Графическое решение уравнений
Расцвет, 2009
Введение
Необходимость решать квадратные уравнения еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения вавилоняне умели решать еще около 2000 лет до н.э. Правило решения этих уравнений, изложенное в Вавилонских текстах, совпадает по существу с современными, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила.
Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 году итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и Германии, Франции и других странах Европы.
Но общее правило решения квадратных уравнений, при всевозможных комбинациях коэффициентов b и c было сформулировано в Европе лишь в 1544 году М. Штифелем.
В 1591 году Франсуа Виет
ввел формулы для решения квадратных уравнений.
В древнем Вавилоне могли решить некоторые виды квадратных уравнений.
Диофант Александрийский
и Евклид
, Аль-Хорезми
и Омар Хайям
решали уравнения геометрическими и графическими способами.
В 7 классе мы изучали функции у = С,
у =
kx
, у =
kx
+
m
, у =
x
2
, у = –
x
2
,
в 8 классе – у = √
x
, у =
|x
|, у =
ax
2
+
bx
+
c
, у =
k
/
x
. В учебнике алгебры 9 класса я увидела ещё не известные мне функции: у =
x
3
, у =
x
4
, у =
x
2
n
, у =
x
-
2
n
, у =
3
√x
, (
x
–
a
)
2
+ (у –
b
)
2
= r
2
и другие. Существуют правила построения графиков данных функций. Мне стало интересно, есть ли ещё функции, подчиняющиеся этим правилам.
Моя работа заключается в исследовании графиков функций и графическом решении уравнений.
1.
Какие бывают функции
График функции – это множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргументов, а ординаты – соответствующим значениям функции.
Линейная функция задаётся уравнением у =
kx
+
b
, гдеk
и b
– некоторые числа. Графиком этой функции является прямая.
Функция обратной пропорциональности у =
k
/
x
, где k¹ 0. График этой функции называется гиперболой.
Функция (
x
–
a
)2
+ (у –
b
)2
=
r
2
, где а
, b
и r
– некоторые числа. Графиком этой функции является окружность радиуса r с центром в т. А (а
, b
).
Квадратичная функция y
=
ax
2
+
bx
+
c
где а,
b
, с
– некоторые числа и а
¹ 0. Графиком этой функции является парабола.
Уравнение у 2
(
a
–
x
) =
x
2
(
a
+
x
)
. Графиком этого уравнения будет кривая, называемая строфоидой.
Уравнение (
x
2
+
y
2
)2
=
a
(
x
2
–
y
2
)
. График этого уравнения называется лемнискатой Бернулли.
Уравнение . График этого уравнения называется астроидой.
Кривая(x2
y2
– 2 a x)2
=4 a2
(x2
+ y2
)
. Эта кривая называется кардиоидой.
Функции: у =
x
3
– кубическая парабола, у =
x
4
,
у = 1/
x
2
.
2. Понятие уравнения, его графического решения
Уравнение
– выражение, содержащее переменную.
Решить уравнение
– это значит найти все его корни, или доказать, что их нет.
Корень уравнения
– это число, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство.
Решение уравнений графическим способом
позволяет найти точное или приближенное значение корней, позволяет найти количество корней уравнения.
При построении графиков и решении уравнений используются свойства функции, поэтому метод чаще называют функционально-графическим.
Для решения уравнение «делим» на две части, вводим две функции, строим их графики, находим координаты точек пересечения графиков. Абсциссы этих точек и есть корни уравнения.
3. Алгоритм построения графика функции
Зная график функции у =
f
(
x
)
, можно построить графики функций у =
f
(
x
+
m
)
, у =
f
(
x
)+
l
и у =
f
(
x
+
m
)+
l
. Все эти графики получаются из графика функции у =
f
x
)
с помощью преобразования параллельного переноса: на │
m
│
единиц масштаба вправо или влево вдоль оси x и на │
l
│
единиц масштаба вверх или вниз вдоль оси y
.
4. Графическое решение квадратного уравнения
На примере квадратичной функции мы рассмотрим графическое решение квадратного уравнения. Графиком квадратичной функции является парабола.
Что знали о параболе древние греки?
Современная математическая символика возникла в 16 веке.
У древнегреческих же математиков ни координатного метода, ни понятия функции не было. Тем не менее, свойства параболы были изучены ими подробно. Изобретательность античных математиков просто поражает воображение, – ведь они могли использовать только чертежи и словесные описания зависимостей.
Наиболее полно исследовал параболу, гиперболу и эллипс Аполоний Пергский
, живший в 3 веке до н.э. Он же дал этим кривым названия и указал, каким условиям удовлетворяют точки, лежащие на той или иной кривой (ведь формул-то не было!).
Существует алгоритм построения параболы:
• Находим координаты вершины параболы А (х0
; у0
): х0
=-
b
/2
a
;
• y0
=ахо
2
+вх0
+с;
• Находим ось симметрии параболы (прямая х=х0
);
• Составляем таблицу значений для построения контрольных точек;
• Строим полученные точки и построим точки им симметричные относительно оси симметрии.
1. По алгоритму построим параболу y
=
x
2
– 2
x
– 3
. Абсциссы точек пересечения с осью x
и есть корни квадратного уравнения x
2
– 2
x
– 3 = 0.
Существует пять способов графического решения этого уравнения.
2. Разобьём уравнение на две функции: y
=
x
2
и y
= 2
x
+ 3
. Корни уравнения – абсциссы точек пересечения параболы с прямой.
3. Разобьём уравнение на две функции: y
=
x
2
–3
и y
=2
x
. Корни уравнения – абсциссы точек пересечения параболы с прямой.
4. Преобразуем уравнениеx
2
– 2
x
– 3 = 0
при помощи выделения полного квадрата на функции: y
= (
x
–1)2
иy
=4.
Корни уравнения – абсциссы точек пересечения параболы с прямой.
5. Разделим почленно обе части уравненияx
2
– 2
x
– 3 = 0
на x
, получим x
– 2 – 3/
x
= 0
, разобьём данное уравнение на две функции: y
=
x
– 2,
y
= 3/
x
.
Корни уравнения – абсциссы точек пересечения прямой и гиперболы.
5. Графическое решение уравнений степени
n
Пример 1.
Решить уравнение x
5
= 3 – 2
x
.
Корнями данного уравнения является абсцисса точки пересечения графиков двух функций: y
=
x
5
,
y
= 3 – 2
x
.
Ответ:
x = 1.
Пример 2.
Решить уравнение 3
√
x
= 10 –
x
.
Корнями данного уравнения является абсцисса точки пересечения графиков двух функций: y
=
3
√
x
,
y
= 10 –
x
.
Ответ:
x = 8.
Заключение
Рассмотрев графики функций: у =
ax
2
+
bx
+
c
, у =
k
/
x
, у = √
x
, у =
|x
|, у =
x
3
, у =
x
4
, у =
3
√x
,
я заметила, что все эти графики строятся по правилу параллельного переноса относительно осей x
и y
.
На примере решения квадратного уравнения можно сделать выводы, что графический способ применим и для уравнений степени n.
Графические способы решения уравнений красивы и понятны, но не дают стопроцентной гарантии решения любого уравнения. Абсциссы точек пересечения графиков могут быть приближёнными.
В 9 классе и в старших классах я буду ещё знакомиться с другими функциями. Мне интересно знать: подчиняются ли те функции правилам параллельного переноса при построении их графиков.
На следующий год мне хочется также рассмотреть вопросы графического решения систем уравнений и неравенств.
Литература
1. Алгебра. 7 класс. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. М.: Мнемозина, 2007.
2. Алгебра. 8 класс. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. М.: Мнемозина, 2007.
3. Алгебра. 9 класс. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. М.: Мнемозина, 2007.
4. Глейзер Г.И. История математики в школе. VII–VIII классы. – М.: Просвещение, 1982.
5. Журнал Математика №5 2009; №8 2007; №23 2008.
6. Графическое решение уравнений сайты в Интернете: Тол ВИКИ; stimul.biz/ru; wiki.iot.ru/images; berdsk.edu; pege 3–6.htm.