i,
j
≠ {0}, то существуют k,
l
= 0,1 такие, что Н
i,
j
Н
k,
l
= H
. В этом случае (А)
{0, 1, 2}.
Пусть теперь Н
k,
l
= {0} для любых k,
l
= 0,1. Допустим, что существует одномерное инвариантное подпространство L
относительно Р1
и Р2
, тогда АLL
. Пусть х
L
, тогда Рk
х
= λк
х
(k
= 1, 2 ). Так как Рk
ортопроектор, то возможны случаи:
(i) λ1
= 0, λ2
= 0;
(ii) λ1
= 0, λ2
= 1;
(iii) λ1
= 1, λ2
= 0;
(iv) λ1
= 1, λ2
= 1;
Но это означает, что k,
l
= 0,1 такие, что Н
k,
l
≠ {0} вопреки предположению. Тогда пара Р1
, Р2
неприводима. Значит мы можем записать матрицы операторов Р1
и Р2
в некотором ортонормированном базисе, согласно теореме 1.1. главы II.
Р1
= , Р2
τ
(0, 1)
Найдем спектр линейной комбинации ортопроекторов a
Р1
+b
Р2
, a
и b
С. Для этого решим характеристическое уравнение det(a
Р1
+b
Р2
– λI) = 0.
(1.1.)
Тогда , (1.2)
Положим a
= 1, b
=1, ε = , тогда λ1
= 1+ε , λ2
= 1-ε и 0<ε<1 (поскольку 0<τ
<1.
Тогда (А)
{0, 1, 2}{1+ε , 1-ε}. Причем собственные значения 1+ε и 1-ε входят в спектр А одновременно.
1.5. Спектр в
n
-мерном пространстве.
Пусть dimH
=n
. Если Н =К
L
, где К
, L
инвариантные подпространства относительно оператора А
, то для любого х
Н
существует единственное разложение x
= k
+l
, k
K
, l
L
. Пусть λ
(А), тогда Ах
= λх
=λk
+λl
;, следовательно, если пространство Н
разложено в ортогональную сумму инвариантных подпространств, то спектр оператора А можно найти как объединение спектров сужений оператора А
на соответствующие инвариантные подпространства.
Используя лемму 1.2. главы II, представим Н
в виде ортогональной суммы подпространств Н0
= Н0,0
, Н1
=Н0,1
Н1,0
, Н2
=Н1,1
и двумерных, инвариантных относительно А, подпространств Н
φк
φк
(0, ), (к
= 1,…, s
). При этом операторы Р1
и Р2
неприводимы в Н
φк
(к
= 1,…, s
), и собственные значения 1+εк
, 1-εк
входят одновременно в спектр А. Так как А*=А, то соответствующие собственные векторы ортогональны. Тогда имеет место разложение на собственные подпространства
Н
φк
= Н
1+
ε
к
Н
1-
ε
к
, причем dimН
1+
ε
к
=dimН
1-
ε
к
= 1 (1.3)
Если φк
≠ φ
i
, то εк
≠ εi
(так как εк
= =cosφк
и φк
(0, )). Объединим все Н
φк
, у которых одинаковые φк
, в одно слагаемое, и обозначим его через Н
φк
. При этом, если dimН
φк
= 2qk
, то есть Н
φк
состоит из qk
экземпляров двумерных подпространств, отвечающих одному φк
, то объединяя вместе все соответствующие одномерные собственные подпространства, получим Н
φк
= Н
1+
ε
к
Н
1-
ε
к
, dimН
1+
ε
к
=dimН
1-
ε
к
= qk
.
Теорема 1.2.
Самосопряженный оператор А представим в виде суммы двух ортопроекторов А = Р1
и Р2
тогда и только тогда, когда
(А
)
{0, 1, 2}({1+ε , 1-ε}), 0<εк
<1,
причем dimН
1+
ε
к
=dimН
1-
ε
к
к
= 1,…, m.
Доказательство. Пусть А = Р1
и Р2
, тогда его спектр был найден выше:
(А
)
{0, 1, 2}({1+ε , 1-ε}), где 0<εк
<1для любого к
= 1,…, m.
Обратно, пусть нам известен спектр оператора А и известно, что размерности соответствующих собственных подпространств совпадают, то есть
dimН
1+
ε
к
=dimН
1-
ε
к
. Существует единственное разложение Н
в ортогональную сумму инвариантных подпространств ((1.1.) Глава II):
Н
= Н(0)
Н(1)
Н(2)
((С2
Нк
)) (1.4.)
(1.4.) можно записать иначе
Н
= Н(0)
Н(1)
Н(2)
((С2
(Н
1+
ε
к
Н
1-
ε
к
))) (1.5.)
Зададим ортопроекторы Р1
и Р2
следующим образом
P1
= P
Н
2
((I
к
)) (1.6.)
Р
2
= PН
1
PН
2
(I
к
)) (1.7.)
где PН
к
– ортопроектор в Н
на Н(к)
(к
= 1, 2), Is
– единичный оператор в Hs
s
=1,…, m
. Но тогда
Р1
+ Р2
= PН
1
PН
2
(
Iк
)) = А, при этом А = А*
1.6. Линейная комбинация ортопроекторов.
Пусть теперь с
. Из (1.2.) следует λ1
+ λ2
= a
+ b
. Пусть λ2
= ε, тогда λ1
= a
+ b –
ε.
Оценим ε. Заметим, что (a
+b
)2
– 4a
b
(1-τ
) = (a
- b
)2
+ 4a
bτ
> 0.
Тогда ε = > = 0, то есть ε = 0.
Допустим, что ε ≥ a
, тогда
a
≤
≤ b – a
(b - a
)2
+4ab
τ
≤
(b – a
)2
abτ ≤
0, но abτ >
0 и значит ε < a
Итак,
λ1
= ε
λ2
= a
+ b –
ε. (1.8.)
0 < ε < a
Пусть dimH
=n
. Тогда справедлива теорема.
Теорема 1.3.
Самосопряженный оператор А представим в виде линейной комбинации ортопроекоров А = a
Р1
+b
Р2
, 0<a
<b
тогда и только тогда, когда
(А
)
{0, a
, b
, a
+ b
}({εк
, a
+ b -
εк
}), 0<εк
<1, и
dimН
ε
к
=dimН
a+
b
-
ε
к
(Н
ε
к
, Н
a+
b
-
ε
к
- собственные подпространства оператора А, отвечающие εк
) к
=1,…m
.
Доказательство. Пусть А = a
Р1
+b
Р2
, 0<a
<b
. Найдем (А).
1) х
Н0,0
, то Ах
= 0 и 0
(А);
2) х
Н0,1
, то Ах
= bx
и b
(А);
3) х
Н1,0
, то Ах
= ax
и a
(А);
4) х
Н1,1
, то Ах
= (
a+
b)
x
и a+
b
(А).
Тогда (А)
{0, a
, b
, a
+ b
}({εк
, a
+ b -
εк
}), где 0<εк
<1, к
=1,…m
. Причем числа εк
, a
+ b -
εк
входят одновременно в спектр А
, и соответству- ющие собственные подпространства ортогональны и одномерны, так как А=А*. Тогда сумма всех собственных подпространств, отвечающих одному εк
также инвариантна относительно А и dimН
ε
к
=dimН
a+
b
-
ε
к
= qk
. (с учетом кратности εк
)
Обратно. Существует единственное разложение Н
в силу (1.4.)
Н
= Н(0)
Н(
a)
Н(
b)
Н(
a+
b)
((С2
Нк
)) (1.9.)
Где Н(0)
=Н0,0
, Н(
a)
=Н1,0
, Н(
b)
=Н0,1
, Н(
a+
b)
=Н1,1
или
Н
= Н(0)
Н(
a)
Н(
b)
Н(
a+
b)
((Н
ε
к
Н
a+
b
-
ε
к
) (1.10.)
Положим
P1
= Pa
Pa+b
((I
к
)) (1.11.)
Р
2
= Pb
Pa+b
(I
к
)) (1.12.)
Но тогда
a
Р
1
+ b
Р
2
=
a
Pa
b
Pb
(а
+b)
Pa+b
(a
(I
к
))
(b
I
к
)) = A
.
Спектр оператора А совпадает с {0, a
, b
, a
+ b
}({εк
, a
+ b -
εк
}), (0<εк
<1, к
=1,…m
) по построению и А = А* как вещественная комбинация ортопроекторов.
§ 2. Спектр суммы двух ортопроекторов в сепарабельном гильбертовом пространстве
2.1. Спектр оператора А = Р1
+ Р2
. Изучим оператор Р1
+ Р2
в сепарабельном гильбертовом пространстве.
Теорема 2.1.
Самосопряженный оператор А представим в виде суммы двух ортопроекторов А = Р1
+ Р2
тогда и только тогда, когда (А) = [0, 2] и пространство Н
можно разложить в ортогональную сумму инвариантных относительно А пространств
Н
= Н0
Н1
Н2
((С2
L2
((0,
), dρк
))) (2.1.)
и меры ρк
инвариантны относительно преобразования 1+х
→
1-х.
Доказательство. Пусть А = Р1
+Р2
. Н0
=Н0,0
, Н1
=Н1,0
Н0,1
, Н2
=Н1,1
Поставим в соответствие φ→
ε cosφ
, где φ
(0, ). Тогда, как было найдено выше, спектр (А)
[0, 2] и Н
можно разложить (опираясь на спектральную теореме 2.3. главы II) в ортогональную сумму (2.1.)
Н
= Н0
Н1
Н2
((С2
L2
((0,2), dρк
)))
Поскольку собственные подпространства, соответствующие собственным значениям А 1+ε , 1-ε, 0<ε<1 входят одновременно в спектр и их значения совпадают, то каждая мера ρк
(к
= 1, 2, …) должна быть инвариантной относительно преобразования 1 + х
→
1- х
.
Обратно. Пусть имеет место (2.1.) и (А) [0, 2]. Тогда зададим ортопроекторы Р1
΄ Р2
΄ равенствами
Р1
΄ = P1
P2
((
Iк
))
Р2
΄ =
P2
(
Iк
))
где Pi
: Н
→
Н
i
(i
= 0, 1, 2) ортопроектор, Ik
– единичный оператор в L2
((0,2), dρк
)). Тогда А =Р1
΄ + Р2
΄- самосопряженный оператор, спектр которого содержится в [0, 2], так как Рк
΄ (к
= 1, 2) является суммой ортопроекторов на взаимно ортогональные пространства.
2.2. Спектр линейной комбинации А
= a
Р1
+b
Р2
(0<a
<b
). Рассмотрим теперь случай, когда А = a
Р1
+b
Р2
(0<a
<b
).
Теорема 2.2.
Самосопряженный оператор А представим в виде линейной комбинации двух ортопроекторов А = a
Р1
+b
Р2
, 0<a
<b
тогда и только тогда, когда (А) [0, a
] [b,
a+
b
] и Н
можно представить в виде ортогональной суммы инвариантных относительно А пространств
Н
= Н0
Н
a
Н
b
Н
a+
b
((С2
L2
([0, a
] [b,
a+
b
], dρк
)))) (2.2.)
и меры ρк
инвариантны относительно преобразования х→
a+
b
.
Доказательство. Пусть А = a
Р1
+b
Р2
(0<a
<b
). Пусть Н0
=Н0,0
, На
=Н0,1
, Н
b
=Н1,0
, Н
a+
b
=Н1,1
. Так как (А)
[0, a
] [b,
a+
b
] и собственные подпространства, отвечающие собственным значениям оператора А входят в Н
одновременно (причем их размерности совпадают) то аналогично теореме 2.1. получаем
Н
= Н0
Н
a
Н
b
Н
a+
b
((С2
L2
([0, a
] [b,
a+
b
], dρк
))))
где меры ρк
(к = 1, 2, …) инвариантны относительно преобразования х →
a+
b-х
.
Обратно, пусть (А)
[0, a
] [b,
a+
b
] и имеется разложение Н (2.2.). Тогда зададим Р1
и Р2
следующим образом
P1
= Pa
Pa+b
((I
к
))
Р
2
= Pb
Pa+b
(I
к
))
где Рα
: Н→
Н
α
, α = a,
b,
a+
b
– ортопроекторы, Iк
– единичный оператор в L2
([0,a
] [b,
a+
b
]). Тогда
А
= a
Р
1
+ b
Р
2
= a
Р
1
b
Р
2
(a+b
)Pa+b
((I
к
))
(
Iк
))
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В дипломной работе изучена пара ортопроекторов в сепарабельном гильбертовом пространстве Н
, приведено описание всех неприводимых и неэквивалентные *-представления *-алгебры P
2
.
P
2
= С <p1
, p2
| pк
2
= pк
*
=pк
>.
А именно: 4 одномерных π0,0
(p1
) = 0, π0,0
(p2
) = 0; π0,1
(p1
) = 0, π0,1
(p2
) = 1; π1,0
(p1
) = 1, π1,0
(p2
) = 0; π1,1
(p1
) = 1, π1,1
(p2
) = 1.
И двумерные: , τ
(0, 1)
Изучен спектр операторов Р1
+ Р2
, a
Р1
+b
Р2
(0<a
<b
), а также необходимые и достаточные условия представимости самосопряженного оператора А в виде А = Р1
+ Р2
и А = a
Р1
+b
Р2
(0<a
<b
).
ЛИТЕРАТУРА
1. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, М., Наука, 1966.
2. Березенский Ю.М., Ус Г.Ф., Шефтель З.Г. Функциональный анализ, К., Выща школа, 1990.
3. Браттели У., Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика: С*- W* -алгебры. Группы симметрий. Разложение состояний., М., Мир, 1982.
4. Диксмье Ж. С*-алгебры и их представления. М., Наука, 1974.
5. Кириллов А.А. Элементы теории представлений. М., Наука, 1978.
6. Кужель А.В. Алгебры конечного ранга, С. СГУ, 1979.
7. Ленг С. Алгебра. М., Мир, 1968.
8. Мерфи Д. С*-алгебры и теория операторов. М., Мир, 1998.
9. Наймарк М.А. Нормированные кольца. М., Гостехиздат, 1956.
10. Рудин У. Функциональный анализ. М., Мир, 1975.
11. NishioK, Linear algebra and its applications 66: 169-176, Elsevier Science Publishing Co., Inc., 1985.
12. Samoilenko Y.S., Representation theory of algebras, Springer, 1998.