Контрольная работа по дисциплине:
Теория вероятностей и математическая статистика
Законы распределения случайных величин. Доверительный интервал
Задача 1
Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что в 100 испытаниях событие появится не менее 70 и не более 80 раз.
Решение
:
,
где - функция Лапласа, значения которой находятся из таблиц.
;
.
Здесь: .
.
Ответ:
0,49.
Задача 2
Среднее число вызовов, поступающих на АТС на 1 минуту, равно двум. Найти вероятность того, что за 4 минуты поступит: а) 3 вызова; б) не менее 3-х вызовов; в) менее 3-х вызовов. Предполагается, что поток вызовов – простейший.
а) Вероятность события «за 4 минуты поступило 3 вызова равна:
,
где
- среднее число вызовов в минуту; ;
t – время, за которое может поступить 3 вызова; t=4 мин.;
k – число возможных вызовов за время t; k=3.
.
- находим из таблицы значений функции распределения Пуассона для k=3 и a==8.
в) События «поступило менее 3-х вызовов» и «поступило не менее 3-х вызовов» являются противоположными. Поэтому найдем сначала вероятность первого события:
.
Здесь: вероятности находятся из таблиц распределения Пуассона соответственно для значений k=0, k
б) Данное событие является противоположным к событию, описанному в пункте в) (выше), поэтому: .
Ответ
: а) 0,03; б) 0,99; в) 0,01.
Задание 3
Случайная величина Х задана функцией распределения (интегральной функцией) f(x). Требуется: а) найти дифференциальную функцию f¢(x) (плотность вероятности); б) найти математическое ожидание и дисперсию Х; в) построить графики функций f(x) и f¢(x).
Решение:
а) - плотность вероятности.
б) Математическое ожидание:
.
Дисперсия величины Х:
в) График функции f(x):
| х | 1 | 2 | |
| f(х) | 1 |
; ; .
График функции
| х | 1 | 2 |
| f¢(х) | 1 |
; .
Задание 4
Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания Q нормального распределения с надежностью , зная выборочную среднюю , объем выборки n и среднее квадратическое отклонение s.
; ; n=225.
Решение:
.
Здесь: находится из таблицы распределения Стьюдента для n=225 и .
.
;
.
Ответ:
(73,12; 77,04).