МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ
ЛУБЕНСЬКА ЗАГАЛЬНООСВІТНЯ ШКОЛА № 3
І-ІІІ СТУПЕНІВ
РЕФЕРАТ
НА ТЕМУ:
ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ НА ПЛОЩИНІ ТА ЇХ ПЛОЩІ
Виконала:
учениця 5-Б класу
Німець Євгенія
Лубни 2007
Вступ
Даний реферат охоплює геометричні фігури, що розглядаються в планіметрії
- розділі геометрії, в якому вивчають фігури на площині, тобто, так би мовити, у двовимірному світі.
Основними геометричними фігурами на площині є точка
і пряма
. Я дам їх визначення, як також визначення кута
, трикутника
, квадрата
, чотирикутника
, ромба
, паралелограма
, трапеції
, многокутника
. Пригадаю, як визначали площі згаданих фігур у часи античності та сучасні методи обчислення площ.
Точка і пряма
Як вже було зазначено, точка
і пряма
є основними геометричними фігурами на площині. Математично, точкою
на площині є об’єкт, два плоскі виміри якого (x
і y
) прямують до нуля. Тобто, це об’єкт, що має плоскі координати x
і y
, але не має розмірів, тобто довжини і ширини, тобто це „існуюче ніщо”. Як би я не загострювала кінчик олівця, в надії нанести на площину математичну точку - в мене нічого не вийде. Реально нарисована точка матиме цілком реальні (хай навіть менше 0,1 мм!) розміри по x
та по y
. Таке визначення точки у математиці було зроблено для спрощення розрахунків.
Як правило, всяку геометричну фігуру прийнято вважати складеною з точок. Тому прямою
на площині (рис.1) є геометричне місце точок, один з вимірів якого (скажімо довжина) рівний нескінченності, а інший - ширина, прямує до нуля. Для порівняння, відрізок
(
рис 2), як частина прямої
, яка складена з усіх точок прямої, що лежать між двома її точками, має нульову ширину
при цілком певній довжині
, скажімо 15 см чи 5 м. Півпрямою
, або променем (
рис.3) називають частину прямої, яка складається з усіх точок цієї прямої, що лежать по один бік від даної на ній точки. Промінь також вважають проведеним у нескінченність в один бік.
Аналогічно попередньому, яким тонким не був би кінчик мого олівця, я не зможу накреслити математичну пряму, відрізок чи промінь - вони матимуть цілком певну ширину.
а
рис.1
А В
Рис. 2.
Рис.3Кут
Кутом (
рис.4) називається фігура, що складається з двох різних півпрямих із спільною початковою точкою, яка називається вершиною
кута, а півпрямі - сторонами
кута.
Рис.4
Очевидно, що до фігур, зазначених вище, поняття площі незастосовне
.
Плоскі геометричні фігури
Чотирикутником
взагалі є фігура, складена з чотирьох точок і чотирьох відрізків, які послідовно їх сполучають. Чотирикутник називають опуклим
, якщо він розміщений в одній півплощині відносно прямої, яка містить будь-яку його сторону. На рисунках 5 і 6 показано опуклий та неопуклий чотирикутники.
Рис.5 Рис.6
Сторони чотирикутника, що виходять з однієї вершини, називають сусідніми
сторонами, а сторони, які не мають спільного кінця - протилежними
сторонами.
Прямокутник
(рис.7) - це чотирикутник, у якого всі кути прямі.
|
> |
b
а
Рис. 7.
Як бачимо з рис.7, геометри античності спочатку розбивали прямокутник на квадратики, які були одиницями площі (поняття метр і метр квадратний з’явилось пізніше) і підраховували їх кількість. Тепер використовується формула S
прям.
= аb
.
Квадрат
- це прямокутник, у якого всі сторони рівні (рис.8).
а
Рис.8
Можна також розбити квадрат на n
одиниць площі і знайти їх суму, проте ми користуємося формулою S
квад.
= а
2
.
Паралелограм
- це чотирикутник, у якого протилежні сторони паралельні (рис.9).
h
а
Рис.9
Площа паралелограма визначається як добуток його сторони на висоту, проведену до цієї сторони: S
парал.
= аh
.
Ромб
- це паралелограм, у якого всі сторони рівні (рис.10).
h
а
Рис.10
Площа ромба визначається так само як і площа паралелограма.
Трапецією
називається чотирикутник, у якого тільки дві протилежні сторони паралельні (рис.11).
b
h
а
Рис.11
Площа трапеції дорівнює добутку півсуми її основ на висоту:
Кругом
називається геометричне місце точок площини, що лежать від даної точки на відстані, не більшій за дане число R
, яке називається радіусом
круга (рис.12).
R
Рис.12
Площа круга визначається рівністю: , де π - число Архімеда, яке рівне відношенню довжини кола до його діаметра, причому вказане відношення є однаковим
для будь-якого кола. Не буду зупинятися на виникненні числа π, оскільки багато чого, пов’язаного з його походженням не ясно і дотепер. Доведено ірраціональність числа π. За допомогою комп’ютерів отримані мільйони десяткових знаків цього числа. Перші знаки його такі: π = 3,14159265358…
Трикутником
є фігура, що складається з трьох точок і трьох прямих, що їх з’єднують. Розрізняють прямокутні та косокутні трикутники (рис.13, 14)
с
b с b
h
γ
а а
Рис.13 Рис.14
Оскільки прямокутний трикутник можна розглядати як половину прямокутника, то площа прямокутного трикутника рівна .
Взагалі, площа будь-якого трикутника може бути визначена як половина добутку його сторони на висоту, проведену до цієї сторони. За рис.14 запишемо: . Існують інші формули для визначення площі трикутника, наприклад (див. рис.14). Можна також довести формулу Герона для площі трикутника:
де р
- півпериметр трикутника, а саме .
Якщо плоска фігура зображена в системі координат (x
, y
), то площа будь-якої з них може бути представлена у вигляді визначеного інтеграла. Дана тема вивчається в 11-му класі середньої школи, тому поки що я не буду її торкатися. За допомогою визначеного інтеграла знаходять площі опуклих і не опуклих криволінійних
плоских фігур.
Для площ n
-кутників багатьма великими цього світу виведені спеціальні формули, запам’ятати які не завжди легко. Тому я зазвичай, застосовую інший метод обчислення площ багатокутників: всякий n
-кутник може бути розбитий на певну кількість простіших фігур, формули площ яких я пам’ятаю.