Теорема Пифагора формулируется следующим образом: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
С2
=А2
+ В2
, /1/
где: С - гипотенуза;
А и В - катеты.
Существуют прямоугольные треугольники, у которых стороны А, В и С выражаются целыми числами. Такие числа называются пифагоровыми.
Рассматривая уравнение теоремы Пифагора как алгебраическое уравнение, докажем, что существует бесконечное количество прямоугольных треугольников, в которых их стороны выражаются целыми числами или, что одно и тоже, уравнение /1/ имеет бесконечное количество решений в целых числах.
Суть теоремы Пифагора не изменится, если уравнение /1/ запишем следующим образом:
А2
= С2
-В2
/2/
Для доказательства теоремы Пифагора методами элементарной алгебры используем два известные в математике метода решения алгебраических уравнений: метод решения параметрических уравнений и метод замены переменных.
Уравнение /2/ рассматриваем как параметрическое уравнение с параметром A и переменными Bи С. Уравнение /2/ в соответствии с известной зависимостью для разности квадратов двух чисел запишем в виде:
А2
= (C-B) (C+B) /3/
Используя метод замены переменных, обозначим:
C-B=M/4/
Из уравнения /4/ имеем:
C=B+M/5/
Из уравнений /3/, /4/ и /5/ имеем:
А2
=M∙ (B+M+B) =M∙ (2B+M) = 2BM+M2
/6/
Из уравнения /6/ имеем:
А2
- M2
=2BM/7/
Отсюда: B= /8/
Из уравнений /5/ и /8/ имеем:
C= /9/
Таким образом:
B = /10/
C/11/
Из уравнений /8/ и /9/ следует, что необходимым условием для того чтобы числа В и С были целыми, является делимость числа A2
на число M, т.е. число M должно быть одним из множителей, входящих в состав множителей числа А или A2
.
Числа А и M должны иметь одинаковую четность.
По формулам /10/ и /11/ определяются числа B и C как переменные, зависящие от значения числа А как параметра и значения числа M.
Из изложенного следует:
Квадрат простого числа Aравен разности квадратов одной пары чисел B и C (при M=1).
Квадрат составного числа Aравен разности квадратов одной пары или нескольких пар чисел B и C.
Все числа являются пифагоровыми.
Таким образом, существует бесконечное количество троек пифагоровых чисел А, В и С и, следовательно, бесконечное количество прямоугольных треугольников, у которых стороны А, В и С выражаются целыми числами.
Название реферата: Алгебраическое доказательство теоремы Пифагора
| Слов: | 345 |
| Символов: | 2767 |
| Размер: | 5.40 Кб. |