Доказательство утверждения, частным случаем которого является великая теорема Ферма

Работа Скворцова Александра Петровича,

учителя, ветерана педагогического труда

Доказательство утверждения, частным случаем которого является великая теорема Ферма

Содержание

Общее утверждение

Утверждение 1

Доказательство Части первой «Утверждения 1»

Доказательство Части второй «Утверждения 1»

Пример

Примечание

«Вывод» о Великой теореме Ферма (простое)

Утверждение 2

Доказательство Части первой «Утверждения 2»

Доказательство Части второй «Утверждения 2»

Примечание

Окончательный «Вывод» о Великой теореме Ферма

Утверждение 3

Доказательство Части первой «Утверждения 3»

Доказательство Части второй «Утверждения 3»

Примечание

Общий вывод

Литература

Доказательство нижеприведённого «Утверждения» осуществлено элементарными средствами. В данной работе рассматриваются уравнения ,
частными случаями которых являются уравнения Ферма ,
где а
– чётное число,
и -
целые числа, ,
, - =натуральные числа.

Метод, используемый в этой работе, опирается на применение дополнительного квадратного уравнения и его общего решения, чётность которого совпадает с числами
, исследуемыми в моей работе.

Этот метод позволяет:

1. Судить о возможности существования целых решений уравнения Ферма для , т.е. о возможности существования «Пифагоровых троек», т.к. при рассуждениях никаких «противоречий» не возникает (доказательство этого в данной работе не приведено).

2. Судить об отсутствии решений в попарно взаимно простых целых числах уравнения ,
где -
натуральное число, а
– чётное число, т.к. при рассуждениях возникают «противоречия» (доказательство этого в данной работе не приведено, но дан пример на стр. 33).

3. Судить о возможности существования частного решения уравнения
при(
илиb = ±1, или c = ±1),
которое входит в п. «Исключения» моего общего «Утверждения». И такие решения следующие:

а) b = ±1; c = ±3; a = 2.

б) b = 3; c = ±1; a = -2 («Пример» на стр. 33).

4. Судить о неразрешимости в целых числах уравнения ,
гдеа
– чётное число. Это хорошо известный факт в теории чисел (доказательство этого в данной работе приведено).

5. Судить о неразрешимости в целых числах и уравнения Ферма .
Это тоже хорошо известный факт в теории чисел (в данной работе это утверждение является следствием более общего утверждения).

6. Судить о неразрешимости в целых числах уравнения Ферма ,
где - натуральное число. Это тоже уже известный факт в теории чисел (в данной работе это утверждение является следствием более общего утверждения).

**********

Так как данное доказательство «Общего Утверждения» в этой работе проведено мною элементарными средствами, то думаю, и своё «Утверждение» великий Ферма вполне мог доказать подобным методом.

И последнее. Я думаю, что специалистам, наверное, известны ещё некоторые конкретные примеры (частные случаи уравнения
), подпадающих под доказываемое в данной работе «Общего Утверждения». Если такие примеры имеются, то в свою очередь это будет являться дополнительным подтверждением правильности выбранного пути доказательства вышеназванного «Общего Утверждения».

≥

ОБЩЕЕ УТВЕРЖДЕНИЕ, частным случаем которого является Великая теорема Ферма

1. Уравнение (, - натуральные числа) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы - было четным, и - нечетными целыми числами.

2. Но есть и «исключение» из данного утверждения: среди этих чисел , и может быть либо , либо .

***********

Чтобы доказать «ОБЩЕЕ УТВЕРЖДЕНИЕ»,
необходимо рассмотреть2 случая

для показателя q
:

1)
при - натуральном;

2)
при - натуральном, а для этого достаточно рассмотреть случай .

Утверждение 1, частным случаем которого является Великая теорема Ферма
, для простого показателя

Часть 1

Уравнение (, - натуральные числа, где при - натуральном) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы - было четным, и - нечетными целыми числами.

Часть 2

Возможны случаи: либо , либо .

**********

Последнее утверждение (либо , либо ) в дальнейшем будем называть «исключением»
из общего правила.

*********

Часть первая

(Утверждения 1)

Доказательство

Понятно, что доказательство достаточно рассмотреть для - простого.

Докажем данное «Утверждение 1

» методом от противного. Предположим, что уравнение разрешимо в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и . И если в конце доказательства мы придем к противоречию, доказав, что числа , и не являются попарно взаимно простыми целыми числами, то это будет означать, что «Утверждение 1

» справедливо.

Из уравнения (1) следует:

(2),

где - четное целое число, т.к. и - нечетные;

≠ 0, т.к. и - взаимно простые нечетные целые числа, не равные нулю;

- нечетное целое число
при и - нечетных, - простом.

********

Примечание

То, что - нечетное
число при и - нечетных
, хорошо известный факт в теории чисел.

Для подтверждения данного факта достаточно использовать разложение бинома

Ньютона , , , … и тогда получим для :

- сумму трех нечетных слагаемых, равную нечетному числу.

Для :

- сумму пяти нечетных слагаемых, равную нечетному числу.

Для степени - простой
можно доказать, что при и нечетных

(3)
- сумма нечетных слагаемых, равная нечетному числу
(Алексеев С.Ф. Два обобщения классических формул // Квант. – 1988. - №10. – С. 23).

*******

Пусть (4),

где - нечетное число
(на основании (3)
).

Тогда уравнение (2) примет вид:

(5),

где - четное число, которое можно представить в виде

(6),

где - целое число (при = 0 а = 0
, что противоречит нашему допущению),

(4) – нечетное число.

Тогда из соотношения (5) с учетом (6) получаем:

, т.е. (7),
где - целое число (), - натуральное число.

Сумму же нечетных чисел и обозначим через , т.е.

(8),

где - целое число (, т.к. и - взаимно простые нечетные целые числа, не равные нулю).

Из (7) и (8) определим и :

=> =>

Откуда (11) - нечетное число
при - нечетном и - четном, т.к. , причем (12)

(явно) при .

********

Вывод:

На основании (8) и (11) имеем: (13)
- нечетное число

;

из соотношений (7) и (12) имеем: (14)
(явно) при .

Это дополнительная информация
о свойствах предполагаемых взаимно простых числах
, которая в дальнейшем нам очень пригодится.

*******

Теперь попробуем выразить сумму квадратов чисел c
и . Учитывая соотношения (9) и (10), получим:

Таким образом, получили следующее уравнение:

(15),

где - целые числа
, которые, являясь решениями уравнения (15), в свою очередь, могут быть выражены через другие целые числа
следующим образом:

(16) - нечетное
число при - нечетном;

(17) - нечетное
число при - нечетном;

(18) - нечетное
число при - нечетном;

(19) - четное
число.

Примечание:
во всех последующих исследованиях (Случаях) нас не будут интересовать

t
=0
иr
=0 (при
t
=0
и - четные из (16) и (17), при r
=0
= 0 (из (19)) => а = 0
(из (6)), что противоречит нашему допущению).

*******

Примечание.

Общий вид уравнения (15) следующий:

(20) ,

целыми решениями
которого (это известный факт в теории чисел
) являются:

(21) ;

(22) ;

(23) ;

(24) , где - целые числа.

То, что (21), …, (24) являются решениями уравнения (20), легко проверяется их подстановкой в данное уравнение (20), которое при этом превращается в тождество
.

*******

Для простоты обозначим правые части уравнений
(16), …, (19) буквами С, В, N, К,
т.е.

= С

= В

= N

= К
,

и рассмотрим случай
, когда в правых частях уравнений
(16), …, (19) перед С, В, N, К,
стоят «плюсы»
и выполняется Условие 1
.

Условие1 (начало).

с = С

b = B

n = N

Случай «+».

(16+) = С
- нечетное
число при - нечетном;

(17+) = В
- нечетное
число при - нечетном;

(18+) = N
- нечетное
число при - нечетном;

(19+) = К
- четное
число.

Казалось бы, все в порядке: четность
в (16+), …, (19+) совпадает
при -нечетном
с нашими предыдущими рассуждениями
.

Однако не все так просто.

Помимо всего прочего, у нас есть еще две дополнительные информации
(13)
и (14)
(о
четности
, заключенной в «Выводе» (стр.5))
, вытекающие из предположения о том, что, вопреки условию «Утверждения 1»
, допустим, существуют попарно взаимно простые целые числа .

Попробуем найти сумму
,
воспользовавшись их выражениями (16+) и (17+):

т.е. пропорционально 4, откуда следует, учитывая (13) в «Выводе» (стр.5
),
!

Т.е., вопреки «Выводу», в Случае «+»
является не нечетным
, а четным числом
, что возможно (из (18+)) при -четном.

Однако, если - четное
, то
(в (16+) и (17+))
являются четными

, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа - четные

,
а потому не являются попарно взаимно простыми целыми
числами
.

Мы пришли к противоречию

в Случае «+»
с нашим предположением о существовании у уравнения (1)
попарно взаимно простых целых решений.

Вывод.

Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 1
не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах.

*******

Казалось бы, 1-я часть «Утверждения 1»
доказана. На самом деле у уравнения (15) есть еще решения
. Нетрудно догадаться, что решениями
уравнения (15)
являются следующие выражения n,
:

Случаи «+» и «-».

(16±) ;

(17±) ;

(18±) ;

(19±) .

Мы рассмотрели случай, когда перед скобками в (16±), …,(19±) стояли только «плюсы» (Случай «+»)

******

Случай «-».

(16-) ;

(17-) ;

(18-) ;

(19-) .

Случай, когда перед теми же скобками стоят только «минусы» (Случай «-»), аналогичен вышерассмотренному Случаю «+».

И в этом случае сумма пропорциональна 4, откуда следует, (учитывая (13) в «Выводе» (стр.5
)),
!

Т.е., вопреки «Выводу», и в этом Случае «-»
является не нечетным
, а четным числом
, что возможно (из (18-)) при -четном.

Однако, если - четное
, то
(в
(16-) и
(17-))
являются четными

, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа - четные

,
а потому не являются попарно взаимно простыми целыми
числами
.

Мы пришли к противоречию
(
в Случае «-»)
с нашим предположением о существовании у уравнения (1)
попарно взаимно простых целых решений.

*******

Вывод.

Следовательно, уравнение (1) в данном Условии 1(начало)
не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах.

*******

Примечание

.

Осталось рассмотреть еще 14 случаев
, когда перед С, В, N, К
стоятвсевозможные знаки (плюсы и минусы).
Но об этом - во 2-ой части данного Утверждения 1.

********

Т.к. уравнение (15) симметрично
для с
и b
(для уравнения (15) они равнозначны), тос
иb

могут обмениваться не только знаками «+» и «-», но и
своими выражениями (
C
и В)
. Это свойство назовем «новым свойством ».
Поэтому аналогичны вышерассмотренному и случаи («Новые» случаи «+» и «-»)
, когда опять же перед теми же скобками стоят одинаковые знаки.

Условие 2 (начало)

с =B

b = С

n = N

«Новые» случаи
«+» и «-».

(16´±) c
=± В

(17´±) b
=±С

(18±) =±N

(19±) =±К

И в этом случае сумма пропорциональна 4, откуда следует, (учитывая (13) в «Выводе» (стр.5
)),
!

Т.е., вопреки «Выводу», и в этих «Новых» случаях
«+» и «-»
является не нечетным
, а четным числом
, что возможно(из (18±)) при -четном.

Однако, если - четное
, то
(в (
(16´±) и (
(17´±))
являются четными

, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа - четные

,
а потому не являются попарно взаимно простыми целыми
числами
.

Мы пришли к противоречию
(
в «Новых» случаях «+»
и «-»)
с нашим предположением о существовании у уравнения (1)
попарно взаимно простых целых решений.

*******

Вывод

. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 2 (начало)
не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах.

*******

Примечание

Осталось рассмотреть еще 14 случаев (
пояснение ниже
)
,рассматривающих «новые свойства »,
когда перед С, В, N, К
стоят всевозможные
знаки (плюсы и минусы).
Но об этом во 2-ой части данного Утверждения 1.

********

Уравнение (15)
симметрично и для
n
и для
(для уравнения 15 они равнозначны),
которые тоже могут меняться своими выражениями (
N
и К).
Это свойство назовем «похожим свойством
n
и ».
А это означает, что нам придется рассмотреть еще 16
«похожих» случаев (с 1-го по 14 и случаи
«+» и «-», в которых n
и меняются своими выражениями (
N
и К )).

Условие 3

c = C

b = B

n = К

« Похожие» случаи «+» и «-».

(16±) с
= ± С =
± ()

(17±) b
= ± В
=± ()

(18´±) n
= ± К
= ± ()

(19´±)
= ± N=
± ()

Согласно одному из Выводов
(формула (14))
(явно) при . Но это возможно, глядя на (19´±)
= ±N=
±() только при t- четном, при которых в (16±) и (17±) c

и
b

– четные,

чего не должно быть.

Мы пришли к противоречию
(
в «Похожих» случаях «+»
и «-»)
с нашим предположением о существовании у уравнения (1)
попарно взаимно простых целых решений.

*******

В остальных 14 «похожих» случаях,
где опять же

= ± N= ± (
) и перед С, В, N, К
стоятвсевозможные знаки (плюсы и минусы),
рассуждая аналогичным способом (и при этом не затрагивая «новые свойства » (
пояснение следует
)),
мы придем к прежнему результату: c

и
b

– четные,

чего не должно быть
.

Это значит, что мы опять придем к противоречию

с нашим предположением о существовании у уравнения (1)
попарно взаимно простых целых решений.

********

Вывод

. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 3
не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах.

********

Пояснение

(почему не надо
в Условии 3
затрагивать «новые свойства »).

Запишем Условия (1, …, 3).

Условие 1 Условие 2 Условие 3 Условие 2+3

с = С
с =B
c = C
c =B

b = B
b = С
b = B
=> b = C

n= N
n = N
n = К
n = К

Если теперь поменять обозначения между собойв Условии 2+3 с

на
b

,

аb

на
c

в верхних двух строчках и n
на ,
а
на n
внижних двух строчках, то вернемся снова к обозначениям в Условии 1,
которое во 2-й части «Утверждения 1»

нами будет исследовано до конца:

Условие 2+3 Условие 1

c =B
b = B
с = С

b = C
=> с = С
=> b = B

n = К
n = N

n = N

Вывод.

1. Таким образом,

в вышерассмотренных Условиях 1 (начало), 2 (начало) и 3
,

Уравнение (1) (, - натуральные числа, где при - натуральном) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы - было четным, и - нечетными целыми числами.

2. 1-я часть «Утверждения 1»
(
для Условий 1(начало), 2 (начало)
и 3) доказана.

*********

Часть вторая

(Утверждения1)

Возможны случаи: либо , либо .

(Об «Исключении» из общего правила)

Доказательство

Условие 1

(продолжение
).

Всего случаев 16
. Два из них рассмотрели в 1-й части Утверждения 1 (Случаи «-» и «+»).

Осталось рассмотреть еще 14 случаев
, когда перед С, В,
N
и К в решениях уравнения (15) стоят разные знаки
.

Пояснение.

Случаев всего 14
, когда перед С, В,
N
и К в решениях уравнения (15) стоят разные знаки
и число их равно числу Р
перестановок из m= 4 элементов (
c

,

b

,

n

и)
по n= 1; 2; 3 элементов (плюсов (+) перед С, В,
N
и К)
в каждом (по n
= 0; 4
элементов ( Р = 1+1 = 2 ) мы уже рассмотрели - это 2 случая: Случаи «-»
и «+»
соответственно):

********

Случай 1.

(16)

(17′)

(18)

(19)

Тогда сумма
имеет вид:

Учитывая (14) и (19), можно получить разность :

=>
.

Выразим из (25) и (26) :

=> .

По условию должны быть взаимно простыми целыми числами
, поэтому их общий множитель
.

Т.о., имеют вид:

, , а их сумма .

Т.к. из (8) , то =>
.

Из (19) с учетом (29) выразим :

, т.е.
.

Т.о., , , т.е.

выражения
которых, с учетом (33), полностью совпадают с (9) и (10).

Теперь, с учетом (17′) и (18), найдем сумму :

т.к. , т.е. .

(Здесь чередование «плюса» и «минуса»
такое же, как и у единицы в (29
). В последующих действиях мы это учтем).

Теперь, учитывая (32), получим значение для
b

:

, т.к. из (29) вытекает
.

Итак,
.

Учитывая (35), получим =>
.

Теперь, с учетом (38),можно получить окончательное выражение для с

(из (34)):

, т.е.
.

Таким образом, уравнение (15)
, решениями которого являются (16), (17′), (18) и (19), в конечном счете имеет следующие решения:

, ,

,
,

где - взаимно простые нечетные целые числа.

*******

Случай 2

Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (15)
были бы решения, противоположные
по знаку с решениями
(16), (17′), (18) и (19), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (39), (37), (38) и (33), т.е.

, ,

где - взаимно простые нечетные целые числа
.

*******

Случай 3

(16)

(17′)

(18)

(19′).

Тогда сумма
имеет вид:

Учитывая (14) и (19′), можно получить разность
:

- => (26′).

Выразим из (25) и (26′) :

=> .

По условию должны быть взаимно простыми целыми нечетными числами
, поэтому их общий множитель
.

Т.о., имеют вид
:

(30′), (31′), а их сумма .

Т.к. из (8) , то =>
.

Из (19´) с учетом (29) выразим
:

, т.е.
(33´).

Т.о., , ,

где ,

т.е. (34´), (35´), выражения
которых, с учетом (33´), полностью совпадают с (9) и (10).

Теперь, с учетом (17′) и (18), найдем сумму
:

т.к. , т.е. .

(Здесь чередование
«плюса» и «минуса»
такое же, как и у единицы в (29
). В последующих действиях мы это учтем).

Теперь, учитывая (32), получим значение для
b

:

, т.к. из (29) вытекает .

Итак,
.

Учитывая (35´), получим =>
()
.

Теперь, с учетом ()
, можно получить окончательное выражение для с

(из (34´)):

, т.е.
(39´´).

Таким образом, уравнение (15)
, решениями которого являются (16), (17′), (18) и (19´), в конечном счете имеет следующие решения:

(39´´), (38´´),
где - взаимно простые нечетные

,
(33´), целые числа.

********

Случай 4

Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (15)
были бы решения, противоположные
по знаку с решениями (16), (17′), (18) и (19´),
мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (39´´), (37), (38´´) и (33´), т.е.

(39´´´), (38´´´),
(37´),
(33),

где - взаимно простые нечетные целые числа.

*******

Подведем некоторый итог. Нами рассмотрено 4 случая решений уравнения (15).

Ранее мы обозначили правые части уравнений
(16),…, (19) буквами С, В, N, К,
т.е

= С

= В

= N

= К

Тогда эти первые 4 случая
следующие:

1
. (16)
2
. (16´) (39´)

(17´) (37) (17) (37´)

(18) (18´) (38´)

(19)
(33) (19´)
(33´)

3
. (16) (39´´) 4
. (16´) (39´´´)

(17´) (37) (17) (37´)

(18) (38´´) (18´) (38´´´)

(19´)
(33´) (19)
(33)

*********

Рассмотрим еще 10 случаев
.

5
. с = С
6
. с = - С
7
. c= C
8
. c= - C

b = - B
b= B
b= - B
b= B

n= - N
n= N
n= - N
n= N

9. с = С. 10. с = -С 11. с = С 12. с = -С

b = Bb = -Bb = Bb = -B

n =- Nn = Nn = Nn =- N

13. с = С 14. с = -С

b = Bb =- B

n =- Nn = N

*******

Итак, рассмотрим случай 5.

Случай 5

(16)

(17´)

(18´)

(19).

Тогда сумма имеет вид:

Учитывая (14) и (19), можно получить разность
:

=> .

Выразим из (25) и (26) :

=> .

По условию должны быть взаимно простыми целыми числами
, поэтому их общий множитель

.

Т.о., имеют вид
:

, , а их сумма .

Т.к. из (8) , то =>
.

Из (19) с учетом (29) выразим
:

, т.е.
.

Т.о., , , т.е.

выражения
которых, с учетом (33), полностью совпадают с (9) и (10
).

Теперь, с учетом (17′) и (18´), найдем разность
:

т.к. , т.е. (36´).

(Здесь чередование «плюса» и «минуса
» такое же, как и у единицы в (29
). В последующих действиях мы это учтем).

Теперь, учитывая (32), найдем разность (
b

-

n

)-

n

:

где .

Т.к. b+ c=2n, то b-2n= b- (b+ c) = - c= -1 => c

= 1 (40).

Учитывая (34), получим =>
(38´)
.

Теперь, с учетом (38´), можно получить окончательное выражение для
b
(
из (35)):

, т.е.
(41).

Таким образом, уравнение (15)
, решениями которого являются (16), (17′), (18´) и (19), в конечном счете, имеет следующие решения:

(41),
, где - взаимно простые нечетные целые
(40), (38´), числа

*******

Случай 6

Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (15) были бы решения, противоположные по знаку с решениями
(16), (17′), (18´) и (19), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (40), (41), (38´´) и (33), т.е
.

(40´), (38),

(41´),
(33´), где - взаимно простые целые нечетные числа.

*******

Случай7

(16)

(17´)

(18´)

(19´)

Тогда сумма имеет вид
:

Учитывая (14) и (19´), можно получить разность :

=> (26´).

Выразим из (25) и (26´) :

=> .

По условию должны быть взаимно простыми целыми числами
, поэтому их общий множитель
.

Т.о., имеют вид:

(30´), (31´), а их сумма .

Т.к. из (8) , то =>
.

Из (19´), с учетом (29), выразим :

, т.е.
(33´).

Т.о., , , т.е.

(34´),

(35´),

выражени
я которых, с учетом (33), полностью совпадают с (9) и (10).

Теперь, с учетом (17′) и (18´), найдем разность
:

т.к. , т.е. (36´).

(Здесь чередование «плюса» и «минуса»
такое же, как и у единицы в (29).
В последующих действиях мы это учтем).

Теперь, учитывая (32), найдем разность (
b

-

n

)-

n

:

где .

Т.к. b+c=2n, то b-2n= b-(b+c) = -c= -1 => c

= 1 (40)

.

Учитывая (34´), получим =>
(38´´´)
.

Теперь, с учетом (38´´´), можно получить окончательное выражение для
b
(из (35´)):

, т.е.

(41´´).

Таким образом, уравнение (15)
, решениями которого являются (16), (17′), (18´) и (19´), в конечном счете, имеет следующие решения:

(40), (38´´´),

(41´´),
(33´), где - взаимно простые нечетные целые числа.

*******

Случай 8

Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (15) были бы решения, противоположные
по знаку с решениями (16), (17′), (18´) и (19´),
мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (40), (41´), (38´´´) и (33´), т.е.

(40´), (38´´),

,
(33), где - взаимно простые целые нечетные числа.

*******

Вывод

Итак, после анализа полученных решений в Случаях 1,…, 8, уравнение (15)
,
где c
и b
– взаимно простые целые нечетные числа, имеет решение в следующих целых числах:

а) ; ; ; ;

б) ; ; ; .

А это в свою очередь означает, что и уравнение
при вышеназванных условиях (смотри Утверждение1) может иметь
целые решения либо при , либо при .

Случай 9

(16)

(17)

(18´)

(19)

Из (16) и (17) имеем:

Учитывая (14) и (19), можно получить разность другим способом:

=>
.

Следовательно,

==> 2
t
= 4
r
( ≠ 0, т.к.в (26´´) с ≠
b
)
=>
t

= 2

r

(32´) => в (16) и (17) c

и
b

– четные,

чего не должно быть.

Мы пришли к противоречию

с нашим предположением о существовании у уравнения (1)
попарно взаимно простых целых решений.

*********

Случай 10

(16´)

(17´)

(18)

(19´),

т.е. по сравнению с предыдущим случаем 9
здесь знаки перед скобками противоположные, а потому (по понятным причинам) результат будет таким же
, что и в случае 9.

Действительно, из (16´) и (17´) имеем:

Учитывая (14) и (19´), можно получить разность другим способом:

- =>
.

Следовательно, -=-=> 2
t
= 4
r
( ≠ 0, т.к.в (26´´) с ≠
b
)
=>
t

= 2

r

(32´) => в (16´) и (17´) c

и
b

– четные,

чего не должно быть.

********

Случай 11

(16)

(17)

(18)

(19´)

Из (16) и (17) имеем:

Учитывая (14) и (19´), можно получить разность другим способом:

- =>
.

Следовательно, =-=> 2
t
= - 4
r
( ≠ 0, т.к.в (26´´) с ≠
b
)
=>
t

= -2

r

(32´) => в (16) и (17) c

и
b

– четные,

чего не должно быть.

Случай 12

(16´)

(17´)

(18´)

(19),

т.е. по сравнению с предыдущим случаем 11
здесь знаки перед скобками противоположные, а потому (по понятным причинам) результат будет таким же
, что и в случае 11.

Действительно, из (16´) и (17´) имеем:

Учитывая (14) и (19), можно получить разность другим способом:

=>
.

Следовательно, -==> 2
t
= - 4
r
( ≠ 0, т.к.в (26´´) с ≠
b
)
=>
t

= -2

r

(32´) => в (16) и (17) c

и
b

– четные,

чего не должно быть.

*******

Случай 13

(16)

(17)

(18´)

(19´)

Из (16) и (17) имеем:

Учитывая (14) и (19´), можно получить разность другим способом:

- =>
.

Следовательно, =-=> 2
t
= - 4
r
( ≠ 0, т.к.в (26´´) с ≠
b
)
=>
t

= -2

r

(32´) => в (16) и (17) c

и
b

– четные,

чего не должно быть.

********

Случай 14

(16´)

(17´)

(18)

(19),

т.е. по сравнению с предыдущим случаем 13
здесь знаки перед скобками противоположные, а потому (по понятным причинам) результат будет таким же
, что и в случае 13.

Действительно, из (16´) и (17´) имеем:

Учитывая (14) и (19), можно получить разность другим способом:

=>
.

Следовательно, -==> 2
t
= - 4
r
( ≠ 0, т.к.в (26´´) с ≠
b
) =>
t

= -2

r

(32´) => в (16) и (17) c

и
b

– четные,

чего не должно быть.

***********

Вывод.

1. Таким образом, случаи 9,…, 14 новых возможных решений уравнения (15) не выявили.

2. Условие 1 (продолжение) нами полностью рассмотрено

.

**********

Условие 2

(продолжение
).

Ранее мы отмечали, что уравнение (15) симметрично
для с
и b
, поэтомус
и
b

могут меняться
своими выражениями (
C
и В)
. Это свойство нами было названо «новым свойством ».

В 1-й части Утверждения 1 мы рассмотрелидва
«Новых» случая
«+» и «-».

Осталось исследовать еще 14 случаев
,рассматривающих «новые свойства »,
когда перед С, В, N, К
стоят всевозможные
знаки (плюсы и минусы).

********

«Новый» случай 15

(
Отличающийся «новым свойством »
от случая 1
:
с =
С,
b
= -В

,
n
=
N
,
K
)

с = - В
(
16-B),

b
=

С (
17+C),

n
=
N
(
18),

K
(
19)
- это общие
решения уравнения (15), окончательным видом которых являются (это мы покажем далее) окончательные
решения уравнения (15) в случае 8

, т.е.

(40´), (38´´),

,
(33),

где - взаимно простые нечетные целые числа.

Доказательство

Сумма имеет вид
:

Учитывая (14) и (19), можно получить разность
:

=> .

Выразим из (25) и (26) :

=> .

По условию должны быть взаимно простыми целыми числами
, поэтому их общий множитель

.

Т.о., имеют вид
:

, , а их сумма .

Т.к. из (8) , то =>
.

Из (19) с учетом (29) выразим
:

, т.е.
.

Т.о., , , т.е.

, выражения
которых, с учетом (33), полностью совпадают с (9) и (10
).

Теперь найдем сумму
с
:

т.к. , т.е. .

Теперь, учитывая (32), получим значение для с
:

т.к. из (29) вытекает
.

Итак,
.

Учитывая (34), получим =>
.

Теперь, с учетом (38´´), можно получить окончательное выражение для
b
(из (35)):

, т.е.
.

Таким образом, уравнение (15)
, решениями которого являются (16-B), (17+C), (18) и (19), в конечном счете имеет следующие решения (являющиеся окончательными решениями в случае 8):

, где - взаимно простые нечетные целые числа,
ч.т.д.

*********

Примечание

То, что окончательные решения
в случаях 15 и 8 одинаковые, вытекает
и из
следующего соображения
, которое используем в дальнейшем (для быстроты суждений).

Случай 15. Случай 8

с = - В
(
16-B),

с = - С
(
16´),

b
=

С (
17+C),
b
=

В (
17),

n
=
N
(
18),
n
=
N
(
18),

K
(
19)
,
K
(
19)
.

У этих случаев одинаковые знаки
в правых частях с
и b
, но разные выражения
(С

и В
), в остальном эти случаи похожи.

Соображение

Если в этих случаях решения совпадают, значит, у них надо выявить что-то общее. Этим общим свойством
для них являются произведение и разность с
иb
.

«Общие свойства для

с
и
b
»:

с
b
= -СВ
, с –
b
= -С -В
,
с –
b
=2К

Воспользуемся свойствами корней
квадратного уравнения (теоремой Виета
). Имеем:

с
(-
b
)= СВ
, с+
(–
b
)= -С -В
= 2К

.

Отсюда получаем квадратное уравнение

- 2К
+
С В =

0 =>
X

1,2

= К

,

где, например, Х1
= -

b
, а Х2
=

с
, то есть

Х1
= -

b
= К +

=+
= += + = -В =>

b
= В

,

где на основании
и Х1
= -

b
= -

Х2
=

с = К-

= -
= -= - = -С =>

с = - С,

где на основании (40´)
и Х2
=

Таким образом, мы получили случай 8
:

Случай 8

с = - С
(
16´),

b
=

В (
17),

n
=
N
(
18),

K
(
19),

где

, а - взаимно простые нечетные целые числа
.

Теперь обозначим Х1
=

с
, а Х2
= -

b
.

Тогда получим:

Х1
=

с = К+

=+
= += + = -В =>

с = -В
,

где на основании (40´)
и Х1 =

с = -1.

Х2
= -

b
= К-

= -
= -= - = -С => -

b
= -С =>

b
= С,

где на основании
и Х
2

= -

Таким образом, мы получили случай 15
:

Случай 15

с = -В
(
16-B),

b
=

С (
17+C),

n
=
N
(
18),

K
(
19),

где

, а - взаимно простые нечетные целые числа
.

Таким образом, одно и то же квадратное уравнение - 2К
+
С В =

0, дает одинаковые решения X

1,2

= К

(
X

1(

2)

=-Х2(1
)

=
-1)
идля Случая 8

и для Случая 15,

значит и одинаковые их окончательные решения:

, а - взаимно простые нечетные целые числа
.

В этом мы непосредственно и убедились.

Следовательно, «Общие свойства для с

иb

» (

с
b
= -СВ
, с –
b
= -С -В
,
с –
b
= 2К)
действительно определяют
Случаи 15 и 8,
имеющие одинаковые знаки
у с

иb

и отличающиеся друг от друга
у них выражениями (С
и В
)
, а, значит, и одинаковый вид их окончательных решений

.
Этой похожестью
с

иb

, их отличием друг от друга
и вышерассмотренными «Общими свойствами для с

иb

»

мы воспользуемся при рассмотрении последующих случаев.

*********

Вывод

(критерий одинаковости окончательных решений).

Если в каких-либо двух случаях
наблюдаются вышерассмотренные «Общие свойства для с

иb

» (

с

b

=

const

´

, с –

b

=

const

´´

, с –

b

=

const

´´´ )

,

то в этих случаях окончательные решения имеют одинаковый вид
.

*********

«Новый» случай 16

(
Отличающийся «новым свойством »
от случая 2
:
с = -
С,
b
= В

,
n
= -
N
, -
K
)

Случай 16. Случай 7.

с = В
с = С

b
= -С

b
= -В

n
= -
N
n
= -
N

-
K

-
K

Окончательные решения в случае 7
:

(40), (38´´´),

(41´),
(33´),

где - взаимно простые нечетные целые числа.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением»
и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с

и
b

» (

с
b
= - СВ =
const

´

, с –
b
= С+В =
const

´´,

с –
b
= - 2К =
const

´´´

) выполняются,

то Случаи
16 и 7
имеют одинаковый вид окончательных решений
уравнения (15),
т.е.

(40), (38´´´),

(41´),
(33´),

где - взаимно простые нечетные целые числа, являющиеся и окончательными решениями уравнения (15) в случае 7.

********

«Новый» случай 17

(
Отличающийся « новым свойством »
от случая 3
:
с =
С,
b
= -В

,
n
=
N
, -
K
)

Случай 17. Случай 6.

с = - В
(
16-B),

с = - С
(
16´),

b
=

С (
17+C),
b
=

В (
17),

n
=
N
(
18),
n
=
N
(
18),

-
K
(
19´)
, -
K
(
19´)
.

Окончательные решения в случае 6

:

(40´), (38),

(41´),
(33´),

где - взаимно простые нечетные целые числа.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением»
и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с

и
b

» (

с
b
= - СВ =
const

´

, с –
b
= -С –В =
const

´´

, с –
b
= - 2К =
const

´´´

) выполняются,

то Случаи
17 и 6
имеют одинаковый вид окончательных решений
уравнения (15),
т.е.

(40´), (38),

(41´),
(33´),

где - взаимно простые целые нечетные числа.

*********

«Новый» случай 18

(
Отличающийся «новым свойством »
от случая 4
:
с = -
С,
b
= В

,
n
=-
N
,
K
)

Случай 18. Случай 5.

с = В
(
16+B),

с = С
(
16),

b
=-

С (
17-C),
b
= -

В (
17´),

n
=-
N
(
18´),
n
= -
N
(
18´),

K
(
19)
,
K
(
19)
.

Окончательные решения в случае 5:

(40), (38´),

(41), ,

где - взаимно простые нечетные целые числа.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением»
и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с

и
b

» (

с
b
= - СВ =
const

´

, с –
b
= С +В =
const

´´

, с –
b
= 2К =
const

´´´

) выполняются,

то Случаи
18 и 5
имеют одинаковый вид окончательных решений
уравнения (15),
т.е.

(41),
,

где - взаимно простые нечетные целые
(40), (38´), числа.

********

«Новый» случай 19

(
Отличающийся «новым свойством »
от случая 5
:
с =
С,
b
=- В

,
n
=-
N
,
K
)

Случай 19. Случай 4.

с = - В
(
16-B),

с = - С
(
16´),

b
=

С (
17+C),
b
=

В (
17),

n
=-
N
(
18´),
n
= -
N
(
18´),

K
(
19)
,
K
(
19)

Окончательные решения в случае 4:

(39´´´), (38´´´),

(37´),
(33),

где - взаимно простые нечетные целые числа.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением»
и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с

и
b

» (

с
b
= - СВ =
const

´

, с –
b
= -С - В =
const

´´

, с –
b
= 2К =
const

´´´

) выполняются,

то Случаи
19 и 4
имеют одинаковый вид окончательных решений
уравнения (15),
т.е.

(39´´´), (38´´´),

(37´),
(33),

где - взаимно простые нечетные целые числа.

********

«Новый» случай 20

(
Отличающийся «новым свойством »
от случая 6
:
с = -
С,
b
= В

,
n
=
N
, -
K
)

Случай 20. Случай 3.

с = В
(
16+B),

с = С
(
16),

b
= -

С (
17-C),
b
= -

В (
17´),

n
=
N
(
18),
n
=
N
(
18),

-
K
(
19´)
, -
K
(
19´).

Окончательные решения в случае 3

:

(39´´), (38´´),

,
(33´),

где - взаимно простые нечетные целые числа.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением»
и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с

и
b

» (

с
b
= - СВ =
const

´

, с –
b
= С + В =
const

´´

, с –
b
= - 2К =
const

´´´

) выполняются,

то Случаи
20 и 3
имеют одинаковый вид окончательных решений
уравнения (15),
т.е.

(39´´), (38´´),
где - взаимно простые нечетные

,
(33´), целые числа.

********

«Новый» случай 21

(
Отличающийся «новым свойством »
от случая 7
:
с =
С,
b
= -В

,
n
= -
N
, -
K
)

Случай 21. Случай 2.

с = -В
(
16-B),

с = - С
(
16´),

b
=

С (
17+C),
b
=

В (
17),

n
=-
N
(
18´),
n
= -
N
(
18´),

-
K
(
19´)
, -
K
(
19´).

Окончательные решения в случае 2

:

где - взаимно простые нечетные целые числа

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением»
и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с

и
b

» (

с
b
= - СВ =
const

´

, с –
b
= - С - В =
const

´´

, с –
b
= - 2К =
const

´´´

) выполняются,

то Случаи
21 и 2
имеют одинаковый вид окончательных решений
уравнения (15),
т.е.

, ,

где - взаимно простые нечетные целые числа
.

*********

«Новый» случай 22

(
Отличающийся «новым свойством »
от случая 8
:
с = -
С,
b
= В

,
n
=
N
,
K
)

Случай 22. Случай 1.

с = В
(
16+B),

с = С
(
16),

b
= -

С (
17-C),
b
=-

В (
17´),

n
=
N
(
18),
n
=
N
(
18),

K
(
19)
,
K
(
19)

Окончательные решения в случае 1:

, ,

где - взаимно простые нечетные целые числа.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением»
и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с

и
b

» (

с
b
= - СВ =
const

´

, с –
b
= С + В =
const

´´

, с –
b
= 2К =
const

´´´

) выполняются,

то Случаи
22 и 1
имеют одинаковый вид окончательных решений
уравнения (15),
т.е.

, ,

,
,

где - взаимно простые нечетные целые числа.

**********

Вывод

Таким образом, в «Новых» случаях 15,…, 22 новых возможных решений уравнения (15) не выявили
.

*********

«Новый» случай 23

(
Отличающийся «новым свойством »
от случая 9
:
с =
С,
b
= В

,
n
= -
N
,
K
)

Случай 23. Случай 12.

с = В
(
16+B),

с = - С
(
16´),

b
=

С (
17+C),
b
= -

В (
17´),

n
= -
N
(
18´),
n
= -
N
(
18´),

K
(
19)
,
K
(
19)

Окончательный вывод в случае 12:

c

и
b

– четные,

чего не должно быть.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением»
и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с

и
b

» (

с
b
= СВ =
const

´

, с –
b
= -С + В =
const

´´

, с –
b
= 2К =
const

´´´

) выполняются,

то Случаи
23 и 12
имеют одинаковый вид окончательных решений
уравнения (15),
т.е. c

и
b

– четные,

чего не должно быть.

********

«Новый» случай 24

(
Отличающийся «новым свойством »
от случая 10
:
с = -
С,
b
= -В

,
n
=
N
, -
K
)

Случай 24. Случай 11.

с = -В
(
16-B),

с = С
(
16),

b
=-

С (
17-C),
b
=

В (
17),

n
=
N
(
18),
n
=
N
(
18),

-
K
(
19´)
, -
K
(
19´).

Окончательный вывод в случае 11:
c

и
b

– четные,

чего не должно быть.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением»
и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с

и
b

» (

с
b
= СВ =
const

´

, с –
b
= С - В =
const

´´

, с –
b
= - 2К =
const

´´´

) выполняются,

то Случаи
24 и 11
имеют одинаковый вид окончательных решений
уравнения (15),
т.е. c

и
b

– четные,

чего не должно быть.

*******

«Новый» случай 25

(
Отличающийся « новым свойством »
от случая 11
:
с =
С,
b
= В

,
n
=
N
, -
K
)

Случай 25. Случай 10.

с = В
(
16+B),

с = - С
(
16´),

b
=

С (
17+C),
b
= -

В (
17´),

n
=
N
(
18),
n
=
N
(
18),

-
K
(
19´)
, -
K
(
19´).

Окончательный вывод в случае 10:
c

и
b

– четные,

чего не должно быть.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением
» и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с

и
b

(

с
b
= СВ =
const

´

, с –
b
= -С + В =
const

´´

, с –
b
= - 2К =
const

´´´

) выполняются,

то Случаи
25 и 10
имеют одинаковый вид окончательных решений
уравнения (15),
т.е. c

и
b

– четные,

чего не должно быть.

*********

«Новый» случай 26

(
Отличающийся «новым свойством »
от случая 12
:
с = -
С,
b
=- В

,
n
= -
N
,
K
)

Случай 26. Случай 9.

с = - В
(
16-B),

с = С
(
16),

b
= -

С (
17-C),
b
=

В (
17),

n
= -
N
(
18´),
n
= -
N
(
18´),

K
(
19)
,
K
(
19).

Окончательный вывод в случае 9:
c

и
b

– четные,

чего не должно быть.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением»
и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с

и
b

» (

с
b
= СВ =
const

´

, с –
b
= С - В =
const

´´

, с –
b
= 2К =
const

´´´

) выполняются,

то Случаи
26 и 9
имеют одинаковый вид окончательных решений
уравнения (15),
т.е. c

и
b

– четные,

чего не должно быть.

********

«Новый» случай 27

(
Отличающийся «новым свойством »
от случая 13
:
с =
С,
b
= В

,
n
= -
N
,-
K
)

Случай 27. Случай «-».

с = В
(
16+B),

с = - С
(
16´),

b
=

С (
17+C),
b
= -

В (
17´),

n
= -
N
(
18´),
n
= -
N
(
18´),

-
K
(
19´)
, -
K
(
19´).

Окончательный вывод в случае «-»:
c

и
b

– четные,

чего не должно быть.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением»
и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с

и
b

» (

с
b
= СВ =
const

´

, с –
b
= - С + В =
const

´´

, с –
b
= - 2К =
const

´´´

) выполняются,

то Случаи
27 и «-»
имеют одинаковый вид окончательных решений
уравнения (15),
т.е. c

и
b

– четные,

чего не должно быть.

Мы пришли к противоречию

с нашим предположением о существовании у уравнения (1)
п

опарно взаимно простых целых решений.

********

«Новый» случай 28

(
Отличающийся «новым свойством »
от случая 14
:
с =
-С,
b
= -В

,
n
=
N
,
K
)

Случай 28. Случай «+».

с = - В
(
16-B),

с = С
(
16),

b
= -

С (
17-C),
b
=

В (
17),

n
=
N
(
18),
n
=
N
(
18),

K
(
19)
,
K
(
19).

Окончательный вывод в случае «+»:
c

и
b

– четные,

чего не должно быть.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением
» и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с

и
b

(

с
b
= СВ =
const

´

, с –
b
= С - В =
const

´´

, с –
b
= 2К =
const

´´´

) выполняются,

то Случаи
28 и «+»
имеют одинаковый вид окончательных решений
уравнения (15),
т.е. c

и
b

– четные,

чего не должно быть.

********

Вывод

1. Таким образом, «Новые» случаи 23,…, 28 новых возможных решений уравнения (15) не выявили
.

2. Условия 1 и 2 ( продолжения ) Утверждения(1) нами рассмотрены

.

*********

Итак, уравнение (15) , если
c

и
b

– взаимно простые целые нечетные числа, имеет решение
(после анализа всех
полученных решений) только в следующих целых числах:

а) ; ; ; ;

б) ; ; ; .

А это в свою очередь означает, что и рассматриваемое уравнение
(, - натуральные числа, где при - натуральном) может иметь целые решения либо при , либо при .

************

Вывод:

2-я часть «Утверждения 1» доказана.

В результате исследования
уравнения (1) мы имеем:

Вывод

1
. Уравнение (1) (, - натуральные числа, при - натуральном) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы - было четным, и - нечетными целыми числами.

Возможны случаи: либо
, либо

.

*******

В качестве подтверждения можно рассмотреть такой пример

.

Пример

Нетрудно доказать вышерассмотренным методом,
что уравнение
(42), где - натуральное число, a
– четное, b
и c
нечетные целые числа, не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах
a

,

b

,

c

.

(
Хотя ход доказательства несколько отличается, т.к. == с +
b
- число четное при
q
= 2 и
b
и
c
нечетных целых числах
)
.

При
«Исключением»
являются ,
или
.

(При

«Исключением» являются, например,
или
,при которых а = 2 ивыполняется тождество(этот случай рассматривать не будем).

Действительно, решениями уравнения, например, a3
= c2
- b2
(43)являются (это хорошо известно в теории чисел)
следующие выражения:

a = α2
– δ2
- четное число
при α и δ– нечетных или четных.

c = α3
+ 3αδ2
- четное число
при α и δ – нечетных или четных.

b = 3α2
δ + δ3
- четное число
при α и δ – нечетных или четных.

(
Такой же результат получается (a, c, b
– четные числа)
для любого уравнения

(42), где -
натуральное.)

Однако вернемся к уравнению (43) a3
= c2
- b2
.

«Исключением»
являются следующие его решения:

1. b = ±1; c = ±3; a = 2 (при r = 1 и
= ±3);

2. b = 3; c = ±1; a = -2 (при r = -1 и = 3),

при которых получаем соответственно тождества:

1. 23
≡ (±3)2
– (±1)2

2. (-2)3
≡ (±1)2
– (±3)2

**********

Примечание.

1. Великая теорема Ферма
для доказывается аналогичным способом, примененным при доказательстве «Утверждения 1»,
в результате чего возникает «противоречие» при оценке четности чисел a, b, c
. Это мы покажем ниже при доказательстве «Утверждения 2».

2. Для степени p
= 2 в уравнении
такого «противоречия» при оценке четности чисел a, b, c
не возникает.

3. Данное «Утверждение 1»
автоматически доказывает
справедливость Великой теоремы Ферма
для показателя простом, т.к. она является частным случаем этого «Утверждения 1»
при

простом. Имея дело с уравнением (44) ,
где простое, a, b, c
- целые
отличные от нуля числа, становится возможным применение метода бесконечного спуска
, о чем в свое время упоминалось самим Ферма.

«Исключение»
(b
= ±1 или c
= ±1) в «Утверждении 1»
на Великую теорему Ферма
не распространяется, т.к. в теории чисел хорошо известно
, что целые числа a, b, c
, удовлетворяющие соотношению (44) (если такие существуют) должны удовлетворять неравенствам ‌‌| a
| > p, | b
| > p, | c
| > p(Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. – М. – Наука. – 1982. - С. 13).

Вывод:

Великая теорема Ферма
для степени простом доказана.

********

Утверждение 2,

частным случаем которого является Великая теорема Ферма
, для показателя

q

= 4

Часть 1

Уравнение ( - четное, q = 4 = 2

m

,

где
m

= 2

) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы - было четным, и - нечетными целыми числами.

Часть 2

Случаи (либо
b

= ± 1,

либо
c

= ± 1) ОТСУТСТВУЮТ.

**********

Часть первая

(Утверждения 2)

Доказательство

Итак, имеем уравнение
(1), где - четное,
числаa, b, c
(если, конечно, они
существуют)
– попарно взаимно простые целые числа (это наше допущение – вопреки «Утверждению 2»), среди которых только одно четное число a

.

Из уравнения (1) следует: =>
(2).

Пусть (3), где и β
- целые числа
, отличные от нуля и c
2
+
b
2
= 2
β
(4), где β
–
нечетное

число при
c
и
b
- нечетных.

*********

Примечание

То, что β
в уравнении (4) нечетное число
, хорошо известный факт в теории чисел,
который легко доказывается.

Представим нечетные числа b
и c
в виде
:

b
= 2
n
1
+ 1;
c
= 2
n
2
+ 1
,

где n

1

и
n

2

- произвольные целые числа
. Тогда

b
2
+
c
2
= (2
n
1
+ 1)2
+ (2
n
2
+ 1)2
= 2
[2 (n1
2
+n2
2
+n1
+n2
) + 1],

где в квадратных скобках
нечетное число
, что и требовалось доказать.

*******

Тогда из уравнения (2) следует (с учетом (3) и (4):

= , где c
2
+ b
2
≠ 0, т.к. c
≠ 0
, b
≠ 0,
т.е.

(5),

где k
– целое число
, отличное от нуля
, т.к. c

и
b

взаимно простые
целые числа
(при
– целое числоk

- четное число

,
т.к.
пропорционально 4
(явно) при b
и с
– нечетных числа => 2

l

-2

k

– четное число

при).

Из соотношений (4) и (5) определяем
b

2

и
c

2

:

=> =>

Откуда β
=
b
2
+ 2
l
-2
k
(8) - нечетное число
(из (4))
при b

– нечетном
и 2

l

-2

k

- четном

.

*********

Вывод:

1. Из соотношения (4) имеем:

(9)
- нечетное число.

2. Из соотношения (5) имеем:

(10)
пропорционально 2
(явно), т.е. - четное число

.

*******

Теперь попробуем выразить сумму четвертых степеней чисел c
и . Учитывая соотношения (6) и (7), получим:

т.е. (11),

где - целые числа
, которые, в свою очередь, как мы знаем из предыдущего доказательства «Утверждения 1» (для ), могут быть выражены через другие целые
числа
следующим образом:

(12) - нечетное число
при - нечетном
;

(13) - нечетное число
при - нечетном
;

(14) - нечетное число
при - нечетном
;

(15) - четное число
.

Примечание:
во всех последующих исследованиях (Случаях) нас не будут интересовать t
=0
иr
=0 (при
t
=0
и - четные из (12) и (13), при r
=0
= 0 (из (15)) => а = 0
(из (3)), что противоречит нашему допущению). .

*******

Для простоты опять
обозначим правые части уравнений
(12), …, (15) буквами С, В, N, К,
т.е.

= С

= В

= N

= К,

и рассмотрим случай
, когда в правых частях уравнений
(12), …, (15) перед С, В, N, К,
стоят «плюсы»
и выполняется Условие1.

********

Условие1 (начало)

с
2
= С

b
2
= B

= N

Случай «+».

(12+) - нечетное число
при - нечетном
;

(13+) - нечетное число
при - нечетном
;

(14+) - нечетное число
при - нечетном
;

(15+) - четное число
.

Казалось бы, все нормально: четность чисел в (12+),…, (15+) совпадают при
- нечетном
с нашими предыдущими рассуждениями.

Однако не все так просто
.

Помимо всего прочего, у нас есть еще две дополнительные информации (9) и (10) (о четности
, заключенной в «Выводе» (стр.36
)), вытекающие из предположения
о том, что, вопреки условию «Утверждения 2»
,
допустим
, существуют попарно взаимно простые целые числа .

Попробуем найти сумму ,
воспользовавшись их выражениями (12+) и (13+):

т.е. => () пропорционально 4,

откуда следует, учитывая (9) в «Выводе» (стр.36),

Т.е., вопреки «Выводу»,
является не нечетным, а четным числом
, что возможно (из (14)) при - четном

.

Однако, если - четное, то
(в (12+) и (13+)) являются четными

, т.е. в уравнениях (2)
и (1)
числа - четные

,
а потому не являются
попарно взаимно простыми целыми числами.

********

Вывод.

Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 1 (начало)
не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах, где - четное натуральное число.

********

Мы рассмотрели случай, когда перед скобками в (12+), …, (15+)
стояли «плюсы».

Случай, когда перед теми же скобками стоят «минусы» (Случай «-»
), аналогичен вышерассмотренному.
Вывод

тот же
. (СмотриСлучай «-» на стр.8.)

********

Примечание

Осталось рассмотреть еще 14 случаев
, когда перед С, В, N, К
стоятвсевозможные знаки (плюсы и минусы).
Но об этом - во 2-ой части
данного Утверждения 2
.

********

Т.к. уравнение (11) симметрично
для с
2
и b
2
, (для уравнения (11) они равнозначны), тос
2
и
b

2

могут меняться
своими выражениями (
C
и В)
. Это свойство назовем «новым свойством ».
Поэтому аналогичны вышерассмотренному и случаи («Новые» случаи «+» и «-»)
, когда опять перед теми же В, С,
N и К стоят одинаковые знаки.

Условие 2 (начало)

с
2
= В

b
2
= С

= N

«Новые» случаи
«+» и «-».

(12´±) c
2
=± В

(13´±) b
2
=±С

(14±) =±N

(15±) =±К.

И в этом случае сумма пропорциональна 4, откуда следует, (учитывая (13) в «Выводе» (стр.36
)),
!

Т.е., вопреки «Выводу», и в этих «Новых» случаях
«+» и «-»
является не нечетным
, а четным числом
, что возможно(из (14±)) при -четном.

Однако, если - четное
, то
(в (
(12´±) и (
(13´±))
являются четными

, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа - четные

,
а потому не являются попарно взаимно простыми целыми
числами
.

Мы пришли к противоречию
(
в «Новых» случаях «+» и «-»)
с нашим предположением о существовании у уравнения (1)
попарно взаимно простых целых решений.

*******

Примечание

Осталось рассмотреть еще 14 случаев
,рассматривающих «новые свойства »,
когда перед С, В, N, К
стоят всевозможные
знаки (плюсы и минусы).

Но об этом - во 2-ой части
данного Утверждения 2.

********

Уравнение (11)
симметрично и для и для
(для уравнения (11) они равнозначны),
которые тоже могут меняться своими выражениями (
N
и К).
Это свойство назовем «похожим свойством
и ».
А это означает, что нам придется рассмотреть еще 16
«похожих» случаев (с 1-го по 14 и случаи
«+» и «-», в которых и
меняются своими выражениями (
N
и К)).

Условие 3

.

с
2
= С

b
2
= B

= К

« Похожие» случаи «+» и «-».

(12±) c
2
=
± () = ± С

(13±) b
2
= ± () = ± В

(14´±) = = ±К

(15´±) = ± N

Согласно одному из Выводов
(формула (10)
пропорционально 2
(явно), при . Но это возможно, глядя на четное (15´±)
= ±N=
±() только при t- четном, при которых в (12±) и (13±) c

и
b

– четные,

чего не должно быть.

Мы пришли к противоречию
(
в «Похожих» случаях «+» и «-»)
с нашим предположением о существовании у уравнения (1)
попарно взаимно простых целых решений.

*******

В остальных 14 «похожих» случаях,
где опять же

= ± N= ± (
) и перед С, В, N, К
стоятвсевозможные знаки (плюсы и минусы),
рассуждая аналогичным способом (и при этом не затрагивая «новые свойства »
(пояснение (стр.10
), подобное для

при доказательстве Утверждения 1
),
мы придем к прежнему результату: c

и
b

– четные,

чего не должно быть
.

********

Вывод.

Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 3
не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах.

*******

Вывод

1.
Таким образом,

в вышеприведенных Условиях 1 (начало), 2 (начало) и 3 уравнение (1)
(1), где - четное
натуральное число, не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах.

2.
1-я часть «Утверждения 2»
(
для Условий 1(начало), 2 (начало)
и 3) доказана.

*********

Часть вторая

(Утверждения 2)

Случаи (либо
b

= ± 1,

либо
c

= ± 1) ОТСУТСТВУЮТ.

Доказательство

Казалось бы, мы должны рассмотреть еще моменты в Условиях 1 и 2, когда перед скобками
в (12), …, (15) стоят
разные знаки
(как при доказательстве «Утверждения 1» в части 2). Интуиция подсказывает, что эта процедура опять нас
приведет к известным значениям b
и c
: либо
(из ), либо
(из ), либо b

и c

- четные

чего не должно быть,
(подобно доказательству части 2 «Утверждения 1»).

Для подтверждения сказанного рассмотрим подробно
только часть Условия 1
.

Условие 1 (

продолжение).

Случай 1.

(12)

(13′)

(14)

(15) ,

которые также являются решениями уравнения (11)

Тогда сумма имеет вид:

Учитывая (10) и (15), можно получить разность :

=>
.

Выразим из (17) и (16) :

=> .

По условию должны быть взаимно простыми целыми числами
, поэтому их общий множитель
.

Т.о., имеют вид:

, , а их сумма .

Т.к. из (4) c
2
+
b
2
= 2
β
, то =>
.

Из (15) с учетом (20) выразим :

, т.е.
.

Т.о., , , т.е.

выражения
которых, с учетом (24), полностью совпадают с (6) и (7),
т.е. с уравнениями

Теперь, с учетом (13′) и (14), найдем сумму :

т.к. , т.е. .

(Здесь чередование «плюса» и «минуса»
такое же, как и у единицы в (20
). В последующих действиях мы это учтем).

Теперь, учитывая (23), получим значение для
b

2

:

, т.к. из (20) получается

(20′).

Итак,
(28), что для целых чисел неприемлемо
.

Этот случай нас не интересует.

********

Тем не менее продолжим,
т.к. результат
, который мы получим, в дальнейшем нам пригодится
.

Учитывая (26), получим

=>
.

Теперь, с учетом (29), можно получить окончательное выражение для с

2
(из (25)):

, т.е.
.

Таким образом, уравнение (11), решениями которого являются (12), (13′) , (14), (15), в конечном счете имеет следующие решения:

,
,

(28),
,

где - взаимно простые нечетные целые числа.

*******

Случай 2

Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были бы решения, противоположные
по знаку с решениями
(12), (13′) , (14), (15), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (30), (28), (29) и (24), т.е.

(30´), =>
c

=

(30´),

(29´)

(28´), =>
b

= 1 (28´),
(24´),
где

- взаимно простые нечетные целые числа
.

Случай 3

(12)

(13′)

(14)

(15′) ,

которые также являются решениями уравнения

(11).

Тогда сумма
имеет вид:

Учитывая (10) и (15), можно получить разность :

-=>
.

Выразим из (31) и (16) :

=> (32)

=> (33).

По условию должны быть взаимно простыми целыми нечетными числами
, поэтому их общий множитель
.

Т.о., имеют вид
:

(34), (35), а их сумма .

Т.к. из (4) c
2
+
b
2
= 2
β
, то и
.

Из (15´) с учетом (20) выразим
:

, т.е.
(24´)
.

Т.о., , ,

где, т.е.

выражения
которых, с учетом (24´), полностью совпадают с (6) и (7),
т. е. с уравнениями

Теперь, с учетом (13′) и (14), найдем сумму :

т.к. , т.е. .

(Здесь чередование
«плюса» и «минуса»
такое же, как и у единицы в (20
). В последующих действиях мы это учтем.)

Теперь, учитывая (23), получим значение для
b

2

:

,т.к. из (20) получается

Итак,
(28), что для целых чисел неприемлемо
.

Этот случай нас не интересует.

*******

Тем не менее продолжим,
т.к. результат
, который мы получим, в дальнейшем нам пригодится
.

Учитывая (26´), получим =>
(29´´).

Теперь, с учетом (29´´), можно получить окончательное выражение для с 2

(из (25´)):

, т.е.
(30´´).

Таким образом, уравнение
(11)
, решениями которого являются (12), (13′), (14) и (15´), в конечном счете имеет следующие решения:

(30´´),
,

(28),
(24´)
,

где - взаимно простые нечетные целые числа.

***********

Случай 4

Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11)
были бы решения, противоположные
по знаку с решениями (12), (13′), (14) и (15´),
мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (30´´), (28), (29´´) и (24´), т.е.

(30´´´),
=>(30´´´)
, (29´´´), (28´),
=>b
=
(28´

),
(24),

где
- взаимно простые нечетные целые числа.

*******

Подведем некоторый итог
. Нами рассмотрено 4 случая
решений уравнения (11).

Обозначим снова следующие выражения буквами С, В, N, К:

= С

= В

= N

= К.

Тогда эти первые 4 случая
следующие:

1
. (12)
2
. (12´) (30´)

(13´) (28) (13) (28´)

(14) (29) (14´) (29´)

(15)
(24) (15´)
(24´)

3.
(12) (30´´) 4
. (12´) (30´´´)

(13´) (28) (13) (28´)

(14) (29´´) (14´) (29´´´)

(15´)
(24´) (15)
(24).

Рассмотрим еще 4 случая
.

5.
с2
= С
6. с2
= - С
7. c2
= C
8. c2
= -C

b
2
= - B
b
2
= B
b2
= - B
b2
= B

= - N
= N
= - N
= N

*******

Итак, рассмотрим случай 5.

Случай 5.

(12),

(13´),

(14´),

(15) , которые также являются решениями уравнения

(11)

Но данный случай аналогичен
случаю 5 «Части 2» «Утверждения 1»,
где полученыследующие решения уравнения (15):

(41),
, где - взаимно простые нечетные целые
(40), (38´), числа.

Следовательно, в данном рассматриваемом Случае 5 у уравнения (11) следующие решения:

(32) =>
b

(32)
, (24)

(31) => с

=
(31),

(29´)
,

где взаимно простые целые нечетные числа.

*******

Случай 6

Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11)
были решения, противоположные
по знаку с решениями (12), (13′), (14´) и (15),
мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (32), (31), (29´) и (24), т.е.

(31´), (29),

(32´),
(24´), где - взаимно простые целые нечетные числа.

Но этот случай нас не интересует
, т.к. с
не является целым числом.

*******

Случай 7

(12),

(13´),

(14´),

(15´), которые также являются решениями уравнения

(11).

Но данный случай аналогичен
случаю 7 «Части 2» «Утверждения 1»,
где полученыследующие решения уравнения (15):

(40), (38´´´),

(41´´),
(33´),

где - взаимно простые нечетные целые числа.

Следовательно, в данном рассматриваемом случае 7 у уравнения (11) следующие решения:

(31) => с

=
(31),

(29´´´)
,

(32´) =>
b

(32´´)
, (24´),

где - взаимно простые целые нечетные числа.

*******

Случай 8

Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11)
были решения, противоположные
по знаку с решениями (12), (13′), (14´) и (15´),
мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (32´´), (31), (29´´´) и (24´), т.е.

(31´), (29´´),

,
(24), где - взаимно простые целые нечетные числа.

Но этот случай нас не интересует
, т.к. с
не является целым числом.

********

Вывод

Итак, после анализа полученных решений в Случаях 1, …,8, уравнение (11)
, где
c

и
b

– взаимно простые целые нечетные числа, имеет решения в следующих целых числах:

а) ;
b

; ; ;

б) ; ; ; .

********

Таким образом, само исследование решений уравнения (11) в случаях 1, …, 8
при доказательстве Утверждения 2
и его результат
, полностью совпадают

с исследованием решений уравнения (15)
(в аналогичных случаях при доказательстве Утверждения 1) и с его результатом
.

Действительно, вот, например, результаты исследований уравнения (15) в первых 4-х случаях Условия 1(Утверждение 1, Часть 2):

1
. (16)
2
. (16´) (39´)

(17´) (37) (17) (37´)

(18) (18´) (38´)

(19)
(33) (19´)
(33´)

3
. (16) (39´´) 4
. (16´) (39´´´)

(17´) (37) (17) (37´)

(18) (38´´) (18´) (38´´´)

(19´)
(33´) (19)
(33).

А вот результаты исследований уравнения (11) в первых 4-х случаях Условия 1 (Утверждение 2,Часть 2):

1
. (12)
2
. (12´) (30´)

(13´) (28) (13) (28´)

(14) (29) (14´) (29´)

(15)
(24) (15´)
(24´)

3.
(12) (30´´) 4
. (12´) (30´´´)

(13´) (28) (13) (28´)

(14) (29´´) (14´) (29´´´)

(15´)
(24´) (15)
(24).

Наблюдается полное совпадение результатов (здесь подразумевается, что решения уравнения (15) c
и b
в верхних 4-х случаях соответствуют решениям уравнения (11)

с
2
и b
2
в нижних 4-х случаях). То же самое совпадение результатов наблюдается и в следующих за ними 4-х случаях.

********

Поэтому нетрудно понять, что остальные результаты исследований случаев с 9-го по 28-й в
данном доказательстве Утверждения 2 (подобные вышерассмотренным случаям 9, …, 28 при доказательстве Утверждения 1) тоже совпадут и никаких новых решений нам не дадут, кроме как:

либо
, либо
, либо
c

и
b

не являются целыми числами

,

либо
c

и
b

–

четные числа

, чего не должно быть.

********

Из этого набора решений уравнения (11) нас, естественно, интересуют только те
, которые могут являться решениями уравнения (1)

(1), где - четное
натуральное число, т.е. либо
, либо

.

*******

Но в теории чисел хорошо известно (Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. – М .- Наука. – 1982. - С. 13)

, что для четных степеней
уравнения
(
где, q=2 q
) - показатели четные
при ≠ 0 и q ≠ 0 - натуральных
, в уравнении

целочисленные
его решения
(если они существуют) должны удовлетворять неравенствам:

|| >
2, | | >
2, | c

| >
2 =>
|a
| > 1, | b
| > 1, |c
| > 1,

т.е. в уравнении
a
2
+
b
4
=
c
4
b

и c

=> в уравнении

(1)
при - четном числе
b

и c

,

т.е. случаи (либо
b

= ± 1,

либо
c

= ± 1

) ОТСУТСТВУЮТ.

********

Вывод:

2-я часть «Утверждения 2» доказана.

*******

В результате исследования
уравнения (1) мы имеем:

Вывод:

1
. Уравнение (1)
, где
≥2 - четноене имеет решений в попарно простых целых числах

a
,
b
,
и
c
таких, чтобы - было четным, и - нечетными целыми числами.

2. «Утверждение 2»
нами полностью доказано.

*******

Примечание

1. Понятно, что приведенное доказательство «Утверждения 2» для q = 4 = 2

m

,

где
m

= 2,

распространяется и на показатель степени
q=2
m
приm
>2
– натуральном.

2. Если уравнение al
+
b
4
=
c
4
,
где≥2 - четное, неразрешимо в попарно простых
целых числах
a
,
b
,
иc
,
то и уравнение
a

4

+

b

4

=

c

4

не только неразрешимо в этих же числах
, но и вообще неразрешимо ни в каких других целых числах (
не являющихся попарно взаимно простыми целыми числами).

Вывод :

Великая теорема Ферма для показателя

l

= q

= 4
доказана.

3. Результат доказательства, а именно четность чисел
a

,

b

,

c

в уравнении
al

+

b

4

=

c

4

(
≥2 - четное), а, следовательно, в уравнении
a
4
+
b
4
=
c
4
дает возможность в этом уравнении применить метод бесконечного спуска
, о чем в свое время не только
упоминалось самим Ферма, но и им использовалось.

На основанииВыводов о Великой теореме Ферма

(стр.34, стр.49) получаем окончательный вывод
.

Окончательный «Вывод»: Великая теорема Ферма доказана.

********

Утверждение 3

Часть 1

Уравнение ( ≥ 3 – нечетное натуральное, q = 4 = 2

m

,

где
m

= 2

) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы - было четным, и - нечетными целыми числами.

Часть 2

Возможны случаи: либо
b

= ± 1,

либо
c

= ± 1

.

*********

Часть первая

(Утверждения 3)

Доказательство

Первая часть доказательства «Утверждения 3»
аналогична «Части первой»
доказательства «Утверждения 2».

Итак, имеем уравнение
(1), где ≥
3 – нечетное натуральное,
числаa, b, c
(если, конечно, они
существуют)
– попарно взаимно простые целые числа (это наше допущение – вопреки «Утверждению 3»), среди которых только одно четное число a

.

Из уравнения (1) следует:

=>
(2).

Пусть (3), где и β
- целые числа
, отличные от нуля и c
2
+
b
2
= 2
β
(4), где β
–
нечетное

число при
с
и
b
– нечетных.

******

Примечание

То, что β
в уравнении (4) нечетное число
, хорошо известный факт в теории чисел,
который мы ранее уже учитывали («Примечание», стр. 35).

Представим нечетные числа b
и c
в виде
:

b
= 2
n
1
+ 1;
c
= 2
n
2
+ 1
, где n

1

и
n

2

- произвольные целые числа
. Тогда

b
2
+
c
2
= (2
n
1
+ 1)2
+ (2
n
2
+ 1)2
= 2
[2 (n1
2
+n2
2
+n1
+n2
) + 1],

где в квадратных скобках
нечетное число
, что и требовалось доказать

*******

Тогда из уравнения (2) следует (с учетом (3) и (4)):

= , где c
2
+ b
2
≠ 0, т.к. c
≠ 0
, b
≠ 0,
т.е.

(5),

где k
– целое число
, отличное от нуля
, т.к. c

и
b

взаимно простые
целые числа.

Из соотношений (4) и (5) определяем
b

2

и
c

2

:

=> =>

Откуда β
=
b
2
+ 2
l
-2
k
(8) - нечетное число
(из (4))
при b

– нечетном
и 2

l

-2

k

- четном

, т.к. ≥ 3 – нечетное натуральное число.

Вывод:

1. Из соотношения (4) имеем:

(9)
- нечетное число.

2. Из соотношения (5) имеем:

(10)
пропорционально 2
(явно), т.е. - четное число

.

*******

Теперь попробуем выразить сумму четвертых степеней чисел c
и . Учитывая соотношения (6) и (7), получим:

т.е. (11),

(12) - нечетное число
при - нечетном
;

(13) - нечетное число
при - нечетном
;

(14) - нечетное число
при - нечетном
;

(15) - четное число
.

Для простоты опять (
как в утверждениях 1 и 2)
обозначим правые части уравнений
(12), …, (15) буквами С, В, N, К,
т.е.

= С

= В

= N

= К ,

Условие1 (начало).

с
2
= С

b
2
= B

= N

Случай «+».

(12+) - нечетное число
при - нечетном
;

(13+) - нечетное число
при - нечетном
;

(14+) - нечетное число
при - нечетном
;

(15+) - четное число
.

Казалось бы, все нормально: четность чисел в (12+), …, (15+) совпадают при
-нечетном
с нашими предыдущими рассуждениями.

Однако не все так просто.

Помимо всего прочего, у нас есть еще две дополнительные информации (9) и (10) (о четности
, заключенной в «Выводе» (стр.36
)), вытекающие из предположения о том, что, вопреки условию «Утверждения 2»
,
допустим, существуют попарно взаимно простые целые числа .

Попробуем найти сумму ,
воспользовавшись их выражениями (12+) и (13+):

т.е. => () пропорционально 4,

откуда следует, учитывая (9) в «Выводе» (стр.36),

Т.е., вопреки «Выводу»,
является не нечетным, а четным числом
, что возможно (из (14)) при -четном

.

*******

Вывод

. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 1(начало)
не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах, где - нечетное натуральное число.

********

Мы рассмотрели случай, когда перед скобками в (12+), …, (15+)
стояли «плюсы».

Случай, когда перед теми же скобками стоят «минусы» (Случай «-»), аналогичен вышерассмотренному.
Вывод

тот же.
(Смотри Случай «-» на стр.8.)

*********

Примечание

Осталось рассмотреть еще 14 случаев
, когда перед С, В, N, К
стоятвсевозможные знаки (плюсы и минусы).
Но об этом - во 2-ой части
данного Утверждения 3.

********

Т.к. уравнение (11) симметрично
для с
2
и b
2
, (для уравнения 11 они равнозначны), тос
2
и
b

2

могут меняться
своими выражениями (
C
и В)
. Это свойство назовем «новым свойством ».
Поэтому аналогичны вышерассмотренному и случаи («Новые» случаи «+» и «-»)
, когда опять же перед теми же скобками стоят одинаковые знаки.

Условие 2 (начало)

.

с
2
= В

b
2
= С

= N

«Новые» случаи
«+» и «-».

(12´±) c
2
=± В

(13´±) b
2
=±С

(14±) =± N

(15±) =±К.

И в этом случае сумма пропорциональна 4, откуда следует, (учитывая (13) в «Выводе» (стр.36
)),
!

Т.е., вопреки «Выводу», и в этих «Новых» случаях
«+»
и «-»
является не нечетным
, а четным числом
, что возможно(из (14±)) при -четном.

Мы пришли к противоречию
(
в «Новых» случаях «+» и «-»)
с нашим предположением о существовании у уравнения (1)
попарно взаимно простых целых решений.

********

Вывод.

Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 2 (начало)
не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах.

*******

Примечание

Осталось исследовать еще 14 случаев
,рассматривающих «новые свойства », когда
перед С, В, N, К
стоят всевозможные
знаки (плюсы и минусы).

Но об этом во 2-ой части данного Утверждения 3.

********

Условие 3

.

с
2
= С

b
2
= B

= К

«Похожие» случаи «+» и «-».

(12±) c
2
=
± () = ± С

(13±) b
2
= ± () = ± В

(14´±) = = ±К

(15´±) = ± N.

Согласно одному из Выводов
(формула (10)
пропорционально 2
(явно), при . Но это возможно, глядя на четное (15´±)
= ±N=
±() только при t-четном, при которых в (12±) и (13±) c

и
b

– четные,

чего не должно быть.

Мы пришли к противоречию
(
в «Похожих» случаях «+» и «-»)
с нашим предположением о существовании у уравнения (1)
попарно взаимно простых целых решений.

*******

В остальных 14 «похожих» случаях,
где опять же

= ± N= ± (
) и перед С, В, N, К
стоятвсевозможные знаки (плюсы и минусы),
рассуждая аналогичным способом (и при этом не затрагивая «новые свойства » (
пояснение (стр.10),
подобное для

проведено при доказательстве Утверждения 1
),
мы придем к прежнему результату: c

и
b

– четные,

чего не должно быть
.

********

*******

Вывод

1. Таким образом,

в вышерассмотренных Условиях 1 (начало), 2 (начало) и

3 уравнение (1)
(1), где ≥
3 – нечетное
натуральное число, не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах.

2. 1-я часть «Утверждения3»
(
для Условий 1 (начало), 2 (начало)
и 3) доказана.

*********

Часть вторая

(Утверждения3)

Возможны случаи: либо , либо .

(Об «Исключении» из общего правила)

Доказательство

Казалось бы, мы должны рассмотреть еще моменты в Условиях 1 и 2
, когда перед скобками
в (12), …, (15) стоят
разные знаки
(как при доказательстве «Утверждения 2» в части 2). Интуиция подсказывает, что эта процедура опять нас
приведет к известным значениям b
и c
: либо
(из ), либо
(из ), либо b

и c

– четные,

чего не должно быть
, либоb

и c

не являются целыми числами (подобно доказательству части 2 «Утверждения 2»).

Для подтверждения сказанного рассмотрим подробно
только часть Условия 1
.

Итак, осталось рассмотреть случаи, когда перед скобками стоят разные знаки
.

Случай 1.

(12)

(13′)

(14)

(15) , которые также являются решениями уравнения

(11)
.

Тогда сумма имеет вид:

Учитывая (10) и (15), можно получить разность :

=>
.

Выразим из (17) и (16) :

=> .

По условию должны быть взаимно простыми целыми числами
, поэтому их общий множитель
.

Т.о., имеют вид:

, , а их сумма .

Т.к. из (4) c
2
+
b
2
= 2
β
, то =>
.

Из (15) с учетом (20) выразим :

, т.е.
.

Т.о., , , т.е.

выражения
которых, с учетом (24), полностью совпадают с (6) и (7),
т.е. с уравнениями

Теперь, с учетом (13′) и (14), найдем сумму :

т.к. , т.е. .

(Здесь чередование «плюса» и «минуса»
такое же, как и у единицы в (20
). В последующих действиях мы это учтем.)

Теперь, учитывая (23), получим значение для
b

2

:

, т.к. из (20) получается

(20′).

Итак,
(28), что для целых чисел неприемлемо
.

Этот случай нас не интересует.

********

Тем не менее продолжим,
т.к. результат
, который мы получим, в дальнейшем нам пригодится
.

Учитывая (26), получим =>
.

Теперь, с учетом (29), можно получить окончательное выражение для с

2
(из (25)):

, т.е.
.

,
,

(28),
,

где - взаимно простые нечетные целые числа.

*******

Случай 2

(30´), =>
c

=

(30´),

(29´)

(28´), =>
b

= 1 (28´),
(24´),
где

- взаимно простые нечетные целые числа
.

**********

Случай 3.

(12)

(13′)

(14)

(15′) , которые также являются решениями уравнения

(11).

Тогда сумма
имеет вид:

Учитывая (10) и (15), можно получить разность :

-=>
.

Выразим из (31) и (16) :

=> (32)

=> (33)

По условию должны быть взаимно простыми целыми нечетными числами
, поэтому их общий множитель
.

Т.о., имеют вид
:

(34), (35), а их сумма .

Т.к. из (4) c
2
+
b
2
= 2
β
, то и
.

Из (15´) с учетом (20) выразим
:

, т.е.
(24´).

Т.о. , , где, т.е.

выражения
которых, с учетом (24´), полностью совпадают с (6) и (7),
т. е. с уравнениями

Теперь, с учетом (13′) и (14), найдем сумму :

т.к. , т.е. .

Теперь, учитывая (23), получим значение для
b

2

:

,т.к. из (20) получается

Итак,
(28), что для целых чисел неприемлемо
. Этот случай нас не интересует.

*******

Тем не менее продолжим,
т.к. результат
, который мы получим, в дальнейшем нам пригодится
.

Учитывая (26´), получим =>
(29´´).

Теперь, с учетом (29´´), можно получить окончательное выражение для с 2

(из (25´)):

, т.е.
(30´´).

(30´´),
,

(28),
(24´)
,

где - взаимно простые нечетные целые числа.

***********

Случай 4

(30´´´),
=>(30´´´)
, (29´´´), (28´),
=>b
=
(28´

),
(24),
где

- взаимно простые нечетные целые числа.

*******

Подведем некоторый итог
. Нами рассмотрено 4 случая
решений уравнения (11).

Обозначим снова следующие выражения буквами С, В, N, К:

= С

= В

= N

= К

Тогда эти первые 4 случая
следующие:

1
. (12)
2
. (12´) (30´)

(13´) (28) (13) (28´)

(14) (29) (14´) (29´)

(15)
(24) (15´)
(24´)

3.
(12) (30´´) 4
. (12´) (30´´´)

(13´) (28) (13) (28´)

(14) (29´´) (14´) (29´´´)

(15´)
(24´) (15)
(24).

Рассмотрим еще 4 случая
.

5.
с2
= С
6. с2
= - С
7. c2
= C
8. c2
= -C

b
2
= - B
b
2
= B
b2
= - B
b2
= B

= - N
= N
= - N
= N

*******

Итак, рассмотрим случай 5.

Случай 5.

(12),

(13´),

(14´),

(15) , которые также являются решениями уравнения

(11).

(41),
, где - взаимно простые нечетные целые
(40), (38´), числа.

Следовательно, в данном рассматриваемом случае 5 у уравнения (11) следующие решения:

(32) =>
b

(32)
, (24)

(31) => с

=
(31),

(29´)
,

где - взаимно простые целые нечетные числа.

*******

Случай 6

(31´), (29),

(32´),
(24´),

где - взаимно простые целые нечетные числа.

Но этот случай нас не интересует
, т.к. с
не является целым числом.

*******

Случай 7.

(12),

(13´),

(14´),

(15´), которые также являются решениями уравнения

(11).

(40), (38´´´),

(41´´),
(33´),

где - взаимно простые нечетные целые числа.

Следовательно, в данном рассматриваемом случае 7 у уравнения (11) следующие решения:

(31) => с

=
(31),

(29´´´)
,

(32´´) =>
b

(32´´)
, (24´),
где -

взаимно простые целые нечетные числа.

*********

Случай 8

(31´), (29´´),

,
(24),

где - взаимно простые целые нечетные числа.

Но этот случай нас не интересует
, т.к. с
не является целым числом.

Таким образом, уравнение (11)
, где
c

и
b

– взаимно простые целые нечетные числа, имеет решение (после анализа всех полученных решений
) в следующих целых числах:

а) ;
b

; ; ;

б) ; ; ; .

**********

Вывод

Итак, после анализа полученных решений в Случаях 1,…, 8, уравнение (11)
, где
c

и
b

– взаимно простые целые нечетные числа, имеет решения в следующих целых числах:

а) ;
b

; ; ;

б) ; ; ; .

********

Таким образом, само исследование решений уравнения (11) в случаях 1, …, 8
при доказательстве Утверждения 3
и его результат
полностью совпадают

с исследованием решений уравнения (11)
(в аналогичных случаях при доказательстве Утверждения 2) и с его результатом
.

Действительно, вот, например, результаты исследований уравнения (11) в первых 4-х случаях Условия 1 (Утверждение 2, Часть 2):

1
. (12)
2
. (12´) (30´)

(13´) (28) (13) (28´)

(14) (29) (14´) (29´)

(15)
(24) (15´)
(24´)

3.
(12) (30´´) 4
. (12´) (30´´´)

(13´) (28) (13) (28´)

(14) (29´´) (14´) (29´´´)

(15´)
(24´) (15)
(24).

А вот результаты исследований уравнения (11) в первых 4-х случаях Условия 1 (Утверждение 3, Часть 2):

1
. (12)
2
. (12´) (30´)

(13´) (28) (13) (28´)

(14) (29) (14´) (29´)

(15)
(24) (15´)
(24´)

3.
(12) (30´´) 4
. (12´) (30´´´)

(13´) (28) (13) (28´)

(14) (29´´) (14´) (29´´´)

(15´)
(24´) (15)
(24).

Наблюдается полное совпадение результатов. То же самое совпадение результатов наблюдается и в следующих за ними 4-х случаях.

*********

Нетрудно понять, что остальные случаи с 9-го по 28-й в
данном доказательстве Утверждения 3
(подобные вышерассмотренным случаям 9, …, 28 при доказательстве Утверждений 1 и 2
) никаких новых решений нам не дадут, кроме как:

либо
, либо
, либо
c

и
b

не являются целыми числами

,

либо
c

и
b

–

четные числа

, чего не должно быть.

********

Из этого набора решений уравнения (11), нас, естественно, интересуют только те
, которые могут являться решениями уравнения (1)

(1), где - нечетное
натуральное число, т.е. либо
, либо

, которые таковыми и являются

.

*******

Вывод:

2-я часть «Утверждения 3» доказана.

В результате исследования
уравнения (1), мы имеем:

Вывод:

1
. Уравнение (1)
( ≥ 3 – нечетное натуральное, q = 4 = 2

m

,

где
m

= 2

) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы - было четным, и - нечетными целыми числами.

Возможны случаи

: либо
, либо

.

2. «Утверждение 3»
нами полностью доказано.

*******

Примечание

Понятно, что приведенное сокращенное доказательство «Утверждения 3»
(со ссылкой на предыдущее доказательство Утверждения 2), где рассматривается уравнение
al

+

b

4

=

c

4

при ≥ 3 –
нечетном натуральном и q = 4 = 2 m
, где m
= 2,
распространяется и на показатель степени q = 2 m
, где
m

> 2 –

натуральном.

**********

На основании доказательства
справедливости «Утверждения 1», «Утверждения 2»
и «Утверждения 3»
вытекает и справедливость

«Общего утверждения».

ОБЩИЙ ВЫВОД

2. Но есть и «исключение» из данного утверждения: среди этих чисел , и может
быть либо , либо .

Таким образом, «Общее утверждение»

доказано
.

ЛИТЕРАТУРА:

1. Алексеев С.Ф. Два обобщения классических формул // Квант. – 1988. - №10. – С. 23.

2.Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. – М., Наука. – 1982 - С. 13.

Май 2009 г., Скворцов А.П.

Уважаемые любители математики и специалисты
!

Если не трудно, попробуйте разобраться с данной работой и по возможности ее оценить.

Если в ней есть что-то стоящее, интересное, то очень хотелось бы получить отзыв о данной работе.

Я убежден, что примененный мною метод в данной работе позволит провести анализ и некоторых других уравнений на их разрешимость в целых числах.

Предлагаю вашему вниманию перечень некоторых моих работ по физике и математике, с некоторыми из них ознакомлены специалисты некоторых ВУЗов г. Томска, с другими – учителя и учащиеся г. Колпашева. А работа по физике (
я сам учитель физики
)
о существовании гипотетических гравитационно-временных волн
(«Гравитация и время») в популярном изложении опубликована на страницах журнала «Знак вопроса» №4-2004 г.

Работы по математике
:

1. Построение с помощью циркуля и линейки отрезка, равного произведению двух
других отрезков
.

2. Построение с помощью циркуля и линейки отрезка, равного отношению двух
других отрезков
.

3. Нахождение действительных корней
приведенного квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки.

4. Решение
уравнения в целых числах при - натуральном.

5. Доказательство неразрешимости в рациональных ненулевых числах
уравнения
р1
+ р2
= р3
, где произведение
р1
р2
р3
=
R
3
,

R
– рациональное число (или рациональная функция
), р1
, р2
и р3
могут быть не только рациональными числами, но и рациональными функциями
.

6. Доказательство неразрешимости в рациональных ненулевых числах системы

р1
+р2
+р3
=р4

р1
р2
р3
р4
=

,

где k

может принимать значения
k

= 1; 2; 3; 4

,
и р1
, р2
, р3
и р4
могут быть не только рациональными числами, но и рациональными функциями.

Мне можно писать
по электронному адресу: skvorsan
@
mail
.
ru

Мой почтовый адрес
: 636460 г. Колпашево Томской обл.,

м/р-н Геолог, д.18, кв.11

тел.: 8 (38 254) 5 79 59.

С уважением, А.П. Скворцов.

Слов:	18190
Символов:	157948
Размер:	308.49 Кб.

Название реферата: Доказательство утверждения, частным случаем которого является великая теорема Ферма