Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
"Гомельский государственный университет
им. Ф. Скорины"
Математический факультет
Кафедра дифференциальных уравнений
Верхний центральный показатель некоторой линейной системы
Курсовая работа
Исполнитель:
Студентка группы М-42
Лукьянович А.Ю.
Научный руководитель:
Канд. физ-мат. наук, доцент
Зверева Т.Е.
Гомель 2006
Содержание
Введение
1. Верхнее центральное число семейства функций
2. Верхний центральный показатель линейной системы
Заключение
Список использованной литературы
Введение
Цель данной курсовой работы - найти верхний центральный показатель системы
где k=0, 1, 2,….
Из определения верхнего центрального показателя диагональной системы следует, что верхний центральный показатель рассматриваемой системы совпадает с верхним центральным числом конечного семейства
, где
Таким образом, главная задача курсовой работы - найти верхнее центральное число соответствующего конечного семейства
.
1. Верхнее центральное число семейства функций
Рассмотрим какое-либо семейство кусочно-непрерывных и равномерно ограниченных функций:
, ,
зависящее от параметра x непрерывно в том смысле, что из следует
равномерно по крайней мере на каждом конечном отрезке [0,t]. Параметр x может пробегать некоторое компактное (в частности, конечное) множество.
Определение 1 [1, с.103]:
ограниченная измеримая функция R (t) называется верхней функцией для семейства P, если все функции этого семейства равномерно не превосходят в интегральном смысле функцию R (t):
,
т.е. если
,
где - константа, общая для всех и , но, вообще говоря, зависящая от выбора R и >0.
Определение 2 [1, с.103]:
совокупность всех верхних функций называется верхним классом семейства P (обозначим через N=N (P)).
Определение 3 [1, с.534
]:
число
называется верхним средним значением функции p (t).
Определение 4 [1, с.103]:
число
где - верхнее среднее значение функции R (t), называется верхним центральным числом семейства P. Оно будет обозначаться также .
Докажем следующее утверждение: если семейство состоит из двух функций и при этом , то верхний класс семейства P можно считать состоящим из одной функции , и .
Неравенство означает, что
и д
Или
(1)
Аналогичное неравенство для функции очевидно
.
Согласно определения 1 является верхней функцией для семейства
.
Докажем равенство
.
Если существует такая верхняя функция , что для всех , то эта функция одна образует верхний класс и [1, с.104].
Найдем такую верхнюю функцию , что .
Рассмотрим интегралы
Разделим последнее неравенство на (t-s), получим
Устремив и вычислив верхний предел при , получим
или
Итак, имеем
Значит, .
Так как - верхняя функция, то .
2. Верхний центральный показатель линейной системы
Пусть дана система
(2)
и - ее решение.
Рассмотрим семейство функций
,,
Определение 5 [1, с.116]:
Функция R (t) называется верхней для системы (2), если она ограничена, измерима и осуществляет оценку
,
Где
- норма матрицы Коши линейной системы.
Совокупность всех верхних функций называется верхним классом системы (2), а число
верхним центральным показателем линейной системы.
Диагональная система
имеет матрицу Коши
с нормой
.
Поэтому верхний центральный показатель диагональной системы совпадает с верхним центральным числом конечного семейства P={} [1, с.118].
Найдем верхний центральный показатель следующей системы
(3)
где k=0, 1, 2,….
Верхний центральный показатель системы (3) совпадает с верхним центральным числом конечного семейства
, где
Найдем верхнее центральное число семейства
.
Согласно утверждения, доказанного в пункте1: если семейство состоит из двух функций и при этом , то
.
Проверим, осуществляется ли оценка . (4)
Подставляя в (1), получим
Или
Оценка (4) осуществляется, следовательно, .
Вычислим верхнее среднее значение функции .
По определению 3 имеем
.
Вычисляя интеграл
,
Получим
Так как , то
Таким образом, верхнее центральное число семейства
,
где , равно 0, следовательно, верхний центральный показатель системы (3) также равен 0.
Заключение
Таким образом, мы выяснили, что если семейство состоит из двух функций и при этом , то ; верхний центральный показатель рассмотренной системы совпадает с верхним центральным числом конечного семействаи равен 0.
Список использованной литературы
1. Б.Ф. Былов и др. "Теория показателей Ляпунова" - М.: Наука, 1966 г., 564 с.