Министерствообразования и науки Украины
Днепропетровский Национальный Университет
Факультет электроники, телекоммуникаций и компьютерных систем
Кафедра АСОИ
Расчётная задача №4
«Исследование операций»
г. Днепропетровск
2007г.
Задача
Записать задачу двойственную к данной, решить одну из пары задач и отыскать оптимальное решение второй
Прямая задача имеет вид:
Общая постановка двойственной задачи
Двойственная задача – это вспомогательная задача линейного программирования, она формулируется из прямой задачи.
Идея метода основана на связи между решениями прямой и двойственной задачи.
Двойственная задача формируется непосредственно из условий прямой задачи за следующими правилами:
Если прямая задача является задачей максимизации, то двойственная будет задачей минимизации;
Коэффициенты целевой функции прямой задачи С1, С2, ….,Сn становятся свободными членами ограничений двойственной задачи;
Свободные члены ограничений прямой задачи b1, b2, ….,bn становятся коэффициентами целевой функции двойственной задачи;
Матрицу ограничений двойственной задачи получают транспонированием матрицы ограничений прямой задачи;
Если прямая задача является задачей максимизации, то во всех неравенствах двойственной задачи будут стоять знаки ≥, и знаки ≤, если прямая задача является задачей минимизации.
Число ограничений прямой задачи равно числу переменных двойственной задачи.
Прямая задача в канонической форме
Двойственная к ней задача будет иметь вид
Двойственная задача решается симплекс-методом до достижения оптимального решения.
Решение прямой задачи
Все ограничения прямой задачи - это равенства с неотрицательными правыми частями, когда все переменные неотрицательны.
Приведем прямую задачу к стандартному виду:
Подставим значение в целевую функцию:
Таким образом, прямая задача в стандартной форме имеет следующий вид:
Строим симплекс таблицу:
Итерация №1
| Базис |
|
Решение | Оценка | |||||
| 0 | 0 | 0 | ||||||
| 5 | -2 | 1 | 0 | 0 | 0 | 4 | - | |
| -1 | 2 | 0 | 1 | 0 | 0 | 4 | 2 | |
| 1 | 1 | 0 | 0 | -1 | 1 | 4 | 4 |
- ведущий столбец
- ведущая строка
Итерация №2
| Базис
|
|
|
|
|
|
|
Решение
|
Оценка
|
|
|
0 | 0 | 0 | |||||
|
|
4 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 8 | 2 |
|
|
1 | 0 | 0 | 0 | 2 | - | ||
|
|
0 | 0 | -1 | 1 | 2 |
- ведущий столбец
- ведущая строка
Итерация №3
| Базис
|
|
|
|
|
|
|
Решение
|
Оценка
|
|
|
0 | 0 | 0 | |||||
|
|
0 | 0 | 1 | |||||
|
|
0 | 1 | 0 | - | ||||
|
|
1 | 0 | 0 | - |
- ведущий столбец
- ведущая строка
Итерация №4
| Базис
|
|
|
|
|
|
|
Решение
|
|
|
0 | 0 | 0 | 8 | |||
|
|
0 | 0 | 1 | -1 | 1 | ||
|
|
0 | 1 | 0 | 0 | 3 | ||
|
|
1 | 0 | 0 | 0 | 2 |
Оптимальное решение прямой задачи:
, Х = {2 , 3}
Решение двойственной задачи
Двойственная задача имеет вид:
Мы получили двойственную задачу и будем решать ее М-методом. Приведем систему линейных неравенств к стандартному виду, перед этим сделав замену:
,
,
Подставим значения в функцию:
Таким образом, двойственная задача в стандартной форме имеет следующий вид:
Симплекс-таблица, итерация 1
| Базис |
|
Решение | Оценка | ||||||||
| 0 | 0 | ||||||||||
| -5 | 5 | 1 | -1 | -1 | -1 | 0 | 1 | 0 | 1 | ||
| 2 | -2 | -2 | 2 | -1 | 0 | -1 | 0 | 1 | 2 | - |
- ведущий столбец
- ведущая строка
Симплекс-таблица, итерация 2
| Базис |
|
|
Решение | Оценка | |||||||
| 0 | 0 | 0 | |||||||||
| -1 | 1 | 0 | 0 | - | |||||||
| 0 | 0 | -1 | 1 |
- ведущий столбец
- ведущая строка
Симплекс-таблица, итерация 3
| Базис |
|
|
Решение | |||||||
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | -8 | |||
| 1 | 1 | 0 | 0 | |||||||
| 0 | 0 | -1 | 1 |
Оптимальное решение двойственной задачи:
, , ,
Ответ
Оптимальное решение прямой задачи: , X = { 2 , 3 }
Для двойственной задачи: , , ,