Содержание:
Введение. 3
Теория. 4
Практика. 10
Выводы.. 12
Список использованной литературы.. 13
Введение
Случайные процессы в реальной финансово–экономической практике редко бывают марковскими, поскольку на протекание процесса в будущем влияет не только его состояние в текущий момент времени, но и то, как он протекал в прошлом.
Но, тем не менее, использование приближённых моделей на практике позволяет достаточно точно (с определённой точностью) оценивать различные системы. В данной теоретико-практической работе будет рассмотрена теория о ветвящихся циклических процессах, с помощью которой можно предсказывать состояние исследуемой системы в будущем через достаточно длительный промежуток времени.
В процессе данной работы я рассмотрю основные положения теории о ветвящихся циклических процессах; приведу пример задачи, с которой можно столкнуться в реальной жизни, и её решение с помощью рассматриваемой теории.
Теория
Введём основные понятия, с которыми нам предстоит работать. Под системой S будем понимать всякое целостное множество взаимосвязанных элементов, которое нельзя расчленить на независимые подмножества. Если эта система с течением времени t изменяет свои состояния S(t) (всего возможных состояний системы n штук) случайным образом, при чём так, что для каждого момента времени вероятность состояния S(t) системы S в будущем () зависит только от её состояния S() в настоящем и не зависит от того, как и сколько времени развивался этот процесс в прошлом (), то говорят, что в системе S протекает марковский случайный процесс.
Процесс является процессом с непрерывным временем, если в нём система может менять свои состояния в любой случайный момент времени.
Плотностью вероятности перехода системы S из состояния в состояние в момент времени t называется величина
Если же плотности вероятностей переходов не зависят от времени t, то такой процесс называется однородным.
Марковский процесс, протекающий в системе S с n состояниями, называется ветвящимся циклическим процессом, если его граф состояний имеет вид:
Теорема:
Пусть в системе S протекает ветвящийся циклический однородный марковский процесс с непрерывным временем, причём возможный непосредственный переход из состояния разветвляется на переходы в состояния соответственно с вероятностями , сумма которых равна 1:
(1)
Переходы из состояний сходятся в состояние .
Тогда финальные вероятности[1]
соответствующих состояний системы S определяются следующими формулами:
где .
Доказательство:
Т.к. ветвящийся циклический процесс можно представить в виде обычного циклического процесса и собственно разветвления, то, учитывая свойство циклического процесса, что плотность вероятности перехода из неразветвлённого состояния в соседнее справа равна обратной величине среднего времени пребывания (подряд) системы S
в состоянии , имеем
(2)
Интенсивность потока уходов из состояния равна ,
где—
среднее время пребывания (подряд) системы S
в состоянии .
Тогда будет представлять собой долю величины , определенную вероятностью qm
,
m
+
k
:
(3)
Составим по графу (на рис. 1) систему линейных алгебраических уравнений, неизвестными в которой являются финальные вероятности :
(4)
Подставляя 2 и 3 в 4, получим:
(5)
Составим матрицу коэффициентов системы (5) с учетом того, что коэффициент при рт
в т-м
уравнении в силу (1) равен
,
| Столбцы Р | 1 | 2 | 3 | … | m-1 | m | m+1 | m+2 | … | m+i | m+i+1 | m+i+2 | … | n-1 | n |
| Строки |
Проведем следующие элементарные преобразования над строками этой матрицы:
2-ю строку прибавим к 3-й строке;
полученную 3-ю строку прибавим к 4-й строке;
полученную 4-ю строку прибавим к 5-й строке;
и так далее;
полученную (
m
-1)-ю
строку прибавим к m
-й строке;
полученную m
-ю
строку умножим последовательно на и прибавим соответственно к (m
+1)-й, (m
+2)-й,..., (
m
+
i
)-
йстроке;
сумму получен
+1)-й, (m
+2)-й,..., (
m
+
i
)-
йстрок прибавим к (m
+
i
+1)-й строке, учитывая равенство (1);
полученную (m
+
i
+1)-ю строку прибавим к (m
+
i
+2)-й строке;
полученную (
m
+
i
+2)
строку прибавим к (m
+
i
+3)-й строке;
и так далее;
полученную (п
-1)-ю строку прибавим к п-
йстроке.
В результате этих преобразований получим матрицу следующего вида:
Первая и последняя строки этой матрицы пропорциональны, а потому одну из них, например первую, можно отбросить.
Полученная после отбрасывания 1-й строки матрица порождает следующую систему линейных уравнений:
Отсюда финальные вероятности можно выразить через финальную вероятность :
(6)
Подставим выражения (6) в нормировочное условие и найдем :
.
Откуда или , где . Подставляя найденное выражение в (6) получаем доказываемые формулы.
Практика
В наше время любой банк имеет банкоматы в различных точках города для удобства своих клиентов. Для планирования будущих расходов на содержание банкомата применим теорию о ветвящихся циклических процессах.
В качестве системы S возьмём банкомат. Банкомат может находиться в следующих состояниях:
S1
– исправен, работает;
S2
– неисправен, ведётся поиск неисправности;
S3
– неисправность обнаружена и оказалась незначительной, ремонтируется местными средствами;
S4
– неисправность обнаружена и оказалась серьёзной, ремонт ведётся приглашённым со стороны специалистом;
S5
– ремонт законен, ведётся подготовка к включению банкомата.
Процесс, протекающий в системе – однородный, марковский, т.к. все потоки событий, под воздействием которых происходят переходы банкомата из состояния в состояние, - простейшие.
Среднее время исправной работы банкомата[2]
равно месяц; среднее время поиска неисправности банкомата равно часа; среднее время ремонта местными средствами равно часа; среднее время ремонта банкомата специалистом равно дня; среднее время подготовки банкомата к работе час.
Вероятность того, что неисправность оказалась незначительной и может быть устранена местными средствами р=0,8. Вероятность же того, что неисправность серьёзная и без специалиста не обойтись 1-р=0,2.
Если банкомат работает исправно, то стоимость его обслуживания составляет 100 рублей в день[3]
; один час работы специалиста по устранению неисправностей составляет 200 рублей в час. В остальных состояниях стоимость содержания банкомата равна величине амортизации и составляет 7 рублей в день.
Спрогнозируем средний расход на следующий год, идущий на содержание банкомата.
Решение:
граф состояний системы будет иметь вид:
Приведём данные в условии задачи к одной единице, например, сутки:
Как уже было сказано выше процесс, протекающий в системе, - однородный, марковский и к тому же он является ветвящимся циклическим с непрерывным временем, тогда мы можем воспользоваться полученными выше формулами:
Тогда ,
,
,
,
Теперь определим общий расход на содержание банкомата: рублей за сутки, тогда за год эта сумма составит приближённо 70 100 рублей.
Выводы
Таким образом, мы на практике убедились, что теория о ветвящихся циклических процессах, возможно и не обладает возможностями для широкого применения, но, тем не менее, является простым и действенным инструментом при планировании различных экономических процессов.
Но надо учитывать, что это всего лишь маленькое ответвление теории о марковских процессах, на которой, в свою очередь, базируются многие другие теории, в частности теория о массовом обслуживании в экономической сфере.
Список использованной литературы
1) Лабскер Л.Г.
Вероятностное моделирование в финансово – экономической области – М.: Альпина Паблишер, 2002. – 224 с.
2) http://www.gazeta.ru/2006/04/13/oa_195828.shtml
3) Журнал вычислительной математики и математической физики
Т.46.№03 – 2006
4) Свешников А.А.
Прикладные методы теории марковских процессов: Учебное пособие. М.: Издательство «Лань», 2007. – 192 с.
[1]
Вероятности состояний системы в финальном стационарном режиме, при котором они уже не зависят ни от времени, ни от начального распределения вероятностей, называются финальными вероятностями
[2]
подряд
[3]
включается потребляемое банкоматом электричество и работа с наличностью банкомата